BAB 1 PENGANTAR Bab ini menyajikan tentang materi pengantar untuk mata kuliah struktur Aljabar. Bab ini bertujuan untuk membantu mahasiswa untuk menyiapkan diri dalam menempuh matakuliah Struktur Aljabar. Pada dasarnya grup adalah tentang himpunan, homomorfisma grup adalah suatu fungsi dan operasi biner adalah operasi yang berlaku di dalam suatu grup. Itulah sebabnya, materi himpunan, fungsi dan operasi biner diangkat sebagai materi pengantar dalam modul ini. Secara garis besar tujuan dari bab ini adalah untuk mengingat kembali materi yang pernah anda pelajari sebelumnya. Jadi secara umum tujuan dari bab ini adalah agar mahasiswa dapat: 1. menjelaskan relasi antar himpunan; 2. mengidentifikasikan jenis fungsi; 3. mengidentifikasikan apakah suatu operasi merupakan operasi biner atau bukan
1.1 Himpunan Deskripsi Himpunan. Himpunan adalah salah satu konsep yang tidak didefinisikan.Tetapi sebuah himpunan dapat dideskripsikan. Himpunan
dideskripsikan sebagai
sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan terdefinisi dengan jelas well-defined. Contoh: 1. Kumpulan mata kuliah yang paling mudah. Kumpulan objek ini bukanlah sebuah himpunan, karena syarat keanggotaannya tidak jelas. Kita tidak dapat menggolongkan suatu
objek (mata kuliah) bisa masuk dalam kumpulan ini atau tidak. Setiap individu memiliki pendapat yang berbeda-beda tentang objek-objek mana yang bisa menjadi anggota kumpulan tersebut; 2. Kumpulan bilangan prima kurang dari 10. Kumpulan ini merupakan sebuah himpunan.Kita dapat dengan jelas menggolongkan apakah sebuah objek termasuk dalam anggota kumpulan ini atau tidak; 3. S = kumpulan beberapa bilangan asli. S bukan merupakan himpunan karena tidak dapat dinyatakan apakah 5 anggota S ataukah 5 bukan anggota S; 4. S = kumpulan empat bilangan asli pertama, S adalah suatu himpunan karena elemen-elemen S dapat disebutkan secara definitif, yakni 1, 2, 3, 4. Notasi Himpunan Notasi Himpunan Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf
besar,
misal : A, B, C, D, Sedang anggota suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kecil. Berikut ini adalah 3 cara menyatakan himpunan: 1. Dengan mendaftar anggotanya Contoh: P = { 2, 4, 6, 8} 2. Dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi anggotanya Contoh: P = himpunan bilangan asli genap kurang dari 10 3. Dengan notasi pembentuk himpunan Contoh: P = { x | x adalah bilangan asli genap kurang dari 10} Jika “2 adalah anggota P” maka ditulis “ 2
P sedangkan “3 bukan
anggota P” ditulis`” 3 ∉ 𝑃 Himpunan Kosong Definisi: Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Notasi: Ø atau { }
Contoh: A = { Bilangan asli kurang dari 1 }. Tidak ada satupun bilangan asli yang kurang dari satu. Oleh karena itu A = { } Himpunan Semesta Definisi: Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua subjek yang sedang dibicarakan. Notasi: S atau U Contoh: B = { x | x2 – 4 = 0, x Maka S = { x | x
R}
R}
Himpunan berhingga (finit) dan tak berhingga (infinit) Definisi: Suatu himpunan dikatakan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen – elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu (jika kita membilang banyak anggota yang berbeda dalam himpunan itu, proses membilang yang kita lakukan akan berakhir). Jika tidak demikian maka himpunan tersebut adalah himpunan infinit (tak berhingga). Dapat juga dikatakan bahwa suatu himpunan dikatakan finit jika dapat dibuat sebuah fungi bijektif (satu-satu) dari himpunan tersebut ke initial segment dari himpunan bilangan asli. Contoh: Himpunan P dan B pada contoh sebelumnya adalah contoh himpunan finit. Sedangkan himpunan S adalah himpunan infinit, mengapa? Himpunan Bagian (Subset) Definisi : Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A juga anggota himpunan B.
Notasi : A
B
Note: 1. Ø adalah subset dari setiap himpunan. 2. Jika A bukan subset B ( 𝐴 ⊄ 𝐵 ) maka ada (paling sedikit satu) anggota A yang bukan anggota B. 3. Dua himpunan A dan B dikatakan dapat dibandingkan (comparable) jika A B
B atau
A
Untuk setiap himpunan misal A, maka A dan Ø keduanya merupakan subset dari himpunan A. Himpunan A sendiri disebut sebagai subset tak sejati (improper subset) dari A, sedangkan himpunan-himpunan bagian yang lain merupakan himpunan bagian sejati (proper subset) Contoh: Jika himpunan A = {bilangan asli kurang dari 5}, coba anda tentukan semua proper subset dan improper subsetnya! Bagaimana dengan himpunan bilangan kompleks K = {a+bi | a, b ∈R}?, dapatkah anda menentukan himpunan-himpunan bilangan lain yang menjadi subsetnya? Himpunan yang Sama Definisi : Himpunan A dan B adalah sama ( A = B ) jika dan hanya jika 𝐴 ⊆ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊆ 𝐴 Contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = { 2, 4, 1, 3} maka A = B Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah himpunan yang sama.
Himpunan N = {x|x2 − 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} adalah himpunan yang sama Himpunan yang Berpotongan Definisi: Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ( A
B) jika dan hanya jika
ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A Contoh: A`= {bilangan prima kurang dari
10} dan B = { bilangan asli genap
kurang dari 10}, keduanya adalah himpunan yang berpotongan karena ada 3 anggota A yang bukan anggota B dan ada 4 anggota B yang bukan anggota A, tetapi ada 2 yang merupakan anggota A dan B Himpunan yang Lepas Definisi : Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ( A || B ) jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. Contoh: C = { bilangan asli } dan D = { bilangan bulat negatif } maka C || D Dua Himpunan yang Ekivalen Banyak anggota yang berbeda dalam suatu himpunan finit A disebut bilangan kardinal himpunan A, ditulis n(A). Contoh: 1. A = { x | x merupakan bilangan prima yang kurang dari 20 }, atau A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka n(A) = 8
2. T = {kucing, a, Amir, 10, paku} maka n(T) = 5 Definisi1.7 : Dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen (A∞B) jika dan hanya jika banyak anggota kedua himpunan itu sama. Secara simbolic : A ~ B ↔ n(A) = n(B) Contoh : Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d } maka A ~ B sebab n(A) = n(B) = 4
