APLIKASI INTEGRAL
PENERAPAN INTEGRAL
APLIKASI INTEGRAL
Luas daerah kelengkungan
PENERAPAN INTEGRAL Indikator 1
Indikator 2 y x2
9
Luas daerah di bawah 2 kurva y x berdsar prinsip Riemaan
2 Volume benda putar, jika kurva y x 4 x
diputar mengelilingi sumbu Y
Luas Luas Daerah Daerah
Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku :
b
f (x) dx F(b) F(a)
a
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai F(x) ab Contoh 1 : 2
Hitunglah nilai dari 6 x 2 4 x dx 1
Jawab
2
6x
1
2
2
4 x dx = 2x 3 2x 2 1 = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
= 16 – 8 + 2 + 2 = 12
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Berubah Menjadi
Jumlah Luas Partisi y
Integral
y
f (x)
f (x)
Tentukan limitnya
n
b
n
i 1
f ( x) dx
f (xi )xi
a
x
x 0
a
x
0
b b
n
a
L f (x) dx lim f (xi ) xi a
n i 1
b
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Kegiatan pokok dalam menghitung luas
y
y f(x)
xi
daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya f ( xi )
Li
3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li f(xi) xi 4. Jumlahkan luas partisi
x 0
L f(xi) xi 5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral L
a
0
f (x) dx
xi
a
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 1.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 Jawab
Langkah penyelesaian :
f ( x) x 2
y
1. Gambarlah daerahnya
xi
2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi 4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi 5. Ambil limit jumlah luasnya
xi 2
L = lim xi2 xi
Li
6. Nyatakan dalam integral dan 3
hitung nilainya L x 2 dx
x 0
0
L
3 3 x 3 0
33 3
0 9
xi
3
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 2.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4 Jawab
f ( x) x 2
y
Langkah penyelesaian : 4
1. Gambarlah daerahnya 2. Partisi daerahnya
xi
y
3. Aproksimasi luasnya L xi.y 4. Jumlahkan luasnya L y. y
y
5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim y. y
6. Nyatakan dalam integral dan 4 hitung nilainya L
0
y . dy 3 4 2
2 2 16 L y .8 3 3 0 3
x 0
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 3.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 6 Jawab
xi
y
Langkah penyelesaian: 1. Gambar dan Partisi daerahnya
4 xi xi 2
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan Aj -(4xj - xj2)xj 3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan
Li
0
xj 4
A
-(4xj - xj2)xj
xi 0 (4 x x 2 )
6
xj
Aj
4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi
dan A = lim -(4xj - xj2)xj 5. Nyatakan dalam integral 4
L (4 x x 2 ) dx 0
6
A ( 4 x x 2 ) dx 4
f(x) 4 x x 2
x
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral 4
L (4 x x 2 ) dx 0
L 2x 2
1 3
x3
4
0
L 2(4)2 31 (4)3 0 32 6
A ( 4 x x 2 ) dx 4
xi
y
A 2 x 2 13 x 3
4 xi xi 2
64 3
Li 4
0
xi
6 4
A 2(6)2 13 (6)3 2( 4)2 13 ( 4)3
64 A 72 216 32 3 3
A
152 3
xj
Aj
f(x) 4 x x 2
40
Luas daerah 32 643 152 3 40 21
0 (4 x x 2 )
6
xj
1 3
x
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Kesimpulan : y
y xi
y f(x)
y xi y
f ( xi )
x 0
b
L y.dx a
x 0
b
L x.dy a
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian:
y
1. Partisi daerahnya
x
y f(x)
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya : L = lim [ f(x) – g(x) ] x 6. Nyatakan dalam integral tertentu
L
b
a
f(x) g(x)dx
f(x) g(x)
Li 0
a
x
b x
y g(x)
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 4.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x Jawab Langkah penyelesaian: y 2x 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya (2 x) x 2 4. Aproksimasi luasnya Li (2 - x - x2)x 5. Nyatakan dalam integral tertentu 1
2
L (2 x x ) dx 2
y 5 x
4
3 Li
y x2
2 1 x
-3
-2
-1
x
0
1
2
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
L
1
(2
2
x x 2 ) dx
L 2x
x2 2
1 x3 3 2
y
y 2x
5 x
L 2(1)
L 2
1 2
L 2
12 2
1 3
1 2
13 3
4 2 8 3
1 3
42
3
(2 x) x 2
1 2
4
1 2
Li
y x2
2 1
8 3
x -3
L 5
4
2(2) (2)2 (2)3 2 3
-2
-1
x
0
1
2
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Untuk kasus tertentu pemartisian
y g(x)
y
secara vertikal menyebabkan ada
y f(x) x
dua bentuk integral. Akibatnya
Li
x
f(x) g(x)
diperlukan waktu lebih lama untuk Ai
menghitungnya.
0
x
a
b 2 f ( x)
a
b
0
a
Luas daerah = 2 f ( x)dx f (x) g(x)dx
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y g ( x) x g ( y ) y
y f ( x) x f ( y )
d g(y) f(y) y
Li
x 0
c
d
Luas daerah = g(y ) f (y ) dy c
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 5.
Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (6 - y - y2)y 5. Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah =
6 y
2 0
y
2
dy
y 6
(6 y) y 2 x y2 2 Li
y
y 6 x
0
x 6y
Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral
Luas daerah =
6 y
2
y 2 dy
0
Luas daerah = 6 y
y2 y 2 3
0
3 6( 2) 4 2 Luas daerah = 2 3
Luas daerah =
12
2 8 3
y
3 2
6
(6 y) y 2 x y2
0 2 Li
y
6 x 0
22 Luas daerah = 3
y
x 6y
PENERAPAN INTEGRAL Volume benda putar
Pendahuluan
Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu.
Gb. 4
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Pendahuluan
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y
y
y
4 3 0
x
2
x
1 x 2
1
0
1
2
PERLU DI INGAT !!!!!
RUMUS DASAR TABUNG : >> LUAS PERMUKAAN TABUNG L = 2 x π x jari-jari x tinggi
L=2 πrt >> VOLUME TABUNG V = luas alas x tinggi V = π x (jari-jari) 2 x tinggi
V= π r2 t
Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotongmotongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Volume Volume Benda Benda Putar
Volume Volume Benda Benda Putar
Metode Cakram y
Bentuk cakram di samping dapat
x
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
f (x)
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V r2h atau V f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil
a
x
x
y
limitnya, dan nyatakan dalam integral
h=x
diperoleh: V f(x)2 x V = lim f(x)2 x
r f(x)
x
0
a
v [ f (x)]2dx 0
a
V y 2dx 0
x
Volume Volume Benda Benda Putar
Metode Cakram y
y
y f (x)
y f ( x) x f ( y )
x
x
f (x)
x
a
x
y
y x
h=x
y
r x f ( y)
r f(x)
x
0
h=y y x
x
a
V y 2 .dx 0
a
V x 2 .dy 0
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Cakram Contoh 6.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
y
Langkah penyelesaian:
y
y x2 1
1. Gambarlah daerahnya
x
2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Nyatakan dalam bentuk integral.
h=x
1
x2 1 x
2
r x2 1
x
x
x
2
V y 2 .dx 0
2
V ( x 2 1) 2dx 0
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Cakram
2
V y 2 .dx
y
0 2
V ( x 2 1) 2dx
h=x
0
r x2 1
2
V ( x 4 2 x 2 1) dx V
0
x
1 x5 2 x3 x 2 5 3 0
V ( 32 16 2 0) 1311 5
3
15
x
Volume Benda Putar
Metode Cakram Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. y
Jawab
y x2
Langkah penyelesaian: 2
1. Gambarlah daerahnya
y
y
2. Buatlah sebuah partisi
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk
x y
partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang
r
diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.
y
h=y
y x
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Cakram
2
V x 2 .dy
y = x2
y
0 2
V ydy
2
0
r y
2
V ydy
h=y y
0
V
1 2
y2
V ( 21 4 0)
V 2
2 0
x
Metode Cincin
Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-
motongnya yang potongannya berbentuk cincin.
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Cincin
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
R
cincin dilakukan dengan
r
memanfaatkan rumus volume
h
cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h
b
V y1 y2 .dx a
2
2
b
dan
V x1 x2 .dy a
2
2
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Cincin
Contoh 8.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y
y x2
1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi
y = 2x 4
x
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.
x
2x x2 x
2
x
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Cincin
V (R2 – r2) h V [
(2x)2
y
– (x2)2
] x
y x2
y = 2x 4
x
2
V ( y1 y2 ) dx 2
2
0
V
2
0
R=2x r=x2
(4 x 2 x 4 ) dx
3 5 2 4 1 V x x 3 5 0
x
2
x
y
V ( 32 32) 3
5
V (160 96 ) 15
V 64 15
x
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Kulit Tabung
Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y x2
1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.
4 3
x
2 x2
1
x 0
x
1
2
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume roti pada gambar disamping.
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Kulit Tabung r
r
h
a
b
b
V 2 x. y.dx a
h
V = 2rhΔr 2r
Dimana x merupakan jari-jari (r) dan y merupakan tinggi tabung (h)
Δr
Volume Volume Benda Benda Putar Putar
Metode Kulit Tabung y
yx
y
2
4
4
3
x
3
x
r=x
2
2
x2
1
1
h = x2
x 0
x
1
2
x 1
2
0
1
2
2
V 2rhx V
2(x)(x2)x
V 2x3x
V = lim 2x3x
V 2 x. y.dx 2
0
V 2 x 3 dx 0
1x V 2 4
V 8
4
2 0
