Aljabar Linear
Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Pembahasan
Perkalian vektor dengan skalar Ruang vektor
Perkalian Vektor dengan Vektor: Dot Product - Model dot product - Sifat dot product
Pendahuluan
Penambahan dan pengurangan vektor, merupakan analisa sederhana dari aljabar vektor
Pada pembahasan ini akan dibahas bagaimana konsep perkalian vektor dalam ruang berdimensi 2 atau dimensi 3, serta penerapannya pada bidang geometri, khususnya dengan perkalian vektor dengan skalar dan perkalian dot product
Perkalian Vektor dengan Skalar
Definisi
Untuk sembarang vektor a dengan α, maka: - panjang αa = | α |.|a| - jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a - jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a - jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0
Untuk vektor a dalam koordinat kartesian jika a = [a1,a2,a3] maka αa = [αa1, αa2, αa3]
Sifat Perkalian skalar ‘n vektor
Ruang Vektor
Merupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group
Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan - distributif operasi 1 terhadap operasi 2 - distributif operasi 2 terhadap operasi 1 - assosiatif
Kombinasi linear
Untuk sembarang vektor a1, … , am didalam ruang vektor v , maka ungkapan: α1a1 + α2a2 + … + αm am. α1, … , αm skalar sembarang disebut sebagai “Kombinasi Linear”
Ketergantungan Linear
Jika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk αi = 0 (i=1,2,…,m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai „vektor-vektor bebas linear‟ Jika sekurang-kurangnya terdapat satu α1=0, dimana kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai „vektor-vektor bergantungan linear‟ α1a1 + α2a2 + … + αm am = 0 Berlaku untuk α1 = α2 = … = αm = 0 (vektor2 bebas linear) terdapat minimal satu α1≠0 (vektor2 tidak bebas linear)
Basis ‘n Dimensi Ruang Vektor
Suatu vektor riil R memiliki dimensi n ditulis sebagai Rn jika dan hanya jika terdapat n buah vektor dalam R yang saling bebas linear
n buah vektor bebas linear dalam R disebut sebagai „vektor basis‟. Hal ini berarti setiap vektor lain dalam R selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis.
Vektor basis bmempunyai panjang 1 unit
Perkalian Titik (Dot Product)
Visualisasi
Vektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitan Memiliki sudut antara dua vektor yaitu Ø (dibaca teta) yang memenuhi 0 ≤ Ø ≤ π
Rumus
Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah: u.v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 u.v = 0 jika u = 0 dan v = 0
Orthogonalitas dua vektor
Dua vektor tidak nol dikatakan orthogonal (saling tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya adalah nol. Beberapa formulasi dari perkalian titik ini dapat kita turunkan sebagai berikut: a . a | a || a | cos 0
cos
a .b | a || b |
| a
2
| | a |
a .b a .a
b .b
a .a
Sifat Dot Product
Untuk setiap vektor sebarang a, b, c dan skalar α1, α2 berlaku:
Formulasi Khusus | a .b | | a || b |
Pertidaksa
|a b | |a | |b | |a b |
2
Pertidaksa
| a b | 2 (| a | 2
maan
2
Schwarz maan
|b | ) 2
segitiga Pers . Jajaran
Jika a da b dinyatakan dalam komponennya, maka:
a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ( vektor 3 dimensi )
Genjang
Contoh Soal Jika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1]. Tentukanlah: panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b, sudut vektor c = a + b terhadap sumbu –x
Jawaban:
Contoh soal 2 : Suatu partikel P dikenakan gaya tetap a yang menyebabkan partikel tersebut bergerak sejauh d membentuk sudut α arah gaya a, maka kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah ? Jawab :
Cara lain menyatakan dot produc a.b dituliskan pula sebagai (a,b) : Inner Product
|a| dituliskan pula sebagai
|| a ||
(a, b)
Summary
Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya. vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis Rumus untuk dot product u.v = |u||v| cos Ø u.v = 0
jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 jika u = 0 dan v = 0
Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar
Daftar Pustaka Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta
Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta
