APLIKASI INTEGRAL TENTU

APLIKASI

INTEGRAL TENTU

1

Aplikasi Integral Tentu థ Luas diantara 2 kurva థ Volume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థ Volume benda putar (dengan metode kulit tabung) థ Luas permukaan benda putar థ Momen dan pusat massa

2

1. LUAS DIANTARA 2 (DUA) KURVA

3

Cara menghitung : 1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang sama besar kemudian tentukan irisan ke-i dengan membuat persegi panjang beralas x dan tinggi f(xi*)- g(xi*)

4

2. Jumlahkan semua persegi panjang yang telah dibuat

3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan

5

Luas A dari S sebagai nilai limit dari jumlah persegi panjang n





A  lim  f (xi * )  g (xi * ) Δx n   i 1

Luas A yang dibatasi kurva y=f(x), y=g(x) dan garis x=a, x=b dengan f dan g kontinu dan f(x) ≥ g(x) untuk semua x pada selang [a,b] adalah b

A   [f(x)  g(x)] dx a

6

Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh parabola y = x2 dan y = 2x-x2

7

Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh parabola y = x2 dan y = 2x-x2 * Cari titik potong  batas atas dan bawah

y1 = y2 x2 = 2x-x2 2x2-2x x (x-1) = 0

Jadi x = 0 atau x = 1 Titik potongnya = (0,0) dan (1,1)

y1= x2 dan y2 = 2x-x2 Luas persegi panjang khas : (y2-y1)x = (2x-x2-x2)x Daerah terletak diantara x=0 dan x=1 8

1

Luas total 

1

A   (2x  2x )dx  2  (x  x )dx 2

2

0

0

1

1 2 1 3  2 x  x  3 0 2 1 1 1  2    2 3 3

9

2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG Volume benda padat yang luas penampangnya A(x) dan berada antara x=a dan x=b adalah b

n

V  lim A(x i )Δx   A(x)dx *

n i  1

a

Langkah-langkah mencari : 1.Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari 2.Carilah luas A(x) 3.Carilah batas-batas integrasi 4.Integralkan

10

METODE CAKRAM 1. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva y=x, sumbu x dan garis x=4, bila R diputar mengelilingi sumbu x.

Volume = A x h = (x)2 . x

11

Bila volume tabung2 dijumlahkan lalu diintegralkan 4

V  π  x dx 0

4

16 1 2 π x  π  8 π  25.13 2 2 0 12

METODE CINCIN Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu putarnya  kita akan memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian tengahnya (disebut cincin)

V= (r22-r12)h r1 = jari-jari dalam r2 = jari-jari luar h = tebal cincin 13

Contoh : Tentukan volume benda putar apabila daerah yang dibatasi oleh parabola y=x2 dan y2=8x diputar mengelilingi sumbu x. Titik potong (0,0) dan (2,4)

V  [ (8x)2- (x2)2 ] x

14

Titik potong (0,0) dan (2,4)

2

Volume  π  (8x - x 4 ) dx 0 2  8x 2 x 5  48π    π   30,16 5  5  2  0

15

3. VOLUME BENDA PUTAR : KULIT TABUNG Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit.

V=(luas alas) . (tinggi) = (r22- r12) h = (r2 + r1) (r2 - r1) h  r2  r1   2π   h r2  r1  2  

16

sehingga V= 2 * (rerata jejari) * tinggi * tebal V= 2  r h r

17

Jika dibuat potongan jalur yang vertikal dan diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk benda seperti kulit tabung.

18

Untuk memperoleh volume, hitung V dari kulit tabung, jumlahkan lalu tarik limit jumlahnya shg menghasilkan sebuah integral

ΔV  2π x f(x) Δx V  2π

b

 x f(x) dx

a

19

Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x, sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu y. Tentukan volume benda yang terbentuk dengan metode kulit tabung

20

Contoh : Daerah yang dibatasi kurva y=1/x, sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu y. Tentukan volume benda yang terbentuk dengan metode kulit tabung ΔV  2π x f(x) Δx

Jawab

V  2π

b

 x f(x) dx

a

1 V  2  x 1 dx  2  x 2 dx x 1 1 4

4

4 3 2   2  x 2 

 3

 1

28 2 2   2  .8  .1   29,32 3  3 3

21

4. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR Diketahui x=f(t) dan y=g(t), atb, adl pers kurva licin pada bidang xy yang terbagi menjadi n bagian. Bila kurva itu diputar mengelilingi sumbu x, ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian Si akan membentuk permukaan bagian. Luas bagian ini dpt didekati oleh luas kerucut terpancung yakni 2yiSi

22

Kurva y=f(x) pada batas axb, diputar mengelilingi sumbu x, maka luasnya adalah A  2π

**

b

*

a

 yds 2π  f(x) 1 





2 ' f (x) dx

23

5. MOMEN DAN PUSAT MASSA Hasilkali massa m dan jarak berarah dari suatu titik disebut momen benda thd titik tersebut m

M=x.m x

Jumlah momen M suatu sistem yg terdiri dari n massa sebesar m1, m2,…mn yg berada pd x1,x2,…xn, yaitu : n

M= x1m1 + x2m2+…+ xnmn =

 x i mi

i 1

24

Syarat keseimbangan  M = 0 m1

m2

m3

x1

x2

x3

0

mn-1 xn-1

mn xn

Dimanakah koordinat x titik seimbang itu? (Misalnya titik seimbang = x), maka momen sistem HARUS NOL (x1-x)m1 + (x2-x)m2+…+ (xn –x)mn = 0

atau x1m1 + x2m2+…+ xnmn = xm1+xm2 +…+xmn 25

sehingga

n

M x  m

 x i mi

i 1 n

 mi

i 1

x dinamakan pusat massa dan titik ini seimbang

26

Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis Titik berat kawat yang berada pada suatu sistem koordinat dimana kepadatannya sebesar (x) adalah x 0

b

a x b

Δm  δ(x) Δx m

b

 δ(x) dx

a

sehingga

 x δ (x) dx

M x   a b m

 δ (x) dx

a

27

Distribusi massa pada bidang Jumlah momen

m1

m2

(x1,y1)

(x2,y2) m3

mn

(x3,y3)

Koordinat

My 

 y i mi

i 1 n

 x imi

i 1

(xn,yn)

x, y  titik berat sistem tersebut : n

My

Mx 

n

 x i mi

x   i 1 n m

 mi

i 1

n

 y i mi

Mx y  i 1 n m

 mi

i 1

28

Contoh : Kepadatan (x) sepotong kawat disebuah titik yg terletak x cm dari salah satu ujungnya (x)= 3x2 gr/cm. Tentukan pusat massa kawat antara x=0 dan x=10 Jawab : 10

10

 x. δx dx

x  0

10

2  x . 3x dx

 0

10

2 3x dx 

 δ (x) dx

0

0

 3x    4

4



 

10

   0

3 10 x 0

7.500   7 ,5 cm 1.000 29