APLIKASI INTEGRAL TENTU A. Luas Daerah Bidang Rata 1. Misalkan daerah 𝑅 = 𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 . Luas R? Langkah-langkah: 1. Iris R menjadi n bagian dari luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x). alas (lebar) ∆𝑥 ∆𝐴 ≈ 𝑓 𝑥 ∆𝑥 2. Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:
y = f(x) R ∆𝑥
a
b
𝑏
Luas R = 𝐴 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎
Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥 2 , sumbu x dan x = 2? Luas irisan : ∆𝐴 ≈ 𝑥 2 ∆𝑥 Luas daerah : 𝐴 =
2 2 𝑥 𝑑𝑥 0
1 3
= 𝑥3
2 8 = 0 3
𝑦 = 𝑥2 R
∆𝑥 2 2. Misalkan daerah 𝑅 = y = h(x) R
h(x) – g(x) y = g(x)
a
∆𝑥
𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 . Luas R? Langkah: 1. Iris R menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi (h(x) – g(x)) dan alas ∆𝑥 ∆𝐴 ≈ 𝑥 − 𝑔 𝑥 ∆𝑥 2. Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh 𝑏
b Luas R = 𝐴 =
𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎
Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis 𝑦 = 𝑥 + 4 dan parabola 𝑦 = 𝑥 2 − 2 Jawab: Titik potong antara garis dan parabola: 𝑥 + 4 = 𝑥2 − 2 ↔ 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 ↔ 𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 0 Maka titik potongnya : x = 3 dan x = -2
KED
APLIKASI INTEGRAL TENTU 𝑦 =𝑥+4
Luas irisan : ∆𝐴 ≈ 𝑥 + 4 − 𝑥 2 − 2 ∆𝑥 Sehingga luas daerah: 3
𝑥 + 4 − 𝑥 2 − 2 𝑑𝑥
𝐴= −2 2
3
−𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑑𝑥
=
𝑥+4 − 𝑥 −2
−2
1 1 125 3 = − 𝑥 3 + 𝑥 2 + 6𝑥 = −2 3 2 6
𝑦 = 𝑥2 ∆𝑥
Catatan : Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak di atas dikurangi kurva yang dibawahnya. Jika batas atas dan batas bawah irisan berubah untuk sebarang irisan di R maka daerah R harus dibagi dua atau lebih. Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x, 𝑦 = 𝑥 2 dan 𝑦 = −𝑥 + 2 Jawab: Jika dibuat irisan yang tegak lurus dengan sumbu x, maka 𝑦 = −𝑥 + 2 daerah harus dibagi menjadi dua bagian. Luas daerah I: ∆𝐴1 ≈ 𝑥 2 ∆𝑥 1
𝑦=𝑥
2
𝐴1 = I II
0
1 1 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 = 0 3 3
Luas daerah II: ∆𝐴2 ≈ −𝑥 + 2 ∆𝑥 2
𝐴2 = 1
1 2 1 −𝑥 + 2 𝑑𝑥 = − 𝑥 2 + 2𝑥 = 1 2 2
Sehingga luas daerah: 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 = 3. Misalkan daerah 𝑅 = d 𝑔 𝑦 ∆y c
𝑦
1 1 5 + = 3 2 6
𝑥, 𝑦 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑔 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 . Luas R? Langkah: 1. Iris R menjadi n selang dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi dengan tinggi [h(y) - g(y)] dan alas ∆𝑦 ∆𝐴 ≈ 𝑦 − 𝑔 𝑦 ∆𝑦 2. Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: 𝑑
Luas R = 𝐴 =
𝑦 − 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 𝑐
Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh 𝑥 = 3 − 𝑦 2 dan 𝑦 = 𝑥 − 1 Jawab: Titik potong: 𝑦 + 1 = 3 − 𝑦2 ↔ 𝑦2 + 𝑦 − 2 = 0 ↔ 𝑦 + 2 𝑦 − 1 = 0 Jadi titik potongnya: y = -2 dan y = 1
KED
APLIKASI INTEGRAL TENTU y =x−1 x = 3−y
2
Luas irisan : ∆𝐴 ≈ 3 − 𝑦 2 − 𝑦 + 1 ∆𝑦 Sehingga luas daerah: 1 Luas daerah = 𝐴 = −2 3 − 𝑦 2 − 𝑦 + 1 𝑑𝑦 1
= ∆y
−2
1 1 9 1 −𝑦 2 − 𝑦 + 2 𝑑𝑦 = − 𝑦 3 − 𝑦 2 + 2𝑦 = −2 2 3 2
Catatan: Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang terletak disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sebarang irisan R maka daerah R harus dibagi dua atau lebih.
B. Menghitung Benda Putar Metode Cakram 1. Daerah 𝑅 = 𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 tersebut?
diputar terhadap sumbu x. Berapa volume benda
𝑦=𝑓 𝑥 R a
b
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan, dan ambil limitnya. 𝑦=𝑓 𝑥 R a
∆x
b
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas Δx diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal Δx dan jari-jari f(x). sehingga ∆𝑉 ≈ 𝜋𝑓 2 𝑥 ∆𝑥 Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cakram. Dengan mengambil limitnya diperoleh 𝑏
𝑓 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑉=𝜋
∆𝑥
𝑎
𝑓 𝑥
Contoh:Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 2 , sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap sumbu x.
KED
APLIKASI INTEGRAL TENTU Jawab: Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari 𝑥 2 dan tebal ∆𝑥. Sehingga ∆𝑉 ≈ 𝜋 𝑥 2 2 ∆𝑥 = 𝜋𝑥 4 ∆𝑥 Volume benda putar
𝑦 = 𝑥2
2
∆𝑥 2
𝜋 5 2 32𝜋 𝑥 = 0 5 5
𝑥 4 𝑑𝑥 =
𝑉=𝜋 0
2. Daerah 𝑅 =
𝑥, 𝑦 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥
diputar terhadap sumbu y?
d 𝑥=𝑔 𝑦 c
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan, dan ambil limitnya. d ∆𝑦
𝑥=𝑔 𝑦
c
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas Δy diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal Δy dan jari-jari g(y). Sehingga ∆𝑉 ≈ 𝜋𝑔2 𝑦 ∆𝑦 Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cakram. Dengan mengambil limitnya diperoleh 𝑑
𝑔2 𝑦 𝑑𝑦
𝑉=𝜋 g(y)
𝑐
Δy Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 2 dan garis y = 4, sumbu y diputar terhadap sumbu y. Jawab: 𝑦 = 𝑥2
Jika irisan dengan tinggi 𝑦 dan tebal Δy diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari 𝑦 dan tebal Δy. Sehingga
Δy
∆𝑉 ≈ 𝜋 Volume benda putar
2
𝑦 ∆𝑦 = 𝜋𝑦∆𝑦
4
𝑉=𝜋
𝑦𝑑𝑦 = 0
𝜋 2 4 𝑦 = 8𝜋 0 2
KED
APLIKASI INTEGRAL TENTU METODE CINICIN A. Daerah 𝑅 = 𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 putar yang terjadi?
diputar terhadap sumbu x. Berapa volume benda
h(x) R g(x) a
b
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x) – g(x) dan h(x) alas Δx diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal Δx dan jari-jari luar h(x) dan jari-jari dalamnya g(x). Sehingga R ∆𝑉 ≈ 2 𝑥 − 𝑔2 𝑥 ∆𝑥
g(x) a
Δx
b
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cincin. Dengan mengambil limitnya diperoleh
Δx
𝑏
2 𝑥 − 𝑔2 𝑥 𝑑𝑥
𝑉=𝜋 𝑎
g(x) h(x)
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 2 , sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap garis y = -1. Jawab: Jika irisan diputar terhadap garis y = −1 akan diperoleh suatu cincin dengan jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 1 + 𝑥 2 . Sehingga ∆𝑉 ≈ 𝜋 1 + 𝑥 2 2 − 12 ∆𝑥 = 𝜋 𝑥 4 + 2𝑥 2 ∆𝑥 Volume benda putar:
y = x2
2
𝑥 4 + 2𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋
𝑉=𝜋 0
2
1 5 2 3 2 186 𝑥 + 𝑥 = 𝜋 0 5 3 15
y = −1
KED
APLIKASI INTEGRAL TENTU B. Daerah 𝑅 = 𝑥, 𝑦 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑔 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 putar yang terjadi?
d
diputar terhadap sumbu y. Berapa volume benda
R g(y)
h(y)
c Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(y) – g(y) dan alas Δy diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cincin dengan d tebal Δy dan jari-jari luar h(y) dan jari-jari dalamnya g(y). Sehingga R Δy ∆𝑉 ≈ 2 𝑦 − 𝑔2 𝑦 ∆𝑦 g(y) h(y) c Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cincin. Dengan mengambil limitnya diperoleh 𝑏
2 𝑦 − 𝑔2 𝑦 𝑑𝑦
𝑉=𝜋 𝑎
Catatan: Metode cincin irisan dibuat tegak lurus dengan sumbu putar METODE KULIT TABUNG a. Misal daerah 𝑅 = benda putar?
𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥
diputar terhadap sumbu y. Berapa volume
y = f(x) R b
a
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah, dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas Δx diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan tebal Δx dan jari-jari dalam x. Sehingga
y = f(x) R a
Δx
b
∆𝑉 ≈ 2𝜋𝑥𝑓 𝑥 ∆𝑥 KED
APLIKASI INTEGRAL TENTU
Δx
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume kulit tabung. Dengan mengambil limitnya diperoleh
x
𝑏
f(x)
𝑉 = 2𝜋
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎
f(x) Δx
2𝜋𝑥
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥, x = 4, y = 0; mengelilingi sumbu x = 4 Jawab: Jika irisan diputar terhadap garis x = 4 akan diperoleh suatu tabung kosong x=4 dengan jari-jari 4 – x dan tinggi tabung 𝑥 ∆𝑉 ≈ 2𝜋 4 − 𝑥 𝑥∆𝑥 Volume benda putar: 4 𝑦= 𝑥 3 8 2 1 4 𝑉 = 2𝜋 4 𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2𝜋 𝑥 3 2 − 𝑥 5 2 = 17 𝜋 0 3 5 15 0 Δx
b. Misal daerah 𝑅 = putar?
𝑥, 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥
diputar terhadap y. Berapa volume benda
h(x) R g(x) a b Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah, dan ambil limitnya. x
h(x) R
𝑥 −𝑔 𝑥
𝑥 −𝑔 𝑥 g(x)
a
Δx
Δx
b
2𝜋𝑥
Δx KED
APLIKASI INTEGRAL TENTU
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi 𝑥 − 𝑔 𝑥 dan alas ∆𝑥 diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan tebal ∆𝑥 dan jari-jari dalam tabung x. Sehingga ∆𝑉 ≈ 2𝜋𝑥 𝑥 − 𝑔 𝑥 ∆𝑥 Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume kulit tabung. Dengan mengambil limitnya diperoleh 𝑏
𝑉 = 2𝜋
𝑥 𝑥 −𝑔 𝑥
𝑑𝑥
𝑎
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 mengelilingi sumbu y. Jawab: y = 2x
y = x2 2
Titik potong:
𝑥 2 = 2𝑥 ↔ 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 ↔ 𝑥 𝑥 − 2 = 0 Jadi titik potong adalah x = 0 dan x = 2 Jika irisan diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari x dan tinggi tabung 2𝑥 − 𝑥 2 ∆𝑉 ≈ 2𝜋𝑥 2𝑥 − 𝑥 2 ∆𝑥 Volume benda putar: 2
2𝑥 2 − 𝑥 3 𝑑𝑥 = 2𝜋
𝑉 = 2𝜋 0
2 3 1 4 2 8 𝑥 − 𝑥 = 𝜋 0 3 4 3
Catatan: Metode kulit tabung irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
Daftar Pustaka Purcell & Varberg. Kalkulus dan Geometri Analitik. Erlangga: 1992
KED
