BAB 2. DETERMINAN MATRIKS
DETERMINAN MATRIKS
1. Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan. A=
a11 a12 a21 a22
Det(A) = a11 a22 – a12 a21
Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?
DETERMINAN MATRIKS Orde 2x2
DETERMINAN MATRIKS Orde 3x3 1. Metode Sarrus
2. Row Reduction Method 3. Metode Ekspansi Kofaktor
DETERMINAN MATRIKS Orde >3x3 1. Row Reduction Method
2. Metode Ekspansi Kofaktor
Metode Sarrus
Metode Sarrus
Row Reduction Method
Row Reduction Method dapat dilakukan untuk menghitung determinan dengan memperhatikan sifat-sifat determinan.
SIFAT-SIFAT DETERMINAN 1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |AT| = |A|
|A| =
7 3 4 2
|AT| =
= 26
7 4 3 2
= 26
Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom. 2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0).
2 1
3
det(B) = 0 0 0 = 0 7 6
5
2
det(C) = 6 7
2 0 5
0=0
8 0
SIFAT-SIFAT DETERMINAN 3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A |A| =
2 3
1 4
2 1 = 35 = 7 |A| 21 28
Jika baris kedua dikalikan dengan 7
|A| = 5 Akibat sifat ini :
2 1 =7 21 28
2 3
1
= 7 (5) = 35
4
Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.
9 6 12 1 2 1 1
3 2
1 =3 1 2 2 1 1
4 1 2
2
4
3
8
1
12
1
2
1 =4 3 2
1
1 2 3
1 1 2
SIFAT-SIFAT DETERMINAN 4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula.
7
5
2
31
3
2
Baris pertama ditukar baris kedua 7
3 5
= – 31
5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
1 1
7 7
2 2
=0
2
3
3 0
1 2 3
=0
SIFAT-SIFAT DETERMINAN 6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).
1 1
2
1
1
4
2
2
1
6
1
3
1
2
1
1
|B| =
Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0
7. Determinan dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.
8
5
9
6
5
3 9
5 5
4 1 6
3 4
5 6
=
=
5
4
9
6
5
5
5
6
+
+
3
1
9
6
3
5
4
6
SIFAT-SIFAT DETERMINAN 8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.
2 3 1 4
11
Jika k2 3k1 Jika b1 – b2
2
9
1 1 3 1 1
4
Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan
11 11
9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya.
3
7 2
0
1 3 = (3)(-1)(5) = - 15
0
0
5
3
0
0 0
0
2 0 0
1
1 4 0
0
0
3 1
= (-3)(-2)(4)(1) = 24
Row Reduction Method
Row Reduction Method Contoh : Gunakan sifat determinan untuk menghitung :
1
2
3
2
5
4
2
1
1
2 2
0
1 2
0
0
b2 + 3b1
1
1
2 2
0
1 2
2
1 1
b3 – 2 b1
1
2
2
0
1
2
0
3
= (1)(-1)(3) = - 3
3
Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9
3
b3 + 3 b2
Row Reduction Method
Hitunglah Determinan matriks berikut dengan metode Sarrus dan Row Reduction Method……
Metode EKSPANSI KOFAKTOR
Metode EKSPANSI KOFAKTOR Misalkan
a11 a12 ... a1n A
a 21 a 22 ... a 2 n :
:
:
a n1 a n 2 ... a nn
Beberapa definisi yang perlu diketahui : • Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh : A
2
1
0
1
2
1
0
1
2
1
2
maka M 13
1 0
1 19
Metode EKSPANSI KOFAKTOR
Metode EKSPANSI KOFAKTOR •
Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij Contoh : A
2
1
0
1
2
1
0
1
2
1
2 1
maka C21
1
0
1
2
= (– 1)3 .2 =–2 21
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn Contoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : A
2
1
0
1
2
1
0
1
2 22
Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
A
2
1
0
1
2
1
0
1
2
3
det( A)
a3 j c3 j j 1
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 0 1 ( 1) 3
=0–2+6 =4
2
2 1
0 1
2 ( 1) 3
3
2
1
1
2
23
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 A
2
1
0
1
2
1
0
1
2
3
det( A)
ai 3ci 3 i 1
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33 0 1 ( 1) 2
3
2
1
0
1
2 ( 1)3
3
2
1
1
2
=0–2+6 =4 24
Sehingga matriks kofaktor dari A :
C
-1
-1
2
2
1
-2
1
1
-1
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
adj( A)
CT
-1
2
1
-1
1
1
2
-2
-1
25
Adjoin Matriks
Adjoin Matriks
Strategi menghitung determinan : 1.
Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor).
2.
Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana.
3.
Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol.
4.
Ulangai langkah 1, dan seterusnya
2 Hitung determinan dari : E =
1
1
1
5
4
3 1 2
Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua :
2 |E| =
1 5
1 1
3 1
4
K2 + K1
2
2
3
1
0
5
9
3 1 2
K3 – K1
2
3
1
0
5
9
5 0 7
|E| = e21 C21 + e22 C22 + e23 C23 |E| = e21 C21 + 0 + 0 |E| = (1) (-24) = - 24
C21 = - M21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24
Berapakah determinan dari F =
1
3
2
0
4
5
1 1
2
Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :
1 |F| =
0 1
3 4 1
2
B3 + B1
5 2
Det(F) = f11 C11 = (1) (6) = 6
1 0 0
3 4 2
2 5 4
2
Berapakah determinan dari G =
1
2 1 3
1
3
3
1
4
2
1
1
2
0
1
Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga :
2 Det(G) =
2 1 3
1
1
3
3
1
4 B2 + B1
2
1
1
2
0
1
Det(G) = g13 C13 = g13 M13 = (-1)
2
1
0
4
0
7
1
2
1
1
3
2
1
0
0
4
7
3
3
4
3
2
3
B3+B1
1
1
0
4
0
7
3
3
0
4
3
B3 – B2 (-1)
1
Det(G) = (-1) g21 C21 = (-1) g21 (- M21) = g21 M21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)} Det(G) = (3) (15) = 45.
2
1
2
3
0
1
0
4
7
3
3
4
0
5
5
Matriks Kofaktor A & Matriks AdjA Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij, maka matriks C11 C21 . . Cn1
C12 ... C1n C22 ... C2n . . . . Cn2 ... Cnn
Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A)
Matriks Invers & Matriks Adjoin • Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka A-1 = adj (A) / det (A)
Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A
1 A=
2 3
2 1
1
1 0
2 C11 C 21 C31
(a) adj(A) = KT =
C11 = M11 = 2
C21 = -M21 = 4
C31 = M31 = -1
C12 = -M12 = - 5
C22 = M22 = -1
C32 = -M32 = 7
C13 = M13 = - 1
C23 = -M23 = -2
C33 = M33 = 5
C12 C 22 C32
C13 C 23 C33
T
=
C11 C12 C13
C21 C22 C23
C31 C32 C33
(b) Det(A) = a11 C11 + a12 C12 + a13 c13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9 A adj(A) = ?
1
2 3
2
4
9 0 0
1
2 1
1
5
1 7
1 0
2
1
2 5
=
0 9 0 0 0 9
1 0 0 = 9
0 1 0 0 0 1
= |A| I
=
2
4
1
5
1 7
1
2 5
Adj(A) A = ?
2
4
1
1
2 3
5
1 7
2 1
1
1
2 5
1 0
2
1 0 0
9 0 0 =
0 9 0
= 9
0 0 9
Sifat : 1. A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2. adj(AB) = adj(B) adj(A)
0 1 0 0 0 1
= |A| I
Metode Crammer • Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga IAI ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai jawab tunggal. Jawabnya adalah :
x1
A1 , A
x2
A2 A
, ...........,
Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan unsur-unsur dalam kolom ke j dari A dengan unsur-unsur dalam matriks:
An
xn
A
B
b1 b2 bn
Metode Crammer Contoh Diketahui
: 2x 5 y 9 x 2y 0 Bentuk matriksnya adalah : 2 -5 x 1 2 y
9 maka 0
det(A)
2 -5 1 2
det(A 2 )
2 9 1 0
9 ; det(A1 )
9 0
5 18; 2
9
18 Sehingga : x 2 dan y 9 Jadi solusinya adalah {2,-1}
-9 9
1