Dalam bab ini kamu akan mempelajari: 1.
menentukan bilangan hasil pangkat tiga (bilangan kubik);
2. menentukan akar pangkat tiga dari bilangan kubik; dan 3. melakukan pengerjaan hitung bilangan dengan akar dan pangkat tiga.
Sumber: Dokumen Penerbit
Ada banyak benda dalam kehidupan sehari-hari yang mempunyai bentuk seperti gambar di atas. Misalnya, dadu yang sering kamu gunakan bermain ular tangga dan kardus kapur tulis. 1. Apa bentuk bangun pada gambar? 2. Bagaimana cara mencari volumenya? 3. Bagaimana cara mencari panjang rusuk bangun tersebut jika hanya diketahui volumenya?
Gemar Matematika VI SD/MI
19
A. Menentukan Bilangan Hasil Pangkat Tiga Rin, apakah luas persegi dengan panjang sisi 2 cm merupakan bilangan kuadrat?
Vi, apakah volume kubus = 8 cm3 merupakan bilangan kuadrat?
Luas persegi: 2 × 2 = 4 cm2
Volume kubus: 2 × 2 × 2 = 8 cm3
Hani
Desi
Di kelas V kamu telah mempelajari bilangan berpangkat dua atau bilangan kuadrat. 32 = 3 × 3 = 9 42 = 4 × 4 = 16 52 = 5 × 5 = 25 Jadi, 9, 16, 25 disebut bilangan kuadrat.
Evi Rina
Ya. Luas persegi = 4 cm2 merupakan bilangan kuadrat karena 4 = 2 × 2.
Bukan. Bilangan 8 merupakan bilangan kubik karena 8 sama dengan 2 × 2 × 2 atau 23.
Bilangan 4 = 2 × 2 = 22 merupakan bilangan berpangkat dua atau bilangan kuadrat. Bilangan 8 = 2 × 2 × 2 = 2 3 merupakan bilangan berpangkat tiga.
Jika: 22 = 2 × 2 23 = 2 × 2 × 2 maka 24 = . . . 25 = . . . 210 = . . .
Bagaimana cara menghitung bilangan dengan pangkat lebih dari dua, ya?
Coba pahami percakapan Desi, Hani, Rina, dan Evi pada gambar di atas. Perhatikan tulisan di papan tulis pada gambar di atas. 1. Tuliskan bilangan kuadrat yang ada di papan tulis. 2. Tuliskan bilangan pangkat tiga yang ada di papan tulis tersebut. 3. Tuliskan dua bilangan kuadrat dan dua bilangan pangkat tiga yang lain.
20
Pengerjaan Hitung Bilangan
Cara menghitung bilangan pangkat tiga yaitu dengan mengalikan berturut-turut sebanyak 3 kali. Bilangan hasil pemangkatan tiga dinamakan bilangan kubik.
Misalnya: a.
33 =
3 × 3 × 3
b.
= 9 × 3 = 27 Jadi, 27 termasuk bilangan kubik. 53 =
5 × 5 × 5
c.
= 25 × 5 = 125 Bilangan 64 termasuk bilangan kubik karena
64 = 4 × 4 × 4 = 43.
Ada cara mudah menentukan bilangan pangkat tiga dari bilangan kelipatan 10. 203 = 20 × 20 × 20 = 8.000 23 = 8 603 = 216.000 63 = 216 Cara menghitung bilangan pangkat tiga. 153 = 15 × 15 × 15 = 225 = 3.375
× 15
213 = 21 × 21 × 21
s = sisi kubus = 3 cm
= 441 = 9.261
× 21
3
cm
3 cm
3 cm
Volume sebuah kubus dengan panjang rusuk 3 cm yaitu: V =s×s×s = 3 cm × 3 cm × 3 cm = 27 cm3 Jadi, volume kubus = 27 cm3. Besar volume kubus merupakan bilangan kubik.
Volume balok berukuran panjang 9 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 4 cm yaitu 216 cm3. Volume balok di atas juga merupakan bilangan kubik karena 216 = 6 × 6 × 6. Jadi, volume balok yang panjangnya 9 cm, lebarnya 6 cm, dan tingginya 4 cm sama dengan volume kubus yang panjang rusuknya 6 cm.
Di kelas V kamu telah mempelajari volume balok dan volume kubus. Vbalok = p × A × t Vkubus = s × s × s
Gemar Matematika VI SD/MI
21
Kerjakan soal-soal berikut. Gunakan kalkulator untuk memeriksa 1. 93 = . . . 6. 203 = . . . 7. 223 = . . . 2. 113 = . . . 8. 253 = . . . 3. 123 = . . . 4. 173 = . . . 9. 303 = . . . 10. 503 = . . . 5. 193 = . . .
jawabanmu. Kalau sudah selesai, periksa lagi menggunakan kalkulator.
Kamu boleh menggunakan kalkulator untuk menyelesaikan soal-soal berikut. A. Pasangkan dengan garis hubung perhitungan berikut yang mempunyai hasil sama.
B.
1.
12 × 48 × 24
8.000
203
2.
3 × 36 × 54
4.096
243
3.
10 × 25 × 32
13.824
283
4.
8 × 32 × 16
5.832
163
5.
16 × 49 × 28
21.952
183
Selesaikan soal-soal berikut. 1. Tentukan bilangan-bilangan kubik antara 1.000 dan 2.000 pada tabel angka berikut.
2. 3. 4. 5.
22
1.064
1.125
1.331
1.343
1.728
1.512
1.008
1.216
1.729
Tentukan bilangan kubik antara 3.000 dan 3.500. Tentukan bilangan-bilangan kubik yang nilainya lebih dari 5.000, tetapi kurang dari 10.000. Tentukan bilangan kubik yang nilainya lebih dari 15.000 dan kurang dari 17.576. Tentukan bilangan-bilangan kubik antara 19.000 dan 25.000. Pengerjaan Hitung Bilangan
C.
Daftarlah bilangan-bilangan kubik yang diminta pada soal berikut. Kerjakan dengan teman sebangku. 1. Bilangan kubik satu angka yaitu ___ dan ___. 2. Bilangan kubik dua angka yaitu ___ dan ___. 3. Bilangan kubik tiga angka yaitu ___, ___, ___, ___, dan ___. 4. Bilangan kubik empat angka yaitu ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, dan ___.
Hitunglah hasil pengerjaan hitung pada kolom A dan kolom B berikut. Kolom A
Kolom B
83 + 43
(8 + 4)3
83 – 43
(8 – 4)3
83 × 43
(8 × 4)3
83 : 43
(8 : 4)3
Bandingkan hasil yang kamu peroleh antara perhitungan kolom A dengan kolom B. Apakah 83 + 43 = (8 + 4)3 ? Apakah 83 – 43 = (8 – 4)3 ? Apakah 83 × 43 = (8 × 4)3 ? Apakah 83 : 43 = (8 : 4)3 ? Sekarang gantilah bilangan yang dipangkatkan (bilangan 8 dan 4) dengan dua bilangan lain dan bandingkan hasilnya. Kesimpulan apa yang kamu peroleh? Buktikan kebenaran kesimpulanmu melalui beberapa contoh. Berilah 3 contoh untuk tiap-tiap kesimpulan. Kumpulkan kesimpulan beserta contohnya kepada bapak atau ibu gurumu untuk dikoreksi.
Cari contoh yang mudah saja. Maksudmu bilangan yang kecil, ya?
Gemar Matematika VI SD/MI
23
B. Menentukan Hasil Penarikan Akar Pangkat Tiga Pak guru memberi kita tugas untuk membuat kardus yang berbentuk kubus. Kardus kapur tulis ini dapat digunakan untuk contoh.
Kelompok kita membuat kardus yang volumenya 3.375 sentimeter kubik.
Dita Dandi
Doni
Berarti panjang rusuknya 15 sentimeter.
Perhatikan gambar di atas. 1. Apa bentuk kardus kapur yang dipegang Dandi? 2. Apakah 3.375 termasuk bilangan kubik? Mengapa Doni menyimpulkan bahwa rusuk kubus itu 15 cm? Bagaimana cara Doni mendapatkan hasil itu? Ayo, kita mencari bersama-sama!
1. Menggunakan Cara Langsung Rumus volume kubus V = s3. Dita berkata bahwa V = 3.375 cm3. Dalam pikiran Doni: 3.375 = 15 × 15 × 15 = 153 Berarti s3 = 153 atau s = 15. Doni pernah mencari hasil dari 153 sehingga Doni hafal. Bagaimana kalau tidak hafal? Kamu dapat menggunakan cara faktorisasi prima. Bagaimanakah caranya?
24
Pengerjaan Hitung Bilangan
Ayo, belajar mencari akar pangkat tiga dari bilangan kubik!
2. Menggunakan Cara Faktorisasi Prima Volume kubus = 3.375 Faktorisasi prima bilangan 3.375 dicari menggunakan pohon faktor di bawah ini. 3.375 1.125 375 125 25 5 3
3
3
5
5
3.375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 = (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) = 15 × 15 × 15 = 153 Jadi, panjang rusuk kubus 15 cm.
Di kelas IV kamu telah mempelajari faktor bilangan. Pohon faktor biasa kamu gunakan untuk mencari faktor suatu bilangan. Caranya dengan membagi suatu bilangan dengan bilangan prima. Bilangan prima: 2, 3, 5, 7, 11, . . . .
Kebalikan dari pangkat tiga yaitu akar pangkat tiga. Lambang dari akar pangkat tiga yaitu 3 . 3.375 = 153 3
3.375 = 15
3. Menggunakan Cara Mencoba Akar pangkat tiga dari suatu bilangan yang terdiri atas empat hingga enam angka dapat ditentukan dengan cara mencoba-coba. Rusuk kubus =
3
3.375 = . . . .
Langkah-langkahnya sebagai berikut. a. Menentukan nilai puluhan bilangan yang dicari. 1) Abaikan tiga angka terakhir. 2) Carilah bilangan kubik dasar terbesar di bawah angka yang tersisa. 3) Tariklah akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar tersebut. Hasil akar pangkat tiga ini sebagai puluhan. Jadi, puluhannya adalah 1. b. Menentukan nilai satuan bilangan yang dicari. 1) Perhatikan angka terakhirnya. 2) Carilah bilangan kubik dasar yang satuannya sama dengan 5 3) Tariklah akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar tersebut. Hasil akar pangkat tiga ini sebagai satuan. Jadi, satuannya 5. Jadi, 3 3.375 = 15
→
3.375 menjadi 3
→ →
bilangan kubik dasar (ribuannya) terbesar di bawah 3 adalah 1 3 =1 1
→ →
3.375 angka terakhir 5 125
→
3
125 = 5
Gemar Matematika VI SD/MI
25
Tabel di bawah ini merupakan bilangan kubik dasar dan bilangan akar pangkat tiga. Hafalkan bilangan-bilangan di bawah ini. Bilangan Kubik Dasar
Akar Pangkat Tiga dari Bilangan Kubik
13 = 1
3
23 = 8
3
33 = 27
3
43 = 64
3
53 = 125
3
Bilangan Kubik Dasar
1=1 8 =2 27 = 3 64 = 4 125 = 5
Akar Pangkat Tiga dari Bilangan Kubik
63 = 216
3
216 = 6
73 = 343
3
343 = 7
83 = 512
3
512 = 8
93 = 729
3
729 = 9
103 = 1.000
3
1.000 = 10
Kerjakan tugas ini secara berkelompok. Bentuklah kelompok dengan anggota 4–5 orang. Carilah bilangan yang dimaksud pada soal-soal berikut. 1. Aku adalah bilangan kubik. Jika aku dikalikan dengan bilangan berapapun hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Berapakah aku? 2. Aku adalah bilangan kubik. Aku juga merupakan volume balok yang berukuran 20 × 45 × 30. Berapakah aku?
Mencari akar pangkat tiga dari bilangan empat hingga enam angka lebih mudah menggunakan jurus mencoba.
3.
Aku adalah bilangan bulat. Jika aku dipangkatkan tiga dan ditambah dengan 2164 hasilnya 6260. Berapakah aku?
4.
Aku adalah bilangan bulat. Jika aku dipangkatkan tiga dan dikali 8 hasilnya 4096. Berapakah aku?
5.
Aku adalah bilangan bulat. Jika aku dipangkatkan tiga, aku lebih besar dari 11.000 tapi aku kurang dari 13.000. Berapakah aku?
Coretan 64
A.
Salin dan lengkapilah soal-soal berikut. Gunakanlah buku tabel bilangan akar dan pangkat tiga untuk memeriksa jawabanmu.
43 = ____
3
64
4 = ____
343
= ____
3
343
= ____
1.000
= ____
3
1.000
= ____
2.197
= ____
3
2.197
= ____
4.913
= ____
3
4.913
= ____
10.648 = ____
3
10.648 = ____
64
26
Pengerjaan Hitung Bilangan
2
32 2
16 2
8 2
4 2
2
64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 4 x 4 x 4 = 43
B.
Carilah panjang rusuk kubus yang mempunyai volume berikut ini. Kerjakan masing-masing soal dengan cara faktorisasi prima, kemudian bandingkan hasilnya dengan cara mencoba. 1. 729 cm3 6. 6.859 mm3 2. 1.331 cm3 7. 8.000 dm3 3. 1.728 m3 8. 9.261 m3 4. 2.744 dm3 9. 15.625 dam3 5. 4.096 cm3 10. 32.768 m3
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar. 1. Arif membawa kardus berbentuk kubus yang panjang rusuknya 42 cm. Berapakah volume kardus tersebut? 2. Kotak mainan Tari berbentuk kubus yang tingginya 25 cm. Berapakah volume kotak mainan Tari? 3. Sebuah bak air berbentuk kubus mampu menampung air 216 dm3. Berapa desimeter tinggi bak air tersebut?
4.
5.
Kalau sudah selesai, periksa lagi menggunakan kalkulator.
Akuarium raksasa berbentuk kubus mampu menampung 8.000 dm3 air. Berapa meter panjang rusuk akuarium raksasa tersebut? Sebuah akuarium berbentuk kubus dapat menampung 27.000 cm3 air. Berapa sentimeter panjang rusuk akuarium tersebut?
C. Melakukan Pengerjaan Hitung Akar dan Pangkat Tiga
Rini
Volume kardus buku tulis 27 dm3 dan volume kardus buku gambar 216 dm3. Dapatkah kedua kardus diletakkan berjajar di samping rak?
Adi
Di samping rak masih ada tempat kosong selebar 10 dm. Kedua kardus itu bisa diletakkan di samping rak.
Gemar Matematika VI SD/MI
27
Menurutmu, benarkah pendapat Adi? Bagaimana cara menghitungnya? Adakah yang menggunakan cara berikut? Volume kardus buku tulis = 27 dm3 Panjang kardus buku tulis = 27 dm3 = 3 dm Volume kardus buku gambar = 216 dm3 Panjang kardus buku gambar = 216 dm3 = 6 dm Panjang kedua kardus = 3 dm + 6 dm = 9 dm Panjang tempat kosong yang ada = 10 dm Jadi, kedua kardus bisa diletakkan berjajar di samping rak.
Jika kardus diletakkan berjajar, susunannya seperti ini.
V = 216 dm3 V = 27
?
Tempat yang disediakan untuk meletakkan kardus dapat ditulis: ?=
Kerjakan soal-soal berikut. 1. 53 + 23 = . . . 2.
43 × 73 = . . .
3.
3
3.375 –
4.
3
8 ×
5.
3
216 : 27 = . . .
3
3
6. (173 – 123) × 7.
512 = . . .
27 = . . . 3
3
3
3
3
27 +
3
216 = 3 + 6 = 9
8 =...
3.375 × (23 + 33) = . . .
8. (72 : 9.
dm3
3
8 ×
512 ) – (93 + 43) = . . . 3
27 + 23 ×
10. ( 3 216 +
3
3
64 = . . .
5.832 ) : 23 = . . .
Selesaikan soal-soal di bawah ini. 1.
Sebuah bak air berbentuk kubus dengan panjang 50 cm berisi penuh air. Dino memasukkan mainan bebentuk kubus dengan tinggi 15 cm. Berapa cm3 air yang tumpah?
28
Pengerjaan Hitung Bilangan
2.
Kardus pembungkus tv 21" berbentuk kubus dengan volume 216 dm 3 . Kardus pembungkus tv 14" berbentuk kubus dengan volume 64 dm3. Jika kedua kardus ditumpuk, berapa meter tinggi tumpukan kardus tersebut?
3.
1. 2.
3.
4. 5. 6.
Pak Heri seorang penjual mainan. Pak Heri membeli 250 mainan anak berbentuk kubus rusuk-rusuknya berukuran 7 cm. Mainan tersebut akan dimasukkan ke dalam kardus berbentuk kubus. Rusuk kardus berukuran 42 cm. Mainan-mainan tersebut disusun dan dimasukkan ke dalam kardus sampai penuh. Berapa banyak mainan yang tidak dapat dimasukkan?
4.
Rasya mendapat tugas sekolah membuat kubus. Ukuran kubus hanya diketahui volumenya. Volume kubus pertama 5.832 cm3 dan volume kubus kedua 17.576 cm3. Berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kedua kubus tersebut?
5.
Dina mempunyai dua mainan kubus ajaib yang setiap sisi berlainan warna. Perbandingan volume kedua kubus adalah V1 : V2 = 8 : 27. Jika volume kubus kedua 135 cm3, hitunglah luas permukaan kubus pertama.
Bagilah kelasmu menjadi 5 kelompok. Setiap kelompok mendapat tugas membuat kubus dari kertas karton. Warna kertas karton harus berbeda dengan kelompok lain. Ukuran kubus untuk tiap-tiap kelompok berbeda. ❋ Kelompok I kubus dengan volume 9.261 cm3. ❋ Kelompok II kubus dengan volume 10.648 cm3. ❋ Kelompok III kubus dengan volume 13.824 cm3. ❋ Kelompok IV kubus dengan volume 15.625 cm3. ❋ Kelompok V kubus dengan volume 21.952 cm3. Buatlah balok dengan volume sama dengan volume kubus. Buatlah tulisan yang menunjukkan manfaat kubuskubus tersebut. Kumpulkan kubus dan balok yang telah kamu buat kepada bapak atau ibu guru untuk dinilaikan.
Ukuran kubus tersebut hanya diketahui volumenya.
Rusuk kubus dapat dicari dengan penarikan akar tiga.
Gemar Matematika VI SD/MI
29
1.
Suatu bilangan dipangkatkan tiga berarti bilangan tersebut dikalikan berturutturut sebanyak tiga kali.
2.
Kebalikan dari pangkat tiga yaitu akar pangkat tiga dan dilambangkan
3. 4.
Akar pangkat tiga dapat dicari menggunakan faktorisasi prima. Panjang rusuk kubus sama dengan akar pangkat tiga dari volumenya.
1. 2.
Bagaimana cara mencari hasil bilangan pangkat tiga? Bagaimana cara mencari akar pangkat tiga dari suatu bilangan menggunakan faktorisasi prima? Bagaimana cara menentukan panjang suatu kubus jika diketahui volumenya?
3.
Kerjakan soal-soal berikut. 1. 113 = . . . . 2. (7 + 3)3 – (73 + 33) = . . . . 3.
3
1.728 = . . . .
4.
3
1.000 + 3 125 = . . . .
3
5.
343 + 3 2.197 =.... 3 125 − 3 27
6.
64( 3 1728 − 23 ) 3 2744
=....
7.
Sebuah kubus mempunyai volume 4.913 cm3. Berapakah panjang rusuk kubus tersebut?
8.
Sebuah balok panjangnya 24 cm, lebar 9 cm, dan tinggi 8 cm. Apabila volume kubus sama dengan volume balok, tentukan panjang rusuk kubus.
30
Pengerjaan Hitung Bilangan
9.
3
.
Perbandingan volume dua kubus adalah V1 : V2 = 1 : 27. Jika panjang kubus pertama 8 cm, berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka kedua kubus tersebut?
10. Kedua kubus diletakkan berjajar seperti gambar di samping. Jika volume kubus yang besar 512 cm3, tentukan panjang kubus yang kecil.
11 cm
