ALJABAR LINIER _1 Matrik Ira Prasetyaningrum
DEFINISI MATRIKS
Apakah yang dimaksud dengan Matriks ? kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.
2
NOTASI MATRIKS Nama matriks menggunakan huruf besar Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku 1 3 A 5 7
2 6
a H d g
b e h
c f i
Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. 3
NOTASI MATRIKS Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.
Notasi A = (aij) Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
A
a 11 a 21 = a 31 ... a m1
4
a 12
a 13
...
a 22
a 23
...
a 32
a 33
...
...
...
...
am2
am3
...
a1n a2n a3n ... a mn
Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n
MATRIKS Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2 1 3 A 2 6
4 1 1 1
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.
5
NOTASI MATRIKS
a 11 a 21 A a m1
a 12
a 22
am2
Kolom
Baris
a1n a2n a mn Unsur Matriks
Matriks berukuran m x n atau berorde m x n 6
6
MATRIKS BARIS DAN KOLOM Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris C 1
2
1
4
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 1 E 3 4
7
MATRIKS A = B Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama. aij = bij dimana - aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j - bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j A=B
2 A 0
4 1
dan
2 B 0
4 1
A≠B 2 A 0
8
4 1
2 5
dan
1 B 3
4 1
PENJUMLAHAN MATRIKS Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a 11 b 11 A B a 21 b 21 a 31 b 31
9
dan
a 12 b 12 a 22 b 22 a 32 b 32
b 11 B b 21 b 31
a 13 b 13 a 23 b 23 a 33 b 33
b 12 b 22 b 32
b 13 b 23 b 33
PENJUMLAHAN MATRIKS Contoh Soal 4 A 1 2
2 3 2
3 B 2 1
4 3 A B 1 2 2 1
7 A B 1 3
10
2 4 4
4 1 2
2 4 31 2 2
PENGURANGAN MATRIKS A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 11 b 11 A B a 21 b 21 a 31 b 31
11
a 13 a 23 a 33
a 12 b 12 a 22 b 22 a 32 b 32
dan
a 13 b 13 a 23 b 23 a 33 b 33
b 11 B b 21 b 31
b 12 b 22 b 32
b 13 b 23 b 33
PENGURANGAN MATRIKS Contoh : 1 A 2 3
1 3 0
0 2 4
1 1 A B 2 1 3 3 0 A B 3 0
12
1 0 0
0 1 2 2 4 4 2 7 2
1 B 1 3
11 3 4 0 2
1 2 4
1 4 2
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k 3 A 5
13
8 1
4 * 3 4A 4 * 5
4 * 8 4 *1
12 4A 20
32 4
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar : k(B+C) = kB + kC k(B-C) = kB-kC (k1+k2)C = k1C + k2C (k1-k2)C = k1C – k2C (k1.k2)C = k1(k2C)
14
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Contoh : 0 A 2
1 1
3 B 1
4 1
dengan k = 2, maka
K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B 0 2( A B ) 2 * ( 2
0 2A 2B 2 * 2
15
1 3 1 1
4 3 ) 2 * 1 3
1 3 2* 1 1
5 6 0 6
4 0 1 4
10 0
2 6 2 2
TERBUKTI 8 6 2 6
10 0
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Contoh : 1 C 2
1 1
dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka
TERBUKTI
(k1+k2)C = k1.C + k2.C 1 (k1 k 2 ) * C (2 3) * 2
1 1 5 * 1 2
1 (k1 * C k 2 * C ) (2) * 2
1 (3) * 1
16
1 2
1 5 1 10 1 2 1 4
5 5 2 3 2 6
3 5 3 10
5 5
PERKALIAN MATRIKS Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua. Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana
17
PERKALIAN MATRIKS Contoh : A 3
1
2
A * B 3
2
3 B * A 1 * 3 0
18
3 B 1 0 3 1 * 1 ( 3 * 3 ) ( 2 * 1 ) (1 * 0 ) 11 0
2
3 * 3 1 1 * 3 0 * 3
3*2 1* 2 0*2
3 * 1 9 1*1 3 0 0 * 1
6 2 0
3 1 0
PERKALIAN MATRIKS Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan) Apabila AB = AC belum tentu B = C Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks : 1. A(BC) = (AB)C 2. A(B+C) = AB+AC 3. (B+C)A = BA+CA 4. A(B-C)=AB-AC 5. (B-C)A = BA-CA 6. A(BC) = (aB)C= B(aC) 7. AI = IA = A 19
PERPANGKATAN MATRIKS Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku : A2 = A A A3 = A 2 A A4 = A 3 A A5 = A4 A; dan seterusnya
20
PERPANGKATAN MATRIKS Tentukan hasil A² dan A³ 1 A 2
A
A
3
2
1 0
1 AxA 2
1 1 0 2
1 2
1 3 0 2
AxA
21
2
1 3 0 2 1 5 2 6
1 2 3 2
PERPANGKATAN MATRIKS Tentukan hasil 2A² + 3A³ 1 A 2
2A
3A
2A
2
2
1 0
3 2 2
1 6 2 4
2 4
5 3 2
3 15 2 6
9 6
3
3A
3
22
6 4
2 15 4 6
9 9 6 10
7 10
JENIS –JENIS MATRIKS Matriks bujursangkar berukuran n x n 1 A 3
(persegi)
adalah
matriks
yang
4 1
Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol O 3x2
0 0 0
0 0 0
Sifat-sifat dari matriks nol : -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0.
23
JENIS –JENIS MATRIKS Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh : D 3x3
1 0 0
0 2 0
0 0 5
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama D 3x3
24
5 0 0
0 5 0
0 0 5
JENIS –JENIS MATRIKS Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : 1 0 0 A*I=A D 0 1 0 I*A=A 0 0 1
Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol 2 A 0 0
25
4 1 0
5 2 6
1 B 3 2
0 4 5
0 0 1
