VEKTOR ANALISIS
1.1. Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada sebuah jumlah yang nilai dapat diwakili oleh satu ( positif atau negatif ) nomor asli. x, y, dan z yang kami gunakan dalam dasar aljabar adalah scalars, dan jumlah yang mereka mewakili adalah scalars. Jika kita berbicara tentang tubuh jatuh jauh L pada masa, atau suhu T di titik tertentu dalam semangkuk sup yang koordinat yang x, y, dan z, kemudian L, t, T, x, y, dan z semua scalars. Lainnya scalar jumlah yang massa, pemadatan, tekanan ( tapi tidak memaksa ), volume volume serta tahanan, dan tegangan listrik. Sebuah vektor kuantitas telah berdua magnitude1 dan sebuah arah di ruang angkasa. Kami prihatin dengan dua dan tiga dimensi ruang saja, tetapi vektor dapat ditentukan di lainnya di ruang yang lebih maju aplikasi. Paksa, kecepatan, tingkat kecepatan, dan garis lurus dari positif untuk negatif terminal dari sebuah aki contoh dari perantara. Se tiap jumlah adalah ditandai oleh kedua kekuatan magnitudo dan arah.
1.2. Aljabar Vektor Dengan definisi vektor dan pandu kebun itu mapan, kita bisa melanjutkan menentukan aturan vektor aritmatika, vektor aljabar, dan ( kemudian ) kalkulus vektor. Beberapa aturanaturan akan serupa dengan yang dari scalar aljabar, beberapa akan berbeda sedikit, dan beberapa akan sepenuhnya baru. Untuk memulai, penambahan vektor mengikuti genjang hukum. Cari 1, 1 menunjukkan jumlah dari dua vektor, A dan B. Ini adalah mudah melihat bahwa A+B = B+A, atau vektor itu Se lain itu yang commutative. Vector tambahan juga mendengarnya associative,
A+(B+C)=(A+B)+C Perlu dicatat bahwa ketika sebuah panah diambil sebagai panah dari terbatas panjangnya, lokasinya adalah ditentukan untuk berada di ujung panah. Coplanar vektor adalah vektor berbaring di yang sama, seperti yang ditunjukkan di Cari 1, 1. Ke dua kebohongan dalam bidang kertas dan mungkin diubah oleh mengekspresikan setiap vektor dalam hal " mendatar " dan " vertikal " komponen dan kemudian menambahkan Nilai komponen. Vektor dalam tiga dimensi mungkin juga diubah oleh mengungkapkan arah dalam hal ketiga komponennya dan cocok komponen. Contoh proses tambahan akan diberikan setelah vektor komponen yang dibahas dalam Bagian 1, 4. A
A+B B
Gambar 1,1 dua vektor mungkin menambahkan grafis baik dengan menarik berdua vektor dari asal mula yang sama dan dituntaskan genjang atau oleh awal kedua vektor dari pemimpin pertama dan kembali segitiga, baik metode ini mudah untuk tiga atau lebih vektor.
Peraturan itu untuk pengurangan vektor mengikuti dengan mudah dari itu untuk lain itu, untuk kita selalu mungkin mengungkapkan A−B sebagai A + ( − B ), tandanya, atau arah, kedua vektor terbalik, dan perantara ini adalah kemudian ditambahkan pada pertama oleh peraturan untuk vektor tambahan. Vektor mungkin dikalikan dengan scalars. Besarnya dari arah perubahan, tapi arah tidak saat scalar adalah positif, meskipun itu membalik arah ketika dikalikan dengan yang negatif scalar. Daftar dari panah oleh scalar juga mendengarnya associative dan distributif hukum aljabar.
(r + s)(A + B) = r (A + B) + s(A + B) = rA + rB + sA + sB 1.3. Sistem Koordinat Persegi Untuk menggambarkan sebuah panah secara akurat, beberapa spesifik keras, arah, sudut, proyeksi atau komponen harus diberi. Ada tiga sederhana cara melakukan ini, dan sekitar delapan atau sepuluh metode lain yang berguna di sangat istimewa. Kami akan untuk hanya menggunakan tiga sederhana, dan sederhana ini adalah panjang, atau panjang cartesian, koordinasi sistem. Dalam panjang mengatur sistem kami membangun tiga berkoordinasi kapak gonta-ganti di benar sudut satu sama lain, dan menyebut mereka sebagai x, y, dan z kapak. Ini adalah adat untuk memilih seorang kidal mengatur sistem, di mana putaran ( melalui yang lebih kecil sudut ) x poros ke dalam y sumbu akan menyebabkan sebuah kanan sekrup dengan kemajuan yang dicapai dalam arah dari Z. Jika tangan kanan dipakai, maka jempol, jari telunjuk, dan jari tengah dapat diidentifikasi, masing-masing, sebagai x, y, dan z kapak.
1.4. Komponen – Komponen Vektor dan Vektor Satuan Untuk menggambarkan sebuah panah di monitor mengatur sistem, biarkan kami anggap sebagai vektor 9 memperluas ke luar dari asal. Secara logis untuk mengidentifikasi perantara ini adalah dengan memberi tiga komponen vektor, berbohong sepanjang tiga berkoordinasi kapak, yang vektor jumlah pasti yang diberikan panah. Jika komponen perantara penyebaran arah 9 adalah x, y, dan z. kemudian r = x+y+z. komponen vektor yang ditampilkan di Figure 1.3a. Daripada satu penunjuk, kita sekarang memiliki tiga, tapi ini adalah langkah maju karena tiga vektor adalah yang sangat sederhana alam ; setiap selalu diarahkan sepanjang mengatur sumbu. Sebuah komponen vektor memiliki magnitudes yang bergantung pada yang diberikan vektor ( seperti sebagai R ), tapi mereka masing-masing memiliki yang dikenal dan arah. Hal ini menunjukkan penggunaan unit vektor memiliki unit besarnya secara definisi ; ini adalah paralel untuk mengatur sumbu dan mereka menunjuk ke arah meningkatkan koordinasi values.We cadangan simbol terhadap sebuah unit koordinat dan mengenalinya arah dengan yang tepat subscript. Maka kapak, ay, dan az adalah unit vektor di monitor mengatur system.3 Mereka diarahkan sepanjang sumbu x, y, dan z kapak, masing-masing.
1.5. Medan Vektor Jika kita memeriksa kecepatan dari air di lautan dalam beberapa daerah dekat permukaan di mana pasang surut dan arus yang penting, kita dapat memutuskan untuk menunjukkannya oleh kecepatan yang vektor itu ke arah manapun, bahkan atas dan ke bawah. Jika z sumbu dan menjadi menconet, x sumbu di utara, y poros ke barat, dan asal-mula di permukaan, kita punya tangan yang mengatur sistem dan itu kecepatan vektor sebagai v = vxax + vyay + vzaz, atau v ( r ) = vx ( r ) kapak + vy ( r ) ay + vz ( r ) az , masing-masing komponen vx, vy, dan vz mungkin merupakan suatu fungsi dari tiga variabel x, y, dan z. Jika kita berada di sebagian dari Teluk Stream di mana air bergerak di ke utara, lalu vy dan vz yang nol. Lebih lanjut menyederhanakan banyak asumsi bisa dibuat jika kecepatan jatuh dengan kedalaman dan perubahan sangat lambat saat kami bergerak ke utara, selatan, timur, atau barat. Sebuah cocok ekspresi bisa v = 2ez/100ax. Kita punya kecepatan dari 2 m/s ( meter per detik di permukaan dan kecepatan dari 0.368 x 2, atau 0.736 m/s, di kedalaman 100 m ( z = − 100 ). kecepatan terus menurun dengan kedalaman, sementara mempertahankan konstan arah.
1.6. Hasil Kali Titik Kita sekarang memikirkan pertama dari dua jenis vektor pengalian. Ke dua tipe akan dibahas berikut. Mengingat dua vektor A dan B, titik produk, atau scalar produk, didefinisikan sebagai produk dari besarnya A, besarnya B, dan kosinus turnamen yang lebih kecil sudut di antara mereka, A· B = |A| |B| cos θAB ... (3) Titiknya muncul antara dua vektor dan harus dibuat berat untuk penekanan. Titiknya, atau skalar, produk adalah scalar, sebagai salah satu nama berarti, dan mematuhinya komutatif, A· B = B ·A ... (4) untuk tanda dari sudut tidak mempengaruhi kosinus. Ekspresi A · B adalah dibaca " A titik B ". Mungkin yang paling umum penerapan dalam titik adalah dalam mekanika, di mana konstan kekuatan F melamar di lurus dan beratnya L tidak banyak pekerjaan FL karena θ, yang lebih mudah menulis F · L. Kita mungkin mengantisipasi satu hasil dari Bab 4 dengan menunjukkan bahwa jika gaya bervariasi di sepanjang jalan setapak, integrasi diperlukan untuk menemukan total. Dan hasilnya menjadi
W = ∫ F . dL
1.7. Hasil Kali Silang Mengingat dua vektor A dan B, kita sekarang menjelaskan salib produk, atau vektor produk, A dan B, ditulis dengan salib antara dua vektor sebagai Sebuah öÉ B dan membaca " A salib B ". Salib produk Sebuah öÉ B adalah sebuah panah, seberapa A öÉ B adalah dengan produk dari magnitudes A, B, dan sin dari yang lebih kecil sudut antara A dan B. arah ofA×B adalah tegak lurus satu pesawat containingAand B dan sepanjang satu dari dua kemungkinan perpendiculars di mana arah dari kemajuan yang kanan sekrup seperti yang diubah menjadi B. Ini hanya digambarkan pada Gambar 1, 5. Ingat bahwa juga vektor mungkin pindah di akan, menjaga arahnya konstan, sampai 2 vektor punya " umum. " Hal ini menentukan pesawat yang berisi berdua. Namun, dalam sebagian besar aplikasi kita akan khawatir dengan vektor didefinisikan di yang sama. Seperti sebuah persamaan kita dapat menulis A × B = aN |A| |B| sin θAB
1.8. Sistem Koordinat Silinder – Lingkaran Sebuah panjang mengatur sistem itu pada umumnya salah satu di mana murid lebih suka bekerja setiap masalah. Ini sering berarti banyak lebih banyak pekerjaan, karena banyak masalah yang memiliki jenis simetri yang memohon untuk yang lebih masuk akal. Ini lebih mudah untuk lakukan sekarang, sekali dan untuk semua, pekerjaan yang diperlukan untuk menjadi akrab dengan berumbung dan yang bulat sejenis koordinat, bukannya menerapkan yang sama atau lebih untuk setiap masalah melibatkan berumbung atau bulat simetri nanti. Dengan ini, kita akan mengambil suatu hati-hati dan unhurried melihat berumbung dan bulat koordinat. Kita tidak lagi tiga kapaknya panjang sejenis koordinat, tapi kita harus
bukan mempertimbangkan setiap titik sebagai persimpangan dari tiga saling tegak lurus permukaan. Ini permukaan yang yang bundar silinder ( ρ = konstan ), pesawat ( φ = konstan ), dan pesawat lain ( z = konstan ). Ini berhubungan dengan lokasi yang titik di sebuah panjang mengatur sistem persimpangan dari tiga pesawat ( x = konstan, y = konstan, dan z = konstan ). tiga permukaan melingkar berumbung Koordinat ditampilkan di Figure 1.6a. Perlu dicatat bahwa tiga seperti permukaan mungkin melewati titik tertentu, kecuali ini z sumbu di mana satu pesawat.
1.9. Sistem Koordinat Bola Kita tidak punya 2 dimensi mengatur sistem untuk membantu kita memahami threedimensional berbentuk lingkaran mengatur sistem, seperti yang kita miliki untuk melingkar berumbung mengkoordinir sistem. Di beberapa hal kita dapat menarik pada pengetahuan latitudeand bujur sistem untuk menemukan tempat di permukaan bumi, tapi biasanya kami mempertimbangkan hanya poin di permukaan dan bukan mereka di bawah atau atas tanah. Saat kami berkoordinasi adalah sudut θ antara z sumbu dan garis yang ditarik dari sumber pada saat pertanyaan. Permukaan θ = konstan adalah sebuah kerucut, dan dua permukaan, cone dan bola, ada dimana-mana tegak lurusnya persimpangan, yang merupakan lingkaran radius 9 dosa θ. mengatur θ sesuai dengan ketinggian,
