Halmazelmélet Konjunkció: (és) ⋅,∧,∩ (csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz) Diszjunkció: (vagy) állítás hamis)
+,∨,∪
(csak akkor hamis, ha mindkét
Implikáció: A⇒B (akkor és csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis) Ekvivalencia: A⇔B (akkor és csak akkor igaz, ha A=B) alapazonosságok: A + B = B + A A ⋅B = B ⋅A (A + B ) + C = A + (B + C ) (A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) A ⋅ (B + C ) = (A ⋅ B ) + (A ⋅ C ) A + (B ⋅ C ) = (A + B ) ⋅ (A + C ) A + A = A,
A ⋅A = A
A + 1 = A, A ⋅0 = 0 A + 0 = A , A ⋅1 = A A + A = 1, A ⋅ A = 0 (1 = H a la p h a lm a z ) A ⋅ B = A + B D e m o r g a n s z a b á ly A + B = A ⋅B A + (A ⋅ B ) = A
B e o lv a s z tá s i s z a b á ly
A ⋅ (A + B ) = A A - B = A ⋅B A ⇒ B = A + B A ⇔ B = A ⋅B + A ⋅B p rio ritá s : + z á r ó je le k 3 . ö sszead ás 4 . tö b b ie k á tír á s : ∩ → ⋅ ; ∪ → + ; \ → - ; H → 1 ; 0 → 0
1 . n e g á lá s
2 . sz o rz á s
A = A , 1 = 0, 0 = 1 A + B + C = A ⋅B ⋅C A ⋅B ⋅C = A + B + C
1
Sorozatok Ha a számláló fokszáma nagyobb vagy egyenlı a nevezı fokszámával érdemes POLINOMOSZTÁST végezni!!!! 1. Határérték meghatározása polinom/polinom típusú feladatoknál szabály: a nevezı legmagasabb fokú tagjával osztom a számlálót és a nevezıt. Polinom legnagyobb kitevıje a fokszám, jelölése: r(p(n))
p( n ) p( g ) 1. r(p)=r(g) → a fı együtthatók hányadosa 2. r(p)>r(g) → ±∞ 3. r(p)
0 ill. ha >1 monoton nı, ha n+1 n an
an+1 a − a < 0 ill ha <1 monoton csökken, ha n+1 n an
A monotonitás tagadásához egyetlen ellenpélda elegendı, így az elméleti bizonyítást nem kötelezı elvégezni! 3. korlátosság vizsgálata 2
4. küszöbszám meghatározása
| a n − A| < ε n0 = [n ] , a választott számnak mindig az egészrészét veszem ha másodfokú egyenlet jön ki, akkor a nagyobbik gyököt kell n-nek választani.
q n típusú sorozatoknál határértéke: divergens, ha q ≤ -1 n (-1) divergens, q = -1 lim q n = 0, ha - 1 < q < 1 n ha q = 1 1 → 1, + ∞, ha q > 1 n
a lim1+ = ea n Speciális sorozatok: Monotonitást tönkreteszik, a határértéket nem biztos
π ( −1) = cos( nπ ) = sin + nπ 2 n
korlátosak!
3
Esetszétválasztást érdemes csinálni és mind a kettı lim-ét megnézni, ha ezek egyenlık akkor van határérték, ha nem akkor a sorozat divergens (2 torlódási pontja van). Mértani sorozat összegképlete
qn − 1 S n = a1 ⋅ q −1 Sorok A végtelen sor konvergens, ha a részletösszegekbıl képzett sorozat konvergens; ekkor a sor összege megegyezik a sorozat határértékével. A végtelen mértani sor pontosan akkor konvergens, ha |q|<1
1 lim sn = a1 ⋅ 1− q Függvények határértéke folytonosság Adott pontban a folytonosság feltétele, hogy az adott pontban a függvény helyettesítési értéke egyenlı legyen az adott pontban a függvény határértékével. · végtelenben ugyanúgy csinálom mint a sorozatoknál · mínusz végtelenben lényegében ugyanazt · végesben új módszerek (szorzat alak)
4
pólushelyeken kell a jobb és baloldali határértéket is vizsgálni (A pólushelyének a nevezınek zérushelye) Abszolútértékes függvényeknél esetszétválasztást kell csinálni, és az adott pontoknál a függvény megfelelı ágát használni. Az esetszétválasztás határánál jobbról és balról is meg kell vizsgálni a határértéket itt is a megfelelı ág használatával. sin x lim =1 0 x
sin 2 x = 2 sin x cos x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x sin( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y ex − 1 lim =1 0 x Áttérés trükk
sin( x + 1) sin t = lim =1 x →−1 t → 0 x +1 t lim
t = x +1 x = t −1 x → −1 t→0 lim x →1
t ln x = lim t =1 t → 0 x −1 e −1 5
t = ln x x = et x →1 t→0 Gyöktelenítéses trükk Taylor sor, Taylor polinom ∞
f ( i ) (a ) f (x) = ∑ ( x − a )i = f ( a ) + f ′ ( a ) ⋅ ( x − a ) + i! i =0 f ′′′( a ) f ′′( a ) 2 (x − a) + ( x − a )3... 2! 3!
McLaurin polinom, ha a=0 McLaurin sorok: 2 k x x x ex = 1 + + +...+ +... 1! 2! k! 2 k −1 x x3 x5 x7 x sin x = − + − +...+( −1) k +1 +... 1! 3! 5! 7! ( 2k − 1)! 2k x2 x4 x6 x cos x = 1 − + − +...+( −1) k +... 2! 4! 6! ( 2 k )!
k x2 x3 x4 x ln(1 + x ) = x − + − +...+( −1) k +1 +... 2 3 4 k
6
Függvényvizsgálat 1. értelmezési tartomány Df 2. zérushely f(x)=0, törtfüggvénynél, ha a számláló=0 3. f ’(x), f ’(x)=0 lok. sz. é. + monotonitás 4. f ”(x), f ”(x)=0 inflexiós pont + konvex, konkáv 5. Határértékek az értelmezési tartomány szélein 6. Táblázat (deriváltak zérushelyei + póluspontok) 7. Ábra és értékkészlet (Rf) 8. paritás
Páros függvény: f(x)=f(-x) (szimmetrikus az y tengelyre) Páratlan függvény: -f(x)=f(-x) (szimmetrikus az origóra) ln x-nél kikötés x>0
Szélsıérték f ’(a)=0, lehetséges szélsıértékhely f ′′( a ) < 0 lokális max f ′′( a ) = 0 további vizsgálat szükséges f ′′( a ) > 0 lokális min
Többváltozós függvények szélsıértéke
f x' ( a , b ) = 0
f y' ( a, b) = 0
egyenletrendszer megoldása, ha nincs megoldás nincs lok. sz.é. ha van megoldás P1(x1,y1), P2(x2,y2)... D( a , b ) = f "xx ( a , b ) f yy′′ ( a , b ) − [ f "xy ( a , b )]2 7
ha D(a,b)>0 szélsıértéke van (a,b)-ben ha D(a,b)<0 nyeregpontja van (a,b)-ben ha D(a,b)=0 további vizsgálat szükséges
f "xx ( a , b ) < 0 lokális maximum
f "yy (a, b) > 0 lokális minimum Differenciálszámítás Érintı egyenlete az (a,f(a)) pontban ha f ’(a) létezik
e( x ) = f ′( a )( x − a ) + f ( a ) Differencia hányados
f ( x ) − f (a ) da ( x ) = ( x ∈ D f ) \ {a} x −1 Differenciál hányados: f ( x ) − f (a ) f '( a ) = lim d a ( x ) = lim a a x −1
f '( a ) = lim 0
f (a + h) − f (a ) h
Differenciálási szabályok
( cf )' = cf ' ( f + g )' = f '+ g ' ( fg )' = f ' g + fg '
©
1 g© = − 2 (0 ∉ g ( Dg)), g g ©
f f © g − fg© = (0 ∉ g ( Dg)). 2 g g ( fgh)© = f © gh + fg© h + fgh© 8
a 3 − b 3 = ( a − b )( a 2 + ab + b 2 )
f ( x)
f '( x )
c, c ∈ R x xn, n ∈ N n
n
0 1 +
x, n∈ N + x , n ∈ N + Žs p‡ ratlan
1 ,n∈ N+ n x q
x p p, q ∈ N +
nx n −1 1 n n x n −1 1 n n x n −1 n − n +1 x p q p−q x q
xα , α ∈ R sin x
α x α −1
cos x
− sin x 1 cos 2 x 1 − sin 2 x ex
tgx ctgx ex ax,a ∈ R ln x log a x , a ∈ R + \ {1}
cos x
a x ln a 1 x 1 x ln a
9
Integrálszámítás Elemi függvények határozatlan integráljai x α +1 1. ∫ x dx = + C, α ≠ −1, α ∈ R, α +1 1 2. ∫ dx = ln x + C, x α
3. ∫ sin xdx = − cos x + C, 4. ∫ cos xdx = sin x + C, 1 dx = − ctg x + C, sin 2 x 1 6. ∫ dx = tg x + C, cos2 x
5. ∫
7. ∫ e x dx = e x + C, ax 8. ∫ a dx = + C, a > 0,a ≠ 1. ln a x
9. ∫ lnx = x ⋅ lnx - x
Integrálási szabályok
∫ cf = c ∫ f ∫ ( f + g) = ∫ f + ∫ g 1 F ( ax + b) + C, ∫ a ax + b ∈ I , a és b állandó, a ≠ 0 f ( ax + b)dx =
∫ ∫
f α +1 f f '= + C, α ≠ −1 α +1 f' = ln f + C f α
10
parciális integrálás
∫ fg' =
fg − ∫ f ' g
alapesetek: 1) polinom*trig, polinom*exp (pol - g(x), trig v. exp. f ’(x)) 2) polinom*log (pol - f ’(x), log g(x)) helyettesítéssel való integrálás módszere
∫ f ( g( x )) g'( x )dx = F ( g( x )) + C ∫ ( f o g )g' = F o g + C határozott integrál tulajdonságai b
∫ cf
b
= c∫ f
a
a
b
b
b
∫ ( f + g) = ∫ f + ∫ g a
a
a
Térfogatszámítás b
V = ∫ q( x )dx. a
x tengely körüli forgatással keletkezett testeknél b
V = π ∫ f 2 ( x )dx. a
11
