BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Struktur Aljabar 2.1.1
Definisi Struktur Aljabar Menurut Dr. Kusno Kromodihardjo (1988), yang dimaksud dengan suatu
struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatu komposisi biner atau lebih. Misalkan S adalah suatu himpunan yang dilengkapi dengan dua komposisi biner + dan *, maka S menjadi satu struktur aljabar dan diberi notasi (S, +, *).
2.1.2
Tabel Cayley Dibutuhkan suatu alat yang konkret untuk mendefinisikan komposisi biner
dalam suatu himpunan khususnya himpunan terhingga yaitu Tabel Cayley. Dengan tabel Cayley, komposisi biner dapat didefinisikan secara analitik (deskriptif) atau secara geometrik. Tabel Cayley adalah daftar yang dirancang oleh Arthur Cayley pada abad ke-19. Tabel 2.1 Tabel Cayley untuk Operasi Penjumlahan Modulo 4
+4
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
8
Dari tabel Cayley di atas, elemen yang dioperasikan adalah elemen di kolom abu-abu kiri 0 1 2 dengan operasi + 4 elemen di baris abu-abu atas 0 1 2. Kolom putih dan baris putih merupakan hasil biner antara masing-masing elemen pada himpunan. Terlihat bahwa 0 + 4 0 = 0, 0 + 4 1 = 1, 0 + 4 2 = 2, 1 + 4 0 = 1, 1 + 4 1 = 2,
1 + 4 2 = 0 dan seterusnya. Dalam sistem aljabar perlu diperhatikan bahwa operasi + 4 di atas belum tentu berarti operasi penjumlahan yang lazim digunakan dalam aritmatika, namun dapat berarti pengurangan, perkalian, atau lainnya sesuai dengan definisi yang diberikan pengguna. Tabel Cayley banyak digunakan dalam sistem aljabar karena penyusunannya dapat menggambarkan sifat-sifat grup. Sebagai contoh, operasi penjumlahan modulo 4 dari himpunan A = {0,1,2} merupakan grup abelian (komutatif) dengan melihat hasil bahwa hasil produk operasi pada Tabel 2.1 saling simetris terhadap sumbu diagonal utama tabel.
2.1.3
Sifat-Sifat Operasi Aljabar Menurut Connell (2004), operasi biner pada sistem aljabar memiliki sifat-
sifat yang digunakan untuk mengklasifikasikan sistem tersebut. A. Operasi Biner (tertutup) Misalkan A = {2,4,6,8,..} yaitu bilangan asli genap dan dipandang operasi +, yaitu operasi penjumlahan, maka operasi + merupakan operasi biner pada A karena jumlah dua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap dalam A.
9
(∀a, b ∈ A) a+b ∈ A Ö + tertutup B. Operasi Asosiatif Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat asosiatif jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ A berlaku (a*b)*c = a*(b*c).
(∀a, b, c ∈ A) (a*b)*c = a*(b*c) Ö * asosiatif C. Komutatif Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a,b ∈ A berlaku sifat a*b = b*a.
(∀a, b ∈ A) a*b = b*a Ö * komutatif D. Memiliki Elemen Identitas (Unsur Kesatuan) Unsur kesatuan atau elemen identitas adalah suatu elemen yang jika dioperasikan terhadap sembarang elemen tunggal dari sebuah himpunan akan menghasilkan elemen itu sendiri. Pada operasi biner *, suatu elemen e1 ∈ A disebut identitas (unkes) kiri jika untuk semua elemen a ∈ A berlaku e1*a = a. Sedangkan suatu elemen e2 ∈ A disebut identitas (unkes) kanan jika untuk semua elemen a ∈ A berlaku a*e2 = a. Jika suatu elemen e ∈ A merupakan identitas kiri dan sekaligus identitas kanan, maka e disebut elemen identitas. Dalam simbol matematika: e1 ∈ A adalah identitas kiri
Ù (∀a ∈ A) e1*a = a
e2 ∈ A adalah identitas kanan
Ù (∀a ∈ A) a*e2 = a
(∀a ∈ A) e*a = a*e = a Ö * memiliki elemen identitas
10
E. Memiliki Invers Invers suatu elemen adalah elemen yang jika dioperasikan terhadap elemen pertama akan menghasilkan elemen identitas. Pada operasi biner *, suatu elemen e1 ∈ A disebut invers kiri a jika untuk semua elemen a ∈ A berlaku e1*a = e. Sedangkan suatu elemen e2 ∈ A disebut invers kanan a jika untuk semua elemen a ∈ A berlaku a* e2 = e Jika ada suatu anggota himpunan A yang merupakan invers kiri sekaligus invers kanan elemen a, maka anggota tersebut disebut invers a (simbol a-1). Dalam simbol matematika: a-1 ∈ A adalah invers kiri
Ù (∀a ∈ A) a-1*a = e
a-1 ∈ A adalah invers kanan
Ù (∀a ∈ A) a*a-1 = e
(∀a ∈ A) a-1*a = a* a-1 = e Ö * memiliki invers dari a
2.1.4
Klasifikasi Struktur Aljabar Umum Struktur suatu sistem aljabar dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa
kategori berdasarkan sifat-sifat pada setiap operasi sebagai berikut. A. Grupoid Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar dan akan disebut grupoid jika operasi * merupakan operasi biner (tertutup). B. Semigrup Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut semigrup jika memenuhi kondisi-kondisi:
11
1. (A,*) merupakan operasi biner (tertutup) 2. (A,*) merupakan operasi asosiatif C. Monoid Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut monoid jika memenuhi kondisi-kondisi: 1. (A,*) merupakan semigrup 2. (A,*) memiliki elemen identitas D. Grup Misal (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut grup bila memenuhi kondisi-kondisi: 1. (A,*) merupakan monoid 2. Setiap elemen dalam A memiliki invers
2.1.5
Bentuk-Bentuk Grup Khusus Kategori-kategori seperti yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan
klasifikasi struktur aljabar secara umum. Kategori-kategori ini dapat dikelompokkan lagi ke dalam kategori-kategori khusus berdasarkan sifat yang lebih spesifik. Untuk grup sendiri terdapat beberapa jenis grup khusus yang dapat dilihat dengan menganalisis sifat-sifat tambahan pada sistem aljabarnya. Bentuk-bentuk khusus ini adalah sebagai berikut.
12
A. Grup Komutatif (Abelian) Misalkan (A,*) adalah suatu grup G, maka G disebut grup komutatif atau Abelian, jika ∀a, b ∈ G berlaku ab = ba atau dapat dikatakan memenuhi kondisikondisi: 1. (A,*) merupakan grup 2. (A,*) bersifat komutatif Contoh: Himpunan A = {0, 1, 2,3} dengan operasi penjumlahan modulo 4. Tabel 2.2 Operasi Penjumlahan Modulo 4
+4
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
Dengan pembuktian sifat akan didapatkan bahwa (A, + 4 ) memenuhi sifat-sifat grup abelian karena matriks pada tabel Cayley merupakan matrik yang simetris terhadap diagonal utama. B. Grup Siklik Suatu grup G disebut siklik jika untuk sejumlah a ∈ G sedemikian hingga setiap elemen x ∈ G dapat dinyatakan sebagai hasil operasi a dengan dirinya sendiri sebanyak n kali (n berhingga). Elemen a yang bersifat seperti itu disebut sebagai
13
generator. Jika G grup siklik dibangun oleh a, maka ditulis G=(a), elemenelemen tersebut dapat ditulis sebagai a −2 , a −1 , a 0 = e, a 1 , a 2 ,... Contoh: Himpunan A = {0, 1, 2} dengan operasi penjumlahan modulo 3. Tabel 2.3 Operasi Penjumlahan Modulo 3 +3
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Dengan pembuktian sifat akan didapatkan bahwa (A, + 3 ) memenuhi sifat-sifat grup siklik, yakni: 1. (A, + 3 ) bersifat biner (tertutup) 2. (A, + 3 ) bersifat asosiatif 3. (A, + 3 ) memiliki elemen identitas e = 0 4. Setiap elemen dalam A memiliki invers (0-1 = 0, 1-1 = 2, 2-1 = 1) Elemen 1 dan 2 pada himpunan A adalah generator untuk grup siklik. 0 = 1 +3 1 +3 1
n=3
0 = 2 +3 2 +3 2
n=3
1 = 1 +3 1 +3 1 +3 1
n=4
1 = 2 +3 2
n=2
n=2
2 = 2 +3 2 +3 2 +3 2
n=4
2
= 1 +3 1
14
C. Grup Periodik dan Aperiodik Definisi C.1 (i) Tingkat a = minimum {a | a ∈ N , a x = e} jika himpunan ≠ 0 (ii) Tingkat a = 0 (tak hingga) jika himpunan = 0 Tingkat suatu unsur dari suatu grup adalah bilangan asli terkecil yang bila dipangkatkan kepada unsur tersebut menghasilkan unsur kesatuan bila bilangan itu ada seperti dijelaskan pada pterhinggernyataan (i). Pernyataan (ii) menunjukkan bila tidak ada satu bilangan asli pun yang dipangkatkan pada suatu unsur a menghasilkan unsur kesatuan maka dikatakan tingkat a tak hingga. Tingkat (atau ordo) dari a diberi notasi t (a). Bila ada suatu bilangan asli
n ∋ a n = e, dapat dikatakan tingkat dari a atau tingkat a terhingga. Bila tidak demikian maka dikatakan tingkat a tak hingga. (Kusno, 1988) Definisi C.2 (Aperiodik, Periodik, Campuran) Suatu grup G dinamakan periodik atau berkala jika tingkat setiap unsurnya terhingga dan dinamakan aperiodik jika setiap unsurnya selain unsur kesatuan mempunyai tingkat tak hingga. Akan dinamakan campuran jika sedikitnya mempunyai satu unsur dengan tingkat tak hingga dan satu unsur ≠ e dengan tingkat terhingga. Akibat definisi di atas, terbentuk 2 pernyataan (i) Setiap grup terhingga adalah periodik (ii) Jika suatu grup aperiodik atau campuran maka grup tersebut tak hingga Berhadapan dengan itu, grup tak hingga tidak mesti aperiodik. Bisa saja aperiodik, bisa campuran, dan bisa pula periodik. Jadi tak hingga hanya
15
merupakan syarat perlu agar suatu grup aperiodik atau campuran. Istilah aperiodik tidak berarti tidak periodik, bukan ingkaran dari periodik. Tidak periodik berarti bisa aperiodik tetapi bisa pula campuran. Sebaliknya, tidak aperiodik tidak mesti periodik, bisa periodik dan bisa pula campuran. Oleh karenanya istilah aperiodik tidak dapat diganti dengan tak berkala. (Kusno, 1988) Contoh: Pandangan grup ( R,+ S ) yaitu grup dari semua bilangan nyata terhadap penambahan sehari-hari. Unsur kesatuannya 0 dan notasi operasinya +. Disini notasi a n artinya: a + a + a.... + a sebanyak n-suku. Jelas bahwa
∀x ∈ R dengan X ≠ 0, t ( x) = 0, sedangkan t (0) = 1 karena 0 unsur kesatuannya. D. Subgrup Normal Definisi D.1 (Koset) Di dalam suatu grup G terdapat subgrup H untuk a, b ∈ G , dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo H dan ditulis a ≡ b mod H, bila dan hanya bila
ab −1 ∈ H. Relasi a ≡ b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk Ha = {ah, h ∈ H } disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan Ha = {ah, h ∈ H } disebut koset kiri terhadap subgrup H. Unsur a disebut generator dari koset tersebut. Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G terdapat himpunan koset kanan K = {Ha | a ∈ G} dan himpunan koset kiri L = {aH | a ∈ G}. Catatan
: (i) Banyak koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu subgrup H selalu sama dinamakan indeks subgrup H di G yang dinotasikan dengan [G:H]
16
(ii) Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G, yaitu untuk setiap a, b ∈ G berlaku Ha = Hb atau Ha ∩ Hb = Ø untuk
U Ha = G.
a∈G
Definisi D.2 (Subgrup) Himpunan bagian dari suatu grup yang merupakan grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam grup tersebut dinamakan subgrup. Berikut adalah beberapa teorema mengenai subgrup. Teorema D.1 : Misalkan G adalah sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G. S dinamakan suatu subgrup dari G jika S merupakan suatu grup terhadap operasi yang ada dalam G. Teorema D.2 : G sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G yang tak kosong, maka S merupakan suatu grup dari G jika dan hanya jika (i) x dan y ∈ S (ii) x ∈ S → x −1 ∈ S Teorema D.3 : G suatu grup dan S ⊆ G dengan S ≠ 0. S suatu subgrup dari G jika dan hanya jika ∀x, y ∈ S berlaku xy −1 ∈ S . Dari ketiga teorema di atas, jika S adalah subgrup dari G maka dapat dinotasikan
H ≤ G. Jika H adalah proper subgrup dari G, yaitu H ≠ G, maka dituliskan H < G. Definisi D.3 (Subgrup Normal) Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgrup H dikatakan subgrup normal dari G bila gH = Hg untuk semua g ∈ G maka dapat dibuktikan bahwa
17
setiap koset kiri dari H dalam G sama dengan koset kanan dari H dalam G. Berikut adalah teorema yang berlaku pada subgrup normal. (i)
Subgrup H adalah normal di grup G
(ii)
Untuk semua g ∈ G, g −1 Hg ⊂ H
(iii) Untuk semua g ∈ G, g −1 Hg = H Contoh: Misalkan G = {1,2,3,4,5,6} adalah suatu grup dan H = {1,6} adalah merupakan subgrup dari G dengan operasi × 7 . Berikut tabel Cayley dari kedua himpunan. Tabel 2.4 Operasi Perkalian Modulo 7 ×7
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
Tabel 2.5 Operasi Penjumlahan Modulo 7 ×7
1
2
1
1
2
2
2
1
18
Invers dari G
−1
1 =1 2 −1 = 4 3−1 = 5 4 −1 = 2 5 −1 = 3 6 −1 = 6
Terbukti bahwa H subgrup dari G atau dapat dinotasikan dengan H < G. Pembuktian selanjutnya:
1 × 7 H × 7 1 −1 = 1 × 7 1 × 7 H 2 ×7 H ×7 2
−1
3 × 7 H × 7 3 −1
=H
= 2 ×7 4 ×7 H = H = 3 ×7 5 ×7 H = H
4 × 7 H × 7 4 −1 = 4 × 7 2 × 7 H = H 5 × 7 H × 7 5 −1 = 5 × 7 3 × 7 H = H 6 × 7 H × 7 6 −1 = 6 × 7 6 × 7 H = H Terbukti bahwa H subgrup normal dari G sesuai dengan teorema di atas. Dinotasikan dengan H < G. E. Grup Faktor (Grup Kuosien) Definisi E.1 (Lagrange) Bila G adalah suatu grup terhingga dan H subgrup dari G, maka G / H = [G : H ] yaitu order dari subgrup H membagi order dari G. Bukti: Misalkan n adalah order dari G dan k adalah order dari H. Maka setiap koset kanan dari H dalam G mempunyai order sebanyak k juga. Misal r adalah banyak koset kanan yang berlainan dari H dalam G. Koset kanan dari H dalam G membentuk partisi dari G, sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari kosetkoset yang lepas (disjoint) yaitu G = a1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ... ∪ a r H .
19
Oleh
karena
koset
kanan
merupakan
partisi
dari
G
maka
G =| a1 H | + | a 2 H | +...+ | a r H | = H + H + ... + H = k + k + ... + k = kr Diperoleh n = kr sehingga k membagi n. Definisi E.2 (Grup Faktor)
Misalkan N adalah subgrup normal dari grup G, maka himpunan semua koset kanan dari N dalam G (dinotasikan dengan G / N ) terhadap operasi perkalian himpunan
merupakan
suatu
grup
dan
G/N
disebut
grup
faktor.
G / N = {aN | a ∈ G}, didefinisikan operasi pada G / N , aN .bN = ab dengan unsur aN disebut koset-koset dari N. (Fraleigh, 1997) Teorema :
Himpunan G / N adalah grup dan disebut grup faktor di bawah operasi perkalian.
Operasi perkaliannya didefinisikan a.bN = ab.N Bukti : -
Menurut definisi operasi, pada G / N tertutup di bawah operasi perkalian asosiatif (aN.bN ).cN = (ab) N .cN = ((ab)c) N = aN ((bc) N ) = aN (bN.cN ).
-
Unsur identitas adalah koset N sebab aN .N = aNeN = (ae) N = aN dan
N = aN = eN .N = (ea) N = aN . -
Invers dari aN adalah a −1 N sebab aN .a −1 N = (aa −1 ) N = eN = N
Terbukti bahwa G / N adalah grup.
20
Contoh: Misalkan G = {1,2,3,4,5,6} adalah suatu grup dan H = {1,6} adalah merupakan subgrup dari G, dengan operasi ×7 . (Contoh soal ini sama seperti contoh soal pada subgrup normal. Digunakan tabel Cayley yang sama) 1 × 7 H × 7 = 1 × 7 {1,6} = {1,6}
Koset kiri = koset kanan
2 × 7 H × 7 = 2 × 7 {1,6} = {2,5} 3 × 7 H × 7 = 3 × 7 {1,6} = {3,4}
G = (1×7 H ) ∪ (2 ×7 H ) ∪ (3 ×7 H ) Sehingga tampak seperti tabel berikut. Tabel 2.6 Operasi Perkalian
*
1 ×7 H
2 ×7 H
3 ×7 H
1 ×7 H
1 ×7 H
2 ×7 H
3 ×7 H
2 ×7 H
2 ×7 H
3 ×7 H
1 ×7 H
3 ×7 H
3 ×7 H
1 ×7 H
2 ×7 H
( 2 × 7 H ) * ( 2 × 7 H ) = 4 × 7 H × 7 H = 4 × 7 {1,6} × 7 {1,6} = 4 × 7 {1, 6 , 6 ,1} = 4 × 7 {1, 6 } = { 4 , 3} = 3 × 7 {1, 6 } = 3 × 7 H
( 2 × 7 H ) * ( 3 × 7 H ) = 6 × 7 H × 7 H = 6 × 7 {1,6} = {6,1} = H ( 3 × 7 H ) * (3 × 7 H ) = 2 × 7 H × 7 H = 2 × 7 {1,6} = 2 × 7 H
Maka terbentuk grup
factor atau kuosien dengan yang bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unkes 1 × 7 H, dan memiliki invers (1 ×7 H ) −1 = 1 ×7 H −1 ( 2 ×7 H ) = 3 ×7 H
(3 ×7 H ) −1 = 2 ×7 H
21
F. Homomorfisma Grup
Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Berikut akan dibahas homomorfisma grup beserta sifatsifatnya. Definisi F.1 (Homomorfisma)
Diketahui (G,*) dan (G ' ,•) merupakan grup. Pemetaan ϕ : G → G ' disebut homomorfisma
jika
dan
hanya
jika
untuk
a, b ∈ G berlaku
setiap
ϕ ( a * b) = ϕ ( a ) • ϕ (b). Definisi F.2
-
Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma
-
Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma
-
Suatu homomorfisma yang bijektif disebut isomorfisma
Definisi F.3
Suatu homorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan suatu endomorfisma yang dibjektif dinamakan automorfisma. Contoh: Ambil grup G1 = ( R + , x s ) yaitu grup multiplikatif dari himpunan semua bilangan nyata positif dan grup G2 = ( R + , x s ) yaitu grup aditif dari himpunan semua bilangan nyata. Bangun
pemetaan
maka
ρ : G1 → G2
sebagai
∀x, y ∈ G1 = R +
selanjutnya
ρ ( x) = log x
akan
ρ ( xy ) = log( xy ) = log x + log y = ρ ( x) + ρ ( y ). Ini homomorfisma;
berikut:
ρ
berarti
injektif
berlaku bahwa
ρ
dan
surjektif,
suatu
22
sebab ρ ( x ) = ρ ( y ) ⇒ log x = log y ⇒ x = y; selain itu ∀x'∈ G2 ∃x ∈ G1 sedemikian hingga ρ ( x) = x' yaitu bila diambil x = 10 x. Jadi ρ suatu isomorfisma. Lemma F.1
Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup, maka keempat sifat berikut berlaku: (i)
Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ (e) merupkan elemen identitas e' di G’.
(ii)
Jika a ∈ G maka ϕ (a −1 ) = ϕ (a) −1
(iii)
Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ (H ) merupakan subgrup pada G’.
(iv)
Jika K’ merupakan subgrup pada G’, maka ϕ −1 ( K ' ) merupakan subgrup pada G.
Definisi F.4 (Kernel)
Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' homomorfisma grup. Himpunan {a ∈ G | ϕ ( a ) = e'} dinamakan kernel ϕ dari dan dinotasikan ker (ϕ ).
Lemma F.2
Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan
ϕ merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker (ϕ ) = {e}. Bukti ( ⇒ )
Menurut Lemma G.1 (i) berakitab ϕ (e) = e' dan karena
ϕ merupakan pemetaan injektif maka hanya elemen e di G yang dipetakan ke elemen e’ di G’. Jadi ker (ϕ ) = {e}.
23
(⇐)
Diandaikan pemetaan ϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat a, b ∈ G dengan a ≠ b dan ϕ (a ) = ϕ (b). Karena ϕ ( a ) = ϕ (b) maka
ϕ (a)ϕ (b) −1 = e −1 .
Menurut
Lemma
ϕ (a)ϕ (b) −1 = ϕ (a)ϕ (b −1 ) = ϕ (ab −1 ) = e'.
G.1
(ii)
Karena
diperoleh diketahui
ker (ϕ ) = {e} akibatnya ab −1 = e dan dengan kata lain a = b. Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa a ≠ b. Jadi, pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif. Definisi F.5 (Monomorfisma)
Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan
ϕ disebut monomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ suatu pemetaan satu-satu dari G ke G’. Dengan kata lain, jika ϕ ( x ) = ϕ (y) maka x = y untuk x, y ∈ G. Definisi F.6 (Epimorfisma)
Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan
ϕ disebut epimorfisma grup apabila setiap g ∈ G ' ada g ∈ G sehingga ϕ ( g ) = g '. Dengan kata lain, setiap elemen G’ mempunyai kawan elemen G. Dapat pula dikatakan bahwa homomorfisma ϕ dari G onto G atau disingkat homomorfisma
ϕ onto. Definisi F.7 (Isomorfisma)
Diketahui G, G’ grup dan ϕ : G → G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan
ϕ disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan injektif (satu-satu). Grup G dan G’ dikatakan isomorphic jika ada isomorfisma ϕ dari G
24
ke G’ dan dinotasikan dengan G ≅ G '. Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G’ isomorphic adalah: 1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G’. 2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada. 3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorfisma. Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic, pada prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorfisma yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G’. Namun tidak mungkin dicoba setiap kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak dapat dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi kedua grup.
2.2 Interaksi Manusia dan Komputer
Definisi dari interaksi manusia dan komputer adalah disiplin ilmu yang menekankan pada aspek desain, evaluasi, dan implementasi dari sistem komputer interaktif untuk kegunaan manusia dengan mempertimbangkan fenomena-fenomena disekitar manusia itu sendiri. Dalam interaksi manusia dan komputer itu sendiri interface berperan penting sebagai penghubung antara kedua sistem. Oleh karena itu dibutuhkan user interface untuk memudahkan pengguna mengetahui apa yang terjadi pada sistem yang digunakannya. Beberapa aspek utama dalam perancangan sebuah interface adalah : 1. Metodologi dan proses perancangan interface 2. Metode implementasi interface
25
3. Metode evaluasi dan perbandingan interface. 4. Pengembangan new interface. 5. Mengembangkan sebuah deskripsi dan prediksi atau teori dari sebuah
new
interface. Berikut adalah 8 aturan emas dalam merancang desain interface yang dikemukakan oleh Shneiderman, seorang profesor dalam bidang Interaksi Manusia dan Komputer: 1. Konsistensi 2. Memungkinkan pengguna (yang sudah ahli) untuk menggunakan shortcut. 3. Memberikan umpan balik yang informatif. Misalnya muncul suatu notification ketika terjadi kesalahan saat melakukan masukan. 4. Merancang dialog untuk menghasilkan suatu penutupan yaitu berupa umpan balik yang informatif akan meberikan indikasi bahwa cara yang dilakukan sudah benar dan dapat mempersiapkan kelompok tindakan berikutnya. 5. Memberikan penanganan kesalahan yang sederhana jika terjadi kesalahan, sistem dapat mendeteksi kesalahan dengan cepat dan memberikan mekanisme yang sedehana dan mudah dipahami untuk penanganan kesalahan. 6. Mudah kembali ke tindakan sebelumnya. 7. Mendukung tempat pengendali internal (internal locus of control) sehingga pengguna menjadi inisiator daripada responden. 8. Mengurangi beban ingatan jangka pendek. 2.3 Bahasa Pemrograman Java 2.3.1
Latar Belakang Java
Java adalah sebuah teknologi yang diperkenalkan oleh Sun Microsystems pada pertengahan tahun 1990an. Awalnya Java diciptakan pada tahun 1995 oleh
26
Patrick Naughton, Mike Sheridan, James Gosling, dan Bill Joy beserta programmer dari Sun Microsystems. Nama Java terinspirasi ketika mereka sedang menikmati secangkir kopi tubruk yang berasal dari Pulau Jawa. Akhirnya disepakati untuk memberikan nama bahasa pemrograman tersebut dengan nama Java. Menurut definisi dari Sun Microsystems, Java adalah nama untuk sekumpulan teknologi untuk membuat dan menjalankan perangkat lunak pada komputer standalone atau pun pada lingkungan jaringan. 2.3.2
Teknologi Java
Kebanyakan orang menyebut Java sebagai sebuah teknologi dibandingkan bahasa pemrograman karena Java lebih lengkap dibandingkan sebuah bahasa pemrograman konvensional. Berikut ulasan lengkap mengenai teknologi Java. •
Sebuah Bahasa Pemrograman Sebagai sebuah bahasa pemrograman, Java dapat membuat seluruh bentuk aplikasi, desktop, website, dan lainnya sebagaimana dibuat dengan menggunakan bahasa pemrograman konvensional lain. Java adalah bahasa pemrograman yang berorientasi objek (OOP) dan dapat dijalankan pada berbagai platform sistem operasi. Perkembangan Java tidak hanya terfokus pada satu sistem operasi, tetapi dikembangkan untuk berbagai sistem operasi dan bersifat open source.
•
Sebuah Development Environment Sebagai sebuah peralatan pembangunan, teknologi Java menyediakan banyak tools seperti compiler, interpreter, penyusun dokumentasi, paket kelas, dan sebagainya.
27
•
Sebuah Aplikasi Aplikasi dengan teknologi Java secara umum adalah aplikasi serba guna yang dapat dijalankan pada seluruh mesin yang memiliki Java Runtime Environment (JRE)
•
Sebuah Deployment Environment Terdapat dua komponen utama dari Deployment Environment. Yang pertama adalah JRE, yang terdapat pada paket Java Development Kit (JDK), mengandung kelas-kelas untuk semua paket teknologi Java yang meliputi kelas dasar dari Java, komponen GUI, dan sebagainya. Komponen yang lain terdapat pada Website Browser. Hampir seluruh Website Browser komersial menyediakan interpreter dan runtime environment dari teknologi Java.
2.3.3
Karakteristik Java
Berdasarkan white paper resmi dari Sun Microsystems, Java memiliki karakteristik sebagai berikut. 1. Sederhana karena menggunakan sintaks mirip C++ 2. Berorientasi objek yang membuat program dapat dibuat secara modular dan dapat dipergunakan kembali. 3. Java dibuat sehingga aplikasi terdistribusi secara mudah dengan adanya libraries networking yang terintegrasi. 4. Java dijalankan menggunakan interpreter yaitu Java Virtual Machine (JVM) sehingga source code Java yang telah dikompilasi menjadi Java bytecodes yang dapat dijalankan pada platform yang berbeda-beda.
28
5. Compiler Java mempunyai kemampuan mendeteksi error secara lebih teliti dibandingkan pemrograman lain. Selain itu, Java mempunyai Runtime Exception Handling untuk membantu mengatasi error pada pemrograman. 6. Java memiliki beberapa mekanisme keamanan untuk menjaga aplikasi tidak digunakan untuk merusak sistem komputer yang menjalankan aplikasi tersebut. 7. Program Java merupakan platform independent. Program cukup mempunyai satu buah versi yang dapat dijalankan pada platform berbeda dengan Java Virtual Machine (JVM). 8. Source code maupun program Java dapat dengan mudah dibawa ke platform yang berbeda-beda tanpa harus dikompilasi ulang. 9. Performance Java meskipun kurang tinggi namun dapat ditingkatkan menggunakan kompilasi Java lain seperti buatan Inprise, Microsoft, atau Symantec yang menggunakan Just In Time Compilers (JIT). 10. Java mempunyai kemampuan untuk membuat suatu program yang dapat melakukan beberapa pekerjaan secara sekaligus dan simultan. 11. Java didesain sehingga dapat dijalankan pada lingkungan yang dinamis. Perubahan pada suatu kelas dengan menambahkan properties ataupun metode dapat dilakukan tanpa menganggu program yang menggunakan kelas tersebut.
29
2.3.4
Fase Pemrograman Java
Gambar 2.1 Aliran Proses Kompilasi dan Eksekusi
Langkah pertama dalam pembuatan sebuah program berbasis Java adalah menuliskan kode program pada text editor. Contoh text editor yang dapat digunakan antara lain: notepad, vi, emacs dan lain sebagainya. Kode program yang dibuat kemudian tersimpan dalam sebuah berkas berekstensi .java. Setelah membuat dan menyimpan kode program, kompilasi file yang berisi kode program tersebut dengan menggunakan Java Compiler. Hasilnya adalah berupa berkas bytecode dengan ekstensi .class. Berkas yang mengandung bytecode tersebut kemudian akan dikonversikan oleh Java Interpreter menjadi bahasa mesin sesuai dengan jenis dan platform yang digunakan. Table 2.7 Fase Pemrograman Java Proses Tool Hasil Menulis kode Text Editor Berkas program berekstensi .Java Kompilasi Program Java compiler Berkas berekstensi .class (Java bytecodes) Menjalankan Java Interpreter Program output program
30
2.4 Rekayasa Piranti Lunak
Rekayasa Piranti Lunak (RPL) adalah suatu disiplin ilmu yang membahas semua aspek produksi perangkat lunak, mulai dari tahap awal yaitu analisa kebutuhan pengguna, menentukan spesifikasi dari kebutuhan pengguna, disain, pengkodean, pengujian sampai pemeliharaan sistem setelah digunakan. RPL tidak hanya berhubungan dengan cara pembuatan program komputer. Pernyataan ”semua aspek produksi” pada pengertian di atas, mempunyai arti semua hal yang berhubungan dengan proses produksi seperti manajemen proyek, penentuan personil, anggaran biaya, metode, jadwal, kualitas sampai dengan pelatihan pengguna merupakan bagian dari RPL. 2.4.1
Ruang Lingkup
Sesuai dengan definisi yang telah disampaikan sebelumnya, maka ruang lingkup RPL dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 2.2 Ruang Lingkup RPL (Abran et.al., 2004)
-
Software Requirements berhubungan dengan spesifikasi kebutuhan dan persyaratan perangkat lunak
- Software Design mencakup proses penampilan arsitektur, komponen, antar muka, dan karakteristik lain dari perangkat lunak
31
- Software Construction berhubungan dengan detil pengembangan perangkat lunak, termasuk algoritma, pengkodean, pengujian dan pencarian kesalahan -
Software Testing meliputi pengujian pada keseluruhan perilaku perangkat lunak
-
Software Maintenance mencakup upaya-upaya perawatan ketika perangkat lunak telah dioperasikan
-
Software Configuration Management berhubungan dengan usaha perubahan konfigurasi perangkat lunak untuk memenuhi kebutuhan tertentu
-
Software
Engineering
Management
berkaitan
dengan
pengelolaan
dan
pengukuran RPL, termasuk perencanaan proyek perangkat lunak -
Software Engineering Tools and Methods mencakup kajian teoritis tentang alat bantu dan metode RPL
-
Software Engineering Process berhubungan dengan definisi, implementasi pengukuran, pengelolaan, perubahan dan perbaikan proses RPL
-
Software Quality menitik beratkan pada kualitas dan daur hidup perangkat lunak
2.4.2
Metode Rekayasa Perangkat Lunak
Pada rekayasa perangkat lunak, banyak model yang telah dikembangkan untuk membantu proses pengembangan perangkat lunak. Model-model ini pada umumnya mengacu pada model proses pengembangan sistem yang disebut System Development Life Cycle (SDLC) seperti terlihat pada gambar berikut ini.
32
Gambar 2.3 System Development Life Cycle (SDLC)
SDLC merupakan serangkaian kegiatan yang dilakukan selama masa pengembangan software. Pemakaian metode SDLC yang cocok ditentukan oleh beberapa aspek seperti jenis bahasa pemrograman yang digunakan atau kompleksitas aplikasi. Berikut adalah beberapa hal yang perlu diperhatikan selama proses pengembangan sistem. •
Kebutuhan terhadap definisi masalah yang jelas. Input utama dari setiap model pengembangan perangkat lunak adalah pendefinisian masalah yang jelas. Semakin jelas akan semakin baik karena akan memudahkan dalam penyelesaian masalah.
•
Tahapan-tahapan
pengembangan
yang
teratur.
Meskipun
model-model
pengembangan perangkat lunak memiliki pola yang berbeda-beda, biasanya model-model tersebut mengikuti pola umum analysist – design – coding – testing - maintenance •
Stakeholder berperan sangat penting dalam keseluruhan tahapan pengembangan. Stakeholder dalam rekayasa perangkat lunak dapat berupa pengguna, pemilik,
33
pengembang, pemrogram dan orang-orang yang terlibat dalam rekayasa perangkat lunak tersebut. •
Dokumentasi merupakan bagian penting dari pengembangan perangkat lunak. Masing-masing tahapan dalam model biasanya menghasilkan sejumlah tulisan, diagram, gambar atau bentuk-bentuk lain yang harus didokumentasi dan merupakan bagian tak terpisahkan dari perangkat lunak yang dihasilkan.
2.4.3 Tahapan Rekayasa Perangkat Lunak
Meskipun dalam pendekatan berbeda-beda, namun model-model pendekatan memiliki kesamaan, yaitu menggunakan pola tahapan analysist – design – coding(construction) – testing – maintenance. 1. Analisis sistem adalah sebuah teknik pemecahan masalah yang menguraikan sebuah sistem menjadi komponen-komponennya dengan tujuan mempelajari seberapa bagus dan baik komponen-komponen tersebut bekerja dan berinteraksi untuk meraih tujuan. Analisis mungkin adalah bagian terpenting dari proses rekayasa perangkat lunak karena semua proses lanjutan akan sangat bergantung pada baik atat tidaknya hasil analisis. 2. Disain perangkat lunak adalah tugas, tahapan atau aktivitas yang difokuskan pada spesifikasi detil dari solusi berbasis komputer. Disain perangkat lunak sering juga disebut sebagai physical design. Jika tahapan analisis sistem menekankan pada masalah bisnis (business rule), maka sebaliknya disain perangkat lunak fokus pada sisi teknis dan implementasi sebuah perangkat lunak.
34
Output utama dari tahapan disain perangkat lunak adalah spesifikasi disain. Spesifikasi ini meliputi spesifikasi disain umum yang akan disampaikan kepada stakeholder sistem dan spesifikasi disain rinci yang akan digunakan pada tahap implementasi. Spesifikasi disain umum hanya berisi gambaran umum agar stakeholder sistem mengerti akan seperti apa perangkat lunak yang akan dibangun. Spesifikasi disain rinci atau kadang disebut disain arsitektur rinci perangkat lunak diperlukan untuk merancang sistem sehingga memiliki konstruksi yang baik, proses pengolahan data yang tepat dan akurat, bernilai, memiliki aspek user friendly dan memiliki dasar-dasar untuk pengembangan selanjutnya. Desain arsitektur ini terdiri dari desain database, desain proses, desain user interface
yang mencakup desain
hardware, software dan jaringan.
input,
output form dan report, desain
Desain proses merupakan kelanjutan dari
pemodelan proses yang dilakukan pada tahapan analisis. 3. Konstruksi adalah tahapan menerjemahkan hasil disain logis dan fisik ke dalam kode-kode program komputer. 4. Pengujian
sistem
melibatkan
semua
kelompok
pengguna
yang
telah
direncanakan pada tahap sebelumnya. Pengujian tingkat penerimaan terhadap perangkat lunak akan berakhir ketika dirasa semua kelompok pengguna menyatakan bisa menerima perangkat lunak tersebut berdasarkan kriteria-kriteria yang telah ditetapkan. 5. Perawatan dan Konfigurasi. Ketika sebuah perangkat lunak telah dianggap layak untuk dijalankan, maka tahapan baru menjadi muncul yaitu perawatan perangkat lunak.
