A J E J I C H S O U S T A V Y

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

DANIEL HRIVŇÁK

OSTRAVA 2002

1

OBSAH MODULU Úvod........................................................................................................................................... 3 A. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu A1 Základní pojmy ............................................................................................................. 5 A2 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými ................................................. 11 A3 Homogenní diferenciální rovnice................................................................................ 15 A4 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu ............................................................... 17 A5 Exaktní diferenciální rovnice ...................................................................................... 21 A6 Rovnice prvního řádu nerozřešené vzhledem k derivaci ............................................ 25 B. Obyčejné diferenciální rovnice vyššího řádu B1 Jednoduché diferenciální rovnice vyššího řádu .......................................................... 29 B2 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu................................................................ 33 B3 Homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ....................... 37 B4 Nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ................... 41 C. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic C1 Základní pojmy ........................................................................................................... 49 C2 Normální soustava lineárních diferenciálních rovnic ................................................. 53 C3 Normální soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty ...... 57 Řešení úloh .............................................................................................................................. 65 Literatura ................................................................................................................................ 69

3

ÚVOD Tento modul je určen především studentům prvních nebo druhých ročníků přírodovědeckých a učitelských nematematických oborů jako součást základního kurzu aplikované matematiky. Předpokládá znalost středoškolské matematiky, základů diferenciálního počtu jedné i více reálných proměnných a integrálního počtu jedné reálné proměnné. Uváděný potřebný čas studia modulu a jednotlivých kapitol je třeba chápat jako čas minimální, potřebný pro pečlivé pročtení (s porozuměním) probírané teorie a hladké vyřešení úloh. Pokud není matematika Vaším koníčkem, asi budete potřebovat čas delší. Předpokládám, že v nejhorším případě se může jednat asi o dvojnásobný čas, jinak pravděpodobně nemáte nutné vstupní vědomosti, uvedené výše. Po prostudování modulu budete znát: • • • • • • • • • •

definici skalárního a vektorového pole; definici a vlastnosti operátoru gradient; definici a vlastnosti operátoru divergence; definici a vlastnosti operátoru rotace; definici a vlastnosti Laplaceova oparátoru; definici symbolického nabla operátoru; vyjádření základních diferenciálních operátorů pomocí nabla operátoru; definici hladiny skalárního pole a vektorové čáry vektorového pole; klasifikaci vektorových polí na vírová a nevírová, zřídlová a nezřídlová; nejdůležitější vzorce platné pro diferenciální operátory.

Budete schopni: • •

aplikovat operátory gradientu, divergence, rotace a Laplaceův operátor na zadaná skalární nebo vektorová pole; klasifikovat vektorová pole.

Získáte: • • •

solidní přehled problematiky diferenciálních operátorů, dostatečný pro většinu praktických aplikací; představu o matematicko-fyzikálním významu jednotlivých operátorů; potřebnou výpočetní rutinu, která Vám umožní efektivně používat diferenciální operátory ve Vaší specializaci.

Čas potřebný k prostudování učiva modulu: 8 + 14 hodin (teorie + řešení úloh) Průvodce studiem. Specifikem matematického textu jsou poznámky. Prosím, nechápejte je jako něco podřadného. Naopak, často jsou v poznámkách uvedeny velmi důležité věci, které nedílně doplňují definice, věty a důkazy a které objasňují jejich účel a motivaci.

A1. Základní pojmy

A. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU A1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: • co rozumíme pojmem ob yčejná diferenciální rovnice a jejím řádem; •

jak je definováno řešení nebo-li integrál diferenciální rovnice a jaké t yp y řešení rozlišujeme;

•

co jsou to tzv. počáteční podmínk y pro řešení diferenciální rovnice.

Budete schopni: • ověřit, zda určitá funkce je v daném oboru řešením dané diferenciální rovnice.

Klíčová slova této kapitoly: obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu, partikulární řešení, partikulární integrál, obecné řešení, obecný integrál, počáteční podmínky, singulární řešení, singulární integrál.

Čas potřebný k prostudování učiva předmětu: 0,5 + 0,5 hodiny (teorie + řešení úloh) Definice. Obyčejnou diferenciální rovnicí n-tého řádu pro neznámou funkci y ( x ) nezávislé proměnné x rozumíme rovnici F ( x, y, y′,..., y ( n ) ) = 0 , nebo, je-li takzvaně rozřešena vzhledem k nejvyšší derivaci, rovnici tvaru y ( n ) = f ( x, y, y′,..., y ( n −1) ) . Definice. Řešením nebo také integrálem (přesněji partikulárním řešením či integrálem) diferenciální rovnice F ( x, y, y′,..., y ( n ) ) = 0 nazýváme každou funkci y = g ( x) , která v uvažovaném oboru vyhovuje identicky této rovnici.

5

6

A. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

Poznámka. 1. Uvažovaným oborem je nejčastěji nějaký interval I, speciálně např. okolí nějakého bodu nebo celá množina R reálných čísel. 2. Formulace „vyhovuje identicky“ znamená, že po dosazení řešení do diferenciální rovnice dostaneme identitu, nebo-li vztah, který je splněn pro všechna x z uvažovaného oboru. 3. Řešení může být dáno také jako implicitní funkce, tzn. rovnicí h( x, y ) = 0 , ze které můžeme pro určité x vypočítat příslušnou hodnotu y ( x ) .

Obecně vzato nemusí mít určitá diferenciální rovnice v uvažovaném oboru žádné řešení, několik řešení nebo i nekonečně mnoho řešení. V praxi je nejdůležitější vědět, zda řešení vůbec existuje a zda (příp. za jakých podmínek) je jednoznačné. O tom hovoří následující věta.

Věta. Nechť je dána diferenciální rovnice ve tvaru y ( n ) = f ( x, y, y′,..., y ( n −1) ) a bod df df df P  a, b1, , b2, ..., bn  . Nechť funkce f , , ,..., ( n −1) jsou spojité (jako funkce dy d y ′ dy n+1 proměnných) v okolí bodu P. Pak v určitém okolí bodu a existuje právě jedno řešení y = g ( x) , které splňuje tzv. počáteční podmínky g (a ) = b1 , g ′(a ) = b2 , ..., g ( n −1) (a ) = bn .

Poznámka. a) Věta má lokální charakter (pojednává o řešení v okolí bodu a). Silnější větu, která by zaručovala existenci a jednoznačnost řešení v celém uvažovaném intervalu I, je možné formulovat např. pro tzv. lineární diferenciální rovnice (budou uvedeny dále). Obecně však, nalezneme-li řešení určité diferenciální rovnice s danými počátečními podmínkami v nějakém okolí bodu a, musíme vyšetřit, zda je možné toto řešení rozšířit i mimo toto okolí a zda je toto rozšíření jednoznačné. b) Obecnější tvar rovnice F ( x, y, y′,..., y ( n ) ) = 0 použít nelze, protože ani za velmi „rozumných“ podmínek pro funkci F nelze zaručit jednoznačnost řešení. Nalezené partikulární řešení (v okolí daného bodu a) je dáno volbou počátečních podmínek, tzn. n-tice hodnot b1, , b2, ..., bn  . Ukazuje se, že je možné definovat typ

řešení, ve kterém explicitně vystupuje n nezávislých parametrů (konstant). Definice. Nechť Ω je (n+1)-rozměrná oblast, složená z takových bodů P  a, b1, , b2, ..., bn  , pro které má rovnice y ( n ) = f ( x, y, y′,..., y ( n −1) ) právě jedno řešení. Obecným řešením (obecným integrálem) vzhledem k oblasti Ω pak rozumíme funkci g ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) proměnné x a konstant C1 , C2 ,..., Cn takovou, že pro každý bod P ∈ Ω lze těmto konstantám přiřadit (a to jednoznačně!) takové číselné hodnoty, že vzniklá funkce proměnné x y ( x) = g ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) je řešením dané diferenciální rovnice s počátečními podmínkami určenými bodem P.


Poznámka. 1. Řečeno trochu jinak, obecné řešení v sobě obsahuje všechna partikulární řešení, odpovídající různým počátečním podmínkám. Tato partikulární řešení obdržíme vhodnou volbou konstant. 2. Žádná z konstant C1 , C2 ,..., Cn v obecném řešení nemůže být zbytečná, tzn. nelze ji vypustit ani spojit s jinou konstantou. Počet konstant musí být roven řádu rovnice n . V praxi se poměrně často objevuje případ, kdy kromě obecného řešení diferenciální rovnice (vzhledem k nějaké oblasti Ω ) existuje i řešení, které nelze získat z obecného řešení žádnou volbou konstant, které nicméně splňuje danou diferenciální rovnici pro určité počáteční podmínky. Toto řešení řadíme mezi tzv. singulární řešení.

Definice. Singulárním řešením (singulárním integrálem) rovnice y ( n ) = f ( x, y, y′,..., y ( n −1) ) nazýváme takové řešení této rovnice, v jehož každém bodě je porušena jednoznačnost, tzn. každým bodem [ x, y ] tohoto řešení prochází ještě jiné řešení. Poznámka. a) Singulárním řešením je nejčastěji obálka parametrického systému křivek, tvořeného obecným řešením. b) Předchozí věta o jednoznačnosti řešení ovšem není narušena, pouze v bodech, kterými singulární řešení prochází, nejsou splněny předpoklady její platnosti. Pojmy obecné řešení a singulární řešení rozšiřujeme i na diferenciální rovnice obecnějšího tvaru F ( x, y, y′,..., y ( n ) ) = 0 . Definice jsou trochu komplikovanější, ale pro naše účely to není podstatné.

Úloha A1.1. Je dána diferenciální rovnice y = xy′ − y′2 . a) Ověřte, že funkce y = Cx − C 2 je jejím obecným řešením.

b) Nalezněte partikulární řešení, vyhovující podmínce y (1) = −2 .

x2 singulárním řešením dané rovnice? 4 d) Načrtněte několik partikulárních řešení do grafu!

c) Je funkce y =

7

8


Příklad: Ilustrace základních pojmů z teorie diferenciálních rovnic na rovnici y′ =

• • •

y2 .

3

Rovnice y′ = 3 y 2 je diferenciální rovnicí prvního řádu, protože nejvyšší přítomná derivace je první derivace. Rovnice je tzv. rozřešena vzhledem k první (nejvyšší) derivaci. Partikulárním řešením, a to v celém oboru reálných čísel, je např. funkce 1 3 y= x ,protože po dosazení do výchozí rovnice dostaneme identitu, 27 platnou vR : 2

6

6

2

 x3  x2  x   x 3  x  P = 3 y2 = 3  3  = 3   =   =   = , 9 3 3 3 3 

3 2 1 2 L = y′ = x = x , 27 9 L ≡ P.

1 3 (x −C) , 27 kde konstanta C ∈ R . Libovolné partikulární řešení, vyhovující počáteční podmínce y (a ) = b , kde [ a, b ] ∈ Ω , dostaneme jednoznačnou volbou

•

Obecným řešením v oblasti Ω = R × R = R 2 je systém funkcí y =

•

C = a − 33 b . Existence a jednoznačnost řešení je zaručena všude, kde funkce f ( x, y ) a

funkce

df ( x, y ) jsou spojité jako funkce dvou proměnných x, y . V našem dy

případě je

df ( x , y )

•

f ( x, y ) = 3 y 2 , což je funkce spojitá v celém

R2 , a

( )

d 3 2 2 −1 2 1 y = y 3= , což je funkce spojitá v celém R 2 3 dy dy 3 3 y kromě přímky y = 0 (osy x ). Odtud plyne, že na přímce y = 0 nemusí platit (a neplatí!) jednoznačnost řešení. Singulárním řešením je nulová funkce y ( x ) = 0 , neboť tato funkce identicky splňuje v R výchozí rovnici, ale nelze ji získat z obecného řešení žádnou volbou konstanty C . Každým bodem  a, y ( a )  ≡ [ a, 0] tohoto řešení =

1 3 ( x − a ) . Situace je znázorněna na 27 obrázku. Je vidět, že singulární řešení vzniká jako obálka systému křivek obecného řešení. prochází (právě jedno) další řešení y =

)

)

x


Shrnutí kapitoly: Ob y č ejnou diferenciální rovnicí rozumíme rovnici, ve které v ystupuje neznámá funkce jedné nezávislé prom ě nné, její derivace r ů zného ř ádu a v ýraz y s nezávislou prom ě nnou. Ř ád n nejv yšší derivace p ř ítomné v rovnici je také ř ádem diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice, ve kterých je nejv yšší derivace explicitn ě v yjád ř ena , naz ýváme roz ř ešené vzhledem k nejv yšší ( n -té) derivaci. Ř ešením č i integrálem, p ř esn ě ji partikulárním ř ešením č i integrálem diferenciální rovnice je libovolná funkce, která tuto rovnici v ur č ité oblasti identick y spl ň uje. Partikulární ř ešení spl ň uje krom ě vlastní diferenciální rovnice tzv. po č áte č ní podmínk y. Po č áte č ní podmínk y p ř edepisují hodnotu hledané funkce a všech jejích derivací krom ě nejv yšší ( n -té) v ur č itém bod ě uvažované oblasti. Pokud jsou spln ě n y podmínk y jednozna č nosti ř ešení dané diferenciální rovnice, lze nalézt tzv. obecné ř ešení, které obsahuje n parametr ů (konstant) a ze kterého se všechna partikulární ř ešení dají získat ur č itou volbou t ě chto konstant. Pokud podmínk y jednozna č nosti ř ešení spln ě n y nejsou, m ů že se v ysk ytnout tzv. singulární ř ešení, které spl ň uje diferenciální rovnici i ur č itou po č áte č ní podmínku, ale nelze je získat z obecného ř ešení žádnou volbou konstant. Singulární ř ešení je zpravidla obálkou parametrického s ystému k ř ivek, daného obecn ým ř ešením.

Otázky: • Definujte exaktn ě oby č ejnou diferenciální rovnici v nejobecn ě jším tvaru a ve tvaru roz ř ešeném vzhledem k nejv yšší derivaci. •

Vysv ě tlete pojem ř ešení (integrál) diferenciální rovnice.

•

Co jsou to po č áte č ní podmínk y?

•

Definujte exaktn ě obecné, partikulární a singulární ř ešení (integrál).

Průvodce studiem. První kapitola je za Vámi! Nem ě la by Vám d ě lat velké problémy, jedná se o definice základních pojm ů , které je t ř eba bezpe č n ě znát.

9

A2. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými

A2. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI V této kapitole se dozvíte: • jak je definována diferenciální rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými (nebo-li separovatelná) a jakou metodou se řeší. Budete schopni: • řešit diferenciální rovnici prvního řádu se separovanými proměnnými. Klíčová slova této kapitoly: diferenciální rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými (separovatelná), separace proměnných. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,25 + 1,5 hodiny (teorie + řešení úloh)

Definice. Rovnicí se separovanými proměnnými (také separovatelnou diferenciální rovnicí) nazýváme rovnici tvaru f ( x) y′ = . g ( y) Věta (metoda řešení). Je-li funkce f ( x ) spojitá v intervalu a, b a funkce g ( y ) spojitá a různá od nuly v intervalu obecný integrál

c, d , pak uvedená rovnice má v oblasti Ω = a, b × c, d

∫ g ( y ) dy = ∫ f ( x ) dx . Partikulární integrál, procházející bodem

[ x0 , y0 ] ∈ Ω , je dán rovnicí ∫y g ( s ) ds = ∫x f ( t ) dt . y

x

0

0

Poznámka. a) Řešíme tedy separací proměnných (odtud název typu rovnice), kdy na jednu stranu rovnice převedeme členy s proměnnou y a na druhou stranu členy s proměnnou x tak, abychom mohli obě strany integrovat podle příslušné proměnné. b) Tento typ diferenciální rovnice v sobě zahrnuje dva jednodušší typy: y′ = f ( x ) s řešením y = ∫ f ( x ) dx a typ y′ = f ( y ) s řešením (implicitním)

x=∫

dy . f ( y)

11

12


Příklad. Řešte diferenciální rovnici se separovanými proměnnými yy′ + x = 0 . Nalezněte

také partikulární řešení, vyhovující počáteční podmínce y ( 0 ) = 2 .

Řešení. dy a rovnici upravíme na tvar, dx kdy na jedné její straně bude výraz pouze s proměnnou y a na druhé straně výraz pouze s proměnnou x (tj. provedeme separaci proměnných). Obdržíme ydy = − xdx . Integrací obou stran ∫ ydy = − ∫ xdx dostaneme rovnici Rozepíšeme derivaci jako podíl diferenciálů y′ =

1 2 1 y + C1 = − x 2 + C2 . Jednoduchou úpravou a sloučením obou integračních 2 2 konstant v jednu získáme obecné řešení x 2 + y 2 = C .

Řešení ponecháme v uvedeném, tzv. implicitním tvaru, neboť explicitní vyjádření ve tvaru y = f ( x ) není jednoznačné a je komplikovanější. Hledejme nyní partikulární integrál, splňující počáteční podmínku y ( 0 ) = 2 .Dosazením této podmínky do obecného řešení obdržíme pro konstantu C rovnici 02 + 22 = C , odkud C = 4 . Příslušný partikulární integrál má tedy tvar x2 + y 2 = 4 .

Shrnutí kapitoly: Základní diferenciální rovnicí prvního ř ádu je rovnice se separovateln ými prom ě nn ými nebo-li separovatelná. Metoda jejího ř ešení spo č ívá v tzv. separaci prom ě nn ých, kd y rozepíšeme derivaci jako podíl diferenciál ů a pak matematickými úpravami p ř evedeme na jednu stranu rovnice č len y s prom ě nnou x a na druhou stranu rovnice č len y s prom ě nnou tak, ab y b ylo možné levou i pravou stranu rovnice p ř ímo integrovat podle p ř íslušné prom ě nné. Po integraci obdržíme obecné ř ešení v ě tšinou v implicitním tvaru, které, je-li to možné, p ř evedeme na explicitní tvar (tzn. v yjád ř íme y jako funkci x ). Otázky: • Definujte separovatelnou diferenciální rovnici. • Jak tuto rovnici řešíme? • Čemu říkáme separace proměnných?

A2. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými

Úloha A2.1. Ř ešte diferenciální rovnici se separovan ými prom ě nn ými: a) xy′ − y = 0 , y (−2) = 4 ; b) xy′ + y = 0 , y (−1) = 1 ; c) y′ = y , y (0) = 2 ; d) x 2 y′ + y = 0 , y (1) = e 2 ; e) 2 y′ x = y , y ( 4 ) = 1 ; f)

x 2 y′ + y 2 = 0 , y ( −1) = 1 ;

g) ( x 2 + x) y′ = 2 y + 1 ; h) (1 + x 2 ) y′ + 1 + y 2 = 0 .

Průvodce studiem. Nyní již umíte ř ešit svou první diferenciální rovnici! V ěř ím, že Vás to povzbudí do dalšího studia. Rovnice se separovanými prom ě nnými nebo-li separovatelná je základním typem diferenciální rovnice. Její ř ešení je velmi jednoduché. Problémy ale m ů žete mít s výpo č tem vznikajících integrál ů . Protože v tomto kurzu nejde o to, procvi č it metody výpo č tu integrál ů , doporu č uji v praxi obvyklý postup: složit ě jší integrály nepo č ítat, ale nalézt si je v tabulkách integrál ů .

13

A3. Homogenní diferenciální rovnice

A3. HOMOGENNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE V této kapitole se dozvíte: • jak je definována homogenní diferenciální rovnice prvního řádu a jakou metodou se řeší. Budete schopni: • rozpoznat a vyřešit homogenní diferenciální rovnici prvního řádu. Klíčová slova této kapitoly: homogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,25 + 1,5 hodiny (teorie + řešení úloh)

Definice. Homogenní diferenciální rovnicí prvního řádu nazýváme rovnici  y y′ = f   . x Předpokládá se x ≠ 0 ve vyšetřovaném oboru.

Metoda řešení.

y ( x)

, nebo-li x ⋅ z ( x ) = y ( x ) . x Derivováním poslední rovnice podle x dostaneme vztah y′ = z + x ⋅ z ′ . Dosadímeli za y a y′ do původní rovnice, dostaneme diferenciální rovnici z + x ⋅ z ′ = f ( z ) , kterou jednoduše upravíme na rovnici se separovanými

Řešíme

zavedením

nové

funkce

z ( x) =

f (z) − z

. Najdeme-li její řešení z ( x ) , je řešením původní x rovnice funkce y ( x ) = x ⋅ z ( x ) . proměnnými z ′ =

Poznámka. a) Termín homogenní v názvu rovnice znamená, že na pravé straně se jedná o tzv. homogenní funkci (nultého stupně). Připomeňme, že funkce f ( x, y ) se nazývá homogenní s-tého stupně, platí-li f ( tx, ty ) = t s f ( x, y ) . Nezaměňovat s termínem homogenní rovnice ve smyslu rovnice bez pravé strany! a x + b1 y + c1 b) Na homogenní rovnici lze převést rovnici y′ = 1 tak, že se a2 x + b2 y + c2 vhodnou substitucí x = u + A , y = v + B zbavíme absolutních členů c1 , c2 .

15

16


Příklad. Řešte homogenní diferenciální rovnici x 2 y′ = y 2 − xy . Řešení. 2

 y y Zadanou rovnici vydělením x převedeme na tvar y′ =   − , čímž jednak x x  y ověříme, že se opravdu jedná o rovnici homogenní, tj. obecného tvaru y′ = f   , x y jednak si připravíme dosazení substituce z = (nebo-li y = xz ). Po dosazení x dostaneme z + xz ′ = z 2 − z , což je rovnice se separovanými proměnnými, kterou již dz dx umíme řešit. Řešení vede na integrální rovnici ∫ 2 = ∫ , jejíž integrací z −z x 1  z−2 obdržíme rovnici ln   + C1 = ln x + C2 . Odlogaritmováním a zavedením 2  z  z−2 y nové konstanty C získáme rovnici = Cx 2 . Po zpětném dosazení z = a x z 2x elementárních úpravách obdržíme obecné řešení y = . 1 − Cx 2 2

Shrnutí kapitoly: Rovnice homogenní má na pravé straně homogenní funkci nultého řádu y v proměnných x , y . Řešíme ji substitucí z = , kterou tato rovnice přejde na x rovnici separovatelnou.

Otázky: • Definujte homogenní diferenciální rovnici prvního řádu. • Jak tuto rovnici řešíme? • Odkud se vzal název homogenní rovnice? Znáte další význam termínu homogenní rovnice? Úloha A3.1. Řešte homogenní diferenciální rovnici. Najděte obecné řešení a také příslušné partikulární řešení, je-li uvedena počáteční podmínka. a) yy′ = 2 y − x ; b) x 2 + y 2 − 2 xyy′ = 0 , y ( −1) = 0 ;

y y = y cos − x ; d) x 2 y′ = y 2 + xy , y (1) = −1 ; x x 2 2 e) xy + y = (2 x + xy ) y′ ; f) xy′ + 2 xy = y , y (1) = 1 . c) xy′ cos

A4. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

17

A4. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU V této kapitole se dozvíte: • jak je definována lineární diferenciální rovnice prvního řádu a jakou metodou se řeší. Budete schopni: • rozpoznat a vyřešit lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Klíčová slova této kapitoly: lineární diferenciální rovnice prvního řádu homogenní a nehomogenní, metoda variace konstanty. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 2,0 hodiny (teorie + řešení úloh) Definice. Lineární diferenciální rovnicí prvního řádu rozumíme rovnici tvaru

y′ + a ( x ) y = b ( x ) . Věta. Jsou-li funkce a ( x ) , b ( x ) spojité v určitém intervalu, existuje v tomto intervalu právě jedno řešení. Metoda řešení. Nejprve řešíme rovnici bez pravé strany, tzv. homogenní rovnici (nezaměňovat s názvem předchozí diferenciální rovnice) y′ + a ( x ) y = 0 . Tato rovnice se řeší snadno separací proměnných:

∫

dy 1 − a x dx − a x dx = − ∫ a ( x ) dx ⇒ ln ( Ky ) = − ∫ a ( x ) dx ⇒ Ky = e ∫ ( ) ⇒ y = Ce ∫ ( ) , C = . y K

Obecný integrál původní nehomogenní rovnice (s pravou stranou) dostaneme tzv. metodou variace konstanty. Předpokládáme, že řešení nehomogenní rovnice má stejný tvar jako řešení homogenní rovnice, avšak integrační konstantu považujeme − a x dx za funkci proměnné x: y = C ( x ) e ∫ ( ) . Tento výraz derivujeme podle x a dosadíme do původní rovnice: C′( x) e

− ∫ a ( x ) dx

− C ( x) a ( x) e

− ∫ a ( x ) dx

+a ( x ) C ( x ) e

⇒ C ′ ( x ) e − ∫ a ( x ) dx = b ( x ) .

− ∫ a ( x ) dx

= b ( x) ⇒

variace konstanty

18

A. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Dostali jsme diferenciální rovnici se separovanými proměnnými pro funkci C ( x ) , jejímž řešením je C ( x ) = ∫ b ( x )e ∫ a ( x )dx dx . Dosazením do předpokládaného řešení nehomogenní rovnice obdržíme − a x dx a x dx y = e ∫ ( ) ∫ b ( x )e ∫ ( ) dx .

nakonec

obecný

integrál

ve

tvaru

Poznámka. a) Jedná se o vzácný případ, kdy se dá řešení vyjádřit analytickým vzorcem. V praxi ale většinou nedosazujeme do výsledného vzorce, ale provádíme uvedený postup krok po kroku. b) Dá se ukázat, že výsledné řešení má tvar součtu obecného řešení rovnice bez pravé strany a nějakého (jakéhokoliv) partikulárního řešení rovnice s pravou stranou, což platí i pro lineární rovnice vyššího řádu. Příklad. Řešte lineární diferenciální rovnici y′ − vyhovující podmínce y (1) = 0 .

3y = x . Nalezněte také partikulární řešení, x

Řešení. Zadaná rovnice má tvar y′ + a ( x ) y = b ( x ) , je to tedy lineární diferenciální rovnice.

Funkce b ( x ) tvoří tzv. pravou stranu. Nejprve řešíme rovnici bez pravé strany 3y = 0 . Jedná se o rovnici se separovanými x dy dx proměnnými. Již známým postupem dostaneme integrální rovnici ∫ = 3∫ , y x odkud integrací ln y + C1 = 3ln x + C2 . Po odlogaritmování a zavedení nové (zvanou homogenní), tj. rovnici y′ −

konstanty C obdržíme obecné řešení homogenní rovnice y = Cx3 . Dalším krokem je tzv. metoda variace konstanty. Hledáme obecné řešení původní nehomogenní rovnice ve tvaru obecného řešení homogenní rovnice y = C ( x ) x 3 , kdy však konstantu C pokládáme za (zatím neznámou) funkci proměnné x . Dosazením předpokládaného tvaru řešení do původní rovnice obdržíme pro 3Cx 3 neznámou funkci C ( x ) rovnici prvního řádu C ′x 3 + 3Cx 2 − = x , odkud x 1 1 1 C ′ = 2 , a dále C = ∫ 2 dx = − + K . Získanou funkci dosadíme do obecného x x x řešení homogenní rovnice a vrátíme se k označení integrační konstanty C , čímž dostaneme obecné řešení původní nehomogenní rovnice y = Cx 3 − x 2 . Hledejme nyní partikulární řešení, splňující počáteční podmínku y (1) = 0 . Dosazením do nalezeného obecného řešení nehomogenní rovnice dostaneme rovnici 0 = C ⋅ 13 − 12 , odkud C = 1 . Partikulární řešení má proto tvar y = x3 − x 2 .

A4. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Shrnutí kapitoly: Lineární diferenciální rovnice prvního ř ádu je d ů ležit ým speciálním p ř ípadem obecné lineární rovnice v yššího ř ádu, který je probírán dále v textu. Na levé stran ě této rovnice je lineární v ýraz v prom ě nn ých y′ a y , na pravé stran ě libovolná funkce nezávisle prom ě nné x . Je-li tato funkce nulová, hovo ř íme o homogenní lineární rovnici, v opa č ném p ř ípad ě o nehomogenní lineární rovnic. Lineární diferenciální rovnici ř ešíme ve dvou krocích. Nejprve nalezneme obecné ř ešení p ř íslušné homogenní rovnice (tj. p ů vodní rovnice bez pravé stran y), což lze vžd y provést separací prom ě nn ých. Toto ř ešení obsahuje práv ě jednu volitelnou konstantu. Druh ým krokem je tzv. metoda variace konstant y, kd y p ř edpokládáme, že také ř ešení nehomogenní rovnice má stejný tvar jako ř ešení rovnice homogenní, ale p ů vodní konstanta v homogenním ř ešení je n yní neznámou funkcí prom ě nné x . Tuto funkci ur č íme dosazením p ř edpokládaného tvaru ř ešení do nehomogenní rovnice.

Otázky: • Definujte lineární diferenciální rovnici prvního řádu. • Jaká je metoda řešení této rovnice? • K čemu slouží metoda variace konstanty? Úloha A4.1. Řešte lineární diferenciální rovnici. Najděte obecné řešení a také příslušné partikulární řešení, je-li uvedena počáteční podmínka. 2 2 y e− x a) y′ + = ; b) y′ cos x − y sin x = sin 2 x , y (π ) = 0 ; x x 1 1 c) xy′ + y = ln x + 1 , y (1) = − ; d) (2 x + 1) y′ + y = x , y ( 0 ) = − ; 2 3 π  π π  e) y′ − y ⋅ tgx = x , y   = ; f) y′ + y cos x = sin 2 x , y   = 1 . 4 4 2 Průvodce studiem. Asi se mnou budete souhlasit, že ř ešení lineární diferenciální rovnice prvního ř ádu již není triviální záležitostí. Krom ě pochopení teoretického postupu ř ešení, který musíte um ě t samoz ř ejm ě zpam ě ti, je t ř eba zvládnout i konkrétní výpo č etní problémy každého p ř íkladu (úpravy rovnic, logaritmování a odlogaritmování, ř ešení integrál ů atd.). Pokud se Vám to moc neda ř í, nev ě šte hlavu. Musíte p ř ekonat po č áte č ní potíže zvýšeným úsilím, ale stojí to za to. Brzy zjistíte, že Vaše matematická zru č nost se zvyšuje a že probíraná látka vlastn ě v ů bec není t ě žká.

19

21

A5. Exaktní diferenciální rovnice

A5. EXAKTNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE V této kapitole se dozvíte: • jak je definována exaktní diferenciální rovnice a jakou metodou se řeší. Budete schopni: • rozpoznat a vyřešit exaktní diferenciální rovnici. Klíčová slova této kapitoly: exaktní diferenciální rovnice, totální diferenciál, kmenová funkce, integrační faktor. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 2,0 hodiny (teorie + řešení úloh) Definice.

f ( x, y )

= 0 , kde funkce f ( x, y ) , g ( x, y ) mají v určité g ( x, y ) oblasti Ω spojité derivace prvního řádu. Rovnici můžeme převést na diferenciální formu f ( x, y ) dx + g ( x, y ) dy = 0 . Mějme rovnici y′ +

Pokud je levá strana poslední rovnice v Ω totálním diferenciálem nějaké funkce F ( x, y ) , jedná se o tzv. exaktní rovnici. Funkci F ( x, y ) nazýváme kmenovou funkcí.

Metoda řešení. Výraz f ( x, y ) dx + g ( x, y ) dy je, jak víme, totálním diferenciálem právě tehdy, ∂f ∂g = . Po ověření platnosti této rovnice nalezneme ∂y ∂x kmenovou funkci F ( x, y ) a obecný integrál původní rovnice (v implicitním

platí-li v Ω rovnost

tvaru) je pak dán rovnicí F ( x, y ) = C .

Nalezení kmenové funkce

g ( x, y ) =

∂F ( x, y ) , ∂y

odkud

F ( x, y ) plyne z rovnic

f ( x, y ) =

F ( x, y ) = ∫ f ( x, y )dx + C ( y )

F ( x, y ) = ∫ g ( x, y )dy + C ( x ) (viz příklad).

∂F ( x, y ) ∂x a

a

zároveň

kmenová funkce

22


Věta (integrační faktor). Pokud rovnice není exaktní, můžeme se pokusit najít takovou funkci m ( x, y ) ,

zvanou integrační faktor, aby rovnice m ( x, y ) f ( x, y ) dx + m ( x, y ) g ( x, y ) dy = 0 byla exaktní. Najít takovou funkci není obecně snadné, protože musíme řešit parciální ∂ ( mf ) ∂ ( mg ) diferenciální rovnici = . Dá se však snadno ukázat, že pokud je ∂y ∂x ∂f ∂g ∂f ∂g − − ∂y ∂x ∂y ∂x výraz , resp. funkcí pouze proměnné x, resp. y, je také g f integrující faktor funkcí pouze x, resp. y a nalezneme jej řešením rovnice ∂f ∂g ∂f ∂g − − d ln m ∂y ∂x d ln m ∂y ∂x = , resp. = . dx g dy −f

Příklad 1. Řešte exaktní diferenciální rovnici ( 3 x 2 + 2 y ) dx + ( 2 x − 3) dy = 0 . Řešení. Zaveďme standardní označení f ( x, y ) = 3x 2 + 2 y , g ( x, y ) = 2 x − 3 . ∂f ∂g ∂f ∂g = . Protože =2 a = 2 , rovnost ∂y ∂x ∂y ∂x platí a jedná se opravdu o exaktní rovnici. Levá strana zadané rovnice je tedy totálním diferenciálem dF ( x, y ) kmenové funkce F ( x, y ) (kterou musíme Nejprve zjistíme, zda platí rovnost

nalézt) a obecné řešení má tvar F ( x, y ) = C .

∂F = f , odkud dostaneme ∂x f dx + C ( y ) = ∫ ( 3 x 2 + 2 y ) dx + C ( y ) = x 3 + 2 yx + C ( y ) .

Pro funkci F platí, že F ( x, y ) = ∫

Integrační konstanta C ( y ) je obecně funkcí y , při parciálním derivování podle x vymizí stejně jako obyčejná konstanta. K jejímu určení využijeme toho, že pro ∂F funkci F dále platí = g , odkud obdržíme postupně 2 x + C ′ ( y ) = 2 x − 3 , ∂y C ′ ( y ) = −3 , C ( y ) = ∫ ( −3) dy = −3 y . Integrační konstantu zde není třeba psát. Dosazením získané funkce

F ( x, y ) = x3 + 2 yx − 3 y . Obecné

řešení

výchozí

v explicitním tvaru y =

C ( y)

rovnice

C − x3 . 2x − 3

do tudíž

F

dostaneme hledanou funkci je

F ( x, y ) = x 3 + 2 yx − 3 y = C ,

A5. Exaktní diferenciální rovnice

Příklad 2. Nalezněte integrační faktor a řešte diferenciální rovnici ( x 2 − y ) dx + xdy = 0 .

Řešení. Zavedeme standardní označení f ( x, y ) = x 2 − y , g ( x, y ) = x . ∂f ∂g = −1 a = 1 . Protože se oba výsledky liší, nejedná se o exaktní ∂y ∂x rovnici. Zkusíme nalézt integrační faktor, tj. takovou funkci m ( x, y ) , aby rovnice Vypočteme

m ( x, y ) f ( x, y ) dx + m ( x, y ) g ( x, y ) dy = 0 byla exaktní. ∂f ∂g − ∂y ∂x −2 Protože výraz Φ ≡ = je funkcí pouze proměnné x , lze, jak víme g x z teorie, integrační faktor hledat jako funkci proměnné x , vyhovující rovnici d ln m 2 1 = Φ . Integrací dostáváme ln m = − ∫ dx = −2 ln x , odkud m ( x ) = 2 . dx x x Integrační konstantu při této integraci neuvádíme (volíme rovnu nule), protože nám stačí jakýkoliv partikulární integrál. Vynásobením výchozí rovnice nalezeným integračním faktorem m dostaneme již exaktní rovnici y 1   1 − 2  dx + dy = 0 . x  x  Tuto rovnici vyřešíme již známým postupem, proto jen stručně: ∂F 1 y = g ⇒ F = ∫ gdy + C ( x ) = ∫ dy + C ( x ) = + C ( x ) ; ∂y x x ∂F ∂ y y y y  = f ⇒  + C ( x )  = 1 − 2 ⇒ − 2 + C′ ( x ) = 1 − 2 ⇒ ∂x ∂x  x x x x  y C ′ ( x ) = 1 ⇒ C ( x ) = ∫ 1dx = x a tedy F ( x, y ) = + x . x Obecné řešení exaktní rovnice a také rovnice původní tudíž je y F ( x, y ) = + x = C , nebo-li y = Cx − x 2 . x

Shrnutí kapitoly: Exaktní rovnice v yjad ř uje podmínku nulovosti totálního diferenciálu n ě jaké funkce F ( x, y ) , zvané kmenová funkce. Tato podmínka se dá snadno ov ěř it. Ř ešení spo č ívá v nalezení kmenové funkce na základ ě vztah ů , pl ynoucích z vlastností totálního diferenciálu a položením této kmenové funkce rovnou konstant ě . Pokud rovnice není exaktní, m ů že se stát, že po v ynásobení vhodnou funkcí zvanou integra č ní faktor se rovnice exaktní stane. Najít integra č ní faktor je ale obecn ě dosti obtížná úloha.

23

24


Otázky: • Definujte exaktní diferenciální rovnici. • Jaká je metoda řešení této rovnice? • Jakou roli hraje tzv. kmenová funkce? • K čemu slouží integrační faktor? Úloha A5.1. Řešte exaktní diferenciální rovnici.  y2  2y a)  4 − 2  dx + dy = 0 ; x  x  b) 3 x 2 e y dx + ( x 3e y − 1)dy = 0 ; c) e− y dx + (1 − xe − y ) dy = 0 ; d) 2 x cos 2 ydx + ( 2 y − x 2 sin 2 y ) dy = 0 ; e) 2 x ⋅ tg ydx + ( x 2 − 2 sin y ) dy = 0 ; f)

(x

2

− 3 y 2 ) dx + 2 xydy = 0 .

Návod. U rovnic e) a f) je třeba nalézt integrační faktor m ( x, y ) . Průvodce studiem. Ani rovnice exaktní nepat ř í k nejjednodušším. Základem je p ř esné pochopení teoretické metody ř ešení, pak je vše daleko snazší. Každopádn ě ř ešte sám (sama) v ě tšinu p ř íklad ů na konci každé kapitoly. Je to opravdu jediná možnost, jak se nau č it matematiku používat v praxi!

A6. Rovnice prvního řádu nerozřešené vzhledem k derivaci

A6. ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU NEROZŘEŠENÉ VZHLEDEM K DERIVACI V této kapitole se dozvíte: • jak se řeší vybrané typy rovnic prvního řádu nerozřešených vzhledem k derivaci. Budete schopni: • vyřešit vybrané typy rovnic prvního řádu nerozřešených vzhledem k derivaci. Klíčová slova této kapitoly: diferenciální rovnice prvního řádu nerozřešená vzhledem k derivaci, Clairautova rovnice. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,25 + 1,25 hodiny (teorie + řešení úloh) Víme již, že za rovnice nerozřešené vzhledem k derivaci považujeme takové rovnice, které nelze ekvivalentně převést na tvar y′ = f ( x, y ) . Obecně se tyto rovnice dají řešit tzv. metodou dvou parametrů. My probereme vybrané jednodušší speciální případy.

Rovnice vyřešená vzhledem k neznámé funkci y . Jedná se o rovnici tvaru y = f ( x, y ′ ) . Metoda řešení. Rovnici přepíšeme na tvar y = f ( x, p ) , kde jsme zavedli tzv. parametr p ≡ y′ . Derivací podle x a opětným dosazením parametru p za y′ obdržíme rovnici ∂f ( x, p ) p− ∂f ∂f dp dp ∂x p= + , po úpravě = . Toto je rovnice prvního řádu pro ∂f ( x, p ) ∂x ∂p dx dx ∂p neznámou funkci p ( x ) , rozřešená vzhledem k derivaci. Nalezneme-li její obecný integrál (např. některou z dříve probraných metod) p = g ( x, C ) , pak přímým

dosazením do původní rovnice obdržíme její obecné řešení y = f ( x, g ( x, C ) ) .

Poznámka. Lze také nejprve derivovat výchozí rovnici podle x , čímž dostaneme rovnici ∂f ( x, y′ ) ∂f ( x, y′ ) druhého řádu y′ = + y′′ , ve které „chybí“ y , a teprve do této ∂x ∂y′ rovnice dosadit p za y′ , čímž dosáhneme snížení jejího řádu (viz také snížení řádu v kapitole „Vybrané rovnice vyšších řádů“).

25

26


Poznámka. Zajímavý moment nastává v okamžiku, kdy již máme řešení p = g ( x, C ) . Místo dosazení do původní rovnice se nabízí také možnost vrátit se k y′ a řešit úlohu y′ = g ( x, C ) . Tím bychom však dostali řešení rovnice druhého řádu, uvedené v předchozí poznámce (s dvěma integračními konstantami), což není naším úkolem.

Rovnice Clairautova. Speciálním případem uvažované rovnice je rovnice

y = xy′ + ϕ ( y′ ) , zvaná Clairautova (čteme „klerotova“). Uvedeným postupem snadno zjistíme, že její obecné řešení má tvar y = Cx + ϕ ( C ) a navíc objevíme, že existuje i singulární řešení, vyhovující rovnici x +

dϕ =0. dy ′

Rovnice vyřešená vůči nezávisle proměnné x . Rovnici typu

x = f ( y, y′ ) můžeme snadno převést na předchozí typ. Záměnou označení proměnných x ↔ y

 1 a následnou úpravou y = f x, ddxy = f  x, dy  =  dx  známého typu y = g ( x, y′ ) , kterou vyřešíme

(

)

 1 f  x,  obdržíme rovnici již  y′  už známým postupem a ve

výsledném řešení opět zaměníme x ↔ y (v podstatě řešíme diferenciální rovnici pro inverzní funkci).

Poznámka. Probrané typy rovnic zahrnují také speciální případy y = f ( y′ ) a x = f ( y′ ) .

27

A6. Rovnice prvního řádu nerozřešené vzhledem k derivaci

Příklad. Řešte diferenciální rovnici 4 y = y′2 . Řešení. Jedná se o rovnici spadající pod typ y = f ( x, y′ ) . Derivací obou stran této rovnice podle proměnné x obdržíme rovnici druhého řádu 4 y′ = 2 y′y′′ , ve které není explicitně přítomna proměnná y . Zavedením parametru p = y′ dostaneme rovnici prvního řádu 4 p = 2 pp′ pro funkci p ( x ) . Tato rovnice může být splněna dvěma způsoby. Buď je p = 0 nebo (po vydělení obou stran rovnice parametrem p ) musí platit 4 = 2 p′ . První možnost dává po dosazení y′ = p = 0 do původní rovnice singulární řešení y = 0. Druhá možnost vede na jednoduchou diferenciální rovnici p′ = 2 , odkud integrací p = ∫ 2dx = 2 x + C . Dosazením y′ = p = 2 x + C do původní rovnice dostaneme obecné řešení 4 y = ( 2 x + C ) , které upravíme na 2

2

2

C  explicitní tvar y =  x +  a zavedením nové 2  C konstanty C místo obdržíme optimální 2 2 vyjádření y = ( x + C ) . Jedná se zřejmě o soustavu parabol, které se otevírají nahoru a dotýkají se osy x (viz obrázek). Osa x představuje singulární řešení, které je obálkou soustavy parabol.

)

)

0 3

x

3

Shrnutí kapitoly: Metod y ř ešení rovnic prvního ř ádu neroz ř ešen ých vzhledem k derivaci jsou obecn ě náro č n ě jší a p ř esahují rámec tohoto modulu. Podrobn ě ji je probrána rovnice roz ř ešená v ůč i neznámé funkci y = f ( x, y′ ) . Tuto rovnici je možné zavedením parametru p = y′ a derivací celé rovnice podle prom ě nné x p ř evést na rovnici roz ř ešenou vzhledem k derivaci. Její obecné ř ešení p dosadíme do v ýchozí rovnice za y′ a obdržíme obecné ř ešení p ů vodní rovnice. T ypickou rovnicí tohoto t ypu je rovnice Clairautova. Na p ř edchozí t yp rovnice lze snadno p ř evést i rovnici roz ř ešenou v ůč i nezávisle prom ě nné x = f ( y, y′ ) .

28


Otázky: • • •

Čím se vyznačují rovnice prvního řádu nerozřešené vzhledem k derivaci? Kterou rovnici tohoto druhu umíte řešit a jakým postupem? Jak vypadá Clairautova rovnice a jak se řeší?

Úloha A6.1. Řešte diferenciální rovnici prvního řádu nerozřešenou vzhledem k derivaci. Nalezněte i případná singulární řešení. a) y = 1 + y′2 ; b) y = xy′ − y′2 ; c) y = xy′ − 1 + y′2 ; d) y = xy′ +

1 xy′2 2 2 ′ ′ ; e) y = xy + y ; f) 2 y = . 2 y ′2 y′ + 2

Průvodce studiem. Ukázkou vybraných typ ů rovnic neroz ř ešených vzhledem k derivaci jste ukon č il(a) první a nejdelší č ást tohoto modulu – diferenciální rovnice prvního ř ádu. P ř íšt ě Vás č ekají rovnice vyššího ř ádu. Pokud Vás studium vysílilo, doporu č uji odpo č inek a nechat látku trochu uležet. Korespondenční úkol k části A. Zvolte si z úloh každé kapitoly jednu diferenciální rovnici a tu podrobně vyřešte. Volte prosím mezi rovnicemi, označenými písmeny d), e), f), případně g). Úlohy vypracujte maximálně přehledně, nemusí být nutně zpracovány pomocí počítače.

29

B1. Jednoduché diferenciální rovnice vyššího řádu

B. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU B1. JEDNODUCHÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU V této kapitole se dozvíte: • jak se řeší nejjednodušší rovnice vyššího řádu. Budete schopni: • vyřešit vybrané typy rovnic prvního řádu nerozřešených vzhledem k derivaci. Klíčová slova této kapitoly: jednoduché diferenciální rovnice vyššího řádu, snížení řádu diferenciální rovnice. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,25 + 1,5 hodiny (teorie + řešení úloh) (n) Rovnice typu y = f ( x ) .

Řeší se n -násobnou integrací. Např. rovnice druhého řádu y′′ = f ( x, y ) má řešení y = ∫ y′ ( x )dx , kde y′ = ∫ f ( x )dx .

(

)

m m +1 Rovnice typu F x, y ( ) , y ( ) ,..., y n = 0 , kde m ≥ 1 .

Rovnici

substitucí

y ( m) = z

převedeme

na

rovnici

( n − m ) -tého

řádu

F ( x, z , z ′,..., z n − m ) = 0 pro funkci z ( x ) . Po jejím vyřešení opakovanou integrací

(viz předchozí typ) obdržíme y ( x ) . Uvedený postup se nazývá snížení řádu diferenciální rovnice.

Poznámka. n n −1 n −1 n Speciální tvar y ( ) = f x, y ( ) , resp. F x, y ( ) , y ( ) = 0 můžeme uvedeným

(

)

(

)

postupem převést dokonce na rovnici prvého řádu.

Rovnice typu y′′ = f ( y ) .

Vynásobíme-li tuto rovnici y′ , dostaneme rovnici y′y′′ = f ( y ) y′ , odkud 1 2 y′ = ∫ f ( y )dy , což je rovnice prvního řádu. O platnosti úpravy se můžeme 2 přesvědčit derivací poslední rovnice podle x .

30

B. Obyčejné diferenciální rovnice vyššího řádu

Rovnice, jejichž levá strana je úplnou derivací. d n −1 g x, y, y′,..., y ( ) = f ( x ) . Na levé straně je úplná derivace Rovnice tvaru dx výrazu nižšího řádu. Integrací obou stran rovnice dostaneme diferenciální rovnici ( n − 1) -ního řádu.

(

)

Příklad 1. Řešte diferenciální rovnici y′′′ =

6 . x3

Řešení. Přímou integrací výchozí rovnice třetího řádu podle proměnné x dostaneme rovnici druhého řádu 6 3 y′′ = ∫ 3 dx = − 2 + C1 , x x její integrací obdržíme rovnici prvního řádu 3  3  y′ = ∫  − 2 + C1  dx = + C1 x + C2 , x  x  a integrací této rovnice získáme rovnici C 3  y = ∫  + C1 x + C2  dx = 3ln x + 1 x 2 + C2 x + C3 , 2 x  která představuje obecné řešení výchozí rovnice.

Příklad 2. Řešte diferenciální rovnici x3 y′′ + x 2 y′ = 1 . Řešení. V řešené rovnici druhého řádu není explicitně vyjádřena proměnná y . Můžeme proto substitucí y′ = z snížit řád rovnice a dostaneme rovnici prvního řádu pro funkci z ( x ) x3 z ′ + x 2 z = 1 . Jedná se o lineární rovnici, kterou již umíme řešit. Její obecné řešení je C 1 z = − 2 . Nyní se vrátíme k původní proměnné y dosazením zpětné substituce x x C 1 z = y′ . Dostaneme jednoduchou diferenciální rovnici y′ = − 2 , jejíž přímou x x integrací a přejmenováním konstanty C na C1 obdržíme obecné řešení výchozí 1  1 C rovnice y = ∫  1 − 2  dx = C1 ln x + 2 + C2 . x  x x 

B1. Jednoduché diferenciální rovnice vyššího řádu

Shrnutí kapitoly: V této kapitole jsou uvedeny pouze nejjednodušší typy rovnic vyššího řádu, jejichž řešení nevyžaduje žádné zvláštní znalosti nebo u kterých lze snadno snížit řád diferenciální rovnice. n Rovnice y ( ) = f ( x ) je řešitelná opakovanou n -násobnou integrací. Pokud se v diferenciální rovnici nevyskytuje funkce y a nejnižší přítomnou derivací je y ( m ) , lze snížit řád rovnice substitucí y ( m ) = z . Rovnici druhého řádu y′′ = f ( y ) lze vynásobením y′ a integrací podle y převést na rovnici prvního řádu. Někdy lze diferenciální rovnici převést na tvar, kdy na jedné straně je úplná derivace nějakého výrazu podle x a na pravé straně libovolná funkce x . Pak integrací rovnice snížíme její řád o jednotku.

Otázky: • Uveďte jednoduché případy diferenciálních rovnic vyššího řádu, které se dají snadno řešit nebo u kterých lze alespoň snížit jejich řád. Úloha B1.1. Řešte diferenciální rovnici typu y ( ) = f ( x ) . n

a) y′′ = 4 cos 2 x , y ( 0 ) = 0 , y′ ( 0 ) = 0 ;

b) y′′′ = x , y ( 0 ) = 1 , y′ ( 0 ) = 0 , y′′ ( 0 ) = −2 .

Úloha B1.2.

(

Řešte rovnici typu F x, y ( ) , y ( a) y′′ + y′tg x = sin 2 x ; b) y′′x ln x = y′ .

m

m +1)

)

,..., y n , kde m ≥ 1 .

Průvodce studiem. V této kapitole byly probrány velmi jednoduché p ř ípady rovnic vyššího ř ádu. Nep ř edpokládám, že by Vám tato látka d ě lala n ě jaké potíže.

31

B2. Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu

B2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU V této kapitole se dozvíte: • co rozumíme pojmem lineární diferenciální rovnice n -tého řádu; • jaké jsou základní teoretické výsledky týkající se tvaru, existence a jednoznačnosti řešení této rovnice. Budete schopni: • reprodukovat základní teoretické výsledky ohledně lineární diferenciální rovnice n -tého řádu. Klíčová slova této kapitoly: lineární diferenciální rovnice n-tého řádu homogenní a nehomogenní, fundamentální systém řešení, metoda variace konstant.. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,75 + 0,0 hodiny (teorie + řešení úloh) Definice. Rovnici typu y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1 ) + ... + a1 ( x ) y′ + a0 ( x ) y = f ( x ) , kde f ( x ) , a0 ( x ) ,..., an −1 ( x ) jsou libovolné funkce spojité v určitém intervalu I , nazýváme lineární rovnicí n -tého řádu. Tato rovnice je v obecném případě obtížně řešitelná, záleží na konkrétním tvaru funkcí f ( x ) , a0 ( x ) ,..., an −1 ( x ) . Uveďme alespoň základní teoretické výsledky

Věta. Jestliže funkce a0 ( x ) ,..., an −1 ( x ) , f ( x ) jsou spojité v intervalu I, pak se dá dokázat, že existuje právě jedno řešení uvedené rovnice, definované v celém intervalu I, které splňuje počáteční podmínky y ( x0 ) = y0 , y′ ( x0 ) = y0′ , …, y(

n −1)

( x0 ) = y0n −1 , kde

x0 ∈ I a čísla y0 , y1 , …, y( n −1) jsou libovolná reálná.

Definice. Rovnici y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1 ) + ... + a1 ( x ) y′ + a0 ( x ) y = 0 nazýváme homogenní lineární rovnicí (tj. rovnicí bez pravé strany) příslušnou k původní (nehomogenní) rovnici.

Věta. Libovolná lineární kombinace řešení homogenní lineární rovnice je také jejím řešením.

33

34


Důkaz. Plyne z linearity derivace (libovolného řádu).

fundamentální systém

Definice. Systém y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yn ( x ) lineárně nezávislých (v intervalu I) řešení homogenní lineární rovnice se nazývá fundamentální systém této rovnice. Věta. Tvoří-li funkce y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yn ( x ) fundamentální systém homogenní lineární rovnice, pak obecný integrál této rovnice má tvar y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn , kde c1 , c2 , …, cn jsou libovolné konstanty. Věta. Je-li y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yn ( x ) fundamentální systém homogenní rovnice, pak obecný integrál nehomogenní rovnice má tvar y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn + y p , kde c1 , c2 , …, cn jsou libovolné konstanty a y p je jakékoliv řešení (partikulární integrál) nehomogenní rovnice.

Důkaz. Stačí dosadit uvedené řešení do nehomogenní rovnice a opět využít její linearity. Poznámka. Obecný integrál nehomogenní rovnice je tedy součtem obecného integrálu rovnice homogenní a libovolného partikulárního integrálu rovnice nehomogenní. Věta (metoda variace konstant). Partikulární integrál yp ( x)

lze

hledat

ve

tvaru

y p ( x ) = c1 ( x ) y1 ( x ) + c2 ( x ) y2 ( x ) + ... + cn ( x ) yn ( x ) , tj. ve tvaru obecného řešení

homogenní rovnice, kde však veličiny c1 , c2 , …, cn nepovažujeme za konstanty, ale neznámé funkce proměnné x (tzv. metoda variace konstant). Neznámé funkce c1 ( x ) , c2 ( x ) , …, cn ( x ) vyhovují soustavě diferenciálních rovnic prvního řádu

variace konstant

c1′ y1 + c2′ y2 + ... +cn′ yn = 0 c1′ y1′ + c2′ y2′ + ... + cn′ yn′ = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− c1′ y1(

n −1)

+ c2′ y2(

n −1)

+ ... +cn′ yn(

n −1)

.

= f ( x)

Tuto soustavu řešíme obdobným postupem jako algebraické soustavy lineárních rovnic (eliminační metodou, Cramerovým pravidlem apod.). Integrací získaných prvních derivací c1′ ( x ) , c2′ ( x ) , …, cn′ ( x ) nakonec dostaneme hledané funkce

c1 ( x ) , c2 ( x ) , …, cn ( x ) .

B2. Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu

Shrnutí kapitoly: Lineární diferenciální rovnicí n -tého ř ádu je rovnice tvaru y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1 ) + ... + a1 ( x ) y′ + a0 ( x ) y = f ( x ) . Rozlišujeme rovnici

homogenní ( f ( x ) = 0 ) a nehomogenní ( f ( x ) ≠ 0 ). Ř ešit obecn ě lineární rovnici není možné, ale platí n ě kolik d ů ležitých teoretick ých v ýsledk ů . Jsou-li funkce a0 ( x ) ,..., an −1 ( x ) , f ( x ) spojité v intervalu I , existuje v tomto intervalu práv ě jedno ř ešení, spl ň ující po č áte č ní podmínku. Libovolná lineární kombinace ř ešení homogenní rovnice je op ě t jejím ř ešením. Fundamentálním s ys témem naz ýváme n lineárn ě nezávisl ých ř ešení homogenní rovnice. Obecné ř ešení homogenní rovnice má tvar lineární kombinace funkcí fundamentálního s ystému, kde koeficient y lineární kombinace je n nezávisl ých parametr ů (konstant). Obecné ř ešení nehomogenní rovnice je sou č tem obecného ř ešení homogenní rovnice a libovolného partikulárního ř ešení nehomogenní rovnice. Partikulární ř ešení nehomogenní rovnice lze najít metodou variace konstant.

Otázky: • • • • •

Definujte lineární diferenciální rovnici n -tého řádu. Jak je to s existencí a jednoznačností řešení této rovnice? Jak je definován fundamentální systém a co víte o vlastnostech řešení homogenní lineární rovnice? Jak lze zkonstruovat obecné řešení homogenní rovnice a jak řešení nehomogenní rovnice? K čemu slouží a jak se přesně provádí metoda variace konstant?

Průvodce studiem. V této kapitole jste se dov ě d ě l(a) základní teoretické pojmy a poznatky, pot ř ebné k ř ešení lineární diferenciální rovnice vyššího ř ádu. Tyto poznatky použijete v následujících dvou kapitolách, kde se nau č íte ř ešit speciální tvar této rovnice, kdy funkce a0 ( x ) ,..., an −1 ( x ) jsou konstantní v ř ešeném oboru.

35

B3. Homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

37

B3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY V této kapitole se dozvíte: • co rozumíme pojmem homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty; • přesný postup řešení uvedené rovnice. Budete schopni: • řešit libovolnou homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Klíčová slova této kapitoly: homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, charakteristická rovnice, fundamentální systém. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,0 + 3,0 hodiny (teorie + řešení úloh) Definice. Homogenní lineární rovnicí s konstantními koeficienty rozumíme rovnici tvaru y ( n ) + an −1 y ( n −1 ) + ... + a1 y′ + a0 y = 0 , kde a0 , a1 , ..., an −1 jsou konstanty.

Poznámka. Připomeňme, že v obecné lineární rovnici byly veličiny a0 , a1 , ..., an −1 funkcemi nezávisle proměnné x . Metoda řešení. Předpokládáme řešení ve tvaru y = eα x . Po dosazení do homogenní rovnice a vydělení rovnice výrazem eα x obdržíme tzv. charakteristickou rovnici

α n + an −1α n −1 + ... + a1α + a0 = 0 , což je algebraická rovnice n-tého stupně pro neznámou α . Tato rovnice má právě n kořenů α1 , α 2 ,...α n . Mohou nastat dva případy: Všechny kořeny jsou navzájem různé, pak fundamentální systém homogenní rovnice je tvořen n funkcemi y1 = eα1x , y2 = eα2 x , ..., yn = eα n x . Je-li některý kořen α k r-násobný, pak mu ve fundamentálním systému odpovídá r (lineárně nezávislých) funkcí y1 = eαk x , y2 = xeα k x , ..., yr = x r −1eαk x .

charakteristická rovnice

38

B. Obyčejné diferenciální rovnice vyššího řádu Je-li fundamentální systém nalezen, podle výsledků předcházející kapitoly lze zkonstruovat obecné řešení ve tvaru lineární kombinace funkcí fundamentálního systému y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn .

Poznámka. a) Charakteristickou rovnici nalézáme v praxi snadno tak, že v původní rovnici nahradíme k -tou derivaci funkce y k -tou mocninou neznámé α . b) Je-li charakteristická rovnice vyššího stupně než třetího, může být nalezení jejích kořenů bez použití počítače značně obtížné. Naštěstí nejčastějším případem v praxi jsou diferenciální rovnice prvního a druhého řádu, vedoucí ke snadno řešitelným lineárním a kvadratickým charakteristickým rovnicím. Kořeny charakteristické rovnice mohou být obecně komplexní, a pak jsou komplexní také příslušné funkce fundamentálního systému. Pokud pracujeme v reálném oboru (a to je náš případ), zajímají nás ovšem přednostně reálná řešení. Ukazuje se, že je možné „nevhodná“ komplexní řešení nahradit reálnými.

Eulerův vzorec

Přechod od komplexních řešení k reálným. Jsou-li konstanty a0 , a1 , ..., an −1 reálné, musí (jak plyne z teorie algebraických rovnic) ke každému komplexnímu kořenu a + ib charakteristické rovnice existovat také kořen komplexně sdružený a − ib , a to stejné násobnosti. a + ib x Místo, abychom do fundamentálního systému vzali komplexní funkce e( ) , e( a −ib ) x , použijeme jejich vhodné lineární kombinace, a to takové, aby výsledné funkce byly nezávislé a reálné. Na základě Eulerova vzorce z teorie komplexních čísel ea ±ib = e a ( cos b ± i sin b ) že nejjednodušší je vzít lineární kombinace je zřejmé, 1 ( a +ib ) x ( a −ib ) x 1 ( a +ib ) x ( a −ib ) x e +e = e ax cos bx a e −e = e ax sin bx , nebo-li reálnou a 2 2i a + ib x imaginární část komplexní funkce e( ) . Pokud jsou kořeny a + ib , a − ib r-násobné, vezmeme dále do fundamentálního systému reálné funkce xeax cos bx , xe ax sin bx , …, x r −1eax cos bx , x r −1eax sin bx . Tím je problém nalezení reálného fundamentálního systému homogenní rovnice s konstantními koeficienty (a tedy i jejího obecného integrálu) úspěšně uzavřen.

(

)

(

)

39

B3. Homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Příklad 1. Řešte homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty y′′′ − 5 y′′ + 8 y′ − 4 y = 0 . Řešení. Předpokládáme řešení ve tvaru y = eα x . Po dosazení do původní rovnice a vydělení celé rovnice faktorem eα x dostaneme charakteristickou rovnici (kterou ovšem můžeme také napsat přímo podle výchozí diferenciální rovnice) α 3 − 5α 2 + 8α − 4 = 0 . Charakteristický polynom na levé straně této rovnice má jednoduchý reálný kořen 1 a dvojnásobný reálný kořen 2, což je možno ověřit součinem kořenových činitelů (α − 1)(α − 2 )(α − 2 ) . Fundamentální systém řešené rovnice tudíž tvoří funkce y1 = e x , y2 = e 2 x a y3 = xe 2 x . Činitel x ve funkci y3 je dán obecným pravidlem, kdy r-násobnému kořenu α k charakteristické rovnice odpovídá r lineárně nezávislých funkcí eα x , xeα x ,..., x r −1eα x . Obecné řešení výchozí rovnice je tvořeno lineární kombinací funkcí fundamentálního systému, tzn. y = C1 y1 + C2 y2 + C3 y3 = C1e x + ( C2 + C3 x ) e 2 x .

Příklad 2. Řešte homogenní lineární rovnici s konstantními koeficienty y′′ − 4 y′ + 13 y = 0 . Řešení. Charakteristická rovnice má tvar α 2 − 4α + 13 = 0 a její kořeny jsou komplexně

4 ± 42 − 4 ⋅13 sdružené α1,2 = = 2 ± −9 = 2 ± 3i . 2 Komplexní fundamentální systém tvoří funkce y = e( 2+ 3i ) x a y = e( 2−3i ) x . Reálný

fundamentální

systém

je

tvořen

funkcemi

y2 = e sin 3 x , nebo-li reálnou a imaginární částí funkce y = e 2x

y1 = e2 x cos 3 x ( 2+ 3i ) x

.

Obecné řešení tudíž má tvar y = C1 y1 + C2 y2 = C1e cos 3x + C2 e sin 3x . 2x

2x

a

40


Shrnutí kapitoly: Homogenní lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficient y n -tého ř ádu je rovnice tvaru y ( n ) + an −1 y ( n −1 ) + ... + a1 y′ + a0 y = 0 , kde a0 , a1 , ..., an −1 jsou konstant y. Pro vlastnosti ř ešení této rovnice platí vše co pro obecnou homogenní lineární diferenciální rovnici. Zejména platí, že obecné ř ešení je lineární kombinací funkcí fundamentálního s ystému. K nalezení fundamentálního s ystému existuje p ř esn ý algoritmus. Je založen na p ř edpokladu exponenciálního tvaru ř ešení y = eα x , který vede na tzv. charakteristickou rovnici pro neznám ý exponent α . Jedná se o algebraickou rovnici n -tého stupn ě , která má práv ě n ko ř en ů . Po nalezení t ě chto ko ř en ů lze zkonstruovat fundamentální s ystém, p ř i č emž je ale nutno vzít v úvahu p ř ípadnou násobnost n ě kterých ko ř en ů . Jsou-li n ě které ko ř en y komplexní, dají se odpovídající komplexní funkce fundamentálního s ystému nahradit reáln ými.

Otázky: • Definujte homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty n -tého řádu. Čím se liší od obecné homogenní lineární diferenciální rovnice? • Jak se přesně řeší homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty? Co je to charakteristická rovnice? Jakou roli hrají její kořeny? • Jak se řeší případy, kdy charakteristická rovnice má vícenásobné kořeny nebo komplexní kořeny? • Jak sestavíme obecné řešení, známe-li fundamentální systém? Úloha B3.1. Řešte homogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. a) y′′ − 4 y′ + 3 y = 0 ; b) y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 ; c) y′′ − 4 y = 0 ; d) y′′ + 4 y = 0 ; e) y′′ + 4 y′ = 0 ; f) y′′ + 3 y′ − 4 y = 0 ; g) y′′′ − 5 y′′ + 8 y′ − 4 y = 0 ; h) y′′′ − 8 y = 0 ; i) y′′′ + 3ay′′ + 3a 2 y′ + a 3 y = 0 ; j) y (4) − 16 y = 0 ; k) y (4) + 4 y = 0 .

Průvodce studiem. Tak co ř íkáte na homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty? Asi to pro Vás nebyla práv ě jednoduchá kapitola, ale po prostudování p ř íklad ů a vy ř ešení úloh jste možná zjistil(a), že to není tak t ě žké. Velkou výhodou totiž je, že nám teorie poskytuje p ř esný algoritmus, jak zkonstruovat fundamentální systém ř ešení, potažmo obecné ř ešení. Není proto vlastn ě v ů bec nutné nad n ěč ím moc p ř emýšlet, sta č í jít krok za krokem podle návodu. Nezbytné ovšem je tento návod dokonale pochopit a zapamatovat si jej.

B4. Nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

B4. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY V této kapitole se dozvíte: • co rozumíme pojmem nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty; • přesný postup řešení uvedené rovnice. Budete schopni: • řešit libovolnou nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Klíčová slova této kapitoly: nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, metoda variace konstant, metoda speciální pravé strany. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 3,0 hodiny (teorie + řešení úloh) Definice. Nehomogenní lineární rovnicí s konstantními koeficienty rozumíme rovnici y ( n ) + an −1 y ( n −1 ) + ... + a1 y′ + a0 y = f ( x ) , kde a0 , a1 , ..., an −1 jsou konstanty a funkce f ( x ) je různá od nulové funkce.

Metoda řešení. Z teorie obecné lineární diferenciální rovnice víme, že obecný integrál nehomogenní rovnice můžeme psát ve tvaru y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn + y p , kde

y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yn ( x ) tvoří fundamentální systém homogenní rovnice, c1 , c2 , …, cn jsou libovolné konstanty a y p je jakékoliv řešení (partikulární integrál) nehomogenní rovnice. Určit fundamentální systém homogenní rovnice již umíme (viz předchozí kapitolu), stejně jako vypočítat partikulární integrál y p metodou variace konstant. Metoda variace konstant ale není vždy tou nejrychlejší a nejsnazší cestou. Pro některé funkce f ( x ) (tzv. speciální pravé strany) můžeme totiž tvar partikulárního integrálu předem „odhadnout“ a následně poměrně jednoduše dopočítat. Hovoří o tom následující věta.

41

42


Věta (metoda speciální pravé strany). Nechť pravá strana lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty má tvar f ( x ) = eax  P ( x ) cos bx + Q ( x ) sin bx  , kde P ( x ) , Q ( x ) jsou mnohočleny obecně různého, nejvýše však s-tého stupně s reálnými koeficienty, a, b jsou libovolná reálná čísla. Jestliže a + ib (a tedy ani a − ib ) není kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární integrál má tvar y p = e ax  R ( x ) cos bx + S ( x ) sin bx  , kde R ( x ) , S ( x ) jsou mnohočleny nejvýše s-tého stupně. Je-li a + ib (a tedy i a − ib ) r-násobným kořenem charakteristické rovnice, pak partikulární integrál má tvar y p = x r eax  R ( x ) cos bx + S ( x ) sin bx  , kde R ( x ) , S ( x ) jsou mnohočleny nejvýše s-tého stupně.

Poznámka. a) Uvedená speciální pravá strana zahrnuje širokou třídu funkcí, se kterou v praxi obvykle vystačíme. Tak např. pro a = 0 , b = 0 přechází pravá strana v polynom P ( x ) , pro a ≠ 0 , b = 0 a P ( x ) ≡ 1 dostáváme na pravé straně exponenciální funkci eax , pro a = 0 , b ≠ 0 , P ( x ) ≡ 1 a Q ( x ) ≡ 0 (resp.

P ( x ) ≡ 0 a Q ( x ) ≡ 1 ) dostaneme cos bx (resp. sin bx ) apod. b) Z předchozí poznámky a poslední věty plyne, že je-li pravá strana ve tvaru polynomu, je třeba při hledání partikulárního integrálu vyšetřit, zda charakteristická rovnice nemá kořen 0 ( = 0 + i0 ) . Pokud je na pravé straně exponenciála eax , je nutné vyšetřit existenci kořene a ( = a + i0 ) , a pokud je na

pravé straně funkce cos bx nebo sin bx , je třeba vyšetřit existenci kořene ib ( = 0 + ib ) . c) Pozor na případ, kdy na pravé straně je pouze jedna z funkcí cos bx , sin bx . Partikulární integrál y p musíme hledat (v souladu s poslední větou) ve tvaru, obsahujícím obě tyto goniometrické funkce! Po provedení odhadu tvaru partikulárního řešení y p zbývá pouze nalézt neznámé koeficienty polynomů R ( x ) a S ( x ) . Dosadíme předpokládaný tvar y p a jeho potřebné derivace do původní nehomogenní rovnice. Obdržíme rovnici, ze které neznámé koeficienty tzv. metodou neurčitých koeficientů jednoznačně dopočteme.


43

Metoda neurčitých koeficientů. Je široce používaná metoda v různých partiích matematiky. Vysvětlíme její princip na jednoduchém příkladu. Mějme např. rovnici ( A + B ) x + ( B − A) = 2 x + 4 . Tuto rovnici chápeme jako funkční rovnost, tzn. funkce na pravé straně má být identická s funkcí na levé straně. To je možné pouze tehdy, jsou-li koeficienty u stejných mocnin x stejné na obou stranách rovnice. Neznámé konstanty A , B nalezneme tedy tak, že porovnáme koeficienty (odtud název metody) u jednotlivých mocnin x na levé a pravé straně. Obdržíme tím dvě rovnice, A + B = 2 (koeficienty u x ), B − A = 4 (koeficienty u x 0 ≡ 1 ), ze kterých není problémem vypočítat A = −1 , B = 2 . Místo funkcí 1 ≡ x 0 , x atd. mohou v rovnicích figurovat libovolné jiné lineárně nezávislé funkce, např. sin bx , cos bx , x sin bx , x cos bx , eax , x ⋅ e ax , x 2 ⋅ e ax atd. Jestliže má pravá strana tvar součtu funkcí uvedeného speciálního tvaru, např. f ( x ) = e2 x + e−3 x apod., je také partikulární integrál součtem příslušných „dílčích“ partikulárních integrálů. Je proto v takovém případě nejjednodušší hledat každý dílčí partikulární integrál zvlášť a výsledky sečíst.

Shrnutí kapitoly: Nehomogenní lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty n -tého řádu je rovnice tvaru y ( n ) + an −1 y ( n −1 ) + ... + a1 y ′ + a0 y = f ( x ) , kde a0 , a1 , ..., an −1 jsou konstanty a funkce f ( x ) je různá od nulové funkce. Pro vlastnosti řešení této rovnice platí vše co pro obecnou nehomogenní lineární diferenciální rovnici. Zejména platí, že obecné řešení je součtem obecného řešení homogenní rovnice a libovolného partikulárního řešení y p nehomogenní rovnice a že toto partikulární řešení lze vždy nalézt metodou variace konstant. Pro tzv. speciální pravé strany tvaru f ( x ) = eax  P ( x ) cos bx + Q ( x ) sin bx  , kde

P ( x ) , Q ( x ) jsou libovolné mnohočleny, existuje efektivnější metoda určení partikulárního řešení y p , která obchází nutnost integrovat. Tvar partikulárního

řešení y p se „odhadne“ podle tvaru pravé strany a dopočítají se pouze hodnoty neznámých parametrů vystupujících v y p . Uvedený „odhad“ má svá přesná pravidla, která je nutné přesně znát.

Otázky: • Definujte nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty n -tého řádu. Čím se liší od obecné nehomogenní lineární diferenciální rovnice? • Jak se přesně řeší nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty? • Jakými dvěma metodami můžeme většinou hledat partikulární integrál nehomogenní rovnice? Která z těchto metod funguje vždy? • Jak zní přesná pravidla pro konstrukci partikulárního řešení nehomogenní rovnice metodou speciální pravé strany? • Vysvětlete metodu neurčitých koeficientů.

součet speciálních pravých stran

44


Příklad 1. Řešte nehomogenní lineární rovnici s konstantními koeficienty y′′ − 2 y′ + y = e 2 x . Řešení. Obecné řešení nehomogenní rovnice můžeme hledat ve tvaru součtu obecného řešení yh homogenní rovnice a libovolného partikulárního řešení y p nehomogenní rovnice: y = yh + y p . Homogenní rovnici již vyřešit umíme. Charakteristická rovnice má dvojnásobný x x kořen α1,2 = 1 a tedy příslušné obecné řešení má tvar yh = C1e + C2 xe . Hledejme nyní partikulární integrál y p . Pravá strana má tzv. speciální tvar eax  P ( x ) cos bx + Q ( x ) sin bx  , kde a = 2 , b = 0 , P ( x ) = 1 , tudíž můžeme tvar partikulárního integrálu „odhadnout“. Protože charakteristická rovnice nemá žádný kořen roven hodnotě a + ib = 2 , předpokládáme tvar partikulárního 2x integrálu zcela obdobný pravé straně, tj. y p = Ae . Pokud by existoval r násobný kořen 2 charakteristické rovnice, předpokládali bychom tvar y p = x r Ae 2 x . Koeficient A reprezentuje zatím neznámý polynom nultého řádu. Dosazením předpokládaného partikulárního řešení do výchozí (nehomogenní) rovnice snadno nalezneme, že A = 1 , a tedy y p = e 2 x . x x 2x Obecný integrál nehomogenní rovnice tudíž je y = C1e + C2 xe + e .

Druhou možností k určení partikulárního integrálu y p , kterou můžeme použít pro jakýkoliv tvar pravé strany, je metoda variace konstant. Vycházíme při ní z předpokladu, že y p má stejný tvar jako yh , kde ale veličiny C1 , C2 jsou zatím x x neznámé funkce proměnné x , tj. y p = C1 ( x ) e + C2 ( x ) xe .

První derivace funkcí C1 , C2 hledáme podle teorie jako řešení soustavy lineárních rovnic C1′e x + C2′ xe x = 0

C1′(e x )′ + C2′ ( xe x )′ = e2 x Řešení této soustavy je jednoduché (např. Cramerovým pravidlem). Dostaneme C1′ = − xe x , C2′ = e x , odkud přímou integrací C1 = − ∫ xe x dx = (1 − x ) e x , C 2 = ∫ e x dx = e x .

Integrační konstanty při integraci nepíšeme (volíme rovny nule), protože nám stačí jakékoliv řešení. Dosazením nalezených funkcí do předpokládaného tvaru y p získáme hledaný partikulární integrál y p = (1 − x ) e x e x + e x xe x = e2 x − xe 2 x + xe2 x = e2 x .

Obdržený výsledek je shodný s předchozím. Můžeme konstatovat, že metoda řešení „odhadem“ podle tvaru pravé strany zde jednodušší a rychlejší než metoda variace konstant.


Příklad 2. Řešte nehomogenní lineární 2 y′′ + 4 y′ + 5 y = 5 x − 32 x + 5 .

rovnici

s konstantními

koeficienty

Řešení. Obecné řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru součtu obecného řešení yh homogenní rovnice a libovolného partikulárního řešení y p nehomogenní rovnice y = yh + y p .

Charakteristická rovnice má komplexně sdružené kořeny α1,2 = −2 ± i a tedy obecné řešení homogenní rovnice má tvar yh = C1e 2 x cos x + C2 e2 x sin x .

Hledejme nyní partikulární integrál y p . Pravá strana výchozí rovnice má tvar polynomu druhého řádu. Jedná se tedy o tzv. speciální pravou stranu eax  P ( x ) cos bx + Q ( x ) sin bx  , kde a = 0 , b = 0 , P ( x ) = 5 x 2 − 32 x + 5 . Protože charakteristická rovnice nemá žádný kořen roven hodnotě a + ib = 0 , předpokládáme tvar partikulárního integrálu zcela obdobný pravé straně, tj. ve tvaru polynomu druhého řádu

y p = a2 x 2 + a1 x + a0 . Pokud by existoval r -násobný kořen 0 charakteristické rovnice, předpokládali bychom tvar y p = x r ( a2 x 2 + a1 x + a0 ) . Neznámé koeficienty a2 , a1 , a0 určíme metodou neurčitých koeficientů. Dosazením předpokládaného partikulárního řešení do výchozí (nehomogenní) rovnice a jednoduché úpravě obdržíme rovnici 2 2 5a2 x + ( 8a2 + 5a1 ) x + 2a2 + 4a1 + 5a0 = 5 x − 32 x + 5 . Tato rovnice může být identicky splněna pouze tehdy, jsou-li koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné x na obou stranách rovnice stejné, tzn. platí-li 5a2 = 5 , 8a2 + 5a1 = −32 , 2a2 + 4a1 + 5a0 = 5 . Řešením této soustavy tří lineárních rovnic pro tři neznámé jsou hodnoty a2 = 1, a1 = −8, a0 = 7 . Dosazením tohoto výsledku do předpokládaného tvaru y p obdržíme výsledný partikulární integrál

y p = x2 − 8x + 7 . Obecný integrál nehomogenní rovnice tudíž je

y = C1e2 x cos x + C2 e 2 x sin x + x 2 − 8 x + 7 .

45

46


Příklad 3. Řešte nehomogenní lineární rovnici s konstantními koeficienty y′′ + 9 y = sin 3 x . Řešení. Obecné řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru součtu obecného řešení yh homogenní rovnice a libovolného partikulárního řešení y p nehomogenní rovnice y = yh + y p .

Charakteristická rovnice má dva komplexně sdružené kořeny α1,2 = ±3 i a tedy příslušné obecné řešení má tvar yh = C1 cos 3 x + C2 sin 3 x .

Hledejme nyní partikulární integrál y p . Pravá strana výchozí rovnice má tvar sin 3 x . Jedná se tedy o tzv. speciální pravou stranu ax e  P ( x ) cos bx + Q ( x ) sin bx  , kde a = 0 , b = 3 , P ( x ) = 0 , Q ( x ) = 1 . Protože charakteristická rovnice má jeden jednoduchý kořen roven hodnotě a + ib = 3i , předpokládáme tvar partikulárního integrálu

y p = x ( A cos 3x + B sin 3x ) . Neznámé koeficienty A , B představují neznámé polynomy nultého řádu a určíme je tzv. metodou neurčitých koeficientů. Dosazením předpokládaného partikulárního řešení y p do výchozí (nehomogenní) rovnice, provedení potřebných derivací a jednoduché úpravě obdržíme rovnici −6 A sin 3 x + 6 B cos 3 x = sin 3 x . Tato rovnice může být identicky splněna pouze tehdy, jsou-li koeficienty u jednotlivých goniometrických funkcí na obou stranách rovnice stejné, tzn. platí-li 1 −6 A = 1, 6 B = 0 . Odtud dostáváme A = − , B = 0 . 6 Dosazením tohoto výsledku do y p obdržíme partikulární integrál x y p = − cos 3 x . 6

Obecný integrál nehomogenní rovnice tudíž je x y = C1 cos 3 x + C2 sin 3 x − cos 3 x . 6


Příklad 4. Řešte nehomogenní lineární rovnici s konstantními koeficienty e2 x y′′ − 4 y′ + 5 y = . cos x Řešení. Obecné řešení nehomogenní rovnice můžeme hledat ve tvaru součtu obecného řešení yh homogenní rovnice a libovolného partikulárního řešení y p nehomogenní rovnice y = yh + y p . Charakteristická rovnice má dva komplexně sdružené kořeny α1,2 = 2 ± i a tedy příslušné obecné řešení má tvar yh = C1e 2 x cos x + C2 e2 x sin x .

Hledejme nyní partikulární integrál y p . Protože pravá strana nemá speciální tvar eax  P ( x ) cos bx + Q ( x ) sin bx  ,

musíme

použít

metodu

variace

konstant.

Vycházíme při ní z předpokladu, že y p má stejný tvar jako yh , avšak veličiny C1 , C2 jsou zatím neznámé funkce proměnné x , tj.

y p = C1 ( x ) e2 x cos x + C2 ( x ) e 2 x sin x . První derivace funkcí C1 , C2 hledáme podle teorie jako řešení soustavy lineárních rovnic C1′e 2 x cos x + C2′e 2 x sin x = 0 C1′(e 2 x cos x)′ + C2′ (e2 x sin x)′ =

e2 x . cos x

Řešení této soustavy je jednoduché (např. Cramerovým pravidlem). Dostaneme C1′ = − tg x , C2′ = 1 , odkud přímou integrací C1 = − ∫ tg xdx = ln cos x , C2 = ∫ 1dx = x . Integrační konstanty při integraci nepíšeme (volíme rovny nule), protože nás zajímá libovolné řešení. Dosazením nalezených funkcí do y p získáme hledaný partikulární integrál

y p = ( ln cos x ) e 2 x cos x + xe 2 x sin x . Obecný integrál nehomogenní rovnice tudíž je

y = e 2 x ( C1 + ln cos x ) cos x + ( C2 + x ) sin x  .

47

48


Úloha B4.1. Řešte nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. a) y′′ − 3 y′ + 2 y = e x ; b) y′′ + 5 y′ + 6 y = e − x + e −2 x ; c) y′′ − 4 y = 8 x 3 ; 5 d) 4 y′′ − y = x3 − 24 x ; e) y′′ + y′ + y = 25cos 2 x ; f) y′′ − 5 y′ + 6 y = 13sin 3 x ; 2 1 g) y′′ − 2 y = xe − x ; h) y′′′ + y′′ = 6 x + e − x ; i) y ( 4 ) − 81 y = 27e−3 x ;j) y′′ + 4 y = ; sin 2 x ex k) y′′ − 2 y′ + y = 2 ; l) y′′ + 4 y′ + 4 y = e−2 x ln x . x

Průvodce studiem. Nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty p ř edstavují pomyslný vrchol tohoto modulu. Umíte-li ř ešit tyto rovnice, dokazuje to, že jste zvládl(a) pom ě rn ě náro č nou č ást vyšší aplikované matematiky. Navíc, tyto rovnice p ř edstavují v praxi nejpoužívan ě jší typ diferenciálních rovnic. Nejjednodušší matematický model v ě tšiny problém ů p ř írodních i jiných v ě d bývá tvo ř en práv ě t ě mito rovnicemi. Vím, že zpo č átku není tato problematika jednoduchá. Ale nepodléhejte depresi, pokud se Vám zatím ř ešení moc neda ř í. Zeptejte se sám (sama) sebe, co konkrétn ě Vám nejde, a na to se znovu podívejte do teorie a ukázkových p ř íklad ů .

Korespondenční úkol k části B. V úloze B4.1 zvolte dvě rovnice z rovnic označených písmeny d) až l) a ty podrobně vyřešte.

49

C1. Základní pojmy

C. SOUSTAVY OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC C1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: • co rozumíme pojmem obecná soustava diferenciálních rovnic a jak je definován její řád; • jak je definována normální soustava diferenciálních rovnic; • jak se dá převést na normální soustavu diferenciální rovnice vyššího řádu nebo obecná soustava diferenciálních rovnic ; • jak je definováno řešení nebo-li integrál normální soustavy diferenciálních rovnic; • co jsou to tzv. počáteční podmínky pro řešení normální soustavy diferenciálních rovnic a jak je to s existencí a jednoznačností řešení; • definici obecného řešení normální soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Budete schopni: • převést diferenciální rovnici vyššího řádu nebo obecnou soustavu diferenciálních rovnic na normální soustavu. Klíčová slova této kapitoly: obecná soustava obyčejných diferenciálních rovnic, normální soustava obyčejných diferenciálních rovnic, počáteční podmínka pro normální soustavy diferenciálních rovnic, existence a jednoznačnost řešení normální soustavy diferenciálních rovnic, obecné řešení normální soustavy diferenciálních rovnic. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,75 + 0,0 hodiny (teorie + řešení úloh) Definice. Obecnou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic rozumíme m rovnic tvaru

(

)

n Fi x, y1 , y1′ ,..., y1( n1 ) , y2 , y2′ ,..., y2( n2 ) ,..., y1 , yk ′ ,..., yk( k ) = 0 , i = 1, 2,..., m ,

pro k funkcí y1 , y2 , ..., yk . Maximální číslo z čísel ni (tj. řád nejvyšší přítomné derivace) nazýváme řádem soustavy.

Poznámka. a) V praxi nejčastěji odpovídá počet neznámých funkcí počtu rovnic (tj. k = m ). Dále budeme uvažovat pouze tento případ. b) Řešit obecnou soustavu rovnic v uvedeném tvaru není snadné. Naštěstí se ukazuje, že ve většině praktických případů je možné soustavu převést na tzv. normální tvar.

50

C. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic

Definice (normální soustava). Soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu y1′ = f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn ) ...................................... yn′ = f n ( x, y1 , y2 ,..., yn ) nazýváme normální.

Převod rovnice vyššího řádu na normální soustavu. Uvažujme diferenciální rovnici n-tého řádu typu y ( n ) = f ( x, y, y′,..., y ( n −1) ) . Zavedením nových funkcí ( n − 1) rovnicemi y1 ≡ y′ , y2 ≡ y1′ = y′′ , ...,

yn −1 ≡ yn′ − 2 = y ( n −1) se výchozí rovnice n -tého řádu pro jednu funkci y změní na tvar yn′ −1 = f ( x, y, y1 , y2 ,..., yn −1 ) , a tedy problém jsme převedli na řešení normální soustavy y′ = y1 y1′ = y2 ................ yn′ − 2 = yn −1 yn′ −1 = f ( x, y, y1 , y2 ,..., yn −1 ) pro n funkcí y , y1 , ..., yn −1 .

Převod obecné soustavy rovnic na normální soustavu. Nejprve (je-li to možné) převedeme obecnou soustavu na tzv. kanonický tvar kanonický tvar

yi(

ni )

(

)

n −1 = Gi x, y1 , y1′ ,..., y1( n1 −1) , y2 , y2′ ,..., y2( n2 − 2 ) ,..., y1 , ym′ ,..., ym( m ) = 0 ,

i = 1, 2,..., m , nebo-li vyřešíme soustavu vzhledem k nejvyšším derivacím jednotlivých neznámých funkcí yi . Pak pokračujeme obdobně jako v předchozí poznámce zavedením nových funkcí za derivace na pravých stranách rovnic.

Definice. Řešením (integrálem) normální soustavy rovnic rozumíme takový systém funkcí y1 = g1 ( x ) , y2 = g 2 ( x ) , ..., yn = g n ( x ) , že po dosazení do soustavy budou všechny rovnice identicky splněny v uvažovaném oboru. Poznámka. Pojem „řešení soustavy diferenciálních rovnic“ je v podstatě zobecněním pojmu „řešení (jedné) diferenciální rovnice“. Jak uvidíme, obdobná situace nastane i pro některé další pojmy a budou formulovány i obdobné věty, např. následující věta o existenci a jednoznačnosti řešení.

51

C1. Základní pojmy

Věta (existence a jednoznačnost řešení normální soustavy). Nechť je dána normální soustava rovnic yi′ = fi ( x, y1 , y2 ,..., yn ) , i = 1, 2,..., n a bod P  a, b1, , b2, ..., bn  . Nechť funkce f1 , f 2 ,..., f n jsou spojité (jako funkce n+1 proměnných x, y1 , y2 ,..., yn ) v okolí bodu P a mají v něm spojité parciální derivace podle proměnných y1 , y2 ,..., yn . Pak v určitém okolí bodu a existuje právě jedno řešení, které splňuje počáteční podmínky y1 (a ) = b1 , y2 (a ) = b2 , ..., yn (a ) = bn .

Definice. Obecným integrálem (obecným řešením) normální soustavy nazýváme systém funkcí y1 = ϕ1 ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) ...................................... yn = ϕ n ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) takový, že vhodnou volbou konstant C1 , C2 , ..., Cn lze obdržet řešení soustavy, odpovídající libovolným počátečním podmínkám z určité oblasti Ω .

( n + 1) -rozměrné

Poznámka. Analogie mezi zavedenými pojmy pro normální soustavy diferenciálních rovnic a pro jednu diferenciální rovnici vyššího řádu (rozřešenou vzhledem k nejvyšší derivaci) je evidentní. Příklad. Převeďte rovnici třetího řádu y′′′ − 2 xy′′ + 3 y′ − 1 − y 2 = cos 2 x na ekvivalentní normální soustavu diferenciálních rovnic.

Řešení. Protože normální soustava je prvního řádu, musíme se zbavit všech vyšších derivací. Zavedeme místo nich nové funkce y1 = y′ , y2 = y′′ = y1′ a dosadíme do výchozí rovnice. Obdržíme rovnici y2′ − 2 xy2 + 3 y1 − 1 − y 2 = cos 2 x . Úpravou nakonec obdržíme soustavu y′ = y1 y1′ = y2 y2′ = 2 xy2 − 3 y1 − 1 + y 2 + cos 2 x, což je požadovaná normální soustava tří rovnic pro tři funkce y , y1 , y2 .

52

C. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic

Shrnutí kapitoly: Obecnou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic rozumíme určitý počet rovnic, ve kterých kromě nezávisle proměnné x vystupují první i vyšší derivace neznámých funkcí yi ( x ) . Řádem soustavy je řád nejvyšší přítomné derivace. V praxi je počet neznámých funkcí zpravidla roven počtu rovnic. Navíc bývají splněny podmínky, které umožňují převod obecné soustavy na tzv. normální soustavu diferenciálních rovnic, která je teoreticky i prakticky výhodnější. Normální soustavou obyčejných diferenciálních rovnic rozumíme soustavu n rovnic prvního řádu tvaru yi′ = fi ( x, y1 , y2 ,..., yn ) , i = 1, 2,..., n . Pro normální soustavu definujeme pojmy řešení, počáteční podmínky, obecné řešení obdobně jako u diferenciální rovnice vyššího řádu. Platí také obdobná věta o existenci a jednoznačnosti řešení. Otázky: • Definujte obecně soustavu obyčejných diferenciálních rovnic a její řád • Jak vypadá tzv. normální soustava obyčejných diferenciálních rovnic? Jakého je řádu? • Vysvětlete pojem řešení (integrál) a obecné řešení (integrál) normální soustavy diferenciálních rovnic. • Jak vypadají počáteční podmínky pro normální diferenciální rovnici? • Jak je to s existencí a jednoznačností řešení normální soustavy obyčejných diferenciálních rovnic? Průvodce studiem. Touto teoretickou kapitolou jste zahájil(a) poslední a nejkratší č ást tohoto modulu, v ě novanou obecným soustavám diferenciálních rovnic. Hodn ě pojm ů z této oblasti je vytvo ř eno analogicky k pojm ů m, které již znáte z p ř edchozích kapitol. V tom je tato látka jednodušší, ale na druhé stran ě povrchní uplatn ě ní uvedených analogií m ů že vést k chybným záv ě r ů m. V p ř íští kapitole se zam ěř íme na soustavy lineárních diferenciálních rovnic, ale stále pouze teoreticky. Výpo č ty budou až v úpln ě poslední kapitole, v ě nované soustavám lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Vydržte, cíl se již blíží!

C2. Normální soustava lineárních diferenciálních rovnic

C2. NORMÁLNÍ SOUSTAVA LINEÁRNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC V této kapitole se dozvíte: • jak vypadá homogenní a nehomogenní normální soustava lineárních diferenciálních rovnic; • jak definujeme fundamentální systém této soustavy; • jak pomocí fundamentálního systému konstruujeme obecné řešení homogenní normální soustavy lineárních diferenciálních rovnic; • jaký tvar má obecné řešení nehomogenní normální soustavy lineárních diferenciálních rovnic včetně nalezení partikulárního řešení metodou variace konstant. Budete schopni: • reprodukovat základní teoretické poznatky ohledně řešení homogenní a nehomogenní normální soustavy lineárních diferenciálních rovnic. Klíčová slova této kapitoly: normální soustava lineárních diferenciálních rovnic homogenní a nehomogenní, fundamentální systém normální soustavy lineárních rovnic, konstrukce obecného řešení homogenní a nehomogenní normální soustavy lineárních rovnic, metoda variace konstant.. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,75 + 0,0 hodiny (teorie + řešení úloh) Definice. Normální soustava lineárních diferenciálních rovnic má tvar y1′ = a11 ( x ) y1 + a12 ( x ) y2 + ... + a1n ( x ) yn + f1 ( x ) ............................................................................ , yn′ = an1 ( x ) y1 + an 2 ( x ) y2 + ... + ann ( x ) yn + f n ( x ) vektorově

 y1′   a 11 ( x ) a 12 ( x )  ′  a x a x y2 ( ) 22 ( ) y ′ ≡   =  21   ...  ... ...  y′   a ( x ) a ( x )  n   n1 n2

... a 1n ( x )   y1     ... a 2 n ( x )   y2   ⋅ + ... ...   ...       ... a nn ( x )   yn  

f1 ( x )   f2 ( x )  ≡ A⋅y +f , ...   f n ( x ) 

kde veličiny a jk ( x ) a f j ( x ) , kde j , k = 1, 2,..., n jsou libovolné (reálné) funkce.

Pokud jsou všechny funkce f j ( x ) nulové ( f = 0 ), jedná se o homogenní soustavu, jinak jde o soustavu nehomogenní.

53

54

C. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic Definice. Nechť je dáno n řešení homogenní soustavy, která můžeme přehledně označit

 1 y1   2 y1   n y1  1   2  n  y2   y2  y  , ,...,  2  . ............................................ , vektorově  ...   ...   ...  n  1   2   n  y1 ( x ) , n y2 ( x ) , ..., n yn ( x ) .  yn   yn   yn  1

fundamentální systém soustavy

y1 ( x ) ,

1

y2 ( x ) , ..., 1 yn ( x ) ,

Uvedenou množinu řešení nazveme fundamentálním systémem homogenní soustavy v intervalu I, je-li funkcionální determinant 1

D ( x) = 1

y1 ( x ) ,

2

y1 ( x ) , ..., n y1 ( x )

......................................... yn ( x ) , 2 yn ( x ) , ..., n yn ( x )

v intervalu I různý od nuly. Poznámka. a) Řečeno slovně, jednotlivá řešení (jako n -rozměrné vektory) musí být lineárně nezávislá. b) Dá se dokázat, že determinant D ( x ) je v I buď stále roven nule, nebo stále od nuly různý, proto stačí vyčíslit jej v jediném bodě. Věta (obecné řešení homogenní soustavy lineárních rovnic). Je-li znám fundamentální systém { k y j } homogenní soustavy , pak obecné řešení

této soustavy má tvar y1 = C1 1 y1 + C2 2 y1 + ... + Cn n y1 , ...............................................

,

yn = C1 yn + C2 yn + ... + Cn yn . 1

2

n

vektorově

 1 y1   2 y1   n y1  1  2  n  y2  y2  y h   y = C1 + C2 + ... + Cn  2  .  ...   ...   ...   1   2   n   yn   yn   yn  Poznámka. Na vektorovém tvaru lze vidět, že obecné řešení je lineární kombinací jednotlivých řešení fundamentálního systému, podobně jako tomu bylo v teorii řešení lineární diferenciální rovnice vyššího řádu.

C2. Normální soustava lineárních diferenciálních rovnic

55

Věta (obecné řešení nehomogenní normální soustavy lineárních rovnic). Nechť je dán fundamentální systém { k y j } homogenní soustavy, příslušné

k nehomogenní soustavě . Obecný integrál nehomogenní soustavy má tvar y1 = C1 1 y1 + C2 2 y1 + ... + Cn n y1 + p y1 , ............................................................ , yn = C1 1 yn + C2 2 yn + ... + Cn n yn + p yn . vektorově

 1 y1   2 y1   n y1   p y1  1  2  n  p  y2  y2  y y   y = C1 + C2 + ... + Cn  2  +  2  = h y + p y ,  ...   ...   ...   ...   1   2   n   p   yn   yn   yn   yn  kde p y ≡ ( p y1 , p y2, ..., p yn ) je libovolné partikulární řešení nehomogenní T

soustavy a h y představuje obecné řešení homogenní soustavy. Poznámka. Obdobná věta, že obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem obecného řešení homogenní rovnice a libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice, platí i pro obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu.

Partikulární řešení

p

y ≡ ( p y1 , p y2, ..., p yn )

T

nehomogenní soustavy můžeme

určit metodou variace konstant, jak o tom hovoří následující věta. Věta (variace konstant). Je-li znám fundamentální systém

{ y} k

j

příslušné homogenní soustavy, pak

partikulární řešení nehomogenní soustavy můžeme hledat ve tvaru p

y1 = C1 ( x ) 1 y1 + C2 ( x ) 2 y1 + ... + Cn ( x ) n y1 ,

............................................... p

,

yn = C1 ( x ) 1 yn + C2 ( x ) 2 yn + ... + Cn ( x ) n yn .

vektorově

 1 y1   2 y1   n y1  1  2  n  y2  y2  y p   y = C1 ( x ) + C2 ( x ) + ... + Cn ( x )  2  ,  ...   ...   ...   1   2   n   yn   yn   yn  tzn. ve tvaru obecného řešení homogenní rovnice, kde původní konstanty jsou nyní funkce proměnné x .

variace konstant pro soustavy

56

nalezení konstant

C. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic Věta. Funkce C1 ( x ) , C2 ( x ) , ..., Cn ( x ) je možné zvolit tak, aby vyhovovaly soustavě rovnic C1′ ( x ) 1 y1 + C2′ ( x ) 2 y1 + ... + Cn′ ( x ) n y1 = f1 ( x ) ,

......................................................................... C1′ ( x ) 1 yn + C2′ ( x ) 2 yn + ... + Cn′ ( x ) n yn = f n ( x ) která je jednoznačně řešitelná. Shrnutí kapitoly: Kapitola obsahuje základní teoretické výsledky platné pro normální soustavy n lineárních diferenciálních rovnic. Při použití vektorového zápisu jsou získané závěry obdobné jako v teorii řešení lineární diferenciální rovnice vyššího řádu. Normální soustavy lineárních diferenciálních rovnic dělíme podle tvaru pravé strany na homogenní a nehomogenní. Fundamentálním systémem rozumíme n lineárně nezávislých řešení homogenní soustavy. O lineární nezávislosti množiny n řešení se lze přesvědčit pomocí hodnoty determinantu, jehož sloupce tvoří jednotlivá řešení. Obecné řešení homogenní soustavy má tvar lineární kombinace řešení z fundamentálního systému, kde koeficienty lineární kombinace jsou nezávislé parametry, zvané konstanty. Obecné řešení nehomogenní soustavy má tvar součtu obecného řešení příslušné homogenní soustavy a libovolného (partikulárního) řešení nehomogenní soustavy. Partikulární řešení nehomogenní soustavy lze hledat metodou variace konstant ve tvaru shodném s obecným řešením homogenní soustavy, kde konstanty jsou nahrazeny (zatím neznámými) funkcemi. K nalezení těchto funkcí je možné použít předem připravenou soustavu algebraických lineárních rovnic pro jejich první derivace. Otázky: • Jak vypadá tzv. normální soustava lineárních diferenciálních rovnic? Čím se liší od obecné normální soustavy diferenciálních rovnic? • Definujte fundamentální systém normální soustavy n lineárních rovnic. Jak rozpoznáme lineární nezávislost systému n jejích řešení? • Jak pomocí fundamentálního systému sestrojíme obecné řešení (integrál) normální soustavy lineárních rovnic? • V jaké formě lze hledat obecné řešení nehomogenní rovnice? • Jak metodou variace konstant nalezneme partikulární řešení nehomogenní rovnice? Pr ů vodce studiem. Asi Vás již ta spousta teorie zmáhá, ale v ěř ím, že Vám hodn ě pomáhá již zmín ě ná analogie s ř ešením lineárních diferenciálních rovnic vyššího ř ádu. V následující, již poslední (sláva!) kapitole si kone č n ě zase trochu zapo č ítáte.

C3. Normální soustava lineárních dif. rovnic s konstantními koeficienty

C3. NORMÁLNÍ SOUSTAVA LINEÁRNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY V této kapitole se dozvíte: • jak vypadá homogenní a nehomogenní normální soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty; • přesný postup, jak nalézt fundamentální systém této soustavy. Budete schopni: • vyřešit homogenní a nehomogenní normální soustavu lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Klí č ová slova této kapitoly: normální soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, fundamentální systém.

Č as pot ř ebný k prostudování u č iva kapitoly: 0,75 + 2,0 hodiny (teorie + řešení úloh) Poznámka. Protože lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je speciálním případem obecné lineární diferenciální rovnice, platí pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty všechny výsledky uvedené v předchozí kapitole. Definice. Normální soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty má tvar

y1′ = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn + f1 ( x ) ............................................................. , yn′ = an1 y1 + an 2 y2 + ... + ann yn + f n ( x ) vektorově

 y1′   a 11 a 12  ′  y2 a 21 a 22 y′ ≡   =   ...   ... ...     yn′   a n1 a n 2 kde veličiny a jk ,

... a 1n   y1       ... a 2 n   y2   ⋅ + ... ...   ...       ... a nn   yn  

f1 ( x )   f2 ( x )  ≡ A⋅y +f , ...   f n ( x ) 

j , k = 1, 2,..., n , jsou libovolná (reálná) čísla a

f j ( x) ,

j = 1, 2,..., n jsou libovolné (reálné) funkce. Pokud jsou všechny funkce f j ( x )

nulové ( f = 0 ), jedná se o homogenní soustavu, jinak jde o soustavu nehomogenní.

57

58

C. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic Metoda nalezení fundamentálního systému. Předpokládáme řešení homogenní soustavy ve tvaru

 k1    k2 λx λx λx y1 = k1e , y2 = k2 e , …., yn = kn e , vektorově y =   ⋅ eλ x .  ...     kn  Po dosazení do homogenní soustavy a úpravě dostaneme algebraickou soustavu n rovnic pro n neznámých konstant k1 , k2 , …, kn s parametrem λ

( a11 − λ ) k1 + a12 k2 + ... + a1n kn = 0 a21k1 + ( a22 − λ ) k2 + ... + a2 n kn = 0 ......................................................

(1)

an1k1 + an 2 k2 + ... + ( ann − λ ) kn = 0 která má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy je-li její determinant

a11 − λ , a12 , ..., a1n charakteristická rovnice

a21 , a22 − λ , ..., a2 n = 0. .................................. an1 , an 2 , ..., ann − λ Získaná rovnice je algebraickou rovnicí n -tého stupně pro neznámou λ a nazýváme ji charakteristickou rovnicí soustavy. Jednoduché kořeny charakteristické rovnice. Nechť má charakteristická rovnice n kořenů navzájem různých λ1 , λ2 , …, λn .

Každý z těchto kořenů λ j dosadíme do soustavy (1) a jejím řešením obdržíme n konstant j k1 , j k2 , …, j kn , určených až na libovolný násobek. Fundamentální systém homogenní soustavy pak vypadá takto: 1

fundamentální systém

y1 = 1k1eλ1 ,

1

y2 = 1k2 eλ1 , ..., 1 yn = 1kn eλ1 ,

..................................................................... , n

y1 = n k1eλn ,

n

y2 = n k2 eλn , ..., n yn = n kn eλn .

vektorově

 1k1   2k1   n k1  1  2  n   k2  eλ1x ,  k2  eλ2 x ,...,  k2  eλn x .  ...   ...   ...   1   2   n   kn   kn   kn 

C3. Normální soustava lineárních dif. rovnic s konstantními koeficienty

59

Násobné kořeny charakteristické rovnice. Je-li nějaký kořen λi charakteristické rovnice r-násobný, pak musíme řešení, příslušející tomuto kořenu, hledat v obecnějším tvaru i

y1 = i P1 ( x ) eλi x , i y2 = i P2 ( x ) eλi x , …., i yn = i Pn ( x ) eλi x ,

vektorově

 i P1 ( x )  i   P2 ( x )  eλi x ,  ...   i  P x ( ) n   kde symboly i Pj představují polynomy nejvýše ( r − 1) -ho stupně. Koeficienty těchto polynomů vypočteme metodou neurčitých koeficientů po dosazení předpokládaného řešení do výchozí homogenní soustavy. Komplexní kořeny charakteristické rovnice. I když jsou koeficienty a jk reálné, mohou se mezi řešeními vyskytnout dvojice komplexně sdružených kořenů, a to i vícenásobných. Pak řešení, získaná podle předchozí teorie, jsou také komplexní. Jestliže požadujeme pouze reálná řešení, musíme z nalezených komplexních řešení sestrojit reálná řešení jako jejich vhodné lineární kombinace. Konstrukce obecného řešení. Známe-li fundamentální systém normální soustavy lineárních rovnic s konstantními koeficienty, můžeme podle výsledků předchozí kapitoly nalézt obecné řešení homogenní soustavy (jako lineární kombinaci řešení fundamentálního systému) a je-li soustava nehomogenní, také partikulární řešení nehomogenní soustavy (metodou variace konstant) a její obecné řešení (součet obecného řešení homogenní soustavy a partikulárního řešení nehomogenní soustavy). Poznámka. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic (homogenních i nehomogenních) se často řeší tak, že se převedou na jednu lineární rovnici n -tého řádu pro jednu neznámou funkci. Postupuje se při tom tak, že se z určité rovnice soustavy vyjádří určitá (neznámá) funkce pomocí ostatních funkcí (a obecně i jejich derivací) a dosadí do zbylých rovnic soustavy. Tím se sníží počet rovnic a neznámých funkcí o jednu, ovšem se současným zvýšením řádu soustavy (nejvyšší derivace) o jednu. Tento postup se opakuje, dokud nezbude pouze jedna funkce a jedna rovnice. Ta se vyřeší a zpětným postupem se naleznou i ostatní neznámé funkce.

praktická metoda řešení

60

C. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic Shrnutí kapitoly: Normální soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty je speciálním případem normální soustavy obecných lineárních diferenciálních rovnic, probírané v předchozí kapitole. Pro normální soustavu lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty existuje přesný postup nalezení fundamentálního systému. Tento postup je částečně analogický hledání fundamentálního systému pro lineární diferenciální rovnici vyššího řádu. Předpokládá se exponenciální řešení a pro neznámý exponent je zformulována charakteristická rovnice. Další kroky záleží na tom, zda má charakteristická rovnice jednoduché nebo násobné, resp. reálné nebo komplexní kořeny. Výhodné je zde použití vektorového zápisu při práci s n ticemi funkcí. Ze znalosti fundamentálního systému je nakonec možné na základě výsledků předchozí kapitoly sestavit obecné řešení výchozí soustavy rovnic. Otázky: • Jak vypadá normální soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty? Čím se liší od normální soustavy obecných lineárních diferenciálních rovnic? • Jakým postupem nalezneme fundamentální systém normální soustavy lineárních rovnic s konstantními koeficienty? Jaký tvar má chrakteristická rovnice? Jaké varianty postupu mohou nastat vzhledem k řešení charakteristické rovnice? • Jak pomocí fundamentálního systému sestrojíme obecné řešení (integrál) výchozí soustavy? Příklad. Řešte soustavu lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty

dx + y = et dt . dx dy − = 3x + y dt dt

(1)

Řešení. Jedná se o soustavu dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty pro dvě neznámé funkce x ( t ) , y ( t ) , a to díky členu et na pravé straně první rovnice soustavu nehomogenní. V dalším budeme dx dy používat zápisu derivací ≡ xɺ , ≡ yɺ , neboť i toto značení je v praxi poměrně dt dt časté, zejména tehdy, je-li nezávislá proměnná označena t . 1. Řešení převodem na normální soustavu diferenciálních rovnic. Převést soustavu (1) na normální tvar znamená vyřešit ji jako soustavu lineárních rovnic pro neznámé xɺ , yɺ . Dostaneme xɺ = − y + et  xɺ   0 −1  x   et  , maticově   =    +   . yɺ = −3 x − 2 y  yɺ   −3 −2  y   0 

C3. Normální soustava lineárních dif. rovnic s konstantními koeficienty Charakteristická rovnice soustavy má tvar

0 − λ det   −3

−1   ≡ ( −λ )( −2 − λ ) − ( −1)( −3) = 0 , −2 − λ 

což je kvadratická rovnice, jejíž kořeny jsou λ1 = 1 , λ2 = −3 . Protože se jedná o dva různé a reálné kořeny, je reálný fundamentální systém soustavy tvořen dvěma dvojicemi funkcí t  x1   k1x e   k1x  t = = e,    t      y1   k1 y e   k1 y 

−3t  x2   k2 x e   k2 x  −3t =  =  e .    −3t   y2   k2 y e   k2 y 

Hodnoty zatím neznámých konstant dostaneme postupným dosazením obou dvojic funkcí do homogenní soustavy. Po provedení prvních derivací na levé straně, vykrácení rovnic exponenciálním členem a jednoduchých úpravách obdržíme dvě soustavy lineárních rovnic

 −1 −1   k1x   −3 −3   k  = 0 ,    1y 

 3 −1   k 2 x   −3 1   k  = 0 ,   2y 

které nejsou (a nemají být) jednoznačně řešitelné. Zvolíme si výhodně k1x = k2 x = 1 a dostaneme k1 y = −1 , k2 y = 3 . Obecné řešení homogenní soustavy má tudíž tvar

 xh   x1   x2  1 t  1  −3t  C1et + C2 e −3t  .   = C1   + C2   = C1   e + C2   e =  t − 3t   −1   3  yh   y1   y2   −C1e + 3C2 e  Nyní musíme najít partikulární integrál nehomogenní soustavy. Použijeme metodu variace konstant. Předpokládáme partikulární řešení ve tvaru obdobném obecnému řešení (homogenní soustavy, kde ale veličiny C1 , C2 pokládáme za zatím neznámé funkce proměnné t : t − 3t   xp   x1   x2   C1 ( t ) e + C2 ( t ) e = C t + C t = ( ) ( )        1 2 −3t  t .  y1   y2   −C1 ( t ) e + 3C2 ( t ) e   yp 

Dosazením do nehomogenní soustavy obdržíme pro první derivace funkcí C1 , C2 soustavu lineárních rovnic

 x1  ɺ  x2   et  Cɺ et + Cɺ e−3t = et ɺ C1   + C2   =   , nebo-li 1 t 2 −3t . −Cɺ1e + 3Cɺ 2 e = 0  y1   y2   0 

61

62

C. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 3 Řešením této soustavy (např. Cramerovým pravidlem) získáme hodnoty Cɺ1 = , 4 1 Cɺ 2 = e4t , odkud 4 3 3 1 1 C1 = ∫ dt = t , C2 = ∫ e 4t dt = e4t . 4 4 4 16 Integrační konstanty při integraci volíme rovny nule (stačí nám jakékoliv řešení). Dosazením výsledku do předpokládaného tvaru partikulárního řešení po úpravě obdržíme  x p   34 t + 161  t e.  = 3 3   y p   − 4 t + 16  Obecné řešení nehomogenní soustavy je součtem obecného řešení homogenní soustavy a partikulárního řešení nehomogenní soustavy:  x   xh   x p  1 t  1  −3t  34 t + 161  t = + = C e + C + 3 e =   y  y  1  2  e 3   y  h   p   −1   3  − 4 t + 16   3t + 1 +C  1 =  4 3 163 1  et + C2   e−3t .  3  − 4 t + 16 − C1  Na závěr zavedeme novou konstantu C1 + 161 místo konstanty C1 , ale ponecháme původní označení C1 , čímž dostaneme přehlednější vyjádření t −3t   x   34 t + C1  t  1  −3t  ( 34 t + C1 ) e + C2 e = e + C e =    2    3 1  ( − 3 t + 1 − C ) et + 3C e −3t  .  y   − 4 t + 4 − C1   3 1 2 4  4 

2. Řešení převodem na diferenciální rovnici vyššího řádu. Využijeme příznivého tvaru první rovnice, ze které jednoduše vyjádříme funkci y pomocí první derivace funkce x a proměnné t takto:

y = − xɺ + et . (2) Výsledek dosadíme do druhé rovnice soustavy. Po provedení derivace na levé straně a jednoduché úpravě obdržíme nehomogenní lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty pro neznámou funkci x

ɺɺ x + 2 xɺ − 3 x = 3et . Tuto diferenciální rovnici již umíme řešit. Příslušná charakteristická rovnice má tvar λ 2 + 2λ − 3 = 0 , což je rovnice ekvivalentní charakteristické rovnici získané v první metodě. Její kořeny jsou λ1 = 1 , λ2 = −3 .

C3. Normální soustava lineárních dif. rovnic s konstantními koeficienty Obecné řešení homogenní rovnice tudíž je xh = C1et + C2 e −3t . Partikulární řešení můžeme hledat ve tvaru x p = a0tet (speciální pravá strana, kořen charakteristické rovnice 1) a snadno nalezneme 3 x p = tet . 4 Obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem 3 x = xh + x p = C1et + C2 e −3t + tet = ( 34 t + C1 ) et + C2 e −3t . 4 Dosazením výsledku do vyjádření (2) dostaneme pro druhou neznámou funkci y y = ( − 34 t + 14 − C1 ) et + 3C2 e −3t . Je zřejmé, že výsledek je stejný jako výsledek prvního postupu. Úloha C3.1. Řešte soustavu lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. xɺ + 3 x + y = 0 xɺ + x − y = et 5 xɺ − 2 yɺ + 4 x − y = e− t ; b) ; c) , x ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 1 ; a) yɺ − x + y = 0 yɺ − x + y = et xɺ + 8 x − 3 y = 5e − t

d)

ɺɺ x − 4 xɺ + 4 x − y = 0 xɺ = y ; e) . yɺ = x + 2 sinh t ɺɺ y + 4 yɺ + 4 y − 25 x = 16et

Návod.

Hyperbolický sinus a kosinus : sinh t =

1 t −t 1 e − e ) , cosh t = ( et + e − t ) . ( 2 2

Pr ů vodce studiem. Blahop ř eji! Práv ě jste dokon č il(a) pom ě rn ě náro č ný modul aplikované matematiky. Jist ě to pro Vás nebylo jednoduché, ale získané poznatky a schopnosti se Vám v praxi budou ur č it ě hodit. Nyní už jen vy ř ešte zbývající koresponden č ní úkoly a odešlete je tutorovi. Koresponden č ní úkol k č ásti C. Vytvořte si vlastní normální soustavu lineárních diferenciálních rovnic, pokud možno netriviální, a tu podrobně vyřešte. Můžete např. použít některou soustavu z úlohy C3.1., kterou si mírně upravíte.

63

65

Ŕešení úloh

ŘEŠENÍ ÚLOH A1. Základní pojmy. A1.1a) Dosazením y = Cx − C 2 a y′ = C do výchozí rovnice obdržíme Cx − C 2 = xC − C 2 , což je zjevně identita platná v celém reálném oboru a pro libovolné C . Protože řešení obsahuje právě jednu volitelnou konstantu a výchozí diferenciální rovnice je prvního řádu, musí jít nutně o její obecné řešení. A1.1b) Z podmínky y (1) = −2 plyne −2 = C ⋅1 − C 2 , nebo-li C 2 − C − 2 = 0 .

Řešením vzniklé kvadratické rovnice je C = 2 nebo C = −1 , odkud y = 2 x − 4 nebo y = − x − 1 . Vzniklá dvojznačnost je ovšem možná, neboť výchozí rovnice není ve tvaru rozřešeném vzhledem k nejvyšší derivaci. A1.1c) Ano, protože vyhovuje výchozí rovnici a její tvar neodpovídá obecnému 2

x2 x x2 x  x x2 x2 x2 řešení. ( y = , y′ = , L = , P = x −   = − = , L = P ). 4 2 4 2 2 2 4 4 A1.1d) Jedná se o soustavu přímek, jejíž obálkou je parabola.

)

A2. Diferenciální rovnice se separovanými prom ě nnými. A2.1a) y = Cx , y = −2 x ; A2.1b) xy = C , xy = −1 ; 1 x

1+

A2.1c) y = Ce , y = 2e ; A2.1d) y = Ce , y = e x

x

A2.1e) y = Ce x , y = e

A2.1f) 2 y =

x −2

; A2.1f)

1 x

;

1 1 + = C, y = − x ; x y

Cx 2 C−x − 1 ; A2.1g) y = . 2 (1 + x) 1 + Cx

66

Obyčejné diferenciální rovnice A3. Homogenní diferenciální rovnice. x

A3.1a) y − x = Ce y − x ; A3.1b) x 2 − y 2 = Cx , x 2 − y 2 = − x ; A3.1c) sin

x x y + ln x = C ; A3.1d) y = , y=− ; x C − ln x 1 + ln x

A3.1e) y = Cxe 2

−

y x

; A3.1f)

y C y = ln , = 1 − ln x . x x x

A4. Lineární diferenciální rovnice prvního ř ádu.

C − e− x C − cos 2 x 1 − cos 2 x A4.1a) y = ; A4.1a) y = , y= ; 2 2x 2 cos x 2 cos x 2

A4.1c) y = ln x +

C 1 x −1 C x −1 , y = ln x − ; A4.1d) y = + , y= ; x 2x 3 3 2x +1

A4.1e) y = x ⋅ tg x +

C 2 + 1 , y = x ⋅ tg x − +1 ; cos x 2 cos x

A4.1f) y = 2(sin x − 1) + Ce− sin x , y = 2(sin x − 1) + e1−sin x .

A5. Exaktní diferenciální rovnice. A5.1a) 4x 2 + y 2 = Cx ; A5.1b) x3e y − y = C ; A5.1c) y + xe − y = C ;

1 A5.1d) x 2 cos 2 y + y 2 = C ; A5.1e) m = cos y , x 2 sin y + cos 2 y = C ; 2 A5.1f) m =

1 , y 2 = Cx 3 + x 2 . 4 x

A6. Diferenciální rovnice prvního ř ádu neroz ř ešené vzhledem k derivaci. A6.1a) y = 1 +

(x + C)

2

, sing. y = 1 ; A6.1b) y = Cx − C 2 , sing. y =

4

A6.1c) y = Cx − 1 + C 2 , sing. x 2 + y 2 = 1 ; A6.1d) y = Cx +

(

)

x2 ; 4

1 3 2 , sing. y = x 3 ; 2 2C 2

A6.1e) y = C + x + 1 ,sing. y = 0 ; A6.1f) Cy = ( x − C ) ,sing. y = 0 , y = −4 x . 2

2

Ŕešení úloh B1. Jednoduché diferenciální rovnice vyššího ř ádu. B1.1a) y = − cos 2 x + C1 x + C2 , y = 1 − cos 2 x ; 8 C 8 B1.1b) y = x 7 + 1 x 2 + C2 x + C3 , y = x7 − x2 + 1 . 105 2 105

1 B1.2a) 2a) y = C1 sin x − x − sin 2 x + C2 ; 2 B1.2b) 2b) y = C1 x ( ln x − 1) + C2 . B3. Homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. B3.1a) 1a) y = C1e x + C2 e3 x ; B3.1b) 1b) y = ( C1 + C2 x ) e 2 x ; B3.1c) y = C1e2 x + C2 e −2 x ; B3.1d) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x ;

B3.1e) y = C1 + C2 e−4 x ; B3.1f) y = C1e x + C2 e−4 x ; B3.1g) y = C1e x + ( C2 + C3 x ) e2 x ;

(

)

B3.1f) y = C1e2 x + C2 cos 3 x + C3 sin 3 x e − x ; B3.1g) y = ( C1 + C2 x + C3 x 2 ) e − ax ; B3.1h) y = C1e + C2 e 2x

−2 x

+ C3 cos 2 x + C4 sin 2 x ;

B3.1i) y = C1e cos x + C2 e x sin x + C3e− x cos x + C4 e − x sin x . x

B4. Nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

1 B4.1a) y = C1e2 x + ( C2 − x ) e x ; B4.1b) y = C1e−2 x + C2 e−3 x + e − x + xe−2 x ; 2 B4.1c) y = C1e2 x + C2 e −2 x − 2 x3 − 3 x ; B4.1d) y = C1e x / 2 + C2 e − x / 2 − x3 ; 3x 3x   B4.1e) y = e − x / 2  C1 cos + C2 sin  − 6 cos 2 x + 8sin 2 x ; 2 2   1 B4.1f) y = C1e2 x + C2 e3 x + ( 5cos 3 x − sin 3 x ) ; 6 2x − 2x B4.1g) y = C1e + C2 e − ( x − 2 ) e− x ; B4.1h) 1h) y = C1 + C2 x + ( C3 + x ) e− x + x 3 − 3x 2 ;

x  B4.1i) 1i) y = C1e3 x +  C2 −  e −3 x + C3 cos 3 x + C4 sin 3 x ; 4  x 1    B4.1j) y =  C1 −  cos 2 x +  C2 + ln sin 2 x  sin 2 x ; 2 4     x 2 ln x x 2  B4.1k) 1k) y = ( C1 − ln x + C2 x ) e x ; B4.1l) y =  − + + C1 + C2 x  e−2 x . 2 4  

67

68

Obyčejné diferenciální rovnice C3. Normální soustava lineárních s konstantními koeficienty. C3.1a)

C3.1b)

C3.1c)

C3.1d)

C3.1e)

x = C1 + C2 e−2t + et y = C1 − C2 e −2t + et

diferenciálních

;

x = C1et + C2 e −2t + 2e− t y = 3C1et + 2C2 e−2t + 3e− t x = ( C1t + C2 ) e−2t

; x = ( −2t + 1) e−2t

, ; y = ( −C1t − C1 − C2 ) e −2 t y = ( 2t + 1) e −2 t

x = C1et + C2 e − t + t cosh t y = C1et − C2 e − t + t sinh t + cosh t

;

x = C1e3t + C2 e −3t + C3 cos t + C4 sin t − et y = C1e3t + 25C2 e −3t − 4C4 cos t + ( 4C3 + 3C4 ) sin t − et

.

rovnic

Literatura

LITERATURA 1. KALUS, R., HRIVŇÁK, D. Breviář vyšší matematiky. 1. vyd. Ostrava: Ostravská univerzita, 2001. 132 s. ISBN 80-7042-819-8. 2. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995. 3. BARTSCH, H. J. Matematické vzorce. Přel. Zd. Tichý. 3. rev. vyd. Praha: Mladá fronta, 2000.

69

71

POZNÁMKY

A J E J I C H S O U S T A V Y

Recommend Documents