Aplikasi Integral Tentu థ Luas diantara 2 kurva థ Volume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) థ Volume benda putar (dengan metode kulit tabung) థ Luas permukaan benda putar థ Momen dan pusat massa
APLIKASI INTEGRAL TENTU
1
1. LUAS DIANTARA 2 (DUA) KURVA
2
Cara menghitung : 1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang sama besar kemudian tentukan irisan ke-i dengan membuat persegi panjang beralas x dan tinggi f(x i*)- g(xi*)
3
4
1
2. Jumlahkan semua persegi panjang yang telah dibuat
Luas A dari S sebagai nilai limit dari jumlah persegi panjang n
A lim f (xi * ) g (xi * ) Δx n i 1
Luas A yang dibatasi kurva y=f(x), y=g(x) dan garis x=a, x=b dengan f dan g kontinu dan f(x) ≥ g(x) untuk semua x pada selang [a,b] adalah
3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan
b
A [f(x) g(x)] dx a
5
6
2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG Volume benda padat yang luas penampangnya A(x) dan berada antara x=a dan x=b adalah
Carilah luas daerah yang dilingkupi oleh parabola y = x2 dan y = 2x-x2
n
*
b
V lim A(x1 )Δx A(x)dx n i 1
a
Langkah-langkah mencari : 1.Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari 2.Carilah luas A(x) 3.Carilah batas-batas integrasi 4.Integralkan
7
10
2
METODE CAKRAM 1. Tentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva y=x, sumbu x dan garis x=4, bila R diputar mengelilingi sumbu x.
Bila volume tabung2 dijumlahkan lalu diintegralkan 4
V x dx 0 4
16 1 x2 8 25,13 2 2 0
Volume = A x h = (x)2 . x 11
12
Contoh : Tentukan volume benda apabila daerah yang dibatasi oleh parabola y=x 2 dan y2=8x diputar mengelilingi sumbu x.
METODE CINCIN Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu putarnya kita akan memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian tengahnya (disebut cincin)
Titik potong (0,0) dan (2,4)
V= (r22-r12)h r1 = jari-jari dalam r2 = jari-jari luar h = tebal cincin
V [ (8x)2- (x 2)2 ] x
13
14
3
Contoh : Tentukan volume benda apabila daerah yang dibatasi oleh parabola y=x 2 dan y2=8x diputar mengelilingi sumbu x.
3. VOLUME BENDA PUTAR : KULIT TABUNG
Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit. V=(luas alas) . (tinggi) = (r22- r12) h = (r2 + r1) (r2 - r1) h r r1 2π 2 h r2 r1 2
15
17
Jika dibuat potongan jalur yang vertikal dan diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk benda seperti kulit tabung.
sehingga V= 2 * (rerata jejari) * tinggi * tebal V= 2 r h r
18
19
4
Contoh :
Untuk memperoleh volume, hitung V dari kulit tabung, jumlahkan lalu tarik limit jumlahnya shg menghasilkan sebuah integral
Daerah yang dibatasi kurva y=1/x, sumbu x, garis x=1 dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu y. Tentukan volume benda yang terbentuk dengan metode kulit tabung
ΔV 2π x f(x) Δx V 2π
b
x f(x) dx
a
20
21
4. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR Diketahui x=f(t) dan y=g(t), atb, adl pers kurva licin pada bidang xy yang terbagi menjadi n bagian. Bila kurva itu diputar mengelilingi sumbu x, ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian Si akan membentuk permukaan bagian. Luas bagian ini dpt didekati oleh luas kerucut terpancung yakni 2yiSi
Kurva y=f(x) pada batas axb, diputar mengelilingi sumbu x, maka luasnya adalah A 2π
23
**
b
*
a
' yds 2π f(x) 1 f (x)
2 dx
24
5
Syarat keseimbangan M = 0
5. MOMEN DAN PUSAT MASSA Hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik disebut momen benda thd titik tersebut m M=x.m
m1
m2
m3
x1
x2
x3
0
mn-1 x n-1
mn xn
Dimanakah koordinat x titik seimbang itu? (Misalnya titik seimbang = x), maka momen sistem HARUS NOL
x Jumlah momen M suatu sistem yg terdiri dari n massa sebesar m1, m2,…mn yg berada pd x 1,x2,…xn, yaitu :
(x 1-x)m1 + (x 2-x)m2+…+ (x n –x)mn = 0
n
M= x 1m1 + x 2m2+…+ x nmn =
x i mi
Atau :
i 1
x 1m1 + x 2m2+…+ x nmn = xm1+xm2 +…+xmn
25
26
Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis Titik berat kawat yang berada pada suatu sistem koordinat dimana kepadatannya sebesar (x) adalah
sehingga n
M x m
x
x i mi
i 1 n
0 x
mi
i 1
b
a
Δm δ(x) Δx m
x dinamakan pusat massa dan titik ini seimbang
b
δ(x) dx
a
b
sehingga
x
x δ (x) dx M a b m δ (x) dx a
27
28
6
Distribusi massa pada bidang Contoh :
m1 m2
(x1,y1)
Mx
(x2,y2) m3
mn
(x3,y3)
Koordinat
(xn,yn)
My
n
y i mi
i 1 n
x imi
i 1
x, y titik berat sistem tersebut : n
My
x i mi
x i 1 n m
mi
i 1
Contoh :
Jumlah momen
Kepadatan (x) sepotong kawat disebuah titik yg terletak x cm dari salah satu ujungnya (x)= 3x2 gr/cm. Tentukan pusat massa kawat antara x=0 dan x=10
n
y i mi M y x i 1 n m mi i 1
29
30
Terdapat 5 partikel dg massa sebesar 1,4,2,3 dan 2 satuan massa yg masing2 ada di titik (6,-1), (2,3), (4,2), (-7,4), dan (2,-2). Tentukan pusat massanya.
32
7
