Aljabar Linear dan Matriks (Transformasi Linier dan Matriks) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs

Aljabar Linear dan Matriks (Transformasi Linier dan Matriks) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

2.1 Penjumlahan, Perkalian Skalar, dan Perkalian Matriks • aij: unsur dari matriks A di baris i dan kolom j.

Definisi Dua matriks adalah sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan jika unsur terkaitnya juga sama.

Ch2_2 Lalu

A = B jika aij = bij  i, j.

( untuk setiap atau untuk semua)

Penjumlahan Matriks Definisi Untuk A dan B berupa matriks dengan ukuran yang sama. sum A + B adalah matriks diperoleh dari penjumlahan unsur A dan B. Matriks A + B akan berukuran sama sebagai A dan B. Jika A dan B tidak sama ukurannya, maka kedua matriks tersebut tidak dapat dijumlahkan.

Lalu jika C  A  B, maka cij  aij  bij i,j.

Ch2_3

Contoh 4 7 1  2 5  6   5 4 Untuk A   ,B , dan C   .    8 0  2 3  3 1  2 7

Tentukan A + B dan A + C, jika dapat dijumlahkan.

Solusi

4 7    2 5  6 (1) A  B   1 8 0  2 3  3 1 4  5 7  6  1  2 0  3  2  1 3  8   3 9 1.  3  1 11 (2) A dan C tidak sama ukurannya, A + C tidak dapat dijumlahkan.

Ch2_4

Perkalian Skalar dari matriks Definisi Untuk A berupa matriks dan c berupa skalar. Perkalian skalar dari A oleh c, didenotasikan cA, merupakan matriks yang didapatkan dari perkalian setiap unsur dari A oleh c. Matrix cA akan mempunyai ukuran yang sama sebagai A.

Lalu jika B  cA, maka bij  caij i, j. Contoh  1  2 4 Untuk A   . 7  2 0  

3  1 3  (2) 3  4  3  6 12  3A   . 3  7 3  (3) 3  0 21  9 0 Amati bahwa A dan 3A keduanya merupakan matriks 2  3. Ch2_5

Negasi dan Pengurangan Definisi Matriks (1)C dituliskan –C dan disebut negatif dari C. Contoh

0 7  1 0  7  1 C , lalu  C      3 6 2 3  6  2    

Definisi pengurangan dalam penjumlahan dan perkalian adalah : A – B = A + (–1)B

Lalu jika C  A  B, maka cij  aij  bij , i, j. Contoh

5 0  2 2 Diketahui A   dan B    3 6  5 0 5  2 0  8  2  (1)  3 A  B  Ch2_6 3  0 6  4  5  6 3

8  1 .  4 6  8  1. 2  11

Perkalian Matriks Contoh

 2   1 2      1 2  2  5   (1 2)  (2  5)  12      3 4 5        3 4 2  (3  2)  (4  5) 26  5       5  1 3   1 3 5 0 1     3  2 0 3  2 6      2 0 5  3   

Ch2_7

0 1 3    2 0 2 0    2

1  1 3   14  6 19  6     1  10 0 2  2 0   6  

Contoh 1  3 1 2 7 2  Untuk A   ,B .   4 1 5 6 3 Menunjukkan bahwa produk AB tidak ada. Solusi

 3 1 2 7 2 AB    6 3 4 1 5     3 1   4 1 

7  2    6 7  5    6

AB tidak ada.

Ch2_8

Catatan. Umumnya, ABBA.

3

1

4

1

 2  2     3   2  5     3 

Definisi Untuk jumlah kolom dalam matriks A berupa sama sebagaimana jumlah dari baris di matriks B. Produk AB ada. Untuk A: matriks mn , B: matriks nk , Matriks produk C=AB mempunyai unsur

cij  ai1 ai 2

 b1 j  b  2j   ain   ai1b1 j  ai 2b2 j    ain bnj       bnj 

C merupakan matriks mk .

Jika jumlah kolom dalam A tidak sama dengan jumlah baris B, dikatakan bahwa produk tidak ada. Ch2_9

Contoh 2 0 1  1 3 5 Untuk A   ,B .    2 0 3  2 6  Tentukan AB dan BA, jika produk ada. Solusi

0 1 14  6 19 AB   1 3 5 2 0 3  2 6  10 0 2. BA tidak ada.

Catatan. Umumnya, ABBA.

Contoh3

 2 1  7 3 dan B   Untuk C = AB, A     3 4  5 0 2 c23   3 4 1  (3  2)  (4 1)  2   Ch2_10

2 1

Tentukan c23.

Ukuran dari Matriks Produk Jika A merupakan matriks m  r dan B merupakan matriks r  n, maka AB akan berupa matriks m  n.

A

B

= AB

mr

rn

mn

Contoh Jika A merupakan matriks 5  6 dan B merupakan matriks 6  7. Karena A mempunyai enam kolom dan B mempunyai enam baris, maka AB ada. AB akan menjadi matriks 5  7.

Ch2_11

Matriks Khusus Definisi Matriks nol merupakan matriks yang semua unsurnya nol. Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsurnya yang tidak ada di bagian diagonalnya adalah nol. Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang setiap unsur diagonalnya adalah 1.

0mn

0 0    0

0 0  0

 0  0     0

matriks nol Ch2_12

a11 0 0 a 22 A    0 0

 0  0       ann 

matriks diagonal A

1 0  0 0 1  0   In         0 0  1   matriks identitas

Teorema 2.1 Untuk A adalah matriks m  n dan Omn adalah matriks nol m  n. Untuk B adalah matriks bujur sangkar n  n. On dan In adalah matriks nol dan n  n matriks identitas. Maka, A + Omn = Omn + A = A BOn = OnB = On BIn = InB = B

Contoh 4

2 1  3  2 1 Untuk A   dan B   .   8 4 5  3 4 2 A  O23   4

 2 BO2    3  2 BI 2    3 Ch2_13

1  3

0 0

1  3

5

0

2  0 4

5

0 0   0 0 0  2  1  3

0  O2  0 1 B 4

1 0 3 0 1 1  4 0

0  8 0

 8

A

Perkalian matriks dalam kolom (a) A: mn, B: nr Untuk kolom B adalah matriks B1, B2, …, Br. Tulis B=[B1 B2 … Br]. Lalu AB=A[B1 B2 … Br]=[AB1 AB2 … ABr].

Contoh

 2 0 4 1 3  A dan B     1 5  0 2  1 

Ch2_14

8 2 6  AB    4 11  2  

dan



 4 1  3 B1   , B2   , B3    0   2  1

8  2 6 AB1   , AB2   , AB3     4 11   2

Perkalian Matriks terkait dengan kolom (b)

 b1    A: mn, B: n1, dimana A=[A1 A2 … An] dan B   .   bn   b1    Didapatkan, AB  A1 A2  An    b1 A1  b2 A2  bn An   bn 

Contoh

3  2 3 1   2 A dan B      4 8 5    5   Ch2_15



 2  3 1  5  AB  3   2   5      4 8 5  3

2 3 1 A1   , A2   , A3      4 8 5

Partisi Matriks Matriks dapat disub-bagikan menjadi jumlah sub-matriks.

Contoh

 0 1 2   P Q  dimana P  0, Q   1 2, R   2 dan S  5  1   A 3 1 4 3  1 4      R S   2 5  1 Contoh

1 2  1   1 0  P Q M      A   3 0  2   dan B   2 1     R S N 4  3 2    5 4    Ch2_16

 P Q M   PM  QN  AB        R S N RM  SN     

Contoh 5 1  1 1 2  1   Untuk A  3 0 dan B   .    1 3 1  2 4  1  1  P Q   Sebagaimana dengan matriks A. A  3 0     R S  2 4   Partisi matriks A diinterpretasikan sebagai matriks 22. Untuk produk AB sehingga ada, maka B harus dipartisi menjadi matriks yang mempunyai dua baris.

1 2  1  H  Untuk B     .  1 3 1   J  

Ch2_17

P AB   R

 1  0  1  2   1 Q  H   PH  QJ     1 2  1   1 3 1  3 6  3  0        3 S   J   RH  SJ   21 2  1  41 3 1  6 16 2   

2.2 Sifat-sifat Aljabar Operasi Matriks Teorema 2.2 -1 Untuk A, B, dan C berupa matriks dan a, b, dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran matriks merupakan operasi yang dapat ditampilkan. Sifat-sifat penjumlahan matriks dan perkalian skalar 1. A + B = B + A Sifat komutatif dari penjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C Sifat asosiatif dari penjumlahan 3. A + O = O + A = A (dimana O merupakan matriks nol yang sesuai ) 4. c(A + B) = cA + cB Sifat distributif darri penjumlahan 5. (a + b)C = aC + bC Sifat distributif dari penjumlahan 6. (ab)C = a(bC)

Ch2_18

Teorema 2.2 -2 Untuk A, B, dan C berupa matriks dan a, b, dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran matriks merupakan suatu operasi yang dapat ditampilkan. Sifat-sifat perkalian matriks 1. A(BC) = (AB)C Sifat asosiatif dari perkalian 2. A(B + C) = AB + AC Sifat distributif dari perkalian 3. (A + B)C = AC + BC Sifat distributif dari perkalian 4. AIn = InA = A (dimana In merupakan matriks nol yang sesuai ) 5. c(AB) = (cA)B = A(cB) Catatan: AB BA umumnya, perkalian matriks bukan komutatif.

Ch2_19

BuktikanThm 2.2 (A+B=B+A) Menurut unsur (i,j)th dari matriks A+B dan B+A:

( A  B) ij  aij  bij  bij  aij  ( B  A) ij .  A+B=B+A

Contoh 1

 1 3  3  7 0 2 Let A   , B  , and C  .      1  4 5 2 3  1  1 3  3  7 0 2  3  5 2 A  3B  5C  2   1 3  1  4 5 2

Ch2_20

 2  9  0 6  21  10  11  25   .   18  8  6  15 10  3  5  17

Contoh 2

 4 2 3 1  0 1  1. Untuk A   , B  , dan C  Hitung ABC.      3  1   1 0  2  0

Solusi

A

B

C

22

23

31

=

D 21

ABC = (AB)C = A(BC)

3   2 1  1. AB   1 2  0 1 3  1  1 0  2  1 3 11  4  9  2 1  1   1   . ( AB)C    1 3 11 0  1   Ch2_21

Perhatian Dalam aljabar diketahui bahwa hukum pembatalan berlaku. Jika ab = ac dan a  0 maka b = c. Jika pq = 0 maka p = 0 atau q = 0. Bagaimanapun hasil yang sesuai tidak benar untuk matriks. AB = AC tidak berimplikasi dengan B = C. PQ = O tidak berimplikasi dengan P = O atau Q = O. Contoh

 1 2   1 2  3 8  (1) Sebagaimana matriks A   ,B , dan C   .     2 4  2 1  3  2 3 4 Amati bahwa AB  AC   , tetapi B  C. 6 8    1  2  2  6 (2) Sebagaimana matriks P   , dan Q   .   4  2 1  3 Ch2_22

Amati bahwa PQ  O, tetapi P  O dan Q  O.

Pangkat Matriks Definisi Jika A merupakan matriks bujur sangkar, maka

A  AA  A    k

k kali

Teorema 2.3 Jika A merupakan sebuah matriks bujur sangkar n  n dan r dan s merupakan integer bukan negatif, maka 1. ArAs = Ar+s. 2. (Ar)s = Ars. 3. A0 = In (secara definisi)

Ch2_23

Contoh 3  1  2 4 Jika A   , hitung A .  0  1 Solusi

 1  2  1  2  3  2 A        1 0  1 0  1 2      2

 3  2  3  2  11  10 A   .     2  1 2  5 6  1 4

Contoh 4

Sederhanakan ungkapan matriks berikut

A( A  2 B)  3B(2 A  B)  A2  7 B 2  5 AB Solusi

Ch2_24

A( A  2 B)  3B(2 A  B)  A2  7 B 2  5 AB  A2  2 AB  6 BA  3B 2  A2  7 B 2  5 AB  3 AB  6 BA  4 B 2

Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear m dalam n variabel sebagaimana berikut Untuk

a11 x1    a1n xn  b1     am1 x1    amn xn  bm

Dapat dituliskan sistem persamaan dalam bentuk matriks

 a11  a1n   x1   b1  A      , X    , dan B     am1  amn   xn  bm  AX = B

Ch2_25

Solusi Persamaan Linear Sesuai dengan sistem persamaan linear homogen AX=0. Untuk X1 dan X2 berupa solusi. Maka AX1=0 and AX2=0  A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 0

 X1 + X2 juga merupakan solusi

Jika c merupakan skalar,  A(cX1) = cAX1 = 0  cX1 juga merupakan solusi

Catatan. Himpunan solusi untuk sistem persamaan linear merupakan himpunan tertutup dari penjumlahan dan perkalian skalar, yang merupakan sub-ruang.

Ch2_26

Contoh 5 Sesuai sistem persamaan linear homogen berikut.

x1  2 x2  8 x3  0 x2  3x3  0 x1  x2  5 x3  0

Dapat ditunjukkan bahwa ada banyak solusi, x1=2r, x2=3r, x3 = r. Solusi merupakan vektor dalam R3 dari bentuk (2r, 3r, r) or r(2, 3, 1). Solusi membentuk sub-ruang R3 dari dimensi 1. Catatan. x1=0, …, xn = 0, merupakan solusi sampai setiap sistem homogen.  Himpunan solusi untuk setiap sistem melewati asalnya. Ch2_27

Gambar 2.4

Solusi untuk sistem Nonhomogen Latihan 41 Tunjukkan bahwa himpunan solusi untuk sistem persamaan linear nonhomogen tidak tertutup pada penjumlahan dan perkalian skalar, dan bahwa bukan subruang dari Rn..

Bukti Untuk AX=Y berupa sistem persamaan linear, sehingga Y0. Untuk X1 dan X2 berupa dua solusi, maka AX1=Y dan AX2=Y  A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 2Y

Jika c adalah skalar,  A(cX1) = cAX1 = cY

 X1 + X2 bukan sebuah solusi.

 cX1 bukan solusi.

Himpunan solusi bukan sub-ruang dari Rn. Ch2_28

Contoh Menurut sistem persamaan linear nonhomogen berikut.

x1  2 x2  8 x3  8 x2  3x3  2 x1  x2  5 x3  6

Solusi umum dari sistem ini adalah (2r+4, 3r+2, r).

(2r+4, 3r+2, r) = r(2, 3, 1)+(4, 2, 0) Catatan bahwa r(2, 3, 1) merupakan solusi umum dari sistem homogen terkait. Vektor (4, 2, 0) merupakan solusi khusus untuk sistem nonhomogen terkait dengan r=0. Ch2_29

Gambar 2.5

Matriks Idempotent dan Nilpotent Definisi (1) Matriks bujur sangkar A dikatakan idempotent jika A2=A. (2) Matriks bujur sangkar A dikatakan nilpotent jika ada integer positif p p p dimana A =0. Integer terendah p pada A =0 disebut derajat nilpotency dari matriks.

Contoh

3  6 2 3  6 (1) A   ,A   A.   1  2 1  2

Ch2_30

3  9 2 0 0 (2) B   ,B  . derajat nilpotency : 2   1  3 0 0

2.3 Matriks Simetris Definisi t

Transpose matriks A, didenotasikan A , merupakan matriks yang mempunyai kolom dari baris matriks A.

yaitu, A : m  n  At : n  m, ( At )ij  Aji i, j. Contoh

 2 7  1 2  7 A ,B , dan C   1 3 4.   6  8 0 4 5  1 1 4   t t C   3. At  2  8 B  2 5   0 7  4  7 6 Ch2_31

Teorema 2.4 Sifat-sifat transpos Untuk A dan B berupa matriks dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran matriks merupakan matriks yang dapat ditampilkan. 1. (A + B)t = At + Bt Transpos dari penjumlahan 2. (cA)t = cAt Transpos dari perkalian skalar 3. (AB)t = BtAt Transpos dari produk 4. (At)t = A

Ch2_32

Teorema 2.4 Sifat-sifat Transpos Buktikan nomor 3. (AB)t = BtAt



( AB) t ij  ( AB) ji  a j1

a j 2  a jn



 b1i  b   2i     bni 

 a j1b1i  a j 2b2i    a jn bni ( B t At ) ij  [baris i dari B t ] [kolom j dari At ]  [kolom i dari B ]t [baris j dari A]t  b1i

Ch2_33

b2i

 a j1  a  j2  bni     a j1b1i  a j 2b2i    a jn bni       a jn 

Matriks Simetris Definisi Matriks simetris merupakan matriks yang sama dengan transpos-nya.

A  At , i.e., aij  a ji i, j Contoh

5 2  5  4

Ch2_34

sesuai

 0 1  4 8  1 7  4 8  3

 1  0  2  4

0 2 4 7 3 9 3 2  3 9 3 6

sesuai

Contoh 3 Untuk A dan B berupa matriks simetris dari ukuran yang sama. Untuk C berupa kombinasi linear dari A dan B. Buktikan bahwa produk C adalah simetris. Buktikan UntukC = aA+bB, dimana a dan b merupakan skalar. Ct = (aA+bB)t = (aA)t + (bB)t Teorema 2.4 (1) = aAt + bBt Teorema 2.4 (2) = aA + bB karena A dan B adalah simetris =C Lalu C adalah simetris.

Ch2_35

Contoh 4 Untuk A dan B berupa matriks simetris dari ukuran yang sama. Buktikan bahwa produk AB merupakan simetris jika dan hanya jika AB = BA. Buktikan

*Harus menunjukkan (a) AB merupakan simetris  AB = BA, dan sebaliknya, (b) AB merupakan simetris  AB = BA. () Untuk AB berupa simetris, maka AB= (AB)t definisi dari matriks simetris = BtAt Teorema 2.4 (3) = BA karena A dan B merupakan simetris

() Untuk AB = BA, maka (AB)t = (BA)t = AtBt Teorema 2.4 (3) = AB karena A dan B merupakan simetris Ch2_36

Contoh 3 Untuk A berupa matriks simetris. Buktikan bahwa A2 merupakan simetris.

Buktikan

( A2 ) t  ( AA) t  ( At At )  AA  A2

Ch2_37

Trace matriks Definisi Untuk A berupa matriks bujur sangkar. Trace dari A, didenotasikan tr(A) merupakan jumlah unsur diagonal dari A. Lalu jika merupakan matriks n x n. tr(A) = a11 + a22 + … + ann

Contoh 5 Tentukan trace dari matriks

1  2 4 A  2  5 6. 3 0 7

Solusi Sehingga,

tr ( A)  4  (5)  0  1.

Ch2_38

Teorema 2.5 Sifat-sifat Trace UntukA dan B berupa matriks dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran dari matriks merupakan operasi yang dapat ditampilkan. 1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B) 2. tr(AB) = tr(BA) 3. tr(cA) = c tr (A) 4. tr(At) = tr(A)

Buktikan dari (1) Karena unsur diagonal dari A + B are (a11+b11), (a22+b22), …, (ann+bnn), maka tr(A + B) = (a11 + b11) + (a22 + b22) + …+ (ann + bnn) = (a11 + a22 + … + ann) + (b11 + b22 + … + bnn) = tr(A) + tr(B).

Ch2_39

Contoh (2) tr(AB)=tr(BA) 3 1  3 2  1   A 2 0 , B     1 0 1    1  2 2 2 0  8 11    AB   6 4  2, BA     2  5    1  2  1  tr ( AB)  3  tr( BA)

Ch2_40

Matriks dengan unsur-unsur kompleks Unsur matriks dapat berupa bilangan kompleks. Bilangan kompleks berbentuk z = a + bi Dimana a dan b merupakan bilangan real dan a disebut bagian real dan b bagian imajiner dari z.

i   1. Konjugasi dari bilangan kompleks z = a + bi didefinisikan dan ditulis z = a  bi.

Ch2_41

Contoh 7

2  i Untuk A    4

3  2i   3 dan B    5i  1  i

2i  .  2  3i 

Hitung A + B, 2A, dan AB.

Solusi

2i  2  i  3 3  2i  2i  5  i 3 2  i 3  2i   3 A B          4 5 i 1  i 2  3 i 4  1  i 5 i  2  3 i 5  i 2  8 i         2  i 3  2i  4  2i 6  4i  2 A  2    4 5 i 8 10 i     2i  2  i 3  2i   3 AB    1  i 2  3i  4 5 i   

10  9i  (2  i)3  (3  2i)(1  i) (2  i)(2i)  (3  2i)(2  3i) 11  4i    ( 4 )( 3 )  ( 5 i )( 1  i ) 4 ( 2 i )  ( 5 i )( 2  3 i ) 7  5 i  15  18 i     Ch2_42

Definisi (i) Istilah konjugasi dari matriks A didenotasikan A dan diperoleh dengan mengambil konjugasi setiap unsur matriks. (ii) Transpos konjugasi dari A sditulis dan didefinisikan oleh A*=A t. (iii) Matriks bujur sangkar C dikatakan hermitian jika C=C*.

Contoh (i), (ii)

2  3i 1  4i  t 2  3i 1  4i  * 2  3i 6  A A A A     7i  6  7 i 1  4 i  7 i  6     Contoh (iii)

Ch2_43

3  4i   2 * C  C  3  4 i 6  

2.4 Invers Matriks Definisi Untuk A berupa matriks n  n . Jika matriks B ditemukan pada AB = BA = In, maka A dikatakan invertible dan B disebut invers dari A. Jika suatu matriks B tidak ada, maka A tidak mempunyai invers. (didenotasikan B = A1, dan Ak=(A1)k )

Contoh 1 Buktikan bahwa matriks

A   1 2 3 4

Bukti

1  2 AB   1 2  3  1    1 3 4  2 0 2 1  1 2  1  2 BA   3  1   3 4    0 2  2

 2 1  mempunyai invers B   3 1 .   2 2 

0  I 1 2 0  I 1 2

Lalu AB = BA = I2, buktikan bahwa matriks A mempunyai invers B.

Ch2_44

Teorema 2.7 Jika matriks mempunyai invers, maka invers-nya unik. Bukti

Untuk B dan C berupa invers dari A. Lalu AB = BA = In, dan AC = CA = In. Kalikan kedua sisi persamaan AB = In dengan C. C(AB) = CIn (CA)B = C In B = C Teorema2.2 B=C Lalu matriks dapat diinvers hanya mempunyai satu invers.

Ch2_45

Untuk A berupa matriks nn yang dapat diinvers, Cari A-1? Untuk A1   X 1

X 2  X n , I n  C1 C2  Cn .

Pencarian A1 dengan mencari X1, X2, …, Xn.

Karena AA1 =In, maka

AX 1

X 2  X n   C1 C2  Cn .

yaitu, AX 1  C1 , AX 2  C2 ,, AX n  Cn . Selesaikan sistem tersebut dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan

matriks penambahan : A : C1 C2  Cn     I n : X 1



X 2  X n .



A : I n     I n : A1 . Ch2_46

Eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari Invers Matriks Untuk A berupa matriks n  n. 1. Adjoin matriks identitas In n  n dari A untuk membentuk matriks [A : In]. 2. Hitung bentuk baris tereduksi dari [A : In]. Jika bentuk barisam tereduksi berupa [ In : B], maka B adalah invers dari A. Jika bentuk barisan tereduksi tidak berupa [ In : B], pada sub-matriks n  n tidak In, maka A tidak mempunyai invers.

Matriks A n  n dapat diinvers jika dan hanya jika direduksi bentuk barisannya, yaitu In. Ch2_47

Contoh 2  1  1  2 Tentukan invers matriks A   2  3  5 3 5  1 Solusi   1  1  2 1 0 0 1 [ A : I 3 ]   2  3  5 0 1 0 R2  (2) R10 3 5 0 0 1 R3  R1 0  1   1  1  2 1 0 0  1 (1)R2 0 1 1 2  1 0 R1  R2 0 3 1 0 1 R3  (2)R2 0 0 2  0 1 10 1 0 0 R1  R3 0 1 0 5  3  1 R2  (1)R3 0 0 1  3 2 1 1 1  0 Lalu, A1   5  3  1. Ch2_48  3 2 1

1  2 1 0 0  1  1  2 1 0 2 3 1 0 1 0 1 3  1 0 1 1 2  1 0 0 1  3 2 1

Contoh 3 Tentukan invers matriks berikut, jika ada.

Solusi

 1 1 5 A   1 2 7 2  1 4

  1 1 5 1 0 0 1 [ A : I 3 ]   1 2 7 0 1 0 R2  (1)R10 2  1 4 0 0 1 R3  (2)R1 0  1 R1  (1)R2 0 R3  3R2 0

1 5 1 1 2 1 3 6 2 0 3 2 1 1 2 1 1 0 0 5 3

Tidak diperlukan untuk meneruskan lebih lanjut. Bentuk barisan tereduksi tidak dapat mempunyai satu di lokasi (3, 3). Bentuk barisan tereduksi tidak dapat berbentuk [In : B]. Lalu A–1 tidak ada. Ch2_49

0 0 1 0 0 1 0 0 1

Sifat-sifat Invers Matriks Untuk A dan B dapat diinvers matriksnya dan c merupakan skalar bukan nol, Lalu

1. ( A1 ) 1  A 1 1 1 2. (cA)  A c 1 3. ( AB)  B 1 A1

4. ( An ) 1  ( A1 ) n 5. ( At ) 1  ( A1 )t

Buktikan 1. Dengan definisi, AA1=A1A=I.

2. (cA)(1c A1 )  I  ( 1c A1 )(cA) 3. ( AB )( B 1 A1 )  A( BB 1 ) A1  AA 1  I  ( B 1 A1 )( AB ) 1 1 1 n n 4. An ( A1 ) n   A  A  A  A  I  ( A ) A   n kali

n kali

5. AA1  I , ( AA1 )t  ( A1 )t At  I , Ch2_50

A1 A  I , ( A1 A)t  At ( A1 )t  I ,

Contoh 4

4 1  1  1 1 Jika A   , maka diperoleh bahwa A   .   4  3 1  3 Gunakan informasi tersebut untuk menghitung ( At ) 1.

Solusi t

1 1 1 3   (A )  (A )    .   3 4 1 4 t 1

Ch2_51

1 t

Teorema 2.8 Untuk AX = Y berupa sistem persamaan linear dalam n variabel. Jika A–1 ada, solusinya unik dan diberikan oleh X = A–1Y.

Buktikan (X = A–1Y merupakan solusi.) Substitusikan X = A–1Y menjadi persamaan matriks. AX = A(A–1Y) = (AA–1)Y = InY = Y. (Solusinya unik.) Untuk X1 merupakan suatu solusi, maka AX1 = Y. Kalikan kedua sisi persamaan tersebut dengan A–1 sehingga, A–1AX1= A–1Y InX1 = A–1Y X1 = A–1Y.

Ch2_52

Contoh 5 Selesaikan sistem persamaan Solusi

x1  x2  2 x3  1 2 x1  3x2  5 x3  3  x1  3x2  5 x3  2

Sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks :

 1  1  2  x1   1  2  3  5  x2    3 3 5  x3   2  1

Jika matriks koefisien dapat diinvers, solusi uniknya berupa 1

 x1   1  1  2  1  x2    2  3  5  3  x   1 3 5  2  3

Inversnya dapat ditemukan di contoh 2, sehingga didapatkan,

 x1   0 1 1  1  1  x2    5  3  1  3   2  x   3 2 1  2  1  3 Ch2_53 Solusi uniknya : x1  1, x2  2, x3  1.

Matriks Dasar Definisi Matriks dasar salah satunya dapat diperoleh dari matriks identitas In melalui operasi baris dasar tunggal.

Contoh

R2  R3

1 0 0  I 3  0 1 0 0 0 1

5R2

R2+ 2R1

Ch2_54

1 0 0  E1  0 0 1 0 1 0 1 0 0 E2  0 5 0 0 0 1 1 0 0  E3  2 1 0 0 0 1

Matriks Dasar Operasi baris dasar， Matriks dasar。

a b  R2  R3 g h  d e

a A  d  g

b e h

c f  i 

5R2

a 5d   g

c  1 0 0 i   0 0 1  A  E1 A f  0 1 0 c  1 0 0 5e 5 f   0 5 0  A  E2 A h i  0 0 1 b

b  a d  2a e  2b R2+ 2R1   g h Ch2_55

 1 0 0  f  2c   2 1 0  A  E3 A i  0 0 1 c

Catatan untuk matriks dasar  Setiap matriks dasar adalah bujur sangkar dan dapat diinvers. Contoh

I  E1  E1  I , i.e., E2 E1  I R1 2 R 2

R1 2 R 2

1 0 0 I  0 1 0 0 0 1

1 2 0 E1  0 1 0 0 0 1

1  2 0 E2  0 1 0 0 0 1

Jika A dan B merupakan matriks ekuivalen baris dan A dapat diinvers, maka B dapat diinvers. Bukti Jika A  …  B, maka B=En … E2 E1 A untuk beberapa matriks dasar En, … , E2 dan E1. Sehingga B1 = (En … E2 E1A)1 =A1E11 E21 … En1. Ch2_56

Terima Kasih