APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG

Bahan ajar Kalkulus Integral

2009

APLIKASI INTEGRAL

1. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h1, h2, …, hn yang panjangnya ∆1x, ∆2x, …, ∆nx (anggap ∆1x = ∆2x = … = ∆nx), ambil sebarang titik x = xi pada masing-masing hi dan bentuk persegi panjang yang alasnya hi (jadi panjangnya ∆ix) dan tingginya f(xi).

Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi panjang pendekatan dengan luas = f(x.i) ∆ix. Sehingga jumlah luas n persegi panjang adalah : ∆ Luasan tersebut merupakan pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh f(x), sumbu X, dan garis-garis x = a dan x = b. Jika ∆kx Æ0, maka banyaknya subinterval n Æ ∞, sehingga luas daerah tersebut adalah : lim

∞

∆

Misal : luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x, sumbu X, x = 1 dan x = 3 adalah :

Writing by [email protected] ‐ UMP

Page 1


2009

1 2

|

1 9 2

1

4

Ada beberapa hal yang harus diketahui adalah : A. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

B. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah


Page 2


2009

C. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing daerah. Misal pada gambar :

Maka Æ Luas = Luas I + Luas II + Luas III Jadi

Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah |

|

D. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu Y adalah : |

|

E. Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, secara umum berlaku bahwa luas daerah yang dibatasi oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b adalah : Writing by [email protected] ‐ UMP

Page 3


2009

b

Luas = L = ∫ f ( x) − g ( x) dx a

seperti tampak pada gambar berikut :

atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y), g(y), garis y = a, dan y = b, adalah :

b

Luas = L = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy a

seperti tampak pada gambar berikut :


Page 4


2009

Catatan Penting : Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya dengan tebal ∆x (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau ∆y (bila persegi panjang mendatar / horizontal). 2. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk yang tegak) atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian gunakan integral untuk menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya dibuat menjadi ∞.

Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas daerah : 1. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4, garis x = 0, x = 3, dan sumbu X adalah :

Jadi luas daerah tersebut adalah : 2

(

)

3

(

)

Luas = ∫ − x − 4 dx + ∫ x 2 − 4 dx 2

0


2

Page 5


2009

⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ = − ⎜ x 3 − 4 x ⎟ 02 + ⎜ x 3 − 4 x ⎟ ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠

3 2

⎧⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞⎫ = − ⎨⎜ .8 − 4.2 ⎟ − 0⎬ + ⎨⎜ .27 − 4.3 ⎟ − ⎜ .8 − 4.2 ⎟⎬ ⎠ ⎭ ⎩⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠⎭ ⎩⎝ 3 ⎧ 8 ⎫ ⎧⎛ 27 ⎞ ⎛8 ⎞⎫ = − ⎨ − 8⎬ + ⎨⎜ − 12 ⎟ − ⎜ − 8 ⎟⎬ ⎩ 3 ⎭ ⎩⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠⎭ ⎛ 16 ⎞ ⎛ 9 ⎛ 16 ⎞ ⎞ = − ⎜ − ⎟ + ⎜⎜ − − ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎝ 3 ⎠⎠

=

16 7 23 + = 3 3 3

Jika dilakukan penghitungan nilai integral secara langsung, maka akan terjadi kesalahan yaitu 3

(

)

⎛1 ⎞ Luas = ∫ x 2 − 4 dx = ⎜ x 3 − 4 x ⎟ ⎝3 ⎠ 0

3 0

⎛1 ⎞ = ⎜ .27 − 4.3 ⎟ − 0 = 9 − 12 = − 3 ⎝3 ⎠

Æ (salah !!! tidak ada besar luasan yang bernilai negatif).

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4 dan garis y = 3x. Titik potong parabola f(x) = y = x2 – 4 dan garis lurus g(x) = y = 3x adalah (4, 12) dan (-1, 3)* *) y = x2 – 4 dipotongkan dengan garis y = 3x maka x2 – 4 = 3x atau x2 - 4 - 3x = 0. Dengan menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat x2 – 4 - 3x = 0, diperoleh (x – 4)(x + 1) = 0, berarti x = 4 atau x = -1. Untuk x = 4, maka y = 12, dan untuk x = -1, maka y = -3. Sehingga diperoleh pasangan titik potong kedua kurva yaitu (4, 12) dan (-1, -3).


Page 6


2009

Grafik dari kurva seperti berikut :

Sesuai dengan kondisi (E), maka dapat dihitung luas daerah sbb : 4

4

4

−1

−1

−1

Luas = ∫ f (x ) − g ( x ) dx = ∫ x 2 − 4 − 3 x dx = ∫ x 2 − 3x − 4 dx selanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari persamaan kuadrat tersebut yaitu : x2 - 3x - 4 = (x – 4)(x + 1). +++---+++ -1 4 Jadi pada interval -1 ≤ x ≤ 4, x2 - 3x – 4 ≤ 0 sehingga penghitungan luas dilakukan dengan menegasikan nilai integrand-nya sbb :


Page 7


2009

4

(

)

4

3 ⎞ ⎛ 1 Luas = ∫ − x 2 − 3x − 4 dx = ∫ − x 2 + 3x + 4 dx = ⎜ − x 3 + x 2 + 4 x ⎟ 2 ⎠ ⎝ 3 −1 −1

4 −1

3 3 ⎞ ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 3 2 = ⎜ − .4 3 + .4 2 + 4.4 ⎟ − ⎜ − .(− 1) + .(− 1) + 4.(− 1)⎟ 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ 3 ⎝ 3

125 ⎞ ⎛ 112 13 ⎞ ⎞ ⎛1 3 ⎛ 64 48 + ⎟ = =⎜− + + 16 ⎟ − ⎜ + − 4 ⎟ = ⎜ 6 6⎠ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝3 2 ⎝ 3

Sebagai catatan bahwa jika dilihat dari gambar, maka pada interval -1 ≤ x ≤ 4, kurva garis terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) – f(x) bernilai positif atau 3x – (x2 – 4) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung menggunakan : 4

Luas =

∫ (g ( x) − f ( x)) dx = ∫ {3x − (x

−1

=

4

−1

2

)}

4

(

)

4

(

)

− 4 dx = ∫ 3 x − x + 4 dx = ∫ − x 2 + 3x + 4 dx −1

2

−1

125 6

3. Luas daerah satu ruas sikloida x = t – sin t, y = 1 – cos t seperti ditunjukkan pada gambar berikut adalah :

Luas satu ruas dapat diambil misalnya untuk t = 0 sampai 2π. Karena x = t – sin t, maka dx = dt – cos t dt = (1 – cos t) dt.


Page 8


2009

Sehingga 2π

Luas =

∫ y dx

t =0

2π

=

∫ (1 − cos t ) (1 − cos t ) dt

t =0

2π

=

∫ (1 − cos t )

2

dt

t =0

2π

=

∫ (1 − 2 cos t + cos

2

t ) dt

t =0

2π

=

2π

2π

∫ 1 dt − 2 ∫ cos t dt + ∫ cos

t =0

t =0

2π 0

2π 0

=t|

−2 sin t |

2

t dt

t =0

2π

+ ∫ cos 2 t dt t =0

2π

untuk menghitung nilai integral

∫ cos

2

t dt gunakan kesamaan fungsi trigonometri cos2t = 1 -

t =0

2

sin t, sehingga 2π

2 ∫ cos t dt =

t =0

=

2π

∫ (1 − sin

2

2π

2π

t =0

t =0

t ) dt

t =0

2 ∫ (1 dt − ∫ sin t dt

=t|

2π 0

2π

− ∫ sin 2 t dt . t =0


Page 9


2009

2π

∫ sin

2

t dt dihitung menggunakan kesamaan trigonometri (1 − cos x) = 2 sin 2

1

2

x , dengan

t =0

demikian sin2t = ½(1 - cos2t) sehingga 2π

2π

t =0

t =0

2 ∫ sin t dt =

1

∫ 2 (1 − cos 2t ) dt 2π

1 = ∫ (1 − cos 2t ) dt 2 t =0 2π

2π

1 1 = ∫ 1 dt − ∫ cos 2t dt 2 t =0 2 t =0 2π

=

1 2π 1 t |0 − ∫ cos 2t dt . 2 t =0 2

Dengan substitusi u = 2t, maka du = 2 dt, sehingga 2π

∫ cos 2tdt

2π

=

t =0

1

∫ cos u 2 du

t =0

2π

1 = ∫ cos u du 2 t =0

= 2π

Jadi

∫ (1 − cos t )

t =0

2

1 1 sin u |02π = sin 2t |02π . 2 2 1 1 1 dt = t |02π −2 sin t | 02π + t |02π − t |02π + . sin 2t |02π 2 2 2 1 1 1 = t |02π + t |02π − t |02π −2 sin t |02π + . sin 2t | 02π 2 2 2 1 1 = 2t |02π − t |02π −2 sin t | 02π + sin 2t | 02π 2 4


Page 10


2009

=

3 2π 1 t |0 −2 sin t |02π + sin 2t |02π 2 4

3 1 1 = .2π − (2 sin 2π − 2 sin 0) + ( sin 4π − sin 0) 2 4 4 = 3π − 0 + 0 = 3π

Latihan :

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 4x – x2 dan sumbu X. Sebagai bantuan, grafik kurvanya adalah :

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y2 = 4x dan garis y = 2x – 4 dengan garfik sebagai berikut :


Page 11


2009

3. Hitung luas daerah antara y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x. Grafik digambarkan seperti berikut :

4. Tentukan luas daerah yang di dalam y2 = x2 – x4 dengan grafik simetri terhadap sumbu X dan simetri terhadap sumbu Y dan grafik ditunjukkan seperti berikut :


Page 12


2009

Luas daerah bisa dihitung dengan menghitung 4 kali luas pada kuadran pertama. Luas daerah di kuadran pertama adalah : 1

1

0

0

Luas1 = ∫ x 2 − x 4 dx sehingga luas daerah keseluruhan adalah Luas = 4 ∫ x 2 − x 4 dx


Page 13

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG

Recommend Documents