a home base to excellence Mata Kuliah Kode SKS
: Kalkulus : TSP – 102 : 3 SKS
Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1
a home base to excellence • TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus
• TIK :
Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menyelesaikan pertaksamaan Mahasiswa mampu membuat grafik persamaan Mahasiswa mampu menjelaskan arti fungsi Mahasiswa mampu menentukan daerah definisi fungsi Mahasiswa mampu menggambarkan fungsi sederhana
a home base to excellence • Sub Pokok Bahasan : Sistem Bilangan Real Sistem Koordinat dan Grafik Persamaan Fungsi • Text Book : Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon S. (2007). Calculus. 9th edition. Pearson. ISBN : 9780131293311 Thomas, G.B., Ross L. Finney (1996). Calculus and Analytic Geometry. 9th edition. Addison-Wesley Publishing Company.
a home base to excellence Sistem Bilangan Real
N : , , ,……. N : Bilangan Asli
Z : Bilangan Bulat
Q : Bilangan Rasional R : Bilangan Real
Z : ….., -2, - , , , , ….. a q , a, b Z , b 0 Q: b R : Q Irasional Contoh bilangan irasional : √2, √3, 3√5, p
a home base to excellence Sistem Bilangan Real
Sifat – Sifat Bilangan Real 1. Trichotomy. Jika x dan y adalah bilangan, maka berlaku salah satu dari hubungan : x < y, x > y atau x = y 2. Transitivity. Jika x < y dan y < z, maka x < z 3. Addition. Jika x < y, maka x + z < y + z 4. Multiplication. Jika z > 0, x < y, maka xz < yz. Dan bila z < 0, x < y, maka xz > yz
a home base to excellence Pertaksamaan • Pertaksamaan a < x < b, yang berasal dari dua pertaksamaan a < x dan x < b, mendeskripsikan suatu interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, namun tidak termasuk titik akhir a dan b. Interval ini dinotasikan (a,b) • Pertaksamaan a < x < b, mendeskripsikan interval tertutup, yang dapat dinotasikan [a,b]
a home base to excellence Pertaksamaan
Menyelesaikan suatu pertaksamaan artinya mencari suatu Himpunan Penyelesaian yang berisi bilangan-bilangan yang memenuhi pertaksamaan tersebut
a home base to excellence Pertaksamaan Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan • 2x – 7 < 4x – 2 • − < 2x + 6 < 4 • x2 – x < 6 • 3x2 – x – 2 > 0 x 1 • 0 < x2 • (x+1)(x – 1)2(x-3) < 0
a home base to excellence Pertaksamaan Nilai absolut dinotasikan dengan │x│, didefinisikan sebagai : │x│ = x jika x > 0 │x│ = - x jika x < 0 Sifat – sifat nilai absolut : 1. │ab│= │a│ │b│ 2. │a+b│< │a│+│b│ 3. │a-b│> ││a│-│b││ 4. │a/b│ = │a│/│b│ 5. │x│< a ↔ -a < x < a 6. │x│> a ↔ x < - a atau x > a
a home base to excellence Pertaksamaan Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan 1. │x - │ < 2. │ x - │> 1 3. Untuk e (epsilon) bilangan positif, tunjukkan bahwa : │x- │< e/ ↔ │ x-
│< e
4. Misalkan e adalah bilangan positif. Temukan sebuah bilangan positif d sehingga : │x- │
a home base to excellence Sistem Koordinat Persegi Panjang • Sistem koordinat persegi panjang terdiri dari dua sumbu, yaitu sumbu horizontal x, dan sumbu vertikal y, yang berpotongan di suatu titik asal O. • Sumbu x dan y membagi bidang menjadi 4 kuadran (I, II, III dan IV) • Tiap titik P dalam sistem koordinat dapat dinyatakan sebagai sepasang angka (a,b) yang disebut dengan koordinat Cartesian
a home base to excellence Sistem Koordinat Persegi Panjang • Jarak antara titik P(x1,y1) dan titik Q (x2,y2) dapat dihitung dengan formula jarak : d ( P, Q )
x2 x1 2 y2 y1 2
Hitung jarak antara titik P dan Q berikut ini : • P(-2,3) dan Q(4,-1) • P(√2,√3) dan Q(p,p)
a home base to excellence Sistem Koordinat Persegi Panjang • Sekumpulan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama terhadap suatu titik tetap, dinamakan dengan lingkaran. • Secara umum persamaan lingkaran yang berpusat di (h,k) dan memiliki radius r, dapat dinyatakan dalam bentuk :
x h 2 y k 2 r 2 • Tuliskan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-5) dan memiliki radius 5 • Tunjukkan bahwa persamaan berikut adalah persamaan lingkaran, dan tentukan koordinat pusat dan radiusnya x2 – 2x + y2 + 6y = -6
a home base to excellence Sistem Koordinat Persegi Panjang • Titik tengah antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dapat dicari menggunakan formula titik tengah : x1 x2 y1 y2 , 2 2 • Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik (1,3) dan (7,11)
• Garis lurus melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), memiliki kemiringan/slope, m yang besarnya : m
y2 y1 x2 x1
a home base to excellence Sistem Koordinat Persegi Panjang • Garis lurus yang melalui (x1,y1) dan memiliki slope m, dapat dituliskan persamaannya menjadi : y y1 m x x1
• Bentuk lain persamaan garis : xk
y mx b
yk
Ax By C 0
• Dua buah garis memiliki kemiringan m1 dan m2, maka dua buah garis tersebut akan : • Sejajar, apabila m1 = m2 • Tegak lurus bila m1.m2 = -1
a home base to excellence Sistem Koordinat Persegi Panjang • Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1) • Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan sejajar dengan garis 3x – 5y = 11 • Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong antara 3x+4y = 8 dan 6x – 10y = 7, dan tegak lurus garis yang pertama Problem Set 0.3
a home base to excellence Grafik Persamaan • Grafik dari sebuah persamaan dalam x dan y, terdiri dari titik-titik dalam bidang yang koordinatnya (x,y) memenuhi persamaan tersebut • Langkah dalam mebuat grafik persamaan : • Temukan beberapa titik yang memenuhi persamaan • Plot titik-titik tersebut dalam sistem koordinat • Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan suatu kurva mulus • Gambarkan grafik dari y = x2 – 3 • Gambarkan grafik dari y = x3
a home base to excellence Grafik Persamaan • Titik di mana grafik persamaan memotong kedua sumbu koordinat, memiliki beberapa peranan penting • Sebagai contoh, persamaan y = x3-2x2-5x+6 =(x+2)(x-1)(x-3) • Nilai y akan sama dengan nol pada saat x = -2,1,3. Titik (-2,0), (1,0) dan (3,0) dikatakan sebagai titik potong grafik dengan sumbu x. • Dengan cara sama, y = 6 ketika x = 0, maka titik (0,6) merupakan titik potong grafik dengan sumbu y. • Tentukan semua titik potong grafik y2 – x + y – 6 = 0 • Tentukan titik potong garis y= -2x+2 dengan parabola y=2x2-4x-2, gambarkan sketsa grafiknya.
a home base to excellence Grafik Persamaan
Problem Set 0.4
a home base to excellence Fungsi dan Grafiknya • Sebuah fungsi f adalah sebuah aturan korespondensi yang menghubungkan tiap obyek x dari suatu himpunan (yang disebut domain) dengan suatu nilai f(x) dari himpunan lain (yang disebut dengan range)
a home base to excellence Fungsi dan Grafiknya • Huruf tunggal seperti f (atau g atau F) digunakan untuk menamai suatu fungsi. • Dan biasa dinotasikan menjadi f(x) atau g(x) atau F(x) • Contoh : jika f(x) = x2 – 2x, maka tentukan : • f(4) • f(4+h) • f(4+h) – f(4) • [f(4+h) – f(4)]/h
a home base to excellence Fungsi dan Grafiknya • Untuk menentukan suatu fungsi secara lengkap, maka harus ditentukan domain dari fungsi tersebut. • Sebagai contoh jika F adalah fungsi yang didefinisikan oleh F(x) = x2 + 4, dengan domain {-1,0,1,2,3}, maka range fungsinya {1,2,5,10}. • Jika domain tidak disertakan, maka dianggap bahwa domain fungsi merupakan himpunan terbesar dari bilangan real yang membuat fungsi tersebut menjadi benar. Domain demikian dinamakan domain asli (natural domain) • Bilangan yang mengakibatkan fungsi memiliki penyebut = 0 atau akar negatif, harus dikeluarkan dari domain.
a home base to excellence Fungsi dan Grafiknya • Tentukan domain asli dari fungsi berikut : • f(x) = 1/(x-3) • g(t) = (9 – t2)1/2 • h(w) = (9 – w2) –½ • Misalkan V(x,d) menunjukkan volume batang silinder dengan panjang x dan diameter d, tentukan : • Formula untuk V(x,d) • Domain dan range dari V • V(4, 0.1)
a home base to excellence Fungsi dan Grafiknya • Bila domain dan range suatu fungsi merupakan himpunan bilangan real, maka fungsi dapat digambarkan grafiknya pada sistem koordinat. • Grafik fungsi f, secara sederhana merupakan grafik dari persamaan y = f(x) Buat sket grafik fungsi berikut : • f(x) = x2 – 2 • g(x) = 2/(x – 1)
a home base to excellence Fungsi dan Grafiknya • Apabila f(-x) = f(x), fungsi tersebut dinamakan fungsi genap • Jika f(-x) = - f(x), fungsi tersebut dinamakan fungsi ganjil Periksa apakah fungsi berikut merupakan fungsi ganjil atau genap : x 3 3x f x 4 x 3x 2 4
a home base to excellence Fungsi dan Grafiknya • Fungsi nilai absolut
x, jika, x 0 x x, jika, x 0
• Fungsi bilangan bulat terbesar (fungsi tangga) ‖x‖ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
Contoh : │-3,1│=3,1 ‖-3,1‖ = - 4 ‖3,1‖ = 3
Problem Set 0.5
a home base to excellence Operasi Fungsi • Misalkan fungsi f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut : f(x) = (x-3)/2 g(x) = √x • Maka :
a home base to excellence Operasi Fungsi • Komposisi fungsi : (g ◦ f)(x) = g(f(x)) • Misalkan fungsi f(x) dan g(x) adalah sebagai berikut : f(x) = (x-3)/2 g(x) = √x • Maka : x 3 g f ( x) g f x g 2
f g x f g x Problem Set 0.6
f
x
x 3 2
x 3 2
a home base to excellence Fungsi Trigonometri
Sebuah fungsi f dikatakan periodik bila ada suatu bilang positif p, sedemikian hingga : f(x + p) = f(x) Untuk semua bilangan real x dalam domain f. Bilangan positif terkecil, p disebut sebagai periode fungsi. Fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2p. 180o = p radians ≈ ,
9 7 radians
a home base to excellence Fungsi Trigonometri
a home base to excellence Fungsi Trigonometri
