BAB 3 Kesamaan Matriks Kovariansi Bagian ini akan membahas tentang pengujian hipotesis kesamaan matriks kovariansi.
3.1 Uji Kesamaan Dua Matriks Kovariansi 3.1.1 Ukuran Penyebaran Multivariat r r ⎛ X (1) ⎞ Misalkan X = ⎜ r 2 ⎟ suatu vektor acak di mana ⎜X( ) ⎟ ⎝ ⎠ r masing berdimensi p dan q. Tulis µ ( i ) = E Σij = E
r r X (1) dan X ( 2) masing-
r
(X( ) ); i
i = 1,2 dan
(( X ( ) − µr ( ) ) ( X ( ) − µr ( ) ) ) ; i,j = 1,2. Maka matrik kovariansi ∑ dari r
i
i
r
j
t
j
r X ditulis
⎛ Σ11 Σ12 ⎞ Σ=⎜ ⎟ ⎝ Σ 21 Σ 22 ⎠ Untuk p = q = 1, Σij adalah kovariansi klasik. Dalam kasus lain, (Escoufier (1973)
dalam Djauhari (2006)) mendefinisikan bahwa r r VCov X (1) , X ( 2) = Tr ( Σ12 Σ 21 ) sebagai kovariansi dari dua vektor acak atau
(
)
biasa disebut dengan kovariansi vektor. Tr ( Σ12 Σ 21 ) adalah jumlah semua elemen diagonal dari ( Σ12 Σ 21 ) . r Dari pengertian tersebut, dapat didefinisikan variansi vektor dari X (1) r dan X ( 2) masing-masing adalah: r r 2 VV X (1) = Tr ( Σ11 ) dan VV X (2) = Tr ( Σ222 )
( )
(
)
12
v v v X 1 , X 2 ,...., X n
Misalkan
sampel
acak
dari
distribusi
vektor rata-rata sampel dan matrik kovariansi sampel adalah: r 1 n r r r r 1 n r X = ∑ X i dan S = Xi − X Xi − X ∑ n i =1 n-1 i =1
)(
(
)
N p ( µ, Σ)
t
Djauhari (2006) menerangkan bahwa jika n cukup besar, variansi vektor 8 ⎛ ⎞ sampel Tr ( S 2 ) konvergen dalam distribusi ke N ⎜ Tr ( Σ 2 ) , Tr ( Σ 4 ) ⎟ n −1 ⎝ ⎠
3.1.2. Uji Hipotesis Melalui Vektor Variansi
Diberikan dua sampel acak yang saling bebas v1 , v2 ,...., vn dari distribusi normal N p ( µ1 ,Σ1 ) dan w1 , w2 ,...., wn dari distribusi normal N p ( µ 2 , Σ 2 ) . Berdasarkan sampel tersebut akan diuji apakah matriks kovariansi populasi pertama sama dengan matriks kovariansi populasi kedua. Sebagai hipotesis tandingan adalah matriks kovariansi kedua populasi berbeda. Ho : Σ1 = Σ 2
dan
H1 : Σ1 ≠ Σ 2
Pengujian akan dilakukan dengan menggunakan Tr ( S12 ) dan Tr ( S 22 ) seperti yang diusulkan Djauhari (2006). Karena Tr ( S12 ) konvergen dalam distribusi ke
8 ⎛ ⎞ N ⎜ Tr ( Σ12 ) , Tr ( Σ14 ) ⎟ , Tr ( S 22 ) n −1 ⎝ ⎠
konvergen dalam distribusi ke
8 ⎛ ⎞ N ⎜ Tr ( Σ 22 ) , Tr ( Σ 42 ) ⎟ dan saling bebas, maka N −1 ⎝ ⎠
(Tr ( S ) − Tr ( S )) − (Tr ( Σ ) − Tr ( Σ )) Z= 2 1
2 2
2 1
2 2
8 8 Tr ( Σ14 ) + Tr ( Σ 42 ) n −1 N −1
~ N ( 0,1)
Di bawah Ho, kita dapatkan: Z=
(Tr ( S ) − Tr ( S )) 2 1
2 2
8 8 Tr ( Σ14 ) + Tr ( Σ 42 ) n −1 N −1
~ N ( 0,1)
13
Untuk n yang cukup besar, maka penyebut dapat diganti dengan taksirannya
σ (2Tr (S )−Tr (S )) . Dengan demikian 2 1
2 2
(Tr ( S ) − Tr ( S )) Z= 2 1
2 2
σˆ 2Tr S −Tr S ( ( ) ( )) 2 1
2 2
Dimana menurut Djauhari (2006), −1
−1
8 ⎧⎪ 12 12 ⎫⎪ 8 ⎧⎪ 12 12 ⎫⎪ 4 4 1 1 + + + + + σˆ 2Tr S 2 −Tr S 2 = Tr S ( ) ⎨ ⎬ Tr ( S 2 ) 1 ( ( 1 ) ( 2 )) n − 1 ⎨⎪ n − 1 ( n − 1)2 ⎬⎪ N − 1 ⎪ N − 1 ( N − 1)2 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Hipotesis Ho ditolak pada taraf keberartian α, jika Z > Z α 2
3.1.3. Uji Hipotesis Melalui Determinan Matriks Kovariansi
Pengujian dengan pendekatan determinan matriks kovariansi didasarkan kepada rasio likelihood. Fungsi likelihood, lihat G.A.F.Seber (1984 , 103), adalah:
L12 ( µ1 , µ 2 , Σ1 , Σ 2 ) = L1 ( µ1 , Σ1 ) L2 ( µ 2 , Σ 2 )
Nilai maksimum dari L12 adalah:
(
)
(
) (
L12 µˆ1 , µˆ 2 , Σˆ 1 , Σˆ 2 = L1 µˆ1 , Σˆ 1 L2 µˆ 2 , Σˆ 2 = ( 2π )
− nd / 2
Σˆ 1
− n1 / 2
) Σˆ 2
− n2 / 2
e− nd / 2
Bila H0 benar dan Σ1 = Σ 2 = Σ , maka
(
)
(
) (
L12 µˆ1 , µˆ 2 , Σˆ , Σˆ = L1 µˆ1 , Σˆ L2 µˆ 2 , Σˆ = ( 2π )
− nd / 2
Σˆ
)
−n / 2
e− nd / 2
14
Dengan demikian, rasio likelihood l adalah: l=
=
=
(
L12 µˆ1 , µˆ 2 , Σˆ , Σˆ
(
)
L12 µˆ1 , µˆ 2 , Σˆ 1 , Σˆ 2
( 2π ) ( 2π ) Σˆ 1
− nd / 2
Σˆ
−n / 2
− n1 / 2
Σˆ 2
− nd / 2
Σˆ 1
Σˆ
−n / 2
− n1 / 2
Σˆ 2
)
− n2 / 2
e− nd / 2 − n2 / 2
e− nd / 2
; dengan n = n1 + n2
T.W. Anderson (1966, 267) menunjukkan : T = −2 log (l ) −n / 2 ⎛ ⎞ Σˆ ⎜ ⎟ = -2 log ⎜⎜ ˆ − n1 / 2 ˆ − n2 / 2 ⎟⎟ Σ Σ2 ⎝ 1 ⎠
atau −n / 2 ⎛ S ⎞ gabungan ⎟ T = −2 log ⎜ − n1 / 2 −n / 2 ⎜ S1 S2 2 ⎟ ⎝ ⎠ n ⎛ S ⎞ gabungan ⎜ ⎟ = log ⎜ S1 n1 S2 n 2 ⎟ ⎝ ⎠
memiliki distribusi pendekatan χα2 ,υ . Dengan demikian, H0 ditolak pada taraf keberartian α jika T > χα2 ,υ .
3.2. Uji Kesamaan Beberapa Matriks Kovariansi
Diberikan m sampel yang saling bebas dari suatu distribusi N p ( µ , Σ ) , masing-masing sampel berukuran
n1 , n2 ,..., nm . Misalkan
Si
matriks
kovariansi sampel ke-i.
15
Rata-rata
matriks
m
S=
∑(n i =1 m
i
− 1) Si
∑(n
i
i =1
− 1)
=
kovariansi
tersebut
adalah
m 1 m 1 n − S dengan n = ni . ( ) ∑ ∑ i i n − m i =1 i =1
Bila n1 = n2 = ... = nm = n0 , maka S =
1 m ∑ Si . Vektor variansi sampel ke-i, m i =1
Tr ( Si2 ) konvergen dalam distribusi ke N ( µ , σ 2 ) di mana, menurut Djauhari
(2006), −1
2 ⎪⎧ ⎪⎫ 2 2 µˆ = ⎨1 + ⎬ Tr ( S ) adalah estimasi tak bias bagi µ = Tr ( Σ ) dan m n − 1 ( 0 ) ⎭⎪ ⎩⎪ −1
⎫ 8 ⎧⎪ 12 12 ⎪ + + 1 σˆ 2 = Tr ( S 4 ) adalah estimasi tak bias ⎨ 2 ⎬ n0 − 1 ⎪ m ( n0 − 1) {m ( n − 1)} ⎪ 0 ⎩ ⎭
bagi σˆ 2 . Populasi ke-i dikatakan memiliki matriks kovariansi yang berbeda
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ dari Σ bila Tr ( Si2 ) tidak berada di antara µˆ − ⎜ Z α ⋅ σˆ ⎟ dan µˆ + ⎜ Z α ⋅ σˆ ⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
3.2.1. Uji Hipotesis Melalui Determinan Matriks Kovariansi
Untuk melakukan pengujian berdasarkan determinan matriks kovariansi, penulis akan menggunakan pendekatan yang diberikan oleh Djauhari (2005). Berdasarkan pendekatan tersebut matriks kovariansi dari populasi ke-i berbeda dari Σ0 jika Si > Qα atau Si < Q 2
(1-
α 2
1−
α 2
di mana Qα adalah kuantil ke 2
)100 dari distribusi normal N (ξ ,ψ 2 ) . Taksiran bagi ξ dan ψ 2
(Djauhari (2005)) adalah
ξˆ = S
b1 b3
dan ψˆ = S
b2 b + b4 2 3
16
di mana:
b1 =
p ∏ (n − i) p i = 1 n − 1 ( )
b2 =
p p ⎡ p ⎤ − − + 2 − − n i n j n j ∏ ∏ ∏ ( ) ( ) ( ) ⎢ j =1 ⎥ 2p j =1 ⎣ ⎦ ( n − 1) i=1
b3 =
b4 =
1
1
(
p m ( n − 1) − i + 1 ∏ p 1 i = m ( n − 1)
(
p p ⎡ p ⎤ m ( n − 1) − i + 1 ⎢ ∏ m ( n − 1) − j + 3 − ∏ m ( n − 1) − j + 1 ⎥ ∏ 2 p i =1 j =1 ⎣ j =1 ⎦ m ( n − 1)
1
)
(
1
)
)
(
)
(
)
(
Pada taraf keberartian α, populasi ke-i dikatakan memiliki matriks kovariansi yang berbeda dengan Σ bila Si tidak berada di antara Q
1−
α 2
⎛ ⎞ = ξˆ − ⎜⎜ Z α ⋅ψˆ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠
⎛ ⎞ dan Qα = ξˆ + ⎜⎜ Z α ⋅ψˆ ⎟⎟ . 2 ⎝ 2 ⎠
17
)
