a"
PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DAM KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
EVILIYANIDA
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pendugaan Turunan Pertarna dan Kedua dari Komponen Periodii Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum disajikan dalam bentuk apapun ke perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Mei 2009 Eviliyanida G551070481
ABSTRACT EVILIYANIDA. Estimation of the First and Second Order Derivatives for Periodic Component of Intensity Function of a Periodic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI A periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. In this process, the lokal intensity function at s expresses the rate of the process at time s. If the intensity function increasing linearly with respect to lime then the suitable model is periodic Poisson process with linear trend. In this thesis, estimation of the first and second order derivatives for periodic component of intensity function of a periodic Poisson process in the presence of linear trend using general kernel function is discussed. First, estimators for the first and second order derivatives are constructed. Next, consistency of these estimators are proved. Finally, asymtotic biases, variances, and mean-square errors of these estimators are computed. Keywords: periodic Poisson process, intensity function, linear trend, asymptotic bias, asymptotic variance, mean-square error
RINGKASAN EVILIYANIDA. Pendugaan Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodii dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodii. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas bempa fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukanjuga penduga bagi tunman pertama dan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas tersebut. Pada karya ilmiah ini dirumuskan penduga bagi tumnan pertama dan kedua dari komponen periodik suatu fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan @en linear. Pada awalnya ditentukan penduga komponen periodik & dari suatu fungsi intensitas A dengan h(s)=&(s) + as, pada s E [0, co) dari suatu proses Poisson periodik (dengan periode z yang diketahui) dengan tren linear yang diamati pada interval [O,n]. Penduga tipe kernel bagi &(s), dimmuskan sebagai berikut:
Dari penduga di atas, ditumnkan penduga bagi kL(s) yang dirumuskan sebagai:
.. Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan lagi penduga bagi kz(s) yang dirumuskan sebagai berikut:
Pada ketiga penduga di atas, k,, disebut"bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup kekonsistenan, kekonvergenan mean square error (MSE) dan sifat sifat statistika dari penduga XcSnsK(s)dan x , n , K ( ~ ) . Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa: Penduga Xc,n,K(~)mempakan penduga tak bias asimtotik bagi &(s). (9. Ragam dari fc,n,K(s) konvergen menuju nol, jika n+ a. (ii). Penduga jh,n,K(~) merupakan penduga konsisten bagi k;(s). (iii). Mean square error (MSE) dari X,,,(s) konvergen menuju nol, jika (iv). n+ oo. Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan Xc,n,K(~) adalah (v).
E X ~ , ~ , ~= ( S A;(S) I
+ ($+ ~ [ - ~ x z ~ ( ~GA;(S) ) ~ x ) + o(G).
(vi).
Aproksimasi asimtotik bagi ragam j.&,(s) (2Ac(s)+A;(s)q Var(x;n,K(s>) =
adalah
+ 2a.s) ($1 + Z a r ( h n + y ) 1
(vii). (viii). (ix). (x). (xi).
Penduga j:,,,(s) merupakan penduga tak bias asimtotik bagi lE(s). Ragam dari fi;,,(s) konvergen menuju nol, jika n+ m. Penduga j:,n,K(s)merupakan penduga konsisten bagi dL(s). Mean square error (MSE) dari fi,n,K(s) konvergen menuju no], jika n-+ m. Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan j:,n,K(s) adalah ~fi;,,,(s) = A;@)
(xii).
+
A?)(S)% + o(G).
Aproksimasi asimtotik bagi ragam RiznaK(~) adalah
0Hak cipta nrilik IPB, tahutz 2009 Hak cipta dilitfdungi Undang-Undang I . Dilarang mengutip sebagian atau seluruh kurya tulis ini tanpa mencantumkun atau menyebutkan sumber a. Pengulipan hanya untuk kepentingan pendidikun, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kriiik atau tinjauan suatu masaluh h. Pengulipan tidak merugikon kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkun dun memperbanyak sebagian atau seluruh karya iulis dalam bentuk apapun tanpa izin I PB
PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA DARI KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR
EVILIYANIDA
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Judul Tesis Nama NRP
: Pendugaan Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear :Eviliyanida : G551070481
Disetujui n
Komisi Pembimbing
A
IT. ~d?~;;ia:i,
Dr. Ir. I Wayan Maneku, M.Sc. Ketua
M.S.
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Tanggal Ujian: 27 Mei 2009
Tanggal Lulus:
2 9 MAY 2QQ9
PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan januari 2009 ini adalah Pendugaan Turunan Pertama dan Kedua dari Komponen Periodik Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritikan membangun dari berbagai pihak. Terimakasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I wayan Mangku, M.Sc. dan Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku pembimbing serta Dr. Ir. I Gusti Putu Pumaha, DEA selaku penguji yang banyak memberikan saran. Demikian pula, penulis mengucapkan terimakasih kepada DEPAG RI yang telah memberikan bea siswa. Kemudian kepada teman - teman seangkatan BUD I1 DEPAG RI khususnya Adrina Lony, Ayu Tsurayya, Deliana Hastuti Caniago, Dwianti Marthalena, dan Santiarini Hidayah yang telah memberikan semangat kepada penulis untuk belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana IPB. Ungkapan terimakasih juga disarnpaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas doa dan kasih sayangnya. Semoga Karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2009 Eviliyanida
Penulis dilahirkan di Binjai pada tanggal 2 Pebruari 1978 dari Bapak Muchtaruddin,SH dan ibu Hamiah,Amd. Penulis mempakan an& ketiga dari lima bersaudara. Tahun 1996 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Stabat, dan pada tahun 1997 lulus seleksi masuk Universitas Negeri Medan di Medan. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 2002. Tahun 2003 penulis menjadi staf pengajar di MTsN Stabat. Pada tahun 2007 penulis lulus seleksi masuk Program Magister pada Progtam Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.
DAFTAR IS1
PENDAHULUAN .................................................................................... 1.1. Latar Belakang ................................................................................. 1.2. Tujuan Penelitian ...............................................................................
1 1 2
11 TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................ 2.1. Proses Poisson Periodik ..................................................................... 2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ......................
3 3 6
I11 REVIEW PENDUGAAN Ac(s) ............................................................. 3.1. Perumusan Penduga bagi h(s) ............................................................ 3.2. Sifat - Sifat Statistika dari an dan 1.. ~ ( s....................................... )
8 8 9
I
-.
IV PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA ................ 24 4.1. Penimusan Penduga , I crnc.n.dan Kekonsistenannya............................. 24 4.2. Perumusan Penduga R K ( ~ dan ) Kekonsistenannya........................ 29
xi.
V SIFAT . SIFAT STATISTIKA................................................................ 36 5.1. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam fC..K(s).................... 36 5.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam I.,. K(s).................... 39 V1 KESIMPULAN
........................................................................................
44
...............................................................................
46
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
..............................................................................................
48
BAB I
PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
Banyak fenomena yang dapat kita jumpai di kehidupan sehari - hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan - aturan peluang dan mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari - hari seperti proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat sewis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fenomena yang dapat d'iodelkan dengan proses Poisson periodik di antaranya pada bidang komunikasi, meteorologi, dan seismologi. Sebagai wntoh, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal u s ) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s. Tetapi jika laju kedatangan pelanggan tersebut cenderung meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang sesuai adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Sehingga fungsi intensitas pada titik s menjadi ;l(s)= ;lc(s)
+ as dengan a menyatakan kemiringan
tren linear, dan ;lc(s)adalah fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukan juga penduga bagi turunan pertama dan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas tersebut. Sehingga pada karya ilmiah ini ditentukan perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari komponen period'i fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear.
1.2. Tujuan Penelitian Pennasalahan yang dikaji pada penelitian ini adalah perumusan penduga turunan pertama dan penduga turunan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. Kemudian ditentukan syarat minimal agar penduga - penduga yang diperoleh adalah konsisten. Selanjutnya dirumuskan sifat - sifat statistika, yaitu ditentukan pendekatan asimtotik bagi bias dan mgam dari penduga - penduga yang dikaji. Dengan demikian, tujuan penelitian ini adalah: (i) Menentukan penduga turunan pertama dan turunan kedua dari komponen periodii fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear. (ii) Menentukan syarat minimal agar penduga - penduga yang diperoleh adalah konsisten. (iii)Membulctikan kekonvergenan menuju no1 dari MSE penduga. (iv)Menentukan pendekatan asimtotik dari bias penduga. (v) Menentukan pendekatan asimtotik dari ragam penduga. (vi)Menentukan pendekatan asimtotik dari MSE penduga.
BAB 11
TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Proses Poisson Periodik Definisi 1(Proses stokastik) Proses stokastik X={X(t), t~ T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh fi ke suatu ruang state S. (Ross 2007) Dengan demikian, X(?) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut keadaan (state) dari proses pada waktu t. Ruang state S dapat benrpa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya). Definisi 2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. (Ross 2007) Definisi 3 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(r), t s T } disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua to < tl < t2 < ... < t,, peubah acak X(tl) X(to), X(t2) - X(tl),
... , X(t,) - X(t,-,)
-
adalah bebas. (Ross 2007)
Dengan kata lain, suatu proses stokastik X dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses bembahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 4 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t~ T } disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t+s) nilai t.
- X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua
(Ross 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memilii inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak bergantung pada lokasi titik - titik tersebut. Proses Poisson mempakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kecuali diiyatakan secara khusus, kita anggap bahwa hiipunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [O,m). Definisi 5 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik {No), t a } disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah tejadi sampai waktu t. Proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut: (i) N(t) 2 0 untuk semua t E[O,m). (ii) Nilai N(t) adalah integer. (iii)Jika s < t maka N(s)
(iv)Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang tejadi pada selang (s,t]. (Ross 2007)
Definisi 6 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {N(t), PO} disebut proses Poisson dengan laju 2, L>O, jika dipenuhi tiga syarat berikut:
(i) N(0)
= 0.
(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii)Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan At. Jadi untuk semua t, s>O,
(Ross 2007)
Dari syarat (iii) diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa E(N(~))=At, yang juga menjelaskan kenapa A disebut laju proses tersebut. Definisi 7 (Proses Poisson homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju 1 yang merupakan konstanta untuk semua waktu t. (Ross 2007) Definisi 8 (Proses Poisson tak homogen) Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju h pada sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu A(t). (Ross 2007)
Definisi 9 (Fungsi intensitas) Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 201, yaitu A(t) disebut fungsi intensitas proses Poisson tersebut pada t. (Mangku 200 1) Definisi 10 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas
A pada titik s E R adalah A(s), yaitu nilai fungsi A di s. (Cressie 1993) Definisi 11 (Fungsi intensitas global) Misalkan N([O,n]) adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas global 6 dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai E = lim
n-tm
EN([O, nl)
n
jika limit di atas ada. (Cressie 1993)
Definisi 12 (Fungsi periodik) Suatu fungsi h disebut periodik jika 1(s+ks)= 1(s) untuk semua s E R dan k E Z, dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil T yang memenuhi persmaan di atas disebut periode dari fungsi h tersebut. (Browder 1996) Definisi 13 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001)
2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal (yang lebii sering hanya disebut fungsi intensitas) dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata - rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu selang dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah dengan menaksii rata
- rata banyalcnya kejadian
proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan h, 1 0 dan N[O,tJ menyatakan banyaknya kejadian yang tejadi pada [O,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh
1
N([s - h,,,s
+ h,]).
Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah dengan menalcsjr rata
-
rata banyaknya
kejadian proses Poisson tersebut pada selang waktu [O,n]. Secara matematis, 1
intensitas global dapat diiampiri dengan ; N([O, n]). Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas (lokal) proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirutnuskan mengenai algorihna untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers
dan Zikitis 1999). Pendugaan tipe kernel, kekonsistenan penduga fungsi intensitas telah dibuktikan pada Helmers et al. (2003), sedangkan kekonsistenan penduga fungsi intensitas dengan tren linear telah dibuktikan pada Mangku et al. (2007). Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas menggunakan metode titik terdekat (nearest neighbor estimation) telah dikaji pada Mangku (1999). Pada proses Poisson periodik, pendugaan fungsi intensitas dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu: periode diketahui dan periode tidak diketahui. Untuk periode tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih sulit dibandingkan jika periodenya diketahui. Meskipun demikian, sifat - sifat statistika untuk penduga tersebut dengan pendekatan tipe kernel telah dimmuskan pada Helmers et al. (2005). Pendugaan fungsi intensitas global dari proses Poisson periodik dengan tren linear telah di bahas pada Mangku (2005). Sifat - sifat statistika penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear untuk kernel seragam telah dibahas pada Nurrahmi (2005). Pernodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan tren linear telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2007). Adapun sifat - sifat statistika orde-2 pendugaan tipe kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear dan modifikasinya telah dibahas pada Marlina (2008). Sedangkan penduga non parametrik pada fungsi intensitas proses Poisson periodik ganda telah dikaji pada Helmers ef al. (2007). Adapun untuk pendugaan tumnan pertama dan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik telah dibahas pada Syamsuri (2007).
BAB III REVIEW PENDUGAAN &(s) Pada bab ini direview sifat - sifat statistika penduga tipe kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear yang dikaji Mangku et at. (2008) yang digunakan untuk membuktikan kekonsistenan dan perumusan sifat - sifat statistika penduga turunan pertama dan turunan kedua dari komponen periodik fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan tren linear.
3.1. Perumusan Penduga bagi &(s) Misalkan N adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas ?. yang diamati pada interval [O,n]dengan fungsi intensitas h(s) (tidak diketahui) yang diasumsikan memiliki dua komponen, yaitu komponen periodik dengan periode T
> 0 dan komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap titik
s E [0, m), fungsi intensitas h(s) dapat ditulis sebagai berikut: h(s) = A&)
+ as
(1) dengan hc(s) adalah fungsi periodik dengan periode (diketahui) t > 0 dan a menyatakan kemiringan tren linear. Karena &(s) adalah fungsi periodik maka untuk setiap s E [O, m) dan k E Z , dengan Z adalah himpunan bilangan bulat, berlaku h,(s
+k
~ =) &(s).
(2)
Kita juga asumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari k, sehingga berlaku:
Syarat cukup agars merupakan titik Lebesgue dari h adalah fungsi h kontinu di s. Karena &(s) adalah fungsi periodik dengan periode r maka untuk menduga Ac(s) pada s E [0, m) cukup di duga nilai &(s)pada s E [0, t). Misalkan K:R + [0, m) merupakan fungsi bernilai real, yang disehut kernel, yang memenuhi sifat - sifat berikut: (Kl) K merupakan fungsi kepekatan peluang, (K2) K terbatas, dan 6 3 ) K memiliki daerah definisi pada [-1,1]
(Helmers et al. 2003). Misalkan juga h,, merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu
k, 5- 0
(4)
jika n + m. Penduga bagi a dan &(s) pada titik s E [0, .r) secara berturut - turut dirumuskan sebagai berikut :
dan K := -
s
k
) N(dx) -2,
h,,
( +s
Ide di balik pembentukan penduga i?, dan lc,n,K(~)dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009), Marlina (2008). 3.2. Sifat - Sifat Statistika dari ii,dan 2c,n,K(s)
Lema 1 Misalkan fungsi intensitas A memenuhi (I) dan terintegralkan lokal. Maka
dan
Var (En):=-+n2
0
-
untuk n+ co, dengan 6 = r-l foT&(s)ds; yang menyatakan fungsi intensitas global dari komponen periodik dari I Hasil tersebut menyatakan bahwa 8, merupakan penduga konsisten bagi a. MSE Endiberikan oleh persamaan MSE (2,): =
untuk n
-t
+
4e2 2a nZ
m.
Bukti dari lema ini dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).
Teorema 1(Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan ;ic,wK(~)) Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, .10 untuk n+ w, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (Kl), (K2),
(K3). i) Jika k, Inn + w, dan A, memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka E / ~ , ~ , K ( s )= A,(S)
+ o(h,,)
(10)
ii) Jika h$ In n + w, dan A, memiliki turunan kedua berhiigga pada s, maka
iii) Jika
G Inn + w, dan A,
memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka
iv) Jika
G I n n + w, dan A,
memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka
untuk n+ w. Bukti:
Suku pertama pada ruas kanan persamaan (14) dapat ditulis menjadi x - (S
+ kr)
m
+
)
x - ( S kr)
I(x)I(x t [0,n])dx.
(15)
Dengan mengganti variabel dan menggunakan persamaan (1) dan (2), persamaan (15) dapat ditulis
(16) Dengan menggunakan fakta bahwa
dan selanjutnya menggantikan variabel maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (16) dapat ditulis menjadi
Karena A, mempunyai turunan pertama pada s, dengan menggunakan deret Taylor, kita peroleh
I,(S + x h ) = A,(s)
AXs) + -x& I!
+o
( ~ ,
jika n
-+ 03.
Maka persarnaan (18) menjadi
Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka f1K(x)dx = 1. Karena kernel K adalah simetris, maka 1
S-,xK(x)dx = 0.Dari asumsi h,, inn + co maka suku terakhir pada mas kanan dari persamaan (19) menjadi o ( h ) , jika n + co. Sehingga persamaan (19) menjadi sama dengan
Ac(s)+ o ( h ) untuk n + w. Sedangkan suku kedua pada mas kanan persamaan (16) dapat ditulis menjadi sama dengan
1&,1 (t) m
-!.-.In(:)
K
xI(x
+ s + kr E [0,n])dx
k=l
Dengan menggunakan (1 7) dan fakta bahwa
untuk n-, m, maka mas kanan persamaan (20) dapat ditulis menjadi
+
as &in
($1(In):(
j"
+ ~ ~ ( 1R1 K)
(e)
dx
jika n-, co. Karena kernel K adalah simetris, maka fl, x K ( x ) d x = 0, sehingga suku pertama persamaan (21) menjadi sama dengan nol. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1],
maka ~ : ~ K ( x ) d=x 1 .
Sehingga persamaan (21) menjadi sama dengan
Jika kita gabungkan hasil dari suku pertama dan suku kedua pada persamaan (16), maka persamaan (15) akan sama dengan
Dari asumsi h, inn -, m maka suku terakhir pada dari persamaan (22) menjadi o ( h ) , jika n -,m. Sehingga persamaan (22) menjadi
untuk n+ w. Kemudian untuk menyelesaikan suku kedua mas kanan dari persamaan (14), kita gunakan persamaan (7) dari Lema 1 sehingga diperoleh
jika n+ w. Dari asumsi h,,lnn + w maka suku terakhir mas kanan dari persamaan (23) menjadi o(h,J, jika n + m. Dengan menggabungkan persamaan (22) dan (23) akan diperoleh persamaan (lo).. Untuk membuktikan persamaan (11) kita gunakan argumen berikut. Karena Ac mempunyai turunan kedua pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema 7 dalam Lampiran I), yaitu
untuk n-t w. Dengan menggunakan hasil ini dan persamaan (17) untuk n+ w, maka persamaan (1 8) menjadi
Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka $ : + ~ ( x ) d x= 1. Karena kernel K adalah simetris, maka 1
$-,xK(x)dx = 0. Dari asumsi %Inn
+w
maka suku terakhir pada ruas kanan
dari persamaan (24) menjadi o ( g ) , jika n -t w. Sehingga persamaan (18) menjadi sama dengan
untuk n+ w. Jika kita gabungkan hasil dari suku pertama dan suku kedua pada persamaan (16), maka persamaan (15) sama dengan
untuk n+ w. Dengan mensubstitusikan persamaan (23) dan (25) ke (14) akan diperoleh persamaan (1 1). a Untuk membuktikan persamaan (12) kita menggunakan argumen berikut. Karena
A, mempunyai turunan ketiga pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema 7 dalam Lampiran I), maka diperoleh
jika n+ w. Dengan menggunakan hasil ini dan persamaan (17) untuk n+ (1 8) menjadi
w,
maka persamaan
jika n+ m. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-l,l], maka l:f K ( x ) d x = 1. Karena kernel K adalah simetris, 1
1
maka S - , X K ( X ) ~ X= 0 dan $-,x3K(x)dx = 0. Dari asumsi g l n n + m maka suku terakhir pada ruas kanan dari persamaan (26) menjadi o(h:), jika n + m. Sehingga persamaan (18) menjadi sama dengan
Jika kita gabungkan hasil suku pertama persamaan dan suku kedua persaman (16), maka persamaan (15) sama dengan
untuk n+ m. Dengan mensubstitusi persamaan (23) dan persamaan (27) ke persamaan (14) maka diperoleh persamaan (12).a Untuk membuktikan persamaan (13) kita gunakan argumen berikut. Karena A, mempunyai turunan keempat pada s, dengan menggunakan deret Taylor (Lema 7 dalam Lampiran I), kita peroleh Ac(s
+ xh,,) = Ac(s) +
xh,,
+-&'(s) 2!
XZG
(s) x 3 g + - LC ( ~ 1 ~ 4 % 3! 4! (4)
+
+o(G) jika n+ m. Dengan menggunakan hasil ini dan persamaan (17) untuk n+ m, maka persamaan
(18) menjadi
- m(F) 2 j ' K ( x ) ( I . ( s ) +-xh,, A%-) l! -
-1
+ AZ'(s) ,h,,,+ AZ"(s) -X -X
2!
3!
3h,, 3
x3K(x)dx
1 (s) + o ( g ) +):4!
lx4 + K(x)dx
o(@)
jika n+ w.Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka
J : ~~ ( x ) d = x 1. Karena kernel K adalah simetris,
maka f 1 x ~ ( x ) d x= 0 dan J : l x 3 ~ ( x ) d x = 0. Dari asumsi g l n n + w maka suku terakhii pada ruas kanan dari persamaan (28) menjadi o ( g ) , jika n + w. Sehingga persamaan (18) menjadi sama dengan
jika kita gabungkan hasil suku pertama persamaan clan suku kedua persaman (16), maka persamaan (1 5) sama dengan
+o(W
(29)
untuk n+ w. Dengan mensubstitusi persamaan (23) dan persamaan (29) ke persamaan (14) maka diperoleh persamaan (13).m Berarti Teorema 1 terbukti. Teorema 2 (Aproksirnasi asimtotik bagi ragarn Ac,n,K(s))
Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, .10 untuk n+ w, fungsi kernel K memenuhi asumsi ( K l ) , (K2), (K3). J i a h,, ln n + w, maka
untuk n-t a,asalkan s adalah titik Lebesgue dari A,, dimana y=0,577
... adalah
konstanta Euler.
Bukti: Kita ingat bahwa
1
m
n
x - (S
+k
~ )
h,,
Untuk memperoleh ragam dari ^hSRK(s)kifa gunakan persamaan berikut ~ a r ( % , , , ( s ) ) = V a r (A)
+ V a r ( B ) - 2Cov(A, B).
Dari asumsi (4), untuk n yang cukup besar, interval [s dan [s +j r
- h,,,s +j r
f
(31)
+ k r - &,s + k r + h,]
h,,] tidak overlap untuk semua k
f
j . Hal ini
berimplikasi bahwa untuk semua k # j,
dan
saling bebas. Karena ragam pada ruas kanan persamaan (31) dapat dinyatakan sebagai berikut
x - (S
+ kz)
Suku pertama pada mas kanan persamaan (32) dapat ditulis menjadi:
Dengan menganti variabel dan menggunakan (1) dan (2), persamaan (33) dapat ditulis menjadi
-
1
( n ) )
c
1
Ac(x
+ s)I(x + s + k~ E [O,n])dx
k=1
(34)
Suku pertama pada mas kanan persamaan (34) adalah sama dengan
Kita perhatikan bahwa
untuk n+
m.
Karena Kernel Kterbatas dan memiliki daerah definisi pada [-1,1],
dengan menggunakan persamaan (3) dan (36) maka suku pertama pada ruas kanan persamaan (35) sama dengan o
,untuk n+
kedua pada ruas kanan persamaan (35) menjadi sama dengan
m.
Sedangkan suku
lrr ($))'
-- Ac(s)(n2/6) h,, (ln
K Z ( ~dx) + o
-hn
((h,in1 n)
untuk n-t ca. Suku kedua pada persamaan (34) dapat ditulis sebagai berikut
Dengan menggunakan persamaan (36) maka suku pertama pada persamaan (38) menjadi
untuk n-t
m.
Dengan menggunakan fakta bahwa
Suku kedua pada mas kanan persamaan (38) menjadi
untuk n-i co. Dengan menggabungkan persamaan persamaan (37), (39) dan (41), maka suku pertama pada persamaan (32) menjadi
+
az
a h,, (in
Ihn
c))'
K2(x)dx
-hn
1 + o L,,(lnn)2).
Dengau asumsi (K3), maka
Dengan menggunakan persamaan (8) pada Lema 1, suku kedua pada persamaan (32) dapat ditulis sebagai berikut
untuk n+
03.
Perhatikan bahwa suku pertama dan kedua pada mas kanan
persamaan (43) sama dengan ~ ( & - ' ( l n n ) - ~ ) , untuk n+
m.
Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz suku ketiga dari persamaan (32) adalah 2Cov(A, B ) 1 2 - r n (Ac(s) + a s ) ( n 2 / 6 ) + av
untuk n+
m.
-12
Dengan menggabungkan persaman (42), (43) dan (44) kita peroleh
persamaan (30). Jadi Teorema 2 terbukti.
BAB IV PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA 4.1. Perurnusan Penduga
;if;,,
dan Kekonsistenannya
Jika fic,n,K(~) adalah penduga bagi Ac(s) maka penduga bagi &(s) dapat dirumuskan sebagai berikut :
Penduga diatas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h>O yang cukup kecil maka
Teorema 3 (Kekousistenan dari .&sK(s)) Misalkan hngsi Intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, 1 0 ,
' z,n,K(~)
Inn -t co, dan A, memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka %,n,K(s) jika n+ co. Dengan kata lain
(46)
adalah penduga konsisten bagi IZL(s).
Untuk membuktikan Teorema 3 diperlukan 2 Lema berikut.
Lema 2 (Ketakbiasan asimtotik bagi
q,n,K(~))
Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal . Jika h,,L 0 ,
h,, ln n + co, untuk n-t
m , fungsi kernel
K adalah simetrik dan memenuhi
asumsi (Kl), (K2), (K3) dan A, memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka E%,~,K (s)
jika n-r co. Dengan kata lain
-+
1; (s)
2c,n,K(~) adalah penduga tak
n:(s). Bukti: Untuk membuktikan (47) akan diperlihatkan bahwa
urn E % , ~ , ~ (=s&(s) )
n-m
(47)
bias asimtotik bagi
=
1
-
( E ~ ~ , ~+ ,h, K)(-~E ~ c , ~ , K h (, ~)).
Ingat kembali (10) yaitu E&,,,(s) = Ac(s)
+ o(h,)
jika n+ w,
Sehingga mengakibatkan:
+ ~ f i , , ~-(k s ) = Ac(s - 4 ) + a ( & ) , jika n-, w. E&,,,(s
+ k,)
= Ac(s + h,) o ( h ) ,jika n-+ m
(50) (51)
Dengan mensubsitusi (50) dan(51) ke (49) maka
1 ~ z c , n , K (=~) (Ac(s + h,)- Ac(s - h,)+ a(&)) . (52) 2hn Dengan deret Taylor maka suku pertama dan suku kedua pada (52) menjadi:
AXs) Ac(s + 4 )= Ac(s) + ~ h , +,a(&) dan
A:(s) Ac(s - h)= Ac(s> - -h, + o ( h ) I! Substitusi (53) dan (54)ke persamaan (52) diperoleh
= AXs) + o ( h ) jika n+ w, maka Lema 1 terbukti.. Lema 3 (Kekonvergenan ragam bagi
z,n,K(~))
Misalkan hngsi intensitas , Imemenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat (Kl), (K2), (K3), h,, L O dan @ ln n -+ m, untuk n-t m, maka
v ~ ~ ( $ , ~ , K+(O~ ) ) jika n+
m, asakan s adalah titik Lebesgue bagi
A,.
(56)
Bukti: var (&,,,,,(s>)
= var p ( s + h i ) - &,n,K(~- h i ) 2hn 1 = -(var ( f i ~ , ~ , K+( sh i ) ) + Var (&,TZ,K(~ - hi)) 4hi2 - 2Cov ( ~ ~ C , ~ + I , hi), K ( SAc,n,K(s - h i ) ) )
(57)
Ingat kembali pernyataan (6)yang mengakibatkan :
dan
-hi) =
m
-C-[K( kh, 1
1
ln(y) k=1
n
x-(s-&+k~)
0
hi
l o , untuk nilai n yang besar, maka selang [s + k t , s + k~ + 2&] dan [s + k t - 2&,s + kz] tidak tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga N[s + kz, s + k t + 2 h i ] dan N [s + kr - 2hi, s + kz] adalah bebas.
Dari
Dengan demikian Cov (fi,,,(s
+ h,),fiC,,,,,(s
- h i ) ) = 0, sehmgga persamaan
(57) menjadi 1 var (%,n,n(s)) = -7 ( ~ a (ficZnsK(s r + h i ) ) + Var (&,n.~(s- hi))). (58) 4hn
Kemudian
ingat
kembali
+
pernyafaan
yang
(30)
($1 +
( Ac(s + h i ) + a(s + hi))
mengakibatkan:
a7
1
[-;'(XI
dx
+ "
1 (h(1.n)').
Dengan mensubstitusikan persamaan (59) dan (60) ke (58), maka
Substitusi persamaan (53) dan (54) ke (61) sehingga (58) menjadi
(60)
Maka untuk membuktikan (62) cukup tunjukan ((A~(S)
+ as)($)+ ar(1nn + y)
1
2G (in(:I)= = o(1)
(63)
jika n+ m. Karena T adalah konstanta, k, .10 dipenuhi dan
G Inn + m, dan untuk n+
m,
maka didapatkan (56). Sehingga Lema 3 terbukti. Bukti Teorema 3: Untuk membuktikan (46), maka akan diperlihatkan untuk setiap e > 0 berlaku
> E)
~ ( l f i ~ , ~ , K ( s-A:(s)( )
+
(64)
0
jika n-t m. Ruas kiri (64) dapat dinyatakan sebagai berikut p(lX;n,K(s> -AXs)l
> E)
= P ( I & , ~ ( -s E) % , ~ ~ ~+ ( sE4:n,K(~) ) - A:(s)I
> E)
(65)
Dengan ketaksamaan segitiga maka persarnaan (65) menjadi
IE&~~K(s) - %(s)I > E) = P(lfi:,n,~(~) -E~~',~,~(S)I > E - I E ~ ~ ~ , ~ , K ( s ) - &(s)I) 5 p(lfi;,~(s> - ~ f i c , ~ , ~ ( s + )I
Berdasarkan (47) yakni ~ f i ~ , ~ , ,-(,s A:(s), ) jika n+
I EL,~,~(s> - &(S)I untuk semua n
(66)
m, maka ada N sehingga
E
55
(67)
> N.
Dengan mensubstitusikan (67) ke ruas kanan (66) maka ruas kanan (66) menjadi
<
(I&,n,K
(s)
-E?C,~,K(S)
1>
Kemudian dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev (Lema 8 dalam Lampiran l), maka peluang diatas
Berdasarkan
(56)
yakni
~ a r ( & , ~ ,+ ~ (0s ) jika
n+ w,
maka
jika m m, sehingga (64) terbukti benar. Teorema 3 terbukti.8 Teorerna 4 (Kekonvergenan MSE bagi gswK(s)) Misalkan fungsi intensitas l. memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, 1 0 ,
b3Inn + w,
untuk n+ m, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi
asumsi (Kl), (K2), (K3) dan A, memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka
jika n+ w. Bukti: Berdasarkan Definisi 34 (lihat Lampiran I), teorema di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan Lema 2 tentang ketakbiasan asimtotik bagi
g,n,K(~) dan
Lema 3 tentang kekonvergenan ragam bagi TCpn,,(s). Karena E~,.',,,(S) + A:@), yang berarti jika n-t w, maka
IE%,~,~(S)
- A:(s)I + 0 , dan karena ~ a r ( % , , , ~ ( + s ) 0, ) akibatnya
+
M S E ( P , , ~ , ~ ( S )= ) ( ~ i a s ( & , ~ , ~ ( s~) a ) r) (~% , , , , ~ (+ s ) )0, jika n+
w.
Maka
Teorema 4 terbukti.. 4.2. Perurnusan Penduga KnsK(s) dan Kekonsistenannya
Jika ficSnvK(s) adalah penduga bagi &(s) maka penduga bagi /IF(s) dapat dirumuskan sebagai berikut :
(Helmers dan Mangku 2009).
Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h O yang cukup kecil maka
Teorema 5 (Kekonsistenan dari C n Z K ( s ) ) Misalkan fungsi intensitas h memenuhi ( 1 ) dan terintegralkan lokal. Jika h,, I 0 , l n n + w, untuk n+
m,
fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi
asurnsi (Kl), (K?), K3) serta A, memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka P
2&,K (s) A:(s)
(70)
+
jika n+ w. Dengan kata lain e n , , ( s ) adalah penduga konsisten bagi A:(s). Untuk membuktiian Teorema 5 diperlukan 2 Lema berikut Lema 4 (Ketakbiasan asimtotik bagi Cn,,(s)) Misalkan fungsi intensitas h memenuhi ( 1 ) dan terintegralkan lokal. Jika h,,I 0, G l n n + m, untuk n 4 w , fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi
(Kl),(K?), (K3) dan 1, memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka 4
Z(s)
(71)
jika n+ w. Dengan kata lain Zpn,,(s) adalah penduga tak bias asimtotik bagi A:@). Bukfk Untuk membuktikan (71) akan diperlihatkan bahwa lim E X ; , ~ , ~ ( = S )A:(s).
n+m
c,n.~(s + 2h,,)+ fiC,n,K(s - 2 h l ) - 2fic,n,K(s) 4hZ
Ingat kembali ( 1 1 ) yaitu
o(G) jika n+
EX,,,(S)
= A,(s)
w, sehingga mengakibatkan
1 + ;A:(s)h,,' ~2~x z ~ ( x ) d +x
+o(%)
jika n+ w,
+o(h3
(75)
jika n+ w. Dengan deret Taylor maka suku pertarna dan kedua pada (74) menjadi
1; (s> + 2 4 ) = Ac(s) + -A;I !2 4 + -4% + o(hi) 2! A:(S + 2 4 ) = A:(s) + o(1). &(s
(76)
(77) Dengan mensubstitusikan (76) dan (77) ke (74) maka persamaan (74) menjadi
+o(%)
(78)
jika n+ w. Dengan deret Taylor maka suku pertama d m kedua pada (75)menjadi
A;(s
- 2h,)
= A; ( s )
+ o (1)
(80) Dengan mensubstitusikan (79) dan (80) ke (75) maka persamaan (75) menjadi
jika n+
m. Dengan mensubstitusikan (78) dan (81) ke (73),akibatnya diperoleh
E%,,(S) = A;(s)
+ o(l),
jika n+ w. Sehingga Lema 4 terbukti.a Lema 5 (Kekonvergenan ragam bagi %,,,K(S))
Misalkan fingsi intensitas A memenuhi (1) d m terintegralkan lokal. Jika Jika kernel K memenuhi sifat ( K l ) , (K2), (K3), h, 1 0, dan h; Inn
+ w,
untuk n+
a,
maka var(%n,~(s))
+
c~
(82)
jika n+
m, asalkan s adalah titik
Lebesgue bagi A,.
Bukti:
Var ( g n , K ( s ) )dapat ditentukan sebagai berikut, Var ( x n p K ( s ) = ) Var Ac,n,~(s+ 2h,,)
+ jc,n,K(s - 2hn) - ~Ac,n,K(s) 4hnz
Ingat kembali pernyataan (6) yang mengakibatkan :
Ac,n,K(s + zh,,) =
T z -1 ( 1
m
1
n
K
&I
ln(?)k=1
0
x - (S
+ 2h,, + k
~ )
hn
(84) dan 1
~c,n.K(s-2hn) ln
m
(?)k=1
n
1 x - (S- 2h, kh, / K ( ha
+ kz)
) N (d*)
0
(85)
+
Dari h,, I 0, untuk nilai n yang besar, maka seiang [s k z - h,,,s
+ k z + h,,]
+ k r - 3h,,, s + k r - h,,] tidak tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga N [ s + k r - h,,,s + k r + h,,], dan [s + k r + h,,,s + k r + 3hn] dan [s
+ + h , s + k5 + 3 h 1 , dan N[s + k5 - 3 h , s + k-r - h] adalah bebas. Dengan demikian Cow (&,,,(s + ~h),fl~,~,,(s - 2 h ) ) = 0, N[s
cow (AC,,K(s
+ 2h),Ic,n,K(s))
dan Cow (&,n,~(s- 2h),A,,,(s)) 1
V~~(Z,~,K(S)) =1 6 b 4 (var (
= 0,
= 0, sehiigga
+
+
~ ~ , ~ 2 h~ ) ) ~ Var ( s(Ac,n,K(~ - 2 b ) )
+war (Ac,n,K(s))).
(86)
Kemudian ingat kembali pernyataan (30) yang mengakibatkan
~ a(fican,K(s r
+2h))
=
aT
h,, ln (f)
11~2(x)h -1
jika n+ w, dan
+
s
-2
+a s -2 h (ln
+O
(37
($1 +
a
1
l-;2(x)
1 (h(1nn)Z)
jika n+ w. Dengan mensubstitusikan (87), (88) dan (30) ke (86), diperoleh
dx
(88)
jika n-1 m. Karena T adalah konstanta, h,, 10 dipenuhi dan
inn -1m, dan untuk n+ co,
maka didapatkan (82). Sehingga Lema 5 terbukti.. Bukti Teorema 5: Untuk m e m b u k t i i (70), maka akan diperlihatkan untuk setiap E ~(l%n,,(s)
> E)
-&('s)l
+
> 0 berlaku
0
(90)
jika n-1 m. Ruas kiri (90) dapat dinyatakan sebagai berikut
€1
p(lflLn,K(s) -~;(s>l> = P(~%,,(s)
-Efi&,,(s)
+ Egn,,(s) - /2:'(s)l > E).
Dengan ketaksamaan segitiga maka persamaan (91) menjadi
5 ~ ( l % ~ , K ( s ) -E%~,K(S)I
+
- A;(s)~> E)
= P(~%~,K(S) -E%~,~(s)I> E - @gn,K(s)- 4'(s)l)
(92)
Berdasarkan (71) yakni E ~ , , , ( s )+ A;(s), jika n-1 m,maka ada N sehingga
untuk semua n > N. Dengan mensubstitusikan (93) ke ruas kanan (92) maka ruas kanan (92) menjadi
kemudian dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev (Lema 8 dalam Lampiran I), maka peluang di atas
Berdasarkan
(82)
yakni
~ a r ( , ~ , ~+(0s ) jika
jika n-1 w, sehingga (90) terbukti benar. Teorema 5 terbukti..
n-1 m,
maka
Teorema 6 (Kekonvergenan MSE bagi
qnZr(~))
Misalkan fungsi intensitas I, memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h, I 0, ln n -t m, untuk n-) m, fungsi kernel Kadalah sirnetrik dan memenuhi asumsi
(Kl), (K2), (K3) dan ,Ic memilii turunan kedua berhingga pada s, maka MsE (2:,n,K(s))-) O
(94)
jika n+ m. Bukti: Bedasarkan Definisi 34 ( l i a t Lampiran I), teorema di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan Lema 4 tentang ketakbiasan asimtotik bagi q n P K ( s )dan Lema 5 tentang kekonvergenan ragam bagi z , n , K ( s ) . Karena E ~ ~ , , -(1s ilF(s) ) ,yang berarti jika n - +m, maka \E%,~,,(S) - ,I~(s)l+ 0 , dan karena ~ar(?:,,,,,(s))+ 0 ,akibatnya
+
MSE ( G ~ , , ( S ) ) = ( B ~ Q S ( $ ~ ~ ( S ) ) ) ~v a ~ ( x , , , ( s ) )-+ 0, jika n-1 m. aka
Teorema 6 terbukti.~
BAB V SIFAT - SIFAT STATISTIKA 5.1. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam Z s n K ( s ) Teorema 7 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan q G K ( s ) )
Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, 1 0 dan
Inn + w untuk n-+ w, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi
asumsi (Kl), (KZ), (K3), serta A, memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka E%,,,(s) = A:(s)
+
Ay(s)g
+o ( g )
(95)
jika n+ w. Bukti:
Untuk membuktikan persamaan (95),dari persaman (12) dan (49) diperoleh
Dengan deret Taylor diperoleh n:(s) n;(s) ny(s) a , ( s + h ) = & ( ~ ) + ~ h , + 2!- ~ + - ~ +3!o ( ~ ) ,
(96)
Al.(s) A;(s) a,(s-b) = ~ ~ ( ~ ) - - h + - g - I! 2!
(97)
A:'(s) 3!
G + o(G)*
+ h,,) = A;(s) + ~ : ' ( s ) h ,+ o(h,), A;(S - h,,) = A: (s) - A? (s)hn + o (h,,). A;(S
Dengan mensubstitusikan (96)- (99),maka dihasilkan
(98) (99)
Teorema 8 (Aprohimasi asimtotik untuk ragam %,&)) Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika hn .1 0, % I n n -+
m,
untuk n-,
m,
fungsi kernel K memenuhi asurnsi (Kl), (K2), (K3)
serta ,Ic memiliki tunman ketiga berhingga pada s, maka
jika n-,
m.
Bukti: Dari persamaan (61) dan dengan mensubstitusikan (96) dan (97) sehingga diperoleh,
Berdasarkan Definisi 34 (lihat Lampiran 1) serta menggunakan Teorema 7 dan 8, maka diperoleh Mean-Squared-Error WSE) dari /T:,n,K(s) yang diberikan pada Corollary dibawah ini.
Corollary 1(Aproksimasi asimtotik untuk MSE Rc,%K(~)) Misalkan kngsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, 1 0 ,
G ln n + w, untuk n-,
m, fungsi kernel Kadalah
simetrik dan memenuhi asumsi
(Kl), (K2), (K3) serta A, memilii turunan ketiga berhingga pada s, maka
jika n-1 w. Untuk memperoleh nilai k, optimum, maka dilakukan minirnisasi persamaan (101) dengan mencari turunan pettama persamaan (101) terhadap h,,, kemudian dievaluasi saat turunan pertamanya tersebut nol.
Nilai h,, yang memenuhi persamaan (102) merupakan aproksimasi untuk
fi;,,(s)
h,, optimum dalam
dengan tingkat penurunan nilai MSE%,~,,(S) yang
memiliki derajat ~ ( ( l n n ) - ~ /jika ~ ) n+
m.
5.2. Aproksimasi Asimtotik untuk Bias dan Ragam %,,(s)
Teorema 9 (Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan &',,(s))
Misalkan fungsi intensitas ?, memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika k, .l0 dan
l n n + m, untuk n+ co, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi
asumsi (Kl), (K2), (K3) serta A, memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka
jika n+ co. Bukti:
Dari persamaan (73) dan persamaan (13) diperoleh 1 E&,,(s) = -(A,(s 2 b ) Ic(s - 2k,) - 2Ac(s) 4h2
+
1 +z(IF)(s
+
+ Z k , ) + A$)(s - Zh,,) - 2A:')(s)) G
1 1
-1 x4K(x)dx
)
+ o(G) . (104)
Dengan deret Taylor diperoleh
+0(16h;t)
(106)
+ 2 h ) = n:(s) + 2n:'((sk + 4 n P ) ( ~ ) g+ o ( 4 g ) a:(~ - 2&) = A;(s) - 2 n y ( ~ ) 4+ 4 n P ) ( ~ ) g+ 0 ( 4 g ) Q)(s + &) = p ( s ) + o(1) n, (S - = A ~ ) ( S +) o(I). n:(s
(107) (108) (109
(4)
( 110)
Dengan mensubstitusikan (105) - (1 lo), ke (104) maka dihasilkan
Teorema 10 (Aproksimasi asimtotik untuk ragam q n x ( s ) ) Misalkan fungsi intensitas h memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h, .1 0 ,
g l n n -,w, untuk n-, w, fungsi kernel K memenuhi asumsi (Kl),
(KZ),(K3)
serta 1,memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka
Var(xn,K(~)) =
a m 4~ (in
(F))
2
+
a?)(s) 12k
(b(F)))i
Bukti: Dari persamaan (89) dan dengan mensubstitusikan (105) - (106) diperoleh,
n:)(s)
+
4
(In(
)
(;)l
l2h (In
Berdasarkan Definisi 34 (lihat Lampiran 1) serta menggunakan Teorema 9 dan 10, maka akan diperoleh Mean Squared Error (MSE) dari 21,n,K(~)yang diberikan pada Corollary di bawah ini. Corollary 2 (Aproksimasi asimtotik untuk MSE 21n,,(s)) Misalkan fungsi intensitas I. memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika h,, .1 0 ,
hz I n n + oo, untuk n-i oo, fungsi kernel K adalah simetrik dan memenuhi asumsi (Kl), (K2), (K3) serta 2, memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka
+
($)+ 3aT(1nn y!)02(x)d 8G @n( ;I) 8G (In (F)) 'a
2)
+
jika n-1 00. Untuk memperoleh nilai h, optimum, maka dilakukan minimisasi persamaan ( 1 12) dengan mencari tumnan pertama persamaan (1 12) terhadap h,,, kemudian dievaluasi saat turunan pertamanya tersebut nol.
~A:(s)
ar)(s) 2
4
@) )
+ 12% (In
(F))
2
+ 8~
(In (:)
+ ilor(1nn + y ) )
1
[:'(x)dr
(113) Nilai k, yang memenuhi persamaan (113) merupakan h, optimum dalam
aproksimasi untuk %,,(s)
dengan tingkat penurunan nilai M S E ~ , , ~ ( yang S)
memiliki derajat ~ ( ( l n n ) - ~ jika / ' ) n+ a.
DAFTAR PUSTAKA Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. New York: Springer. Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. Ed ke-1. California: Wardswort & Brooks/Cole, Pasific Grove.
Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised edition. New York: Wiley. Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wardswort & Brooks. Grimmett GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford: University Press. Helmers R. 1995. On estimating the intensity of oil-pollution in the North-Sea.
CWINote BS-N9501. Helmers R, Zikitis R. 1999. On estimation of Poisson process intensity function.
Annals Institute of Statistical Mathernutics 51: 265-280. Helmers R, Mangku IW, Zikitis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of M~iltivariateAnalysis 84: 1939. Helmers R, Mangku IW, Zikitis R. 2005. Statistical properties of kernel type estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of
Multivariate Analysis 92: 1-23. Helmers R, Mangku IW, Zikitis R. 2007. A non-parametric estimator for the doubly-periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology 4: 481-892. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. To appear in Annals Institute of
Statistical Mathentatics, 61. Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theoiy: with Contenporary
Application. New York: W. H. Freeman and Company. Hogg RV, Mc Kean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Matherriatical Statistics. Ed Ke-6. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River. Mangku IW. 1999. Nearest neighbor estimation of the intensity of a cyclic Poisson process. CWI Report PNA-R9914.
Mangku IW. 2001. Estimating The Intensiiy of a Cyclic Poisson Process [Ph.D tesis]. Amsterdam: University of Amsterdam. Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and its
Application 4(2): 1-12. Mangku IW, Siswadi, Budiarti R. 2007. Consistency of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submitted for publication. Mangku IW, Siswadi, Budiarti R. 2008. Statistical properties of a kernel type estimator of the intensity of a cyclic Poisson process with linear trend. Submitted for publication. Marlina NM. 2008. Sifat - sifat statistika orde-2 penduga tipe kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan trend linear dan modifikasinya [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Nurrahmi. 2005. Sifat - sifat statistika penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren linear [skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Purcell E.J, Varberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed Ke-5. Jakarta: Erlangga. Ross SM. 2007. Introduction to Probability Models, Ed Ke-9. Burlington: Elsevier, Inc. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. Syamsuri. 2007. Pendugaan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Taylor HM, Karlin S. 1984. An Introduction to Stochastic Modeling. Florida: Academic Press, Inc. Orlando. Wheeden RL, Zygmund A. 1977. Measure and Integral :An Introduction to Real
Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc
BAB VI KESIMPULGN Untuk menduga turunan pertama dan turunan kedua dari komponen periodik suatu fungsi intensitas, pada awalnya ditentukan penduga komponen periodik kc dari fungsi intensitas A padas E [O,m)
dari suatu proses Poisson
periodik (dengan periode -c yang diketahui) dengan tren linear yang diamati pada interval [O,n].Penduga tipe kernel bagi &(s), dirumuskan sebagai berikut:
Dari penduga di atas, diturunkan penduga bagi hk(s) yang dirumuskan sebagai:
Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan lagi penduga bagi kg(s) yang dirumuskan sebagai berikut:
Pada ketiga penduga di atas, h,, disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup kekonsistenan, kekonvergenan mean square error (MSE) dan sifat sifat statistika dari %,,(s) dan ZsnnK(s). Dari hasil kajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa: 6).
Penduga %,,,(s) merupakan penduga tak bias asimtotik bagi lk(s).
(ii).
Ragam dari ?c,n,K(~) konvergen menuju nol, jika n-, co.
(iii).
Penduga /i:,,(s)
(iv).
Mean square error (MSE) dari /il;n,K(s) konvergen menuju nol, jika
merupakan penduga konsisten bagi k;(s).
n+ m.
(v).
Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan ?c,n,K(~) adalah
(vi).
) Aproksimasi asimtotik bagi tagam g , n , K ( ~adalah
(vii).
Penduga
(viii).
Cn,,(s)m e ~ p a k a npenduga tak bias asimtotik bagi by(s). Ragam dari X,,,(s) konvergen menuju nol, jika n-i m.
(ix).
Penduga
(x).
Mean square error (MSE) dari %>,,(s)konvergen menuju nol, jika
cn,K(~) melupakan penduga konsisten bagi g(s).
n-t m.
(xi).
Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan %,,(s) adalah
E ~ ' ~ , ~= ( s A: ) (s) (xii).
+
ri?)(s)g
Aproksimasi asimtotik bagi ragam %,,(s) adalah
+ o(%).
Lampiran: Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang contoh, kejadian dan peluang Berbagai macam pengamatan diperoleh melalui penggulangan percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Dalarn banyak kasus, hasil percobaan tersebut bergantung pada faktor kebetulan dan tidak dapat diprediksi dengan tepat. Tetapi, kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil untuk setiap percobaan.
Definisi 14 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan 0 . (~rimmettdan Stirzaker 2001)
Defenisi 15 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari Nang contoh a. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 16 (Kejadian lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah hiipunan kosong (0). (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 17 (Medan-u) Medan-g adalah suatu himpunan T yang anggotanya terdiri atas h i p u n a n bagian Nang contoh a,yang memenuhi syarat berikut : 1. 0 E T . 2. Jika A E T ,maka AC E T .
3. Jika A1,A2, ... E T maka U g l Ai
E
T. (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Misalkan R=R (himpunan bilangan nyata) dan 7 adalah himpunan dari semua selang terbuka di R Jika 23 C T sehingga 23 adalah Medan-a, maka 23 disebut Medan Borel yang anggotanya disebut himpunan Borel. Definisi 18 (Ukuran peluang) Misalkan fi adalah ruang contoh suatu percobaan dan 7 adalah Medan-u pads R. Suatu fungsi P yang mernetakan unsur -unsur T ke himpunan bilangan nyata R, atau P:T + R disebut ukuran peluang jika :
I. P tak negatif, yaitu untuk setiap A
E F, P(A)
2 0.
2. Bersifat aditif tak hingga, yaitu jika A1,A2, ... E T dengan A, n A k = 0, j # k maka P(U,",l
An) = C&=,P(An).
3. P bemorma satu, yaitu P(R) = 1. Pasangan (n,T,P) disebut ruang peluang atau ruang probabilitas. (Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 19 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: P(A
n B)
= P(A)P(B).
Secara umum himpunan kejadian (Ai; i E I) dikatakan saling bebas jika :
untuk setiap himpunan bagian Jdari I. (Grimmett dan Stirzaker 2001) Peubah acak dan fungsi sebaran Defioisi 20 (Peubah acak) Misalkan
adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang
~erdefinisipada
a yang memetakan setiap unsur
E
ke satu dan hanya satu
bilangan real X(U) = x disebut peubah acak. (Hogg et ~1.2005)
Ruang dari Xadalah himpunan bagian bilangan real d={ x : x = X ( o ) , o E a). Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 21 ( Fungsi sebaran) Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang d d a n kejadian A = (-m, x ] c d maka peluang dari kejadian A adalah
px(A) = P(X Ix ) = Fx(x). Fungsi Fx disebut fungsi sebaran dari peubah acakX. (Hogg el al. 2005) Definisi 22 (Peubah acak diskret) Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg et al. 2005) Definisi 23 (Fuugsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret Xadalah fungsi p: R -t [0,1] yang diberikan oleh:
p x ( x ) = P(X = x ) . (Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 24 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak Xdisebut peubah acak Poisson dengan parameter l, h> 0, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh
(Ross 2007)
Lema 6 (Jumlah peubah acakPoisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliii sebaran Poisson dengan parameter berturut - turut I=dan 1,. Maka X+Ymemiliki sebaran Poisson dengan parameter hl+h2. (Taylor dan Karlin 1984) Bukti: lihat Taylor dan Karlin (1984).
Nilai harapan, ragam dan momen Definisi 25 (Nilai harapan) Misalkan Xadalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang px(x). Nilai harapan dari X,dinotasikan dengan E(X), adalah
jika jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005)
Definisi 26 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang px(x) dan nilai harapan E(X). Maka ragam dari X, dinotasikan dengan V a r m atau :a , adalah
Definisi 27 (Covarian) Misalkan X dan Y adalah peubah acak, covariance dari X dan Y didefmisikan sebagai Cov(X, Y ) = E[(X - E(x))(Y
- E(Y))]. (Hogg et al. 2005)
Definisi 28 (Fungsi indikator)
-
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi
IA: fl
{0,1},yang diberikan oleh: 1, jika w E A 0, jika w E AC.
Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan ha1 berikut :
EIA = P(A). (Grimmet dan Stirzaker 200 1) Kekonvergenan peubah acak Terdapat
beberapa
cam
untuk
menginterpretasikan
pernyataan
kekonvergenan barisan peubah acak, Xn + X untuk n -t w. Definisi 29 (Kekonvergenan dalarn peluang) Misalkan Xl,X2,
..., X
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang
(Q,F,P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke X,
dinotasikan Xn 5 X, jika untuk setiap s > 0 berlaku P(IXn - XI
> e ) + 0, untuk
n + w. (Grimmett dan Stiaaker 2001) Penduga dan sifat - sifatuya Definisi 30 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau bebempa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al. 2005) Definisi 31 (Penduga) Misalkan XI, Xz, ...,Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(Xi, X,,
...,Xn) yang
digunakan untuk menduga fungsi parameter g(B), diiatakan sebagai penduga (estin~ator)bagi d B ) ,dilambangkan oleh &(B).
Bilamana nilai Xl = xl, X2 = x,,
..., Xn = x,,
maka nilai U(Xl, X2, ...,Xn)
disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g(0). (Hogg et al. 2005) Definisi 32 (Penduga tak bias) Suatu penduga yang nilai harapannya sarna dengan parameter g(O), yaitu
(i)
E[U(Xl,X2,
...,Xn)]=g(0)
disebut penduga tak bias bagi parameter g(0).
Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. (ii) Jika lim,
...
EIU(Xl, X2, ,X,)] = g(O), maka U(Xl,X2, ...,X,) disebut
penduga tak bias asimtotik bagi g(0). (Hogg et at. 2005) Definisi 33 (Penduga Konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(0), disebut penduga konsisten bagi g(0). (Hogg et al. 2005) Definisi 34 (MSE suatu penduga) Mean
Square Error (MSE)
dari suatu penduga
U bagi
parameter
g(0), didefinisikan sebagai: MSE(U) = E(U - g(0))2 = (Bias(U))'
+ Var(U),
dengan Bias (U) = EU - g(0). (Cassela dan Berger 1990) Definisi 35 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas h disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Bore1 terbatas B kita peroleh p(~= )
h(s)ds
m.
(Dudley 1989)
Definisi 36 (0 (.) )
Simbol 'big-oh' ini merupakan cara untuk membandingkan besamya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u(x) = O (v(x)) ,x -, L, menyatakan bahwa
1 ~ f .terbatas, l untuk x
+ L.
Definisi 37 (o(.))
Simbol 'little-oh' ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. Notasi u(x)=o(v(x)) ,x -+ L, menyatakan bahwa
p g 1-+
0, untuk x
+L
(Sertling 1980) Dengan menggunakan Definisi 23 dan 24 kita peroleh ha1 berikut: a. Suatu barisan bilangan nyata {a,)disebut terbatas dan ditulis a,=O(1) untuk
n + m, jika ada bilangan terhiigga A dan B sehingga B < a, < A untuk semua bilangan asli n. b. Suatu barisan { b,)
yang konvergen ke nol, untuk n
+ m,
dapat ditulis
b,,=o(l), untuk n + a. (Purcell dan Varberg 1998) Definisi 38 (Titik Lebesgue)
Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi jika berlaku 1im2 h-ro2h
J-h (
s
+x ) -( s )
dx = O.
(Wheeden dan Zygmund 1977) Lema 7 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titikx. Maka
untuk y
+ x.
(Serfling 1980)
Bukti: lihat Serfling (1980). Lema 8 (Pertidaksarnaan Chebyshev) Jika Xadalah peubah acak dengan nilai harapan p dan ragam a2,maka untuk
setiap k>O,
(Ross 2007) Bukti : lihat Ross (2007).
LEma 9 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika Xdan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas maka E[XY] 5
Jm,
dan akan bemilai ' sama dengan' jika dan hanya jika P(X = 0) = 1 atau
P(Y = aY) = 1untuk suatu konstanta a. (Helms 1996) Bukti : lihat Helms (1996)
