Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan Penafsiran secara geometris. (2) Pertemuan II: Bentuk kutub, Pangkat, dan Akar. (3) Pertemuan III: Pengertian-pengertian topologis. Di dalam Kalkulus telah diperkenalkan sistem bilangan real R beserta operasioperasi hitung dan relasi urutan yang berlaku di dalamnya. Karena untuk setiap x ∈ R, x2 ≥ 0, maka mudah dipahami bahwa persamaan x2 + 1 = 0
(1.1)
tidak mempunyai penyelesaian di dalam R. Dari permasalahan ini, kemudian muncul pemikiran untuk mengkonstruksikan suatu sistem bilangan yang lebih besar dari R sehingga persamaan (1.1) mempunyai penyelesaian. Sistem bilangan yang dimaksud selanjutnya dikenal dengan nama sistem bilangan kompleks. Di dalam bab ini, akan dibicarakan sistem bilangan kompleks beserta sifatsifat aljabar dan sifat-sifat geometrisnya. Untuk itu para pembaca dianggap sudah memahami sifat-sifat terkait di dalam R.
1.1
Pengertian Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z didefinisikan sebagai pasangan berurutan z = (x, y)
(1.2)
dengan x, y ∈ R, masing-masing dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari z, dan ditulis Re(z) = x
dan 1
Im(z) = y
Selanjutnya, himpunan semua bilangan kompleks ditulis dengan notasi C. Jadi, C = {(x, y) : x, y ∈ R} Ada korespondensi 1-1 antara R dengan {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C. Oleh karena itu, sistem bilangan real R dapat dipandang sebagai himpunan bagian di dalam C. Bilangan kompleks berbentuk (0, y) disebut bilangan imajiner (khayal) murni.
1.2
Operasi Aljabar Pada Bilangan Kompleks
Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real dan bagian imajiner kedua bilangan tersebut masing-masing sama. Jadi, (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 y1 = y2 Selanjutnya, diberikan dua bilangan kompleks z1 = (x1 , y1 ) dan z2 = (x2 , y2 ). Operasi penjumlahan z1 +z2 dan operasi perkalian z1 z2 , masing-masing didefinisikan sebagai berikut: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )
(1.3) (1.4)
Khususnya, (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0) (x1 , 0)(x2 , 0) = (x1 x2 , 0), yaitu operasi penjumlahan dan perkalian di dalam R. Dengan demikian, sistem bilangan kompleks merupakan perluasan sistem bilangan real. Mudah dipahami bahwa (x, y) = (x, 0) + (0, y)
(1.5)
Karena R ⊂ C, maka setiap k ∈ R dapat dinyatakan sebagai (k, 0) = k. Sehingga untuk sebarang bilangan kompleks z = (x, y) dan k ∈ R, berlaku k(x, y) = (k, 0)(x, y) = (kx, ky) 2
Selanjutnya, apabila dinotasikan (0, 1) = i, maka berdasarkan persamaan (1.5) bilangan kompleks z = (x, y) dapat pula dituliskan sebagai z = (x, y) = x + iy Seperti halnya di dalam R, di dalam sistem bilangan kompleks C disepakati pula z 2 = zz, z 3 = zz 2 , z 4 = zz 3 , dst. Selanjutnya, diperoleh i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), yaitu i2 = −1 . Sebagai informasi tambahan, dalam bidang teknik elektro biasa digunakan notasi j untuk bilangan imajiner i. Apabila dicermati, ternyata semua sifat penjumlahan dan perkalian pada bilangan kompleks sama dengan sifat penjumlahan dan perkalian pada bilangan real. Beberapa di antaranya, dapat dibuktikan langsung berdasarkan definisi, diberikan di dalam pernyataan berikut ini. Sifat 1.2.1 Untuk sebarang z, z1 , z2 , z3 ∈ C berlaku i. Hukum komutatif: z1 + z2 = z2 + z1 dan z1 z2 = z2 z1 . ii. Hukum assosiatif: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) dan (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ). iii. Hukum distributif: z(z1 + z2 ) = zz1 + zz2 . Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y), berlaku: (0, 0) + (x, y) = (x, y), dan (1, 0)(x, y) = (x, y)
(1.6) (1.7)
Jadi, ada elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu (0, 0) = 0, dan ada elemen identitas terhadap perkalian, yaitu (1, 0) = 1. Jadi, untuk sebarang bilangan kompleks z ∈ C, z+0=z
dan 3
z.1 = z
Mudah ditunjukkan bahwa 0 dan 1 masing-masing tunggal adanya. Selanjutnya, untuk sebarang (x, y) ∈ C, maka (−x, −y) ∈ C dan berlaku (x, y) + (−x, −y) = (0, 0) Jadi, untuk sebarang z ∈ C terdapat (dengan tunggal) −z ∈ C sehingga z + (−z) = 0
(1.8)
Berdasarkan (1.8) dapat diturunkan definisi operasi pengurangan pada bilangan kompleks, yaitu z1 − z2 = z1 + (−z2 )
(1.9)
Jadi, apabila z1 = (x1 , y1 ) dan z2 = (x2 , y2 ), maka z1 − z2 = (x1 − x2 , y1 − y2 ) = (x1 − x2 (+i(y1 − y2 ) Sampai di sini belum dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Oleh karena itu, persamaan z 2 − 2z + 2 = 0 tidak dapat diselesaikan dengan faktorisasi ruas kiri. Namun demikian, dengan hanya menggunakan operasioperasi yang telah dibicarakan sebelumnya, penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan. Untuk itu, perhatikan contoh di bawah ini. Contoh 1.2.2 Tentukan penyelesaian persamaan z 2 − 2z + 2 = 0. Penyelesaian: Misalkan z = (x, y), maka z 2 − 2z + 2 = 0 ⇔ (x, y)(x, y) − 2(x, y) + 2 = 0 ⇔ (x2 − y 2 − 2x + 2, 2xy − 2y) = 0 ⇔ x2 − y 2 − 2x + 2 = 0 (I) dan 2xy − 2y = 0 (II) Dari (II) diperoleh x = 1 atau y = 0. Untuk y = 0, maka (I) menjadi x2 − 2x + 2 = 0 4
Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian karena diskriminannya negatif. Sedangkan untuk x = 1, maka (I) menjadi 1 − y 2 = 0 ⇔ y = ±1 Jadi, z = (1, 1) atau z = (1, −1). 2 −y x Untuk sebarang bilangan kompleks (x, y) 6= 0, maka ( x2 +y 2 , x2 +y 2 ) ∈ C, dan
berlaku x −y , 2 ) = (1, 0) 2 + y x + y2 Dengan kata lain, untuk sebarang bilangan kompleks z 6= 0 terdapat (dengan (x, y)(
x2
tunggal) z −1 ∈ C sehingga zz −1 = 1
(1.10)
Selanjutnya, operasi perbagian pada bilangan kompleks dapat diturunkan berdasarkan (1.10), yaitu z1 = z1 .z2−1 , z2
z2 6= 0
(1.11)
Dengan adanya inverse terhadap operasi perkalian, maka dapat ditunjukkan bahwa C tidak memuat pembagi nol sejati. Hal itu dinyatakan di dalam pernyataan berikut. Sifat 1.2.3 Untuk sebarang z1 , z2 ∈ C: z1 z2 = 0 jika dan hanya jika z1 = 0 atau z2 = 0. Bukti:(⇒) : Diketahui z1 z2 = 0. Apabila z1 6= 0, maka terdapat z1−1 ∈ C sehingga z1−1 z1 = 1. Selanjutnya, diperoleh z2 = 1.z2 = (z1−1 z1 )z2 = z1−1 (z1 z2 ) = z1−1 .0 = 0 (⇐) : Mudah ditunjukkan. 2 Dengan adanya Sifat 1.2.3, maka Contoh 1.2.2 dapat diselesaikan dengan cara melakukan faktorisasi ruas kiri persamaan dalam contoh tersebut. 5
Apabila di dalam (1.11) diambil z1 = 1, maka diperoleh 1 = z2−1 z2
(1.12)
sehingga perbagian dapat pula dituliskan sebagai z1 1 = z1 ( ), z2 z2
z2 6= 0
Karena untuk sebarang z1 , z2 6= 0 berlaku (z1 z2 )(z1−1 z2−2 ) = (z1 z1−1 )(z2 z2−2 ) = 1 maka (z1 z2 )−1 = (z1−1 z2−2 ). Berdasarkan persamaan (1.12) diperoleh 1 1 1 = ( )( ), z1 z2 z1 z2
z1 , z2 6= 0
(1.13)
Selanjutnya, mudah dipahami z1 z2 z1 + z2 = + z3 z3 z3
;
z1 z2 z1 z2 = ( )( ), z3 z4 z3 z4
z3 , z4 6= 0
Contoh 1.2.4 (
1 1 1 1 )( ) = = 2 − i 3 + 2i (2 − i)(3 + 2i) 8+i 1 8−i 8−i 8 1 = ( )( )= = + i 8+i 8−i 65 65 65
Latihan 1. Nyatakan bilangan-bilangan kompleks berikut ini ke dalam a + ib: b. (3 + i)(2 − i)( 51 +
a. (1 + i)(2 − 3i) c.
1+2i 4−3i
e. (1 + i)4 g. (i − 1)(2 − i)
d.
1 −1+3i f. 1+2i 3−4i
+
h.
2−i 5i 5 (1−i)(3−i)
6
1 i) 10
2. Tunjukkan: a. (2, −1)(1, 3) = (5, 5)
b.
c. (2 − 2i)4 = −64 e.
2i 1+i
=1+i
2−i = 1+i 2−i = 3−4i 2+i 5
d.
f.
5 4−3i
= 4 + 3i
− 25 i
3. Tunjukkan: (z + 1)2 = z 2 + 2z + 1. 4. Tunjukkan bahwa perkalian pada bilangan kompleks memenuhi sifat komutatif. 5. Tunjukkan bahwa z = (− 21 , ±
√
3 ) 2
merupakan akar-akar persamaan z 2 + z +
1 = 0. 6. Jika zz1 = zz2 dengan z 6= 0, maka tunjukkan z1 = z2 . 7. Dengan induksi matematika tunjukkan, apabila z1 z2 . . . zn = 0 maka terdapat i, i = 1, 2, . . . , n, sehingga zi = 0. 8. Tunjukkan: a. Re(iz) = −Im(z);
b.
1 1/z
= z (z 6= 0);
c. (−1)z = −z
9. Tunjukkan bahwa elemen netral dan elemen identitas tunggal adanya, masingmasing adalah 0 dan 1.
1.3
Penyajian Secara Geometris
Setiap bilangan kompleks dapat dipasangkan dengan tepat satu titik di dalam bidang datar, sebaliknya setiap titik di dalam bidang datar berpasangan dengan tepat satu bilangan kompleks. Sebagai contoh, bilangan 2 + 3i dapat disajikan dengan titik (2, 3). Jadi, terdapat korespondensi 1-1 antara sistem bilangan kompleks C dengan bidang datar. Oleh karena itu, sebarang bilangan kompleks z = x + iy dapat atau sering disajikan sebagai titik (x, y) atau sebagai vektor posisi dari titik asal ke titik (x, y).
7
Gambar 1.1
Karena sebarang bilangan kompleks z = x+iy secara geometris dapat dinyatakan sebagai titik (x, y), maka bidang datar xy seringkali disebut sebagai bidang kompleks atau bidang-z. Sumbu-x dan sumbu-y masing-masing disebut sebagai sumbu real dan sumbu imajiner. Diberikan dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2 . Terkait dengan definisi penjumlahan dua bilangan kompleks, maka z1 + z2 dapat disajikan dengan titik (x1 + x2 , y1 + y2 ) atau dapat pula disajikan dengan vektor posisi OA, dengan A(x1 + x2 , y1 + y2 ). Dengan demikian z1 + z2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z1 dan vektor z2 . Demikian pula, vektor z1 −z2 dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor z1 dengan vektor −z2 .
Gambar 1.2
Modulus (atau nilai mutlak) bilangan kompleks z = x + iy, ditulis dengan notasi |z|, didefinisikan sebagai q
x2 + y 2 (1.14) √ √ Sebagai contoh, |3 − 4i| = 5, | − 1 + i 3| = 2, | − 2 − 3i| = 13, dan seterusnya. |z| =
Mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang z ∈ C, |z| ≥ 0 dan |z| = 0 ⇔ z = 0 8
Gambar 1.3
Dari (1.14) dan Gambar 1.3, |z| secara geometris dapat diartikan sebagai jarak titik asal ke titik (x, y), atau panjang vektor posisi z. Apabila y = 0, maka |z| = |x|, yaitu nilai mutlak di dalam sistem bilangan real R. Untuk dua bilangan kompleks sebarang z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2 , |z1 − z2 | secara geometris adalah jarak antara titik z1 dan titik z2 . Hal ini dapat diterangkan pula dengan persamaan (1.14), yaitu |z1 − z2 | =
q
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
Gambar 1.4
9
Dari persamaan (1.14) pula diperoleh hubungan antara |z|, Re(z), dan Im(z), yaitu sebagai berikut: |z|2 = (Re(z))2 + (Im(z))2 Akibatnya, Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|,
Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|
(1.15)
Sekawan (konjugat) bilangan kompleks z = x + iy, ditulis dengan notasi z, adalah bilangan kompleks x − iy. Jadi z = x − iy
(1.16)
Dari (1.16) dapat dilihat bahwa z disajikan oleh titik (x, −y), yang tidak lain adalah pencerminan titik (x, y) terhadap sumbu real.
Gambar 1.5
Selanjutnya, dapat ditunjukkan sifat-sifat berikut ini. Sifat 1.3.1 Untuk sebarang z, z1 , z2 ∈ C berlaku: i. (z) = z dan |z| = |z|, ii. z1 + z2 = z1 + z2 , z1 − z2 = z1 − z2 , iii. z1 z2 = z1 z2 , ( zz12 ) =
z1 , z2
z2 6= 0, 10
iv. z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z) Untuk sebarang z = x + iy ∈ C, zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 = |z|2
(1.17)
Berdasarkan persamaan (1.17) dapat diberikan cara lain untuk menyatakan
z1 , z2
yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan z 2 . Sebagai gambaran, perhatikan contoh berikut ini. Contoh 1.3.2 2+i 2 + i 2 + 3i 1 + 8i 1 8 = = = + i 2 − 3i 2 − 3i 2 + 3i 13 13 13 Selanjutnya, mudah ditunjukkan sifat berikut ini. Sifat 1.3.3 Untuk sebarang z1 , z2 ∈ C berlaku: i. |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, | zz12 | =
|z1 | , |z2 |
z2 6= 0,
ii. Ketaksamaan segitiga: ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Bukti: Akan dibuktikan pertidaksamaan pertama pada ii, yang lain dipersilahkan para pembaca untuk mencobanya. Berdasarkan (1.17), |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = z1 z 1 + z1 z 2 + z 1 z2 + z2 z 2 = z12 + (z1 z 2 + z1 z 2 ) + z22 = z12 + Re(z1 z 2 ) + z22 ≤ z12 + |z1 z2 | + z22 = z12 + |z1 ||z2 | + z22 = (|z1 | + |z2 |)2 Karena modulus tidak negatif, maka |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Selanjutnya, menggunakan hasil ini berturut-turut akan diperoleh 11
a. |z1 | = |z1 − z2 + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 | ⇔ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |. b. |z2 | = |z2 − z1 + z1 | ≤ |z1 − z2 | + |z1 | ⇔ |z2 | − |z1 | ≤ |z1 − z2 |. Dari (a) dan (b) diperoleh: ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 + z2 |. 2 Latihan 1. Gambar bilangan-bilangan kompleks berikut: a. (2 − 3i)
b. (3 + i)
c. (1 + 2i()4 − 3i) e. (1 − i)4
1 −1+3i 1+2i + 2−i 3−4i 5i 5 h. (1−i)(3−i)
d.
f.
g. (i − 1)(2 − i)
2. Tentukan |z| jika diketahui a. z = (4 − 3i) b. z = (3 + i) √ c. z = ( 5 + 2i()4 − 3i) d. z = e. z = (1 − i)4 f. z = √ √ √ g. z = (i 3 − 1)( 2 − i 2)
1 −1+3i
1+2i 2−i 3−4i 5i
h. z =
5 (1−i)(3−4i)
3. Tunjukkan: a. z ∈ R jika dan hanya jika z = z. b. z merupakan bilangan real atau imajiner murni jika dan hanya jika (z)2 = z 2 . 4. Tunjukkan bahwa Re(z) + Im(z) ≤
√ 2|z|.
5. Tunjukkan bahwa b. z n = (z)n ,
a. z1 z2 z3 . . . zn = z 1 z 2 . . . z n 6. Tunjukkan Sifat 1.3.3.
12
n ∈ Z.
7. Jika |z3 | = 6 |z4 |, maka tunjukkan |
z1 + z2 |z1 | + |z2 | |≤ z3 + z4 ||z3 | − |z4 ||
8. Tunjukkan bahwa |z − z0 | = r, r > 0, merupakan persamaan lingkaran dengan pusat z0 dan jari-jari r. 9. Jika |z| = 1, maka tunjukkan |z 2 + z + 1| ≤ 3. 10. Jika |z − i| < 21 , maka tunjukkan bahwa |z| ≥ 21 . 11. Secara geometris, |z1 − z2 | dapar diartikan sebagai jarak titik z1 dan titik z2 . Berikan gambaran geometris dari a. |z − 2i| + |z + 2i| = 5
b. |z − 3i| = |z + 3i|
12. Jika |z| = 2, maka tunjukkan |
1.4
z4
1 1 |≤ 2 − 4z + 3 3
Bentuk Kutub
Seperti telah dijelaskan pada Bagian 1.2, bilangan kompleks z = x + iy dapat disajikan dengan titik (x, y) di dalam bidang-xy. Selanjutnya, sebarang bilangan kompleks tak nol z = x + iy atau z = (x, y), di dalam sistem koordinat kutub, dapat disajikan dengan (r, θ), dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik asal dan θ sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik tersebut ke titik asal dan garis horisontal, arah berlawanan jarum jam. Karena x = r cos θ
dan
y = r sin θ
maka z dapat pula dinyatakan sebagai z = r(cos θ + i sin θ)
(1.18)
Pernyataan (1.18) disebut bentuk kutub bilangan kompleks z. Berbeda dengan di dalam kalkulus, di dalam sistem bilangan kompleks ini r tidak diperkenankan 13
bernilai negatif. Sedangkan θ bisa bermacam-macam (tak hingga banyak) nilainya, termasuk negatif. Bilangan r adalah modulus (panjang) bilangan kompleks z, yaitu r=
q
x2 + y 2 = |z|
sedangkan θ disebut argument z, biasa ditulis arg z. Secara geometris arg z menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi z terhadap sumbu real positif dan diukur dalam radian. Apabila θ merupakan arg z, maka θ + 2kπ, k ∈ Z, juga merupakan arg z. Jadi, arg z bernilai tidak tunggal. Untuk z = 0, arg z tidak didefinisikan. Sedangkan untuk z 6= 0, nilai arg z dapat ditentukan dengan rumus y θ = arctan( ) , x
x 6= 0
(1.19)
x y θ = arcsin( ) = arccos( ) r r
(1.20)
atau
Apabila menggunakan rumus (1.19), maka kuadran yang memuat z harus diperhatikan. Perlu diperhatikan pula bahwa berdasarkan keterangan tersebut di atas, apabila bilangan kompleks z dinyatakan dalam bentuk kutub, maka selalu dimaksudkan z 6= 0, meskipun hal itu tidak dikatakan secara eksplisit.
Gambar 1.6
Nilai utama (principal value) arg z, ditulis dengan notasi Arg z, adalah suatu nilai arg z (tunggal) sehingga −π < arg z ≤ π. 14
√ Contoh 1.4.1 Untuk bilangan kompleks z = −1 − i 3, arg z =
4π + 2kπ, 3
k∈Z
tetapi Arg z = −
2π 3
Diberikan dua bilangan kompleks sebarang: z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
dan
z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
maka diperoleh z1 z2 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) = r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) = r1 r2 {(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 )} = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )) Jadi, z1 z2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ))
(1.21)
Dengan demikian diperoleh suatu persamaan arg z1 z2 = arg z1 + arg z2
(1.22)
Apabila θ1 dan θ2 masing-masing adalah nilai arg z1 dan arg z2 , maka berdasarkan (1.22) θ1 +θ2 merupakan suatu nilai arg z1 z2 . Sebaliknya, diberikan sebarang nilai arg z1 dan nilai arg z1 z2 , misalkan masing-masing adalah arg z1 = θ1 + 2kπ,
n ∈ Z, dan
arg z1 z2 = (θ1 + θ2 ) + 2nπ,
n∈Z
Karena (θ1 + θ2 ) + 2nπ = (θ1 + 2kπ) + (θ2 + 2(n − k)π) 15
maka persamaan (1.22) akan dipenuhi apabila nilai arg z2 = θ2 + 2(n − k)π. Jadi, sebarang arg z1 z2 sama dengan suatu arg z1 ditambah suatu arg z2 . Dalam hal ini perlu diperhatikan bahwa sebarang arg z1 z2 tidak sama dengan sebarang arg z1 ditambah sebarang arg z2 . Demikian pula, Arg z1 z2 belum tentu sama dengan Arg z1 ditambah Arg z2 Perhatikan contoh berikut ini. √ √ Contoh 1.4.2 Diberikan z1 = −1 dan z2 = −1 + i 3, maka z1 z2 = 1 − i 3. Berturut-turut diperoleh: arg z1 = π + 2kπ, k ∈ Z, Arg z1 = π 2π 2π + 2kπ, k ∈ Z, Arg z2 = , arg z2 = 3 3 π π arg z1 z2 = − + 2kπ, k ∈ Z, Arg z1 z2 = − . 3 3 Selanjutnya, apabila diberikan zk = rk (cos θk + i sin θk ), k = 1, 2, . . . , n, maka secara induktif dapat ditunjukkan z1 z2 . . . zn = r1 r2 . . . rn (cos(θ1 + θ2 + . . . + θn ) + i sin(θ1 + θ2 + . . . + θn )) (1.23) Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol z = r(cos θ + i sin θ), maka mudah ditunjukkan bahwa 1 1 = (cos(−θ) + i sin(−θ)) z r
(1.24)
z = r(cos(−θ) + i sin(−θ))
(1.25)
Demikian pula
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (1.21) dan (1.24), maka untuk dua bilangan kompleks sebarang: z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
dan
z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
berlaku z1 r1 = ( )(cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )) z2 r2 16
(1.26)
Jadi, seperti halnya pada (1.22), dari (1.26) dapat dikatakan bahwa sebarang arg( zz12 ) sama dengan suatu arg z1 dikurangi suatu arg z2 . Apabila pada persamaan (1.23), zk = z = (cos θ + i sin θ), k = 1, 2, . . . , n, maka diperoleh z n = (cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ)
(1.27)
Selanjutnya, berdasarkan (1.24) dan (1.27), maka untuk n ∈ N diperoleh z −n =
1 1 = cos(−n)θ + i sin(−n)θ = n z (cos nθ + i sin nθ)
(1.28)
Jadi, dari (1.27) dan (1.28) diperoleh (cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ)
(1.29)
untuk setiap n ∈ Z. Persamaan (1.29) ini dikenal dengan nama rumus De Moivre. Contoh 1.4.3 Tentukan Re(z) dan Im(z) jika diketahui z =
√ 2 3) (1−i √ . (1+i 3)6 (1+i)6
Penyelesaian: Berdasarkan (1.29), √ π π 2π 2π (1 − i 3)2 = {2(cos(− ) + i sin(− ))}2 = 22 (cos(− ) + i sin(− )) 3 3 3 3 √ 6 π π 6 (1 + i 3) = {2(cos( ) + i sin( ))} = 26 (cos 2π + i sin 2π) 3 3 √ π 3π 3π π (1 + i)6 = { 2(cos( ) + i sin( ))}6 = 23 (cos( ) + i sin( )) 4 4 2 2 sehingga ) + i sin(− 2π )) 22 (cos(− 2π π π −7 3 3 z = 6 = 2 (cos(− ) + i sin(− )) 3π 3π 6 6 2 (cos 2π + i sin 2π)23 (cos( 2 ) + i sin( 2 )) √ 3 1 −7 = 2 (− − ) 2 2 √
Jadi, Re(z) = − 283 dan Im(z) = − 218 . 2
1.5
Akar Bilangan Kompleks
Diberikan bilangan kompleks z dan n ∈ N . Bilangan kompleks w dikatakan merupakan akar pangkat n dari z jika wn = z. Selanjutnya, akar pangkat n dari z 17
1
ditulis dengan notasi z n . Misalkan z = r(cos θ+i sin θ) dan w = R(cos φ+i sin φ). Karena wn = z, maka berdasarkan rumus de Moivre Rn (cos(nφ) + i sin(nφ)) = r(cos θ + i sin θ) sehingga Rn cos(nφ) = r cos θ
dan
Rn sin(nφ) = r sin θ
(1.30)
Karena R ≥ 0 maka dengan menyelesaikan (1.30) diperoleh 1
dan
R = rn
φ=
θ + 2kπ , k ∈ calZ n
(1.31)
Tetapi karena cosinus dan sinus merupakan fungsi yang periodik dengan periode 2π maka (1.31) menjadi 1
R = rn
dan
φ=
θ + 2kπ , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 n
(1.32)
Jadi, jika diberikan bilangan kompleks tak nol z = r(cos θ + i sin θ) dan n ∈ N , maka akar pangkat n dari z adalah bilangan-bilangan kompleks 1
zk = r n (cos(
θ + 2kπ θ + 2kπ ) + i sin( )), n n
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
(1.33)
Dari (1.33) dapat diketahui bahwa akar pangkat n merupakan fungsi bernilai sebanyak n (tidak tunggal). Hal ini berbeda dengan pengertian fungsi bernilai real yang selalu bernilai tunggal. Namun demikian, apabila yang diperhatikan salah satu cabangnya saja, yaitu untuk satu nilai n tertentu, maka akar pangkat n merupakan fungsi bernilai tunggal. Apabila pada (1.33) diambil −π < arg zk ≤ π, 1
maka zk terkait dinamakan cabang utama dari z n . √ 1 Contoh 1.5.1 Tentukan (−8 − 8i 3) 4 . √ Penyelesaian: Karena z = −8 − 8i 3 = 16(cos( 4π ) + sin( 4π )), maka menurut 3 3 √ (1.33) akar pangkat 4 dari z = −8 − 8i 3 adalah bilangan-bilangan kompleks 1
zk = (16) 4 (cos(
4π 3
4π + 2kπ + 2kπ ) + i sin( 3 )), 4 4
18
k = 0, 1, 2, 3
atau √ z0 = 1 + i 3, √ z2 = −1 − i 3,
√ z1 = − 3 + i √ z3 = 3 − i2
Latihan 1. Nyatakan ke dalam bentuk kutub √ a. 2 − 2i 3
b. 1 + i √
d. 3 − i √ √ e. i(1 − i 3)( 3 + i) c. 2i
g.
2i√ 1+i 3
h.
f. (1 − i)9
√ 12 ( 3+i) √ (1−i 3)10
2. Tentukan Arg z jika diketahui √ a. z = −2 − 2i 3
i b. z = 1+i √ d. z = 3 − i
c. z = (2 + 2i)5 e. z =
√ i √ (1−i 3)( 3+i)
g. z =
−2+2i √ 1+i 3
f. z = i(1 − i)9 h.
√ 12 ( 3+i)√ (1−i)(1−i 3)10
3. Tentukan bagian real dan bagian imajiner dari bilangan-bilangan a. z = (2 + 2i)5 √ 1 c. z = (2 + 2i 3) 4
(−1+i)7 (1+i)2 √ 3−i)37 z = ( (1−i) 3
b. z = d.
4. Tentukan √ 1 a. (8 − 8i 3) 4 1
c. (−16) 4
1
b. 8 6 √ 1 d. (4 + 4i 3) 3
5. Tentukan z jika √ a. z = (1 − i 3)4
√ b. z = (3 + i 3)10 19
√ c. z = (3 − i 3)5 (−1 + i)7
d. z =
√ ( 3+3i)4 (1+i)10
√ 6. Tentukan semua nilai z sehingga z 4 + 8(1 + i 3) = 0. 7. Jika Re(z1 ) > 0 dan Re(z2 ) > 0, maka tunjukkan Arg z1 z2 = Arg z1 + Arg z2 8. Tunjukkan cos( π7 ) − cos( 2π ) + cos( 3π ) = 21 . 7 7 9. Jika z akar pangkat n dari 1 dan z 6= 1, maka tunjukkan 1 + z + z 2 + z 3 + . . . + z n−1 = 0 10. Jika z akar pangkat n dari 1 dan z 6= 1, maka tentukan 1 + 2z + 3z 2 + 4z 3 + . . . + nz n−1 11. Jika sin( 2θ ) 6= 0, tunjukkan 1 + cos θ + cos 2θ + . . . + cos nθ =
1.6
1 sin(n + 12 )θ + 2 2 sin 2θ
Daerah (Region) di Dalam Bidang Kompleks
Di dalam bagian ini akan dibicarakan himpunan dan titik di dalam bidang kompleks, serta hubungan antara titik dan titik atau antara titik dan bidang di dalam bidang kompleks. Untuk sebarang z0 ∈ C dan bilangan real r > 0, himpunan N (z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} disebut persekitaran (neighborhood) z0 dengan jari-jari (radius) r. Selanjutnya, berdasarkan pengertian persekitaran didefinisikan pengertian beberapa titik dan himpunan di dalam bidang kompleks. Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik dalam (interior point) A jika terdapat r > 0 sehingga N (z0 , r) ⊂ A. Titik z0 ∈ A ⊂ C disebut titik luar (exterior point) A 20
jika z0 titik dalam Ac . Titik z0 disebut titik batas (boundary point) A ⊂ C jika z0 bukan titik dalam dan bukan titik luar A. Dengan kata lain, z0 disebut titik batas A ⊂ C jika untuk setiap r > 0 berlaku N (z0 , r) ∩ A 6= ∅ dan N (z0 , r) ∩ Ac 6= ∅. Himpunan A ⊂ C dikatakan terbuka (open) jika setiap titiknya merupakan titik dalam. Teorema 1.6.1 Setiap persekitaran merupakan himpunan terbuka. Bukti: Diambil sebarang z0 ∈ C dan bilangan real r > 0. Akan ditunjukkan N (z0 , r) terbuka. Diambil sebarang z1 ∈ N (z0 , r), artinya |z1 − z0 | < r, maka terdapat bilangan real p > 0 sehingga |z1 − z0 | = p < r. Didefiniskan r1 = r − p maka r1 > 0. Jika diambil sebarang z ∈ N (z1 , r1 ), maka |z − z0 | ≤ |z − z1 | + |z1 − z0 | < r1 + p = r Jadi, z ∈ N (z0 , r). Karena berlaku untuk z ∈ N (z1 , r1 ), maka N (z1 , r1 ) ⊂ N (z0 , r). Bukti selesai. 2 Diberikan himpunan A ⊂ C. Titik z0 ∈ C disebut titik limit (limit point) A jika untuk setiap bilangan real r > 0, N (z0 , r) ∩ A − {z0 } = 6 ∅. Himpunan A ⊂ C dikatakan tertutup (closed) jika A memuat semua titik limitnya. Himpunan A ⊂ C dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik berbeda z1 , z2 ∈ A dapat dihubungkan dengan sebanyak berhingga segmen (penggal) garis yang kesemuanya berada di dalam A. Himpunan terbuka yang terhubung disebut domain. Mudah dipahami bahwa setiap persekitaran merupakan domain. Suatu domain ditambah (atau tidak ditambah) beberapa atau semua titik batasnya disebut daerah (region). Himpunan A ⊂ C dikatakan terbatas (bounded) jika terdapat bilangan real M > 0 sehingga |z| ≤ M untuk setiap z ∈ A. Jadi, A terbatas jika ada lingkaran |z| = R sehingga setiap z ∈ A berada di dalam lingkaran tersebut. 21
Latihan 1. Diberikan A = {z ∈ C :
− 1 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 1} ∪ {2 + i}. Tentukan
a. semua titik dalam A. b. semua titik limit A. c. semua titik batas A. 2. Jika E = {z ∈ C :
− 2 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ 1}, maka tunjukkan E tidak
terbuka tetapi tertutup. 3. Selidiki apakah himpunan yang tidak terbuka pasti tertutup. 4. Tunjukkan A tertutup jika dan hanya jika Ac terbuka. 5. Jika z0 bukan titik dalam dan bukan titik luar himpunan A, maka tunjukkan bahwa z0 merupakan titik batas A. 6. Jika A tidak terbuka, maka tunjukkan bahwa A memuat suatu titik batasnya. 7. Jika A tidak tertutup, maka tunjukkan terdapat titik batas A yang tidak termuat di dalamnya. 8. Tunjukkan bahwa A = {z1 , z2 , . . . , zn } tidak mempunyai titik limit. Dengan demikian A tertutup. 9. Tunjukkan bahwa setiap titik di dalam suatu domain merupakan titik limit domain tersebut.
22
