Reálná čísla
Definice 1 Nekoneˇcn´ym desetinn´ym rozvojem ˇc´ısla a naz´yv´ ame v´yraz a = a0 .a1 a2 a3 . . . . kde a0 je cel´e ˇc´ıslo a kaˇzd´e ai , i = 1, 2, . . . je jedna z ˇc´ıslic 0, . . . , 9. Pokud existuje m ∈ N takov´e, ˇze an = 0 pro m > n, pak se desetinn´y rozvoj naz´yv´ a koneˇcn´y. Pokud se od nˇejak´eho indexu ˇcleny nebo skupiny ˇclen˚ u opakuj´ı, pak je desetinn´y rozvoj periodick´y.
ˇ ıslo je racion´ Vˇ eta 1 C´ aln´ı pr´ avˇe kdyˇz m´ a koneˇcn´y nebo periodick´y desetinn´y rozvoj. ˇ ısla s nekoneˇcn´ym a neperiodick´ym rozvojem se naz´yvaj´ı iracion´ Definice 1 C´ aln´ı ˇc´ısla. Radion´ aln´ı a iracion´ aln´ı ˇc´ısla tvoˇr´ı mnoˇzinu re´ aln´ych ˇc´ısel R.
Definice 1 Necht’ x = a0 .a1 a2 a3 . . . je kladn´e re´ aln´e ˇc´ıslo. Racion´ aln´ı ˇc´ıslo xn = a0 .a1 . . . an se naz´yv´ a doln´ı aproximace ˇc´ısla x. Racion´ aln´ı ˇc´ıslo xn = a0 .a1 . . . an se naz´yv´ a horn´ı aproximace ˇc´ısla x.
Definice 1 Kladn´e re´ aln´e ˇc´ıslo x = a0 .a1 a2 a3 . . . je vˇetˇs´ı neˇz kladn´e re´ aln´e ˇc´ıslo y = b0 .b1 b2 b3 . . . (x > y) pokud existuje index n ∈ N takov´y, ˇze xn > yn . Pokud neplat´ı ani jedna z nerovnost´ı x > y a y > x, pak jsou si obˇe ˇc´ısla navz´ ajem rovna (x = y).
Číselné množiny
Definice 1 (Omezen´ a mnoˇ zina) Necht’ A ⊂ R. Pokud existuje ˇc´ıslo c takov´e, ˇze pro kaˇzd´e ˇc´ıslo x ∈ A plat´ı, ˇze x ≤ c (x ≥ c,) pak mnoˇzinu A naz´yv´ ame shora (zdola) omezenou a ˇc´ıslo c naz´yv´ ame horn´ı (doln´ı) z´ avorou (event. odhadem, omezen´ım). Mnoˇzina se naz´yv´ a omezen´ a, pokud je omezen´ a shora i zdola. Definice 1 (Minimum, maximum) Necht’ A ⊂ R. Pokud existuje ˇc´ıslo a ∈ A takov´e, ˇze pro kaˇzd´e ˇc´ıslo x ∈ A plat´ı, ˇze x ≤ a (x ≥ a,) pak a se naz´yv´ a maximum (minimum) mnoˇziny A. Znaˇc´ıme a = max A (a = min A)
Definice 1 (Supremum a infimum) Necht’ A 6= ∅ podmoˇzina re´ aln´ych ˇc´ısel. Supremum mnoˇziny A je ˇc´ıslo, kter´e znaˇc´ıme jako sup A a kter´e splˇ nuje (1) pro kaˇzd´y prvek x ∈ A plat´ı x ≤ sup A (2) ˇz´ adn´e ˇc´ıslo x ∈ R splˇ nuj´ıc´ı x < sup A nen´ı horn´ı z´ avorou mnoˇziny A. nuje Infimum mnoˇziny A je ˇc´ıslo, kter´e znaˇc´ıme jako inf A a kter´e splˇ (1) pro kaˇzd´y prvek x ∈ A plat´ı x ≥ inf A (2) ˇz´ adn´e ˇc´ıslo x ∈ R splˇ nuj´ıc´ı x > inf A nen´ı doln´ı z´ avorou mnoˇziny A.
Vˇ eta 1 (Vˇ eta o supremu (infimu)) Necht’ E ⊂ R, E 6= ∅. Je-li mnoˇzina E shora (zdola) omezen´ a, pak existuje sup E (inf E).
Pˇ r´ıklad 1 Necht’ A = {r ∈ Q|r 2 < 2, r > 0}, B = {r ∈ Q|r2 > 2, r > 0}. Mnoˇzina A nem´ a supremum v mnoˇzinˇe racion´ aln´ıch ˇc´ısel a mnoˇzina B nem´ a infimum v mnoˇzinˇe racion´ aln´ıch ˇc´ısel.
Pˇ r´ıklad 1 Necht’ E = {(1 + n1 )n |n ∈ N }. Pak je mnoˇzina E shora omezan´ aa existuje tedy i jej´ı supremum, kter´e oznaˇc´ıme jako e a naz´yv´ ame jej Eulerovo konstantou.
Vˇ eta 1 (Bernoulliova nerovnost) 1 + n² pro kaˇzd´e n ∈ N .
1. Je-li ² > −1 pak plat´ı: (1 + ²)n ≥
2. Je-li ² < 1 pak plat´ı: (1 − ²)n ≥ 1 − n² pro kaˇzd´e n ∈ N .
Vˇ eta 1 (Existence odmocniny) Pro kaˇzd´e re´ aln´e ˇc´ıslo x ≥ 0 a kaˇzd´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo n existuje pr´ avˇe jedno kladn´e ˇc´ıslo y takov´e, ˇze Plat´ı y n = x. Znaˇc´ıme y =
√ n x.
Zobrazení
Definice 1 Necht’ X a Y jsou nepr´ azdn´e mnoˇziny a D ⊂ X. Jestliˇze ke kaˇzd´emu x ∈ D je pˇriˇrazen pr´ avˇe jeden prvek y ∈ Y pomoc´ı pˇredpisu f , pak takov´e pˇriˇrazen´ı naz´yv´ ame zobrazen´ı mnoˇziny D do mnoˇziny Y , nebo zobrazen´ı z mnoˇziny X do mnoˇziny Y a zapisujeme jako f : D 7→ Y , nebo f : X 7→ Y , nebo y = f (x). Mnoˇzina D se naz´yv´ a definiˇcn´ı obor zobrazen´ı a jej´ı obraz H = f (D) se naz´yv´ a obor hodnot zobrazen´ı.
Definice 1 Zobrazen´ı f : X 7→ Y se naz´yv´ a zobrazen´ı na, je-li H(f ) = Y , zobrazen´ı prost´e jestliˇze plat´ı, ˇze pro kaˇzd´e x1 , x2 ∈ D, x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ), a zobrazen´ı vz´ ajemnˇe jednoznaˇcn´e pokud se jedn´ a o zobrazen´ı prost´e a zobrazen´ı na.
Spočetné a nespočetné množiny
Definice 1 Mnoˇziny A a B maj´ı stejnou mohutnost (m(A) = m(B), jsou ekvivalentn´ı A ∼ B), pokud existuje vz´ ajemnˇe jednoznaˇcn´e zobrazen´ı f : A 7→ B. Definice 1 Mnoˇzina A je koneˇcn´ a pokud m(A) = n pro nˇejak´e n ∈ N , je spoˇcetn´ a, pokud m(A) = m(Q), (A ∼ N ), je nespoˇcetn´ a pokud nen´ı koneˇcn´ aa nen´ı spoˇcetn´ a.
Vˇ eta 1 Mnoˇzina re´ aln´ych ˇc´ısel je nespoˇcetn´ a.
Funkce
Definice 1 Zobrazen´ı f : R 7→ R se naz´yv´ a re´ aln´ a funkce jedn´e re´ aln´e promˇenn´e. Mnoˇzina Graf (f ) = {(x, y) ∈ R × R|x ∈ D(f ), y = f (x)} je graf funkce f . Definice 1 Funkce f se naz´yv´ a sud´ a, pokud plat´ı f (−x) = f (x), lich´ a, pokud plat´ı f (−x) = −f (x), periodick´ a, pokud existuje T > 0 tak, ˇze f (x + T ) = f (x).
Definice 1 Jestliˇze dvˇe funkce f a g splˇ nuj´ı f (g(x)) = x pro kaˇzd´e x ∈ D(f ) a g(f (x)) = x pro kaˇzd´e x ∈ D(g) pak f a g jsou inverzn´ı funkce. Zapisujeme f = g −1 a g = f −1 .
Funkce-pokračování
Vˇ eta 1 Funkce m´ a inverzn´ı funkci pr´ avˇe kdyˇz definuje vz´ ajemnˇe jednoznaˇcn´e zobrazen´ı mezi definiˇcn´ım oborem a oborem hodnot.
Vˇ eta 1 Jestliˇze m´ a funkce inverzn´ı funkci pak jsou jejich grafy navz´ ajem symetrick´e podle osy y = x.
Limita funkce
Definice 1 (Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e) Necht’ je funkce definov´ ana v okol´ı bodu a ∈ R (ne nutnˇe v bodˇe a!). Pak definujeme lim f (x) = L
x→a
pr´ avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e ˇc´ıslo ² > 0 existuje ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze pro kaˇzd´y bod x z definiˇcn´ıho oboru funkce f splˇ nuj´ıc´ı 0 < |x − a| < δ plyne, ˇze |f (x) − L| < ². Definice 1 (Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e) Necht’ je funkce f definov´ ana v okol´ı bodu a ∈ R (ne nutnˇe v bodˇe a!). Pak definujeme lim f (x) = +∞
x→a
pr´ avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e ˇc´ıslo N > 0 existuje ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze pro kaˇzd´y bod x z definiˇcn´ıho oboru funkce f splˇ nuj´ıc´ı 0 < |x − a| < δ plyne, ˇze f (x) > N.
Limita funkce-pokračování
Definice 1 (Vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇ e) Necht’ je funkce f definov´ ana v intervalu (A, +∞)). Pak definujeme lim f (x) = L
x→∞
pr´ avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e ˇc´ıslo ² > 0 existuje ˇc´ıslo δ > 0 takov´e, ˇze pro kaˇzd´y bod x z definiˇcn´ıho oboru funkce f splˇ nuj´ıc´ı N < x plyne, ˇze |f (x) − L| < ².
Vˇ eta 1 (Existence limity) Plat´ı, ˇze limx→a f (x) = L pr´ avˇe kdyˇz lim f (x) = lim f (x) = L.
x→a−
x→a+
Limita funkce-pokračování
Vˇ eta 1 Necht’ limx→a f (x) = L1 a limx→a g(x) = L2 . Pak plat´ı 1. limx→a (f (x) + g(x)) = L1 + L2 2. limx→a (f (x)g(x)) = L1 L2 3. limx→a (f (x)/g(x)) = L1 /L2 pokud L2 6= 0.
Limita funkce-pokračování Vˇ eta 1 Necht’ a ∈ R ∪ {+∞, −∞}.
1. Jestliˇze f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) pro kaˇzd´e x v okol´ı bodu a a lim f (x) = lim h(x) = L,
x→a
x→a
pak lim g(x) = L.
x→a
2. Jestliˇze f (x) ≤ g(x) pro kaˇzd´e x v okol´ı bodu a a lim f (x) = ∞,
x→a
pak lim g(x) = ∞.
x→a
3. Jestliˇze f (x) ≥ g(x) pro kaˇzd´e x v okol´ı bodu a a lim f (x) = −∞,
x→a
pak lim g(x) = −∞.
x→a
Vˇ eta 1
sin x = 1. x→0 x lim
Spojitost funkce
Definice 1 (Spojitost v bodˇ e) Necht’ funkce f je definov´ ana v okol´ı bodu x0 . Pak ˇr´ık´ ame, ˇze funkce je spojit´ a pokud plat´ı lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Definice 1 (Spojitost v intervalu) Necht’ funkce f je definov´ ana v intervalu s krajn´ımi body a a b (a < b). Pak ˇr´ık´ ame, ˇze funkce je spojit´ a v tomto intervalu, pokud je spojit´ a v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe a v krajn´ıch bodech, pokud jsou prvky intervalu, je limita v definici spojitosti funkce v bodˇe nahrazena jednostrannou limitou. Vˇ eta 1 Necht’ f a g jsou spojit´e funkce v bodˇe x0 . Pak n´ asleduj´ıc´ı funkce jsou spojit´e v tomto bodˇe 1. cf 2. f + g 3. f g 4. fg pokud g(x0 ) 6= 0.
Vˇ eta 1 (O nab´ yv´ an´ı maxima a minima) Je-li f spojit´ a funkce na intervalu [a, b], pak je shora i zdola omezan´ a, tj. existuj´ı ˇc´ısla m a M takov´ a, ˇze m ≤ f (x) ≤ M
x ∈ [a, b].
Je-li m = inf x∈[a,b] f (x) a M = supx∈[a,b] f (x), pak existuj´ı ˇc´ısla x1 a x2 z intervalu [a, b] takov´ a, ˇze m = f (x1 ) M = f (x2 ).
Vˇ eta 1 (O nab´ yv´ an´ı maxima a minima) Necht’ f je spojit´ a funkce na intervalu [a, b] a c je libovoln´e ˇc´ıslo z oboru hodnot t´eto funkce. Pak existuje x0 ∈ [a, b] takov´e, ˇze f (x0 ) = c.
Derivace funkce
Definice 1 (Derivace funkce v bodˇ e) Necht’ funkce f je definov´ ana v okol´ı bodu x0 . pokud existuje vlastn´ı limita f (x0 + h) − f (x0 ) lim h→x0 h pak funkce f se naz´yv´ a diferencovateln´ a v bodˇe x0 .
Derivace funkce
Definice 1 (Derivace funkce v bodˇ e) Necht’ funkce f je definov´ ana v okol´ı bodu x0 . pokud existuje vlastn´ı limita f (x0 + h) − f (x0 ) lim h→x0 h pak funkce f se naz´yv´ a diferencovateln´ a v bodˇe x0 .
Definice 1 Funkce f 0 se definuje n´ asledovnˇe: f (x0 + h) − f (x0 ) D(f ) = {x ∈ D(f )| lim existuje} h→x0 h 0
f (x + h) − f (x0) . h→0 h
f 0 (x) = lim
Funkce f 0 se naz´yv´ a derivace funkce f .
Derivace funkce
Vˇ eta 1 Necht’ funkce f je diferencovateln´ a v bodˇe x0 . Pak je funkce f spojit´ av bodˇe x0 . Vˇ eta 1 Necht’ funkce f a g jsou diferencovateln´e v bodˇe x0 a c1 , c2 ∈ R. Pak (x) jsou funkce c1 f (x) + c2 g(x), f (x)g(x) a fg(x) (g(x0 ) 6= 0) diferencovateln´e v bodˇe x0 a plat´ı 1. (c1 f (x0 ) + c2 g(x0 ))0 = c1 f 0 (x0 ) + c2 g 0 (x0 ) 2. (f (x0 )g(x0 ))0 = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ) ´0 ³ f (x0 ) f 0 (x0 )g(x0 )−f (x0 )g 0 (x0 ) . 3. g(x0 ) = g 2 (x0 ) Vˇ eta 1 (Derivace sloˇ zen´ e funkce) Necht’ funkce f je diferencovateln´ a v bodˇe y0 a g je diferencovateln´e v bodˇe x0 a plat´ı, ˇze y0 = g(x0 ). Pak sloˇzen´ a funkce f ◦ g je diferencovateln´e v bodˇe x0 a plat´ı (f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (y1 )g 0 (x0 ).