Bab 1 – Hinpunan
1
BAB I HIMPUNAN TUJUAN PRAKTIKUM 1. Memahami pengertian himpunan 2. Memahami konsep antar himpunan menggunakan diagram Venn 3. Memahami operasi antar himpunan
TEORI PENUNJANG
Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan/koleksi dari objek – objek sembarang. (cara pengumpulan objek – objek itu biasanya berdasarkan sifat /keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu aturan tertentu/yang ditentukan). Himpunan dilambangkan dengan huruf capital misalnya A, B , C, D, .. , Z dan objek- objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 . maka anggotanya adalah A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }. Sedangkan -2, -1, 0, 10, 11, 12, jelas bukan anggota A. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya himpunan A, B, P, Y dan lain – lain. Bila a merupakan elemen dari himpunan A, sedangkan b bukan elemen dari himpunan A, maka kita dapat menuliskan sebagai a A, b A.
Modul Praktikum Matematika Informatika I – IT045213
Bab 1 – Hinpunan
2
Ada 2 bentuk dalam penulisan suatu himpunan sebagai berikut: 1. Bentuk pendaftaran (Tabular form) yaitu dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut didalam kurung kurawal. Contoh : Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftar semua anggotanya. a. B adalah bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15 b. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20 Jawaban a. B = { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } b. D = { 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 }
2. Bentuk pencirian ( Set-Builder form) yaitu dengan menuliskan sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut. Contoh : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpnan a. B adalah bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15 b. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20 Jawaban a. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x € A } b. D = { x | x < 20 , x € L }
Suatu himpunan disebut hingga bila banyak anggotanya (yang berbeda) hingga. Kalau banyak anggotanya tak hingga disebut himpunan tak hingga. Dapat dicatat bahwa anggota – anggota yang sama, dihitung sekali. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan hampa (kosong) dinyatakan dengan . Himpunan A dan B dikatakan sama, A = B bila mereka mempunyai anggota – anggota yang sama. Himpunan X dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan Y, bila setiap anggota dari X juga merupakan anggota dari Y. Ditulis X Y merupakan himpunan super/super set dari X, Y X. Notasi “” digunakan juga untuk menyatakan
Modul Praktikum Matematika Informatika I – IT045213
Bab 1 – Hinpunan
3
pernyataan “subset atau sama dengan”. Jadi A B berarti A subset B atau A = B. Bila A B dikatakan pula A subset sebenarnya dari B.
Diagram Venn Untuk menggambarkan hubungan antara himpunan – himpunan dapat kita gunakan diagram venn. Langkah – langkah menggambar diagram venn 1. daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 2. tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 3. letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah=tengah 4. buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi 5. lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6. selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu 7. buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U
A 1 3
B 2 5
7 8 6
Modul Praktikum Matematika Informatika I – IT045213
4
Bab 1 – Hinpunan
4
A B dan A ≠ dapat kita gambarkan sebagai berikut:
S B A
A dan B saling lepas S B
A
Operasi Antar Himpunan Beberapa operasi yang penting adalah: 1. Gabungan (Union), dinotasikan dengan A B = {x | x A atau x B} Diagram Venn nya:
S A
B
(i)
AB=BA
(ii)
A (A B); B (A B)
(iii) Bila A B maka A B = B (iv) A = A; A S = S Modul Praktikum Matematika Informatika I – IT045213
S A
B
Bab 1 – Hinpunan
5
2. Irisan (Intersection), dinotasikan dengan A B = {x | x A dan x B} Diagram Venn nya:
S
S A
A
B
B
Bila A dan B saling lepas, maka A B = (i).
AB=BA
(ii). (A B) A; (A B) B (iii). Bila A B maka A B = A (iv). A = ; A S = A
3. Selisih (Difference), dinotasikan dengan A – B = {x | x A dan x B} Diagram Venn nya: S
S A
(i).
B
(A – B) A
(ii). A – B ≠ B – A, bila A ≠ B (iii). Bila A B maka A – B = dan (B – A) B 4. Komplemen dari A, dinotasikan dengan A’ atau Ac A’ = {x | x A, x S} = S – A
Modul Praktikum Matematika Informatika I – IT045213
A B
Bab 1 – Hinpunan
6
Diagram Venn nya: S A
(i).
A A’ = ;
(ii). A A’ = S (iii). S’ = , ’ = S (iv). (A’)’ = A; (v). A – B = A B’; (vi). Bila A B maka B’ A’. Contoh Program : import java.io.*; class himpunan{ public static void main(String [] args) throws Exception{ int i=0; int j=0; int z=0; int a=0; BufferedReader input=new BufferedReader(new InputStreamReader (System.in)); System.out.print("Masukan banyak jumlah anggota himpunan A = "); int x=Integer.parseInt(input.readLine()); System.out.print("Masukan banyak jumlah anggota himpunan B = "); int y=Integer.parseInt(input.readLine()); int himpA [] =new int [x]; int himpB []=new int[y]; System.out.println(); System.out.println(); for(i=0;i<x;i++){ System.out.print("Anggota himpunan A ke "+(i+1)+" : "); himpA[i]=Integer.parseInt(input.readLine()); Modul Praktikum Matematika Informatika I – IT045213
Bab 1 – Hinpunan
} System.out.println(); System.out.println(); for(i=0;i
Modul Praktikum Matematika Informatika I – IT045213
7
Bab 1 – Hinpunan
8
LAPORAN PENDAHULUAN
1.
Apa yang dimaksud dengan himpunan?
2.
Apa yang dimaksud dengan diagram venn?
3.
Tuliskan dan jelaskan operasi – operasi antar himpunan!!
4.
Berikan contoh dari operasi – operasi antar himpunan yang ada pada jawaban no. 3!
LAPORAN AKHIR Membuat program tentang himpunan menggunakan bahasa java seperti langkah – langkah yang telah diberikan saat praktikum berlangsung. Jelaskan langkah – langkah dan logika program tersebut menggunakan bahasa praktikan sendiri.
Modul Praktikum Matematika Informatika I – IT045213
