9-Analytická Mechanika
9 Sestavování pohybových rovnic soustav těles metodami analytické mechaniky 9.1 Analytická mechanika-úvod Ve všech dřívějších kapitolách jsme při sestavování pohybových rovnic vycházeli z druhého Newtonova zákona nebo z vět, které z něj bezprostředně vyplynuly. V těchto pohybových rovnicích byly vyjádřeny vztahy mezi veličinami pohybu a působícími silovými účinky pomocí vektorových veličin, a proto jsou tyto metody řazeny do tzv. vektorové mechaniky. V analytické mechanice půjde o to, sestavit pohybové rovnice ze skalárních veličin, jakými jsou zejména kinetická energie a práce. Uvidíme, že tento postup, vycházející v podstatě z energetické bilance, umožňuje sestavovat hlavní nebo vlastní pohybové rovnice ihned po vyjádření a následné úpravě jen energetických veličin, což se ukazuje (zejména u složitějších soustav) jako snazší a rychlejší. Metodický postup při sestavování pohybových rovnic metodami analytické mechaniky se podstatně odlišuje od postupů vektorové mechaniky. Proto vyžaduje i zavedení odlišného výpočetního aparátu, jehož přednosti se však uplatní zpravidla až při sestavování pohybových rovnic u složitějších mechanických systémů, zatímco pro nejjednodušší dynamické modely a pro výpočet reakcí vazeb bývá vhodnější a také názornější použití metod vektorové mechaniky. Nejprve si odvodíme základní vztahy pro mechanický systém tvořený soustavou N hmotných bodů, obecně mezi sebou vázaných. Takto odvozené vztahy budou mít univerzální platnost, neboť těleso i soustavy těles je možno chápat jako soustavy hmotných bodů. Polohu uvažované soustavy hmotných bodů o hmotnostech mi určují jejich souřadnice, které jsou vyjádřeny příslušnými radiusvektory ri . Nejčastěji se setkáváme se soustavami, kdy jednotlivé body jsou mezi sebou vzájemně vázány. Tyto vazby jsou vyjádřeny rovnicemi vazby. Přitom platí, že poloha celé soustavy je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi, kolik má soustava stupňů volnosti. Jako nezávislé parametry určující polohu bodů bývá používána kombinace délek ( xi , yi , zi , …) a úhlů pootočení ( ϕi , ψ i , ϑi , …). Obecně budeme tyto nezávislé parametry označovat q j a nazývat zobecněnými souřadnicemi. Využitím vazebních rovnic lze pro soustavu N těles s n stupni volnosti určit polohu každého bodu soustavy ri = ri ( q1 , q2 , ... , q j , ... , qn ) , kde i = 1, 2, ... , N (9.1) Tento vztah je však jedním z nejjednodušších případů vazeb. Obecně může být tato vazba složitější, bude-li vektor ri funkcí nejen zobecněných souřadnic, ale i jejich derivací nebo času. Rovnice vazby, které jsou funkcí derivací zobecněných souřadnic (zobecněných rychlostí) a nedají se po integraci vyjádřit jako funkce zobecněných souřadnic (jsou tedy neintegrovatelnou funkcí zobecněných rychlostí), nazýváme neholonomními. Naopak vazby, které lze vyjádřit jako funkce zobecněných souřadnic, nazýváme holonomními. Pokud v rovnici vazby nevystupuje explicitně čas, pak takovou vazbu nazýváme skleronomní (stacionární), v opačném případě se jedná o vazbu reonomní (nestacionární). My se ve všech dalších výkladech omezíme na vyšetřování jen takových soustav, které jsou podrobeny vazbám holonomním a lze je vyjádřit vztahem (9.1). Dalším základním pojmem analytické mechaniky je virtuální pohyb (přemístění, posunutí). Virtuální pohyb je nutné rozlišovat od pohybu skutečného a pohybu možného. Pro obecný bod soustavy těles s n stupni volnosti, jehož poloha je určena radiusvektorem
ri = ri ( q1 , q2 , ... , q j , ... , qn , t ) rozumíme skutečným
130
9-Analytická Mechanika elementárním pohybem (přemístěním) změnu jeho polohy
d ri v čase d t , odpovídající příslušným vazbám,
působícím silám a počátečním podmínkám
dri =
∂ ri ∂ ri ∂ ri ∂ ri dq1 + dq2 + … + dqn + dt = ∂ q1 ∂ q2 ∂ qn ∂ t
Skutečné přemístění bodu
n
∑
j =1
∂ ri ∂ ri dq j + dt . ∂ qj ∂ t
(9.2)
i je zřejmě jednoznačné a jednoznačné jsou i hodnoty d q j . Skutečný pohyb je
přitom jen jedním z pohybů, které může bod ve shodě s vazbami konat a které proto nazýváme pohyby možnými. Naproti tomu virtuální pohyb definujeme jako jakýkoliv elementární pohyb, který se děje ve shodě s vazbami, přičemž u rheonomních vazeb považujeme čas za konstantní. Budeme jej označovat δ ri ( δ je označení pro variaci) a podle výše uvedené definice zřejmě platí n ∂ ri ∂ ri ∂ ri ∂ ri δ q1 + δ q2 + … + δ qn = ∑ δ qj . ∂ q1 ∂ q2 ∂ qn j = 1 ∂ qj Z definice dále plyne, že virtuální pohyb vyjádřený veličinou δ ri není tedy obecně jednoznačný a nejsou proto jednoznačné ani hodnoty δ q j , které mohou být tedy libovolné. Dále je zřejmé, že skutečný pohyb je jedním
δ ri =
z virtuálních pohybů jen tehdy, jde-li o vazby skleronomní.
V naprosté většině případů vazby mezi studovanými tělesy nezávisí na čase. Pak virtuální přemístění (posunutí nebo pootočení) odpovídá pohybům skutečným tj. pohybům možným v rámci vazeb. Můžeme je tedy zjistit tak, že s tělesy v soustavě „myšleně“ pohneme s uvážením vazeb, přitom se omezíme jen na místa působišť pracovních a setrvačných sil a pracovních a setrvačných momentů (viz obr. 9.1).
131
(9.3)
9-Analytická Mechanika
Fh δrT4
Obr. 9.1 Vyznačení virtuálních přemístění do pracovního schématu pro soustavu těles
δrT3 δφ3 T3
Virtuální práce pracovních a setrvačných silových účinků pro mechanismus podle obr. 9.1 pak bude dána vztahem δ A = M h δϕ2 − I 3δϕ 3 − m3 gδ rT 3 + Fhδ rT 4 − m4 gδ rT 4 Pro potřeby analytické mechaniky bude dále účelné používat rozdělení sil podle jejich pracovního efektu. Síly budeme proto dále rozdělovat na síly pracovní Fi P a síly vazbové Fi V . Vazbovými silami budeme rozumět pouze nepracovní složky reakcí (např. kolmé složky reakcí), zatímco pracovními silami budou všechny ostatní síly. Tzn., že pracovními silami budou všechny síly akční a z reakcí pouze jejich pracovní složky (např. tření). Jelikož však reakce konají práci jen tehdy, uvažujeme-li pasivní odpory, je zřejmé, že u systémů bez pasivních odporů pojem vazbové síly splývá s pojmem síly reakční, a tudíž splynou i pojmy sil pracovních a akčních. Na obr.9.2 je soustava těles, představující klikový mechanismus, jehož křižák je nahrazen válcem valícím se po drsné vodorovné rovině a členy 2 a 3 jsou propojeny pružinou. Dále uvažujeme moment čepového tření v čepu B. Proveďme rozdělení sil nejprve na akční a reakční a potom na síly pracovní a vazbové. Akční síly : silová dvojice M , tíhové síly G2 , G3 , G4 , dále vnitřní síly v pružině S . Reakční síly : RA x , R A y , N , T a vnitřní reakce RB x , RB y , M čB , RC x , RC y .
Pracovní síly : M , G2 , G3 , G4 , S , M čB Vazbové síly : RA x , R A y , RB x , RB y , RC x , RC y , N , T
132
9-Analytická Mechanika Poznamenejme, že vnitřní síly obecně mohou konat práci (zde je to síla S a dvojice M čB ). Síla G4 je sice teoreticky pracovní sílou, ale její práce je v daném případě nulová, protože se její působiště pohybuje po vodorovné dráze. R By
M čB B
R Bx
R Bx
B
1.1.1.1.1.1.1.2
M čB
R Cy
R By 4
3
2 S
S
C
R Cx
R Ay
1.1.1.1.1.1.1.1 A
T
G3
G2
G4
C R Cx
R Ax
R Cy Obr.9.2. Uvolněná tělesa klikového mechanismu.
9.2 Sestavování pohybových rovnic pomocí principu virtuální práce Princip virtuální práce je jedním ze základních principů analytické mechaniky. Seznámili jsme se s ním již ve statice: Součet virtuálních prací sil působících na mechanickou soustavu, která je v rovnováze je roven nule. K rozšíření jeho platnosti na dynamiku využijeme d´Alembertova principu, který po zavedení setrvačných sil umožňuje sestavovat pohybové rovnice myšlené „dynamické rovnováhy“ metodami statiky. Pro pochopení souvislostí mezi principem virtuálních prací a pohybovými rovnicemi sestavenými d´Alembertovým principem sledujme následující postup. Uvažujme soustavu N hmotných bodů o hmotnostech
mi , jejichž poloha je určena radiusvektory ri . Na i -tý hmotný bod soustavy působí po jeho uvolnění řada sil Fk i . Pak podle d´Alembertova principu platí N
∑
Fk i +S Fi = 0 ,
(9.4)
k =1 S
Fi = -miɺrɺi představuje setrvačnou sílu i -tého hmotného bodu. Vynásobíme-li pohybovou rovnici i -tého bodu (2.4) skalárně vektorem δ ri , vyjadřujícím přemístění tohoto bodu při virtuálním pohybu, dostaneme
kde
N
∑
k =1
Fk i δ ri + S Fi δ ri = 0 .
(9.5)
i -tý hmotný bod, druhý potom práci V na síly pracovní F a vazbové Fk i .
První člen výrazu představuje virtuální práci všech sil působících na setrvačných sil. Rozdělíme-li nyní působící síly
Fk i
P k i
133
9-Analytická Mechanika
FkVi (jsou to nepracovní složky reakcí, tj. nekonají práci) a definici
Vzhledem k definici vazbových sil virtuálního pohybu bude zřejmě platit
N
∑
FkVi δ ri = 0 ,
(9.6)
FkPi δ ri + S Fi δ ri = 0 .
(9.7)
k =1
a rovnice (9.5) přejde do tvaru N
∑
k =1
tzn., že vazbové síly v tomto výrazu již nebudou vystupovat. Označíme-li výslednici všech pracovních sil působících na i -tý hmotný bod N
∑
k =1
FkPi = Fi P ,
(9.8)
potom můžeme psát
F iPδ ri + S Fiδ ri = 0 ,
(9.9a)
δ A i PS = 0 ,
(9.9b)
nebo stručněji
δ Ai
kde
PS
představuje celkovou virtuální práci všech pracovních a setrvačných sil působících na
Napíšeme-li rovnici pro všechny hmotné body následující výraz N
∑
i =1
i -tý bod.
i = 1, 2, ... , N a všechny rovnice sečteme, dostaneme N
Fi P δ ri + ∑
i =1
S
Fi δ ri = 0 ,
(9.10)
Tyto rovnice vyjadřuje princip virtuálních prací akčních a setrvačných sil a nazýváme jí obecnou rovnicí dynamiky pro soustavu hmotných bodů. Její slovní formulace zní :Soustava hmotných bodů se pohybuje tak, že součet virtuálních prací pracovních a setrvačných sil je v každém okamžiku roven nule. Dosadíme-li do rovnice (9.10) za δ ri vztah (9.3), dostaneme N
∑
i =1
n
∑
Fi P
j =1
N n N ∂ ri ∂ ri δ q j + ∑ S Fi ∑ δ q j = ∑ ( Fi P +S Fi ) ∂ qj i =1 j = 1 ∂ qj i =1
n
∑
j =1
∂ ri δ qj = 0 , ∂ qj
což lze přepsat do tvaru N
∑
i =1
( Fi P + S Fi )
N
+∑
i =1
N ∂ ri ∂ ri δ q1 + ∑ ( Fi P +S Fi ) δ q2 + … + ∂ q1 ∂ q2 i =1
N ∂ ri ∂ ri ( Fi + Fi ) δ q j + … + ∑ ( Fi P +S Fi ) δ qn = ∑ Q j δ q j = 0 , ∂ qj ∂ qn i =1 P
(9.11)
S
který vyjadřuje virtuální práci psát ve tvaru
δ A PS
pracovních a setrvačných sil pomocí zobecněných souřadnic. Lze jej též
∂ APS ∂ APS ∂ APS ∂ A PS δ q1 + δ q2 + … + δ qj + … + δ qn = 0 . ∂ q1 ∂ q2 ∂ qj ∂ qn Označme nyní výraz N ∂ AP P ∂ ri F = ∑ i ∂ q ∂ q = Qj , i =1 j j
(9.12)
(9.13)
a nazvěme jej zobecněnou silou, odpovídající souřadnici q j . Zobecněnou sílu Q j tedy dostaneme, násobíme-li jednotlivé pracovní síly Fi skalárně hodnotami ∂ri / ∂q j . Podobně můžeme zavést i zobecněnou setrvačnou sílu S Q j odpovídající souřadnici q j
134
9-Analytická Mechanika N
∑
S
i =1
Fi
∂ ri ∂ AS S = = Qj , ∂ qj ∂ qj
(9.14)
Vztah (9.12) lze pak psát ve tvaru n
∑
( Qj +S Qj ) δ q j = 0 .
j =1
(9.16)
Protože tato rovnice musí být vzhledem k nezávislosti souřadnic q j splněna pro libovolné hodnoty posunutí δ q j , musí platit
Qj +S Qj = 0 ,
(9.17) pro všechna j = 1, 2, ... , n . Dostáváme tak n pohybových rovnic neobsahujících vazbové síly. Postup je možné rozšířit i pro soustavu těles s tím, že pro každé těleso kromě pracovních a setrvačných sil uvážíme i pracovní a setrvačné momenty s tím, že setrvačné síly umístíme do těžišť jednotlivých těles a setrvačné momenty vztáhneme k těžištím. Po rozepsání do složek pak pro soustavu těles můžeme psát N n ( FixP − mi ɺɺ xi ) δ xi + ( FixP − mi ɺɺ yi ) δ yi + ( FizP − mi ɺɺ zi ) δ zi + = ∑ ( Q j + S Q j )δ q j = 0 ∑ P P P (9.18) ɺɺix )δϕix + ( M iy − I iyϕɺɺiy )δϕiy + ( M iz − I izϕɺɺiz )δϕiz j = 1 i = 1 + ( M ix − I ix ϕ Zdůrazněme, že rovnice (9.11) popř. rovnice (9.18) jsou rovnice skalární a neobsahují vazbové síly, jde proto o hlavní pohybové rovnice soustavy. Rovnice (9.18) je nazývána obecnou rovnicí dynamiky pro soustavu těles Pohybové rovnice soustavy těles plynou tedy z podmínky, že algebraický součet virtuálních prací všech pracovních a setrvačných zobecněných silových účinků je v každém okamžiku roven nule. U soustav s pasivními odpory vystupují mezi pracovními silami pracovní složky reakcí (třecí síly). Abychom dostali vlastní pohybové rovnice, tj. rovnice neobsahující reakce, museli bychom tyto reakce určit nějakým jiným způsobem, zpravidla uvolňováním, čemuž jsme se chtěli použitím metod analytické mechaniky vyhnout. U soustav bez pasivních odporů tento problém odpadá, protože pracovní složky reakcí jsou nulové, rovnice (9.18) reakce vůbec neobsahují, takže jsou to již vlastní pohybové rovnice. Uvedený postup umožňuje tedy u soustav bez pasivních odporů přímo sestavit vlastní pohybové rovnice, což je hlavní předností této metody. Princip virtuálních prací je možné formulovat také jinak. Budeme-li násobit rovnici (9.4) místo virtuálním posunutím δ ri hodnotou δ ri / d t = ∂ rɺi , kterou nazveme analogicky virtuální rychlostí, bude vztah N
N
∑
Fi P δ rɺi + ∑
i =1
i =1
S
Fi δ rɺi = 0 ,
(9.19a)
vyjadřovat virtuální výkony. Stejným postupem jako dříve dojdeme k podmínce analogické s podmínkou (9.11) (9.19b) Pɶ P + S Pɶ = 0 , vyjadřující princip virtuálních výkonů v dynamice : součet virtuálních výkonů všech pracovních a setrvačných sil je roven nule. Z uvedeného výkladu vyplývá postup při použití principu virtuálních prací resp. výkonů. Princip slouží u soustav s pasivními odpory k sestavení hlavních pohybových rovnic, u soustav bez pasivních odporů dostaneme přímo vlastní pohybové rovnice. Nejprve rozhodneme, které z působících sil jsou silami pracovními, a dále zavedeme všechny setrvačné síly. Po určení počtu stupňů volnosti soustavy a výběru vhodných zobecněných souřadnic q j sestavíme rovnice vazeb pro působiště působících sil. Potom již můžeme
135
9-Analytická Mechanika vyjádřit příslušné zobecněné síly a zobecněné setrvačné síly, čímž jsou sestaveny hlavní pohybové rovnice. K přechodu k vlastním pohybovým rovnicím musíme však vyjádřit práci pasivních odporů akčními silami. Často však k sestavení pohybových rovnic nepoužíváme přímo výrazy (9.14) a (9.17), ale sestavujeme nejprve výraz pro δ W PS ve tvaru (9.11) resp. (9.18) a pohybové rovnice získáme z podmínky, že členy při jednotlivých hodnotách δ q j musí být nulové. Oba postupy si vysvětlíme na následujících příkladech.
Příklad 9.1. Těleso o hmotnosti m vedené po dvou dokonale hladkých přímkách oporami A a B je zvedáno při působení síly P (viz. obr.9.3). Sestavte hlavní pohybovou rovnici. y
A
e S
M
T e S
Fx
yT
S
Fy
ϕ x
B
P
Fg xT xB 136 Obr.9.3. Schématické znázornění zadání k příkladu 9.1.
9-Analytická Mechanika
Řešení. Pracovními silami jsou síly P a G , setrvačné účinky jsou vyjádřeny setrvačnou silou ve složkách S Fx = − m ɺxɺT , S Fy = −m ɺyɺT a setrvačnou dvojicí S M = − IT ϕɺɺ . Těleso má jeden stupeň volnosti. Volme za zobecněnou souřadnici úhel ϕ = q , pomocí něhož vyjádříme ostatní potřebné souřadnice. Sestavíme podmínku δ W PS = 0 , která v daném případě bude mít tvar ɺɺ = 0 . Pδ xB − mgδ yT − mxɺɺT δ xT − myɺɺT δ yT − IT ϕδϕ Z rovnic vazby plyne : xB = −2e cos ϕ , δ xB = 2e sin ϕδϕ , xT = − e cos ϕ , δ xT = e sin ϕδϕ , yT = e sin ϕ , δ yT = e cos ϕδϕ , přičemž pro zrychlení těžiště T těžiště tyče platí ɺɺ xT = e ( ϕɺɺ sin ϕ + ϕɺ 2 cos ϕ ) , ɺɺ yT = e ( ϕɺɺ cos ϕ − ϕɺ 2 sin ϕ ) . Dosadíme-li nyní do výrazu pro virtuální práci za jednotlivé variace, obdržíme vztah ( 2 Pe sin ϕ − mge cos ϕ − mxɺɺT e sin ϕ − myɺɺT e cos ϕ − IT ϕɺɺ ) δϕ = 0 , který musí platit pro každou hodnotu δ ϕ . Proto musí být 2 Pe sin ϕ − mge cos ϕ − mxɺɺT e sin ϕ − myɺɺT e cos ϕ − IT ϕɺɺ = 0 . To je již vlastní pohybová rovnice, kterou lze po dosazení za ɺxɺT a ɺyɺT upravit do tvaru ( I S + me 2 )ϕɺɺ + mge cos ϕ − 2 Pe sin ϕ = 0 . Pohybovou rovnici bylo ovšem možno též sestavit přímo ze vztahu Q +S Q = 0 , přičemž ∂ xB ∂ yT , Q=P −G ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ xT ∂ yT S Q = − mxɺɺT − m ɺɺ yT − IT ϕɺɺ , ∂ ϕ ∂ ϕ kde ∂ xB ∂ xT ∂ yT = 2e sin ϕ , = e sin ϕ , = e cos ϕ . ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ Poznámka: Pro nalezení vztahů mezi virtuálními posunutími nemusíme provádět variace souřadnic, ale je také možné využít kinematické vztahy mezi rychlostmi. Vektory rychlostí a vektory virtuálních posunutí bychom přitom orientovali ve směru předpokládaných pohybů (tyč se má zdvíhat, tj. např. vektory v B a δ r B by byly orientován ve směru osy x). Platí: A v = v B + v AB
137
9-Analytická Mechanika x: 0 = − v B + 2e sin ϕ ϕɺ ⇒ δ rB =
vB = 2e sin ϕ δϕ ϕɺ
vT = v B + vTB
vTx x: v = 2esiϕϕɺ − e sin ϕ ϕɺ = e sin ϕ ϕɺ ⇒ δ xT = = e sin ϕ δϕ ϕɺ T x
y: v = e sin ϕ ϕɺ ⇒ δ yT = T y
vTy
ϕɺ
= e sin ϕ δϕ
Pro nalezení zobecněné síly Q bychom pak vyšli z rovnosti virtuální práce zobecněné síly δ AQ = Qδϕ a virtuální práce působících pracovních silových účinků δ AP . Virtuální práci jednotlivých pracovních účinků bychom určili skalárním vynásobením vektoru silového účinku a vektoru příslušného virtuálního posunutí (např. v případě opačné orientace vektoru síly a vektoru virtuálního posunutí by podle pravidla pro skalární násobení virtuální práce síly záporná). V daném případě tedy pro virtuální práci pracovních sil Fg a P platí P Q δ A = P δ xb + Fg δ yT = Pδ xB − mgδ yT = δ A = Qδϕ ⇒ Q = 2 Pe sin ϕ − mge sin ϕ Podobně zobecněnou setrvačnou sílu
S
Q bychom dostali z rovnosti virtuální práce
zobecněné setrvačné síly δ A a virtuální práce setrvačných S S S δ A = F δ r + Mδϕ − mxɺɺT e sin ϕ − myɺɺT e cos ϕ − IT ϕɺɺ = δ ASQ = S Q δ q ⇒ S Q = − mxɺɺT δ xT − myɺɺT δ yT − IT ϕɺɺ = −( IT + me 2 )ϕɺɺ SQ
silových
účinků
Příklad 9.2 Na obrázku je soustava pák určená ke zvedání břemen. Určete zrychlení aG
δ rA = δ rC
δ rB
δ rB = δ rT
δ rC
δ rT 1.1.1.1.1.1.2 Obr. 9.4 Soustava pák pro zdvihání břemene
Fg 138
s
F
9-Analytická Mechanika břemene G o hmotnosti m při působení síly velikosti F. Hmotnosti pák a tření zanedbejte. Řešení: Do pracovního schématu zakreslíme působící vnější a setrvačné sily a příslušná virtuální posunutí působišť těchto sil (získáme virtuálním pohybem soustavy). Soustava má 10 volnosti, proto počet nezávislých posunutích je rovno 1. Zvolíme základní posunutí (např. u působící síly tj. δ rB ) a vyjádříme zbylá posunutí pomocí tohoto základního tím, že se soustavou myšleně pohneme. Bodu B udělíme virtuální posunutí δ rB , virtuální posunutí bodu a D je δ rD . Z vlastností podobných trojúhelníků plyne, že δrA = δrB . Dále platí, že δrC = δrA , b a a takže můžeme psát δrC = δrB . Podobně postupujeme dále a zjistíme, že δrD = δrC . Proto b b 2
a platí tedy δrD = δrB . Nyní dosadíme do vztahu pro virtuálních práci b
δ A = ∑ ( Fi + s Fi ) δ ri = Gδ rD + Fδ rA + s Fδ rD = 0 V našem případě tedy platí (znaménka u jednotlivých členů určíme podle výsledku skalárního součinu!)
δ A = Fδ rB − Gδ rD − maGδ rD = 0 . 2
a Po dosazením za δrD = δrB dostáváme b 2 2 a a F mg ma − − G δ rB = 0 . b b 2
b F − mg a Virtuální posunutí je obecně nenulové tj. δ rB ≠ 0 . Platí tedy aG = m
139
9-Analytická Mechanika Příklad 9.3. Mechanismus pravoúhlé kulisy, znázorněný na obr.9.4 je zatížen silou F a hnací silovou dvojicí M h . Sestavte vlastní pohybovou rovnici. 4 F S
S
FT4
FT3y
T3
T4
3 S
FT3x
Mh
2
yT3 ϕ2 A I 2A α
xT3 Obr.9.5. Schéma mechanismu pravoúhlé kulisy.
Řešení. Pracovními silami jsou síla F a silová dvojice M h , setrvačné účinky jsou S FT 3 x = − m3 ɺxɺT 3 , S FT 3 y = −m3 ɺyɺT 3 , S F4 y = m4 ɺyɺT 4 , S M 2 = − I 2 A ϕɺɺ2 . Pak
δ A = M h δϕ 2 − F δ yT 4 − I 2 Aϕɺɺ2δϕ2 − m3 ɺɺ xT 3δ xT 3 − m3 ɺɺ yT 3δ yT 3 − m4 ɺɺ yT 4δ yT 4 = 0 . Za zobecněnou souřadnici zvolme úhel q = ϕ = ϕ2 . Potom bude xT 3 = r cos ϕ , yT 3 = r sin ϕ , odkud plyne
δ xT 3 = − r sin ϕδϕ ,
ɺɺ xT 3 = − r ( ϕɺɺ sin ϕ + ϕɺ 2 cos ϕ ) ,
δ yT 3 = r cos ϕδϕ ,
ɺɺ yT 3 = r ( ϕɺɺ cos ϕ − ϕɺ 2 sin ϕ ) . Po dosazení do výrazu pro virtuální práci dostáváme rovnici [ M h − F r cos ϕ − I 2 A ϕɺɺ − m3 r ( ϕɺɺ sin ϕ + ϕɺ 2 cos ϕ ) r sin ϕ −
− m3 r ( ϕɺɺ cos ϕ − ϕɺ 2 sin ϕ ) r cos ϕ − m4 r ( ϕɺɺ cos ϕ − ϕɺ 2 sin ϕ ) r cos ϕ ] δ ϕ = 0 , r která musí platit pro každou hodnotu δ ϕ . Proto musí být M h − F r cos ϕ − I 2 A ϕɺɺ − m3 r ( ϕɺɺ sin ϕ + ϕɺ 2 cos ϕ ) r sin ϕ − − m3 r ( ϕɺɺ cos ϕ − ϕɺ 2 sin ϕ ) r cos ϕ − m4 r ( ϕɺɺ cos ϕ − ϕɺ 2 sin ϕ ) r cos ϕ = 0 , odkud po úpravě plyne pohybová rovnice mechanismu ve tvaru ( I 2 A + m3 r 2 + m4 ( r cos ϕ ) 2 ) ϕɺɺ − m4 r 2ϕɺ 2 sin ϕ cos ϕ + F r cos ϕ − M h = 0 .
140
9-Analytická Mechanika
Příklad 9.3. Zdvihací zařízení, znázorněné na obr. 9.5, je poháněno dvěma hnacími dvojicemi M 2 a M 3 . Úkolem je sestavit vlastní pohybové rovnice. M3
M2 I2α2
ϕ2
r2
ϕ3
I3α3
r3
3
2 G2
G3 ϕ4
S
F4
r4
G4 I4α4
4
y S
F5
5
G5
Obr.9.5. Schématické znázornění zdvihacího mechanismu.
Řešení. Z pracovních a setrvačných silových účinků budou ve výrazu pro virtuální práci vystupovat pouze M 2 , M 3 , G4 , G5 a S F4 = − m4 ɺyɺ , S F5 = − m5 ɺyɺ , S M 2 = − I 2ϕɺɺ2 , S M 3 = I 3ϕɺɺ3 , S
M 4 = I 4ϕɺɺ4 , kde y = yT 4 = yT 5 . Pak
δ A = M 2δϕ2 + M 3δϕ3 − ( G4 + G5 )δ y − S M 2δϕ2 − S M 3 δϕ3 − S M 4 δϕ 4 − ( S F4 +S F5 )δ y = = M 2δϕ2 + M 3δϕ3 − ( G4 + G5 )δ y − I 2ϕɺɺ2δϕ2 − I 3ϕɺɺ3δϕ3 − I 4ϕɺɺ4δϕ4 − ( m4 + m5 )ɺɺ yδ y = 0 Za zobecněné souřadnice vybereme-li ϕ 2 a ϕ 3 . Z kinematiky rychlostí rovinného pohybu r ϕ +r ϕ r ϕɺ − r ϕɺ v = v4 = v5 = 2 2 3 3 , ϕɺ4 = 3 3 2 2 .
2 2r4 Stejné vztahy platí i mezi virtuálními posunutími a zrychleními tj. platí
141
9-Analytická Mechanika r2 δ ϕ 2 + r3 δ ϕ 3 r ϕɺɺ + r ϕɺɺ , ɺyɺ = 2 2 3 3 , 2 2 r δ ϕ 3 − r2 δ ϕ 2 r ϕɺɺ − r ϕɺɺ δ ϕ4 = 3 , ϕɺɺ4 = 3 3 2 2 . 2 r4 2 r4 Po dosazení do výrazu pro virtuální práci napíšeme vztah ( m + m5 ) ( r2ϕɺɺ2 + r3 ϕɺɺ3 ) r δϕ + G4 + G5 r ϕɺɺ − r ϕɺɺ r2 − I 2 ϕɺɺ2 + I 4 3 3 22 2 r2 − 4 M2 − 2 2 2 4 r4 2 2 ( m + m5 ) ( r2ϕɺɺ2 + r3ϕɺɺ3 ) r δϕ = 0 . G + G5 r ϕɺɺ − r ϕɺɺ + M3 − 4 r3 − I 3 ϕɺɺ3 − I 4 3 3 22 2 r3 − 4 3 3 2 4 r4 2 2 Vzhledem k nezávislosti δ ϕ 2 a δ ϕ 3 dostaneme 2 vlastní pohybové rovnice ve tvaru
δ y=
m + m5 r2 2 m4 + m5 2 r r G + G5 I I r2 ϕɺɺ2 + 4 r2 r3 − I 4 2 32 ϕɺɺ3 + 4 r2 − M 2 = 0 + 2 4 2 + 4 r4 4 4 r4 2 4 m + m5 r3 2 m + m5 2 r r G + G5 I + I + 4 r3 ϕɺɺ3 + 4 r2 r3 − I 4 2 32 ϕɺɺ2 + 4 r3 − M 3 = 0 3 4 2 4 r4 4 4 r4 2 4 Příklad 9.4. U planetového převodu se třemi jednoduchými satelity a nepohyblivým korunovým kolem, znázorněným na obr.9.6, zatíženém na hnací straně silovou dvojicí M 2 a dvojicí M 4 na straně unášeče, sestavte vlastní pohybovou rovnici pomoci principu virtuálních výkonů. Řešení. Z pracovních a setrvačných sil budou ve výrazu pro virtuální výkony vystupovat pouze M 2 , M 4 a S F3 = −m3 a3 , S M 2 = − I 2 α 2 , S M 3 = − I 3 α 3 , S M 4 = − I 4 α 4 . Virtuální výkony pracovních a setrvačných sil jsou vyjádřeny rovnicí M 2 ωɶ 2 − M 4 ωɶ 4 − S M 2 ωɶ 2 − S M 4 ωɶ 4 − 3 (S F3 vɶS + S M 3 ωɶ 3 ) = 0 , což po dosazení za setrvačné síly dává M 2 ω~2 − M 4 ω~4 − I 2 α 2 ω~2 − I 4 α 4 ω~4 − 3 ( m3 a3 ~ vS + I 3 α 3 ω~3 ) = 0 . Daný planetový převod je soustavou s jedním stupněm volnosti. Volíme-li za zobecněnou souřadnici q = ϕ 2 , jíž odpovídá virtuální úhlová rychlost ω~2 , vyjádříme ostatní virtuální úhlové rychlosti pomocí této nezávislé virtuální úhlové rychlosti. Z podmínek valení pro body A a B plyne vɶA = r4ωɶ 4 = − r3ωɶ 3 , r2 ω~2 = −2 r3 ω~3 , odkud dostaneme r r ω~3 = − 2 ω~2 = − p32 ω~2 , ω~4 = 2 ω~2 = p42 ω~2 , 2 r3 2 r4 ~ ~ ~ vS = r3 p32 ω 2 = r4 p42 ω 2 , kde p32 , resp. p42 označuje převod mezi členem 3, resp. členem 4 a tělesem 2. Pro zrychlení platí α 3 = p32 α 2 , α 4 = p42 α 2 , a3 = r3 p32 α 2 = r4 p42 α 2 . Po dosazení do rovnice pro virtuální výkony dostaneme vztah [ M 2 − M 4 p42 − I 2 α 2 − I 4 α 2 p422 − 3 ( m3 r32 + I 3 ) α 2 p322 ] ω~2 = 0 , který musí platit pro libovolnou hodnotu virtuální úhlové rychlosti ω~2 . Odtud pak obdržíme pro vlastní pohybovou rovnici výraz 142
9-Analytická Mechanika [ I 2 + I 4 p422 + 3 ( m3 r3 2 + I 3 ) p322 ] ϕɺɺ2 = M 2 − M 4 p42 . P 31 M4
M2 A S
r3
F3
~ vS B S
r2
Iiαi
r4
3
F3
ω~2 , ω~3 , ω~4
4
r3
r3
2
r1
S
F3
1
Obr.9.6. Schématické znázornění planetového převodu.
Kdybychom měli řešit stejnou úlohu s ohledem na pasivní odpory (např. čepové tření), museli bychom nejprve určit příslušné reakce (v našem případě – při třech satelitech – by navíc bylo jejich určení staticky neurčité). Úloha by se tím značně zkomplikovala. Pro přibližné respektování pasivních odporů můžeme však využít pojmu účinnosti. Pracuje-li uvažovaný mechanismus v ustáleném stavu s danou účinností η , potom ztráty způsobené pasivními odpory budou při ustáleném režimu dány výkonem pasivních ~ odporů PZ , který plyne z bilance výkonů ~ ~ ~ PZ + P2 + P4 = 0 , ~ ~ přičemž P4 = −η P2 . Přijmeme-li předpoklad, že i při neustáleném (dynamickém) režimu budou ztráty přibližně ~ vyjádřeny stejnou hodnotou PZ , potom do bilance virtuálních výkonů připojíme člen ~ ~ ~ ~ PZ = − P2 − P4 = − ( 1 − η ) P2 = − ( 1 − η ) M 2 ω~2 . Příslušná pohybová rovnice bude mít potom tvar [ I 2 + I 4 p422 + 3 ( m3 r32 + I 3 ) p322 ] ϕɺɺ2 = η M 2 − M 4 p42 .
143
9-Analytická Mechanika
Postup při sestavení pohybové rovnice pomocí principu virtuální práce pro rovinou soustavu hmotných těles s jedním stupněm volnosti a časově nezávislých vazbách: 1- Analyzujeme pohyby a do pracovního schématu zakreslíme smysly pohybů a rotací jednotlivých těles. Dále do pracovního schématu zakreslíme všechny pracovní a setrvačné silové účinky. Setrvačné síly umisťujeme do těžišť, setrvačné momenty vztahujeme k těžištím. 2-Analyzujeme vazby, není – li některá ideální, pak příslušný vazební silový účinek zahrneme do pracovních 3- Vybereme základní zobecnělou souřadnici q. 5- Všechna posunutí a pootočení vyjádříme pomocí základního tj. nalezneme vztahy δrk = f(δ q ) a
djj =f(δ q). V případě konstantních převodů je pro tento účel možné používat vztahy mezi rychlostmi známé z kinematiky (vztahy mezi virtuálními posunutími jsou v tomto případě stejné jako mezi rychlostmi), podmínky valení apod. V případě nekonstantních převodů na pracovním diagramu zvolíme pevný počátek a na základě geometrických souvislostí vyjádříme souřadnice xk,, yk působišť všech pracovních a setrvačných sil pomocí zvolené zobecněné souřadnice q tj. nalezneme xk ( q ), yk ( q ) . Podobně v místě působišť všech pracovních a setrvačných momentů nalezneme závislosti ϕ j ( q ) . Variací těchto vztahů pak zjistíme vztahy δxk = f(δ q), δyk = f(δ q) a djj =f(δ q) 6- Napíšeme výraz pro celkovou virtuální práci všech pracovních i setrvačných silových účinků. Položíme-li v tomto výrazu koeficient u δ q roven nule, dostaneme pohybovou rovnici dané soustavy
Poznámka1: V případě obecných rovinných pohybů můžeme vektory virtuálních posunutí hledat pomocí základního rozkladu tj. jako součet virtuálního translačního posunutí referenčního bodu a virtuální rotace kolem bodu referenčního. Poznámka2: Pro uvažovaná virtuální posunutí se předpokládalo, že jsou to posunutí absolutních pohybů tj. pohybů vztažených k inerciální soustavě tj. k rámu. Při složených pohybech těles je proto nutné provést rozklad na pohyb unášivý a relativní, absolutní virtuální posunutí pak určit jako vektorový součet virtuálního posunutí pohybu unášivého a virtuálního posunutí pohybu relativního.
9.3 Sestavování pohybových rovnic Lagrangeových rovnic druhého druhu
pro
soustavu
těles
pomocí
Lagrangeovy rovnice druhého druhu jsou nejužívanější metodou analytické mechaniky při sestavování pohybových rovnic vázaných pohonových soustav. Umožňují sestavovat pohybové rovnice, z nichž jsou předem vyloučeny všechny vazbové síly, což je významné zejména u složitějších pohonových soustav. Metodický postup při sestavování pohybových rovnic zůstává v platnosti bez ohledu na druh souřadnicového systému, což umožňuje použít libovolný souřadnicový systém. Výhodou je i skutečnost, že jedinou dynamickou veličinou, kterou je nutno vyjádřit, je kinetická energie E k , což bývá zpravidla jednoduché. U konzervativních soustav lze dále využít pojmu potenciální energie E p a pracovat pak pouze se skalárními veličinami E k a E p .
144
9-Analytická Mechanika Obvyklý tvar rovnic je formulován pro holonomní vazby(tj. vazby nezávisející na čase) v nezávislých zobecněných souřadnicích. Pro soustavy s neholonomními vazbami lineárními v rychlostech nebo při použití závislých (přebytečných) souřadnic používáme Lagrangeových rovnic druhého druhu s multiplikátory (Lagrangeových rovnic smíšeného typu). Uvažujme soustavu těles, kterou lze modelovat jako soustavu N hmotných bodů o hmotnostech mi s n stupni volnosti, obecně mezi sebou vázaných vazebními rovnicemi typu ri = ri ( q1 , q2 , … , qn , t ) ,
(9.20)
kde ri představuje radiusvektor uvažovaného bodu a q1 , q 2 , … , q n je n zobecněných (nezávislých)
souřadnic – uvažujeme tedy pouze vazby holonomní, ať už reonomní nebo skleronomní. Při odvození základního tvaru Lagrangeových rovnic druhého druhu pro soustavu hmotných bodů vyjdeme z principu virtuálních prací ve tvaru N
∑[ i =1
kde
]
Fi − miɺɺ ri
δ ri = 0
,
(9.21)
Fi jsou pracovní síly působící na i-tý hmotný bod. Uvážíme-li, že variace radiusvektoru i-tého bodu je dána
následujícím výrazem
∂ ri δ qj j =1 ∂ q j n
δ ri = ∑
pak po dosazení tohoto výrazu do vztahu (2.21) dostaneme rovnici n
∑ j =1
N
∑ Fi i =1
n ∂ ri δ q − ∑ j ∂ q j j =1
N
∑m i =1
i
ɺrɺi
∂ ri δ qj = 0 , ∂ q j
(9.22)
která bude (vzhledem k libovolnosti variací zobecněných souřadnic) splněna tehdy, když budou splněny následující rovnice N
Q j − ∑ mi ɺrɺi i =1
kde
∂ ri =0, ∂ qj
(9.23)
Q j je zobecněná síla odpovídající souřadnici q j , přičemž je dána výrazem N
Q j = ∑ Fi i =1
∂ ri . ∂ qj
(9.24)
Další postup spočívá ve vhodnějším vyjádření druhého výrazu na levé straně rovnice (9.23). Derivováním rovnic vazby (9.20) dostaneme pro rychlosti následující vztah
rɺi ≡ a po jeho parciální derivaci podle
d ri ∂ ri n ∂ ri = +∑ qɺ j , d t ∂ t j =1 ∂ q j
qɺ j dostaneme ∂ rɺi ∂ rɺi = , ∂ qɺ j ∂ q j
(9.25)
(9.26)
dále zřejmě platí
ɺɺ ri
∂ ri d ∂ ri d ∂ ri = rɺi − rɺi . ∂ q j d t ∂ q j d t ∂ q j
(9.27)
V posledním členu (9.27) lze však psát
∂ ri ∂ rɺi , = d t ∂ q j ∂ q j ∂ ri jak plyne z totální derivace výrazu podle času ∂qj d
145
(9.28)
9-Analytická Mechanika ∂ ri n ∂ 2 ri ∂ 2 ri , qɺk + =∑ d t ∂ q j k =1 ∂ q j ∂ qk ∂ qj ∂ t a parciální derivace výrazu (2.25) podle q j d
n ∂ rɺi ∂ 2 ri ∂ 2 ri =∑ qɺk + , ∂ q j k =1 ∂ q j ∂ qk ∂ t ∂ qj
jejich porovnáním. S využitím vztahů (í.26) a (9.28) lze výraz (2.27) přepsat ve tvaru
ɺɺ ri
∂ ri ∂ rɺi ɺ ∂ rɺi d , = rɺi − ri ∂ q j d t ∂ qɺ j ∂ qj
(9.29)
který dosadíme do rovnice (9.23), tím obdržíme N
∑ i =1
d mi d t
∂ rɺi ∂ rɺi = Qj . rɺi − rɺi ∂ qɺ j ∂ q j
(9.30)
Jestliže ze vztahu pro kinetickou energii soustavy
Ek =
N
∑ i =1
1 E ki = 2
N
2
∑ m rɺ i
i
,
i =1
sestavíme výrazy N N ∂ Ek ∂ rɺi ∂ Ek ∂ rɺi , , = ∑ mi rɺi = ∑ mi rɺi (9.31) ∂ qɺ j i =1 ∂ qɺ j ∂ q j i =1 ∂ qj kterých využijeme ve vztahu (9.30), tím obdržíme následující rovnici d ∂ E k ∂ E k − = Qj , (9.32) d t ∂ qɺ j ∂ q j která představuje základní tvar Lagrangeových rovnic druhého druhu, platných pro libovolnou pohonovou soustavu podrobenou holonomním (reonomním nebo skleronomním) vazbám. Hodnoty zobecněných sil Qj určíme z rovnosti virtuální práce pracovních silových účinků a virtuální práce sil zobecněných. V technické praxi se často setkáme s případy, kdy pracovními silami jsou pouze síly potenciální. V takovém případě lze vyjádřit zobecněnou sílu odpovídající těmto silám pomocí parciální derivace potenciální energie tj. platí ∂ Ep Qj = − . (9.33) ∂qj Tím dostanou Lagrangeovy rovnice druhého druhu tvar d ∂ E k ∂ E k ∂ E p − + = 0. (9.34a) d t ∂ qɺ j ∂ q j ∂ q j Při působení potenciálové silové soustavy Ep nezávisí na zobecněných rychlostech. Pak lze zavést kinetický potenciál L=Ek-Ep a systém rovnic (9.34a) lze přepsat na tvar d ∂L ∂L = 0. (9.34b) − dt ∂qɺ j ∂q j V případě, že kromě sil potenciálového původu působí i jiné silové účinky (jejichž hodnota však nezávisí na rychlostech), Lagrangeovy rovnice 2. druhu přepíšeme na tvar
146
9-Analytická Mechanika d ∂L dt ∂qɺ j
∂L = Qj , (9.34c) − ∂q j kde hodnoty nepotenciálových sil Qj určíme z virtuální práce tj. jako koeficienty u zobecnělých virtuálních posunutí δ q j , do virtuální práce však v tomto případě pochopitelně nezahrnujeme síly potenciálové. Poznámka: Při řešení rotujících strojních soustav jsou přitom gravitační síly zanedbatelné proti silám dynamickým, proto zpravidla ani potenciální energii gravitačního pole Země v Ep neuvažujeme. Často působí tlumící síly závisející lineárně na rychlostech Fi = -bi v i , kde hodnoty bi představují koeficienty lineárního (viskózního) tlumení. Potom lze zavést zobecněnou sílu lineárního (viskózního) tlumení N ∂ ri d Q j = −∑ bi v i . , ∂ qj i =1 Zavedeme-li Rayleighovu disipativní funkci 1 N Rd = ∑ bi vi2 , (9.35) 2 i =1 pak zobecněnou sílu lineárního tlumení je možné určit ze vztahu ∂ Rd d Qj = − . ∂ qɺ j V případě viskózního tlumení lze tedy Lagrangeovy rovnice druhého druhu psát ve tvaru d ∂ E k ∂ E k ∂ E p ∂ Rd − + + = Qj . d t ∂ qɺ j ∂ q j ∂ q j ∂ qɺ j
147
(9.36)
(9.37)
9-Analytická Mechanika Postup při sestavování pohybových rovnic pomocí Lagrangeových rovnic II pro rovinnou soustavu s n0 volnosti: 1)Určíme počet stupňů volnosti soustavy n 2) Ze souboru všech souřadnic a všech pootočení určujících polohu jednotlivých těles soustavy vybereme nezávislé zobecněné souřadnice q1, q2....qn . Určíme kinetickou Ek a potenciální energii Ep soustavy. Za pomoci kinematických převodních vztahů obě energie vyjádříme jako funkce zobecněných rychlostí a zobecněných souřadnic 3) Do pracovního schématu zakreslíme nepotenciálové pracovní síly Fi a pracovní momenty Mk (v případě neideálních vazeb síly tření zahrneme mezi pracovní síly) a příslušná virtuální posunutí δ xi , δ yi a δϕ k jejich působišť. Všechna virtuální posunutí vyjádříme pomocí virtuálních posunutí zobecněných souřadnic. Přitom vycházíme buď z kinematických vztahů platných pro převod rychlostí (v případě konstantních převodů jsou vztahy mezi virtuálními posunutími a n ∂ xi rychlostmi stejné) nebo z variací souřadnic tj. ze vztahů δ xi = ∑ δ qj , j =1 ∂ q j n ∂ yi ∂ ϕk δ q j , δϕ k = ∑ δ qj . j =1 ∂ q j j =1 ∂ q j 4) Napíšeme vztah pro virtuální práci působících nepotenciálových n
δ yi = ∑
silových účinků
δ A = ∑ Fxi δ xi + ∑ Fyi δ xi + ∑ M k δϕ k = ∑ Q jδ q j . Po dosazení za δ xi , δ yi a δϕ k nalezneme zobecněné síly Q1,Q2…Qn pak jako koeficienty u δq1, δq2....δqn. Některé zobecněné silové účinky mohou být přitom nulové. 5) Napíšeme vztah pro L=Ek-Ep 1 6) V případě existence disipací určíme Rayleighovu disipační funkci Rd = ∑ b j qɺ j 2 j 8) Dosazujeme postupně do Lagrangeových rovnic 2.druhu a vygenerujeme systém n nezávislých pohybových rovnic d ∂L ∂L ∂R + = Qj − dt ∂qɺ j ∂q j ∂qɺ j
V případech, kdy nelze nebo kdy nechceme vyloučit přebytečné (závislé) souřadnice anebo u soustav s neholonomními vazbami používáme Lagrangeových rovnic s multiplikátory. Pro soustavu s n stupni volnosti, s ( n + k ) souřadnicemi (tj.soustava s k přebytečnými souřadnicemi), z nichž k je vázáno holonomními vazbami f s ( q1 , q2 , … , qn , qn+1 , … , qn+k , t ) = 0 , s = 1, 2 , … , k , (9.38) platí podle (2.22) následující rovnice N ∂ ri ∂ ri Fi . − ∑ mi rɺi . δ qj = 0 , ∑ ∑ ∂ q j i =1 ∂ q j j =1 i =1 přitom však pouze n variací δ q j ( j = 1, 2 , … , n ) je nezávislých, ostatní jsou vázány k vztahy n+ k
N
n+k
∑ j =1
∂ fs δ qj = 0 , ∂qj
148
(9.39)
9-Analytická Mechanika které dostaneme variováním vztahu (9.38). Vynásobením posledního vztahu neznámým koeficientem
λs
a
přičtením tohoto vztahu od rovnice (9.39), obdržíme vztah n+ k
N
∑ ∑ j =1
Fι .
i =1
Protože koeficienty
λs
N k ∂ ri ∂ ri ∂ fs − ∑ mi ɺrɺi . + ∑ λs ∂ q j i =1 ∂ q j s =1 ∂ qj
δ qj = 0 .
(9.40)
mohou být libovolné, zvolíme je tak, aby výrazy v hranatých závorkách vztahu (9.40)
byly rovny nule, tj. aby platilo N
∑ i =1
pro všechna
Fi .
N k ∂ ri ∂ ri ∂ fs − ∑ mi ɺrɺi . + ∑ λs =0, ∂ q j i =1 ∂ q j s =1 ∂ qj
(9.41)
j = 1, 2 , … , n + k . Multiplikátory λ s jsou ovšem neznámé a nutno je vypočítat na základě
podmínek uvedených při jejich zavedení. Upravíme-li první dva členy ve vztahu (9.41) podobně jako při odvození základního tvaru Lagrangeových rovnic druhého druhu, dostaneme soustavu rovnic k ∂ Ek ∂ Ek ∂ fs − , = Qj + λs (9.42) ∂ qɺ ∂ q ∂qj s =1 j j pro j = 1, 2 , … , n + k , které spolu s k rovnicemi vazby (2.38) umožňují určit ( n + k ) průběhů sou-řadnic q j ( t ) a k neznámých koeficientů λ s .
d dt
∑
Fyzikální smysl Lagrangeových multiplikátorů spočívá v tom, že vyjadřují zobecněnou vazbovou sílu, odpovídající reakčnímu účinku vazeb. Přitom platí k
∑ s =1
λs
N ∂ fs ∂ ri = QVj = ∑ FiV . . ∂ qj ∂ qj i =1
(9.43)
Prostřednictvím multiplikátorů lze tedy do Lagrangeových rovnic druhého druhu zavádět vazbové síly, resp. reakce, a lze je tedy z těchto rovnic vypočítat. Jiný postup zavedení reakcí do Lagrangeových rovnic druhého druhu spočívá v aplikaci principu uvolňování, podle něhož dynamický systém s vazbami lze vyšetřovat jako systém bez vazeb, jestliže účinky těchto vazeb nahradíme příslušnými reakcemi. Často postupujeme také tak, že nejprve vyšetříme časové průběhy nezávislých souřadnic z vlastních pohybových rovnic a reakce potom určíme z pohybových rovnic, sestavených metodami vektorové mechaniky (uvolňováním). Pro soustavu s n stupni volnosti a k přebytečnými souřadnicemi podrobenou navíc l neholonomním vazbám typu g s ( q1 , … , q n , qɺ 1 , … , qɺ n , t ) = 0 , s = 1, 2 , … , l , (9.44) dostaneme Lagrangeovy rovnice druhého druhu ve tvaru k l ∂ Ek ∂ Ek ∂ fs ∂ gs − , = Qj + λ + λ (9.45) s s ∂ qɺ ∂ q ɺ ∂ q ∂ q s = 1 s = 1 j j j j pro j = 1, 2 , … , n + k + l , které řešíme spolu s ( k + l ) rovnicemi vazby (9.38) a (9.44). Určíme tak
d dt
∑
∑
( n + k + l ) souřadnic q j ( t ) a ( k + l ) multiplikátorů λ s a λ s . Fyzikální smysl multiplikátorů
λs
a
λs
je analogický jako ve vztahu (9.43) a lze pomocí nich určit příslušnou
zobecněnou vazbovou sílu k
∑ s =1
λs
l N ∂ fs ∂ gs ∂ ri + ∑ λs = QVj = ∑ FiV . ∂ q j s =1 ∂ qɺ j ∂ qj i =1
(9.46)
Poznámka1: Zobecnělou vazbovou sílu Qk můžeme určit i redukcí, uděláme-li ze soustavy s n0 volnosti soustavu s 10 volnosti tím, že budeme považovat všechny zobecnělé souřadnice až na qk za konstantní. Poznámka2: Vedle Lagrangeových rovnic 2. druhu existují i Lagrangeovy rovnice 1. druhu, kterých se používá u vázaných soustav těles k vyšetřování jak pohybu tak i reakcí vazeb. Jejich význam je však pro technickou praxi malý ,nehledě k tomu, že jsme poznali metody vhodnější. Poznámka 3: Lagrangeovy rovnice 2.druhu, princip virtuální práce, obecná rovnice dynamiky a také metoda redukce dávají u soustav těles bez pasivních odporů bezprostředně vlastní pohybové rovnice soustavy. Jejich význam je však širší. V případě uvážení pasivních odporů je však můžeme také použít, přitom není nutné vždy provádět úplné uvolnění soustavy.
149
9-Analytická Mechanika y
Příklad 9.5. Těleso o hmotnosti m je zvedáno horizontální silou P smýkáním po dvou dokonale hladkých přímkách (viz. obr.9.6). Sestavte hlavní pohybovou rovnici.
A
e
T
e
yT
ϕ
B
P
xT xB
Obr.9.6. Schématické znázornění zadání k příkladu 9.5.
Řešení. Těleso má jeden stupeň volnosti. Za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel ϕ , protože pomocí něj určíme snadno polohy působišť pracovních a setrvačných sil. Platí
(
)
1 1 m vT2 x + vT2 y + IT ω 2 , E p = mgyT , kde ω = ϕɺ , vT x = xɺT , vT y = yɺT . 2 2 Z obrázku je zřejmé, že xT = e cos ϕ , xɺT = − e ϕɺ sin ϕ , yT = e sin ϕ , yɺT = e ϕɺ cos ϕ , Po dosazení do Lagrangeovy funkce dostáváme 1 L = EK − E p = ( IT + me 2 ) ϕɺ 2 − mg sin ϕ . 2 Zobecněnou sílu určíme z rovnosti virtuálních prací nepotenciálních pracovních a zobecnělých sil Qδϕ = Pδ x B . Velikost virtuálního posunutí δ xB dostaneme variací souřadnice xB tj. xB = 2e cos ϕ , δ xB = −2e sin ϕ δϕ , takže potom pro zobecněnou sílu dostáváme Q = 2 Pe sin ϕ . Po dosazení do L.R. II a úpravách dostaneme vlastní pohybovou rovnici ( IT + me 2 ) ϕ − 2 Pe sin ϕ + Ge cos ϕ = 0 . EK =
150
x
9-Analytická Mechanika Příklad 9.6. Mechanismus pravoúhlé kulisy, znázorněný na obr. 9.7, je zatížen silou F a hnací silovou dvojicí M h . Sestavte vlastní pohybovou rovnici.
4
1.1.1.1.2 T4
3
Mh
yT3
T3
r T2
2
φ
xT3 Obr.9.7. Schéma mechanismu pravoúhlé kulisy.
Řešení. Soustava těles má jeden stupeň volnosti. Za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel ϕ , protože pomocí něj určíme snadno další potřebné souřadnice, resp. rychlosti. Kinetická energie soustavy těles je dána součtem kinetických energií jednotlivých těles, tj. 1 1 1 EK = I 2 Aω 2 + m3 ( vT23 x + vT23 y ) + m4 vT24 y , E p = m3 gyT 3 + m4 gyT 4 + m2 g yT 2 2 2 2 kde ω = ϕɺ , vT 3 x = xɺ , vT 3 y = vT 4 y = yɺ . Z obrázku je zřejmé xT 3 = r cos ϕ , yT 3 = yT 4 = r sin ϕ ,
vT 3 x = − r ϕɺ sin ϕ , vT 3 y = vT 4 y = rϕɺ cos ϕ , yT 2 =
r sin ϕ 2
což po dosazení do Lagrangeovy funkce dává 1 2 m L = EK − E p = I 2 A + m3r 2 + m4 ( r cos ϕ ) ϕɺ 2 − 2 + m3 + m4 g r sin ϕ . 2 2 Dále určíme zobecněnou sílu z rovnosti virtuálních prací nepotenciálových pracovních sil Q δ ϕ = Mh δ ϕ − F δ y ,
přičemž z rovnice vazby plyne δ y = δ yT 3 = r cos ϕ δϕ , takže potom pro zobecněnou sílu dostáváme
151
9-Analytická Mechanika Q = M h − F r cos ϕ . Nyní provedeme operace naznačené na levé straně Lagrangeovy rovnice (9.32) : d ∂L 2 2 ɺ = I 2 A + m3r + m4 ( r cos ϕ ) ϕɺɺ dt ∂ϕ ∂L m = − m4 r 2 cos ϕ sin ϕ − 2 + m3 + m4 gr cos ϕ ∂ϕ 2 , a po dosazení a úpravách dostaneme vlastní pohybovou rovnici I 2 A + m3 r 2 + m4 ( r cos ϕ ) 2 ϕɺɺ − m4 r 2ϕɺ 2 sin ϕ cos ϕ − m2 + m3 + m4 gr cos ϕ = M h − Fr cos ϕ . 2
152
9-Analytická Mechanika
Příklad 9.7. Zdvihací zařízení, znázorněné na obr.9.8, je poháněno dvěma hnacími dvojicemi M 2 a M 3 . Úkolem je sestavit vlastní pohybové rovnice
M3
M2
ϕ2
r2
ϕ3
r3
3
2
ϕ4
r4 G4
4
y 5
G5
Obr.9.8. Schématické znázornění zdvihacího mechanismu.
Řešení. Kinetická energie soustavy těles je dána součtem kinetických energií jednotlivých těles, tj. 1 1 1 1 1 EK = EK 2 + EK 3 + EK 4 + EK 5 = I 2 ω22 + I 3 ω32 + I 4 ω42 + m4 v42 + m5 v52 2 2 2 2 2 , kde ω 2 = ϕɺ 2 , ω 3 = ϕɺ 3 , ω 4 = ϕɺ 4 , v4 = v5 = yɺ . Soustava těles má dva stupně volnosti. Za zobecněné souřadnice vybereme-li ϕ 2 a ϕ 3 . Z kinematiky rychlostí rovinného pohybu
153
9-Analytická Mechanika r2 ϕ2 + r3 ϕ3 r ϕɺ − r ϕɺ , ϕɺ4 = 3 3 2 2 . 2 2r4 Stejné vztahy platí i mezi virtuálními posunutími tj. platí r δ ϕ 2 + r3 δ ϕ 3 r δ ϕ 3 − r2 δ ϕ 2 δ y= 2 , δ ϕ4 = 3 , 2 2 r4 což po dosazení vztahu pro kinetickou energii tělesa dává v = v4 = v5 =
2
r ϕɺ − r ϕɺ 1 1 1 m + m5 r2 ϕɺ2 + r3 ϕɺ3 EK = I 2 ϕɺ22 + I 3 ϕɺ32 + I 4 3 3 2 2 + 4 2 2 2 2 r4 2 2 . Dále určíme zobecněné sílyz rovnosti virtuálních prací zobecněných a pracovních sil Q2 δ ϕ 2 + Q3 δ ϕ 3 = M 2 δ ϕ 2 + M 3 δ ϕ 3 − ( G4 + G5 ) δ y , Z kinematiky vazeb plyne, takže potom pro zobecněnou sílu dostáváme r δ ϕ 2 + r3 δ ϕ 3 δ y= 2 , 2 takže potom pro zobecněné síly dostáváme G + G5 G + G5 Q2 = M 2 − 4 r2 , Q3 = M 3 − 4 r3 . 2 2 Nyní provedeme operace naznačené na levé straně Lagrangeovy rovnice (9.32) : ∂ Ek ∂ Ek = =0, ∂ ϕ2 ∂ ϕ3 r ϕɺ − r ϕɺ m + m5 r2 ϕɺ 2 + r3 ϕɺ3 ∂ Ek = I 2 ϕɺ 2 − I 4 3 3 22 2 r2 + 4 r2 , ∂ ϕɺ 2 4 r4 2 2 ∂ Ek r ϕɺ − r ϕɺ m + m5 r2 ϕɺ 2 + r3 ϕɺ3 = I 3 ϕɺ3 + I 4 3 3 22 2 r3 + 4 r3 , ∂ ϕɺ 3 4 r4 2 2
2
r ϕɺɺ − r ϕɺɺ m + m5 r2 ϕɺɺ2 + r3 ϕɺɺ3 = I 2 ϕɺɺ2 − I 4 3 3 22 2 r2 + 4 r2 , 4 r4 2 2 r ϕɺɺ − r ϕɺɺ m + m5 r2 ϕɺɺ2 + r3 ϕɺɺ3 = I 3 ϕɺɺ3 + I 4 3 3 22 2 r3 + 4 r3 4 r4 2 2 a po dosazení a úpravách dostaneme vlastní pohybové rovnice m + m5 r22 m4 + m5 2 r r G + G5 I + I + r2 ϕɺɺ2 + 4 r2 r3 − I 4 2 32 ϕɺɺ3 = M 2 − 4 r2 , 2 4 2 4 r4 4 4 4 r4 2 ∂ Ek ∂ ϕɺ 2 d ∂ Ek d t ∂ ϕɺ3
d dt
m + m5 r32 m + m5 2 r r I + I + 4 r3 ϕɺɺ3 + 4 r2 r3 − I 4 2 32 3 4 2 4 r4 4 4 4 r4
154
G4 + G5 r3 . ϕɺɺ2 = M 3 − 2
9-Analytická Mechanika
Příklad 9.8. Sestavte vlastní pohybovou rovnici u planetového převodu se třemi jednoduchými satelity a nepohyblivým korunovým kolem. Mechanismus je poháněn na hnací straně silovou dvojicí M 2 a zátěžnou dvojicí M 4 na straně unášeče (obr.9.9). Účinek gravitačních sil zanedbejte. Řešení. Mechanismus má jeden stupeň volnosti. Za zobecněnou souřadnici zvolíme úhel ϕ 2 natočení centrálního kola 2, natočení dalších kol vyjádříme pomocí tohoto základního úhlu. Kinetická energie planetového převodu je dána. 1 1 3 3 E K = EK 2 + 3 EK 3 + E K 4 = I 2 ω 22 + I 4 ω 42 + I 3 ω 32 + m3 v32 . 2 2 2 2 kde ω 2 = ϕɺ 2 , ω 3 = ϕɺ 3 , ω 4 = ϕɺ 4 . Z podmínek valení pro body A a B plyne v A = v3 = r4ω4 = − r3ω3 , v B = r2ω2 = −2r3ω3 , odkud dostaneme r r ω 3 = − 2 ω 2 = − p32 ω 2 , ω 4 = 2 ω 2 = p42 ω 2 , 2 r3 2 r4 v3 = r3 p32 ω 2 = r4 p42 ω 2 , P 31 M2
M4 r 3 1.1.1.1.2.1.1.1
v3
B
r2
r4
3
v3
ω2 , ω3 , ω4
4
r3
2
r3 r1
v3 1
Obr.9.9. Schématické znázornění planetového převodu.
kde p32 , resp. p42 označuje převod mezi členem 3 resp. členem 4 a tělesem 2. Potom kinetická energie planetového mechanismu je 1 EK = [ I 2 + I 4 p422 + 3 ( I 3 + m3 r32 ) p322 ] ϕɺ 22 . 2
155
9-Analytická Mechanika Dále určíme zobecněnou sílu, např. z rovnosti virtuálních prací Qδϕ2 = M 2δϕ2 − M 4δϕ4 , přičemž z rovnice vazeb plyne, takže potom pro zobecněnou sílu dostáváme r δϕ 4 = 2 δϕ2 = p42δϕ2 , 2 r4 takže potom pro zobecněnou sílu dostáváme Q = M 2 − M 4 p42 . Nyní provedeme operace naznačené na levé straně Lagrangeovy rovnice (9.32) : ∂ Ek =0, ∂ ϕ2 ∂ Ek = [ I 2 + I 4 p422 + 3 ( I 3 + m3 r3 2 ) p322 ] ϕɺ 2 , ∂ ϕɺ 2
d ∂ Ek = [ I 2 + I 4 p422 + 3 ( I 3 + m3 r32 ) p322 ] ϕɺɺ2 , d t ∂ ϕɺ 2 a po dosazení a úpravách dostaneme vlastní pohybovou rovnici [ I 2 + I 4 p422 + 3 ( I 3 + m3 r3 2 ) p322 ] ϕɺɺ2 = M 2 − M 4 p42 .
9.4 Hamiltonův princip Hamiltonův princip je z hlediska řešení technických úloh nejvýznamnějším z integrálních variačních principů. Integrální principy zkoumají soustavu v určitém konečném časovém intervalu a sledují ji jako celek. Variačními se nazývají proto, že sestavení pohybových rovnic vyplyne z podmínky nulové variace (tj. stacionárnosti) určitého omezeného integrálu J (fukcionálu), který je nezávislý na jistých skalárních mechanických veličinách. Variační úloha je přitom formulována tak, že se v časovém intervalu sleduje pohyb pohonové soustavy po různých virtuálních drahách (splňující podmínky vazeb), které však v koncových bodech intervalu odpovídají poloze soustavy při skutečném pohybu. Přitom se mezi těmito variovanými dráhami hledá taková, na níž příslušný funkcionál J má stacionární hodnotu (tj. δ J = 0 ), tzn. že hledaná trajektorie je pak extremálou funkcionálu J . Hledané pohybové rovnice jsou pak totožné s Eulerovými rovnicemi příslušného variačního problému.Výhodou tohoto principu je zejména skutečnost, že jeho formulace je nezávislá na volbě souřadnicového systému a že jeho platnost není omezena jen na oblast klasické mechaniky. Principu lze dobře využít k sestavování pohybových rovnic složitých systémů, např. systémů se spojitě rozloženými parametry, systémů obsahujících i nemechanické prvky a dále k formulaci některých přibližných metod popisujících chování složitých systémů. V případech, kdy použití Hamiltonova principu vede k Lagrangeovým rovnicím druhého druhu, je ovšem jejich přímé použití rychlejší (tak tomu bývá zpravidla u diskrétních modelů pohonových soustav). Při odvození Hamiltonova principu vyjdeme z principu virtuálních prací pro soustavu N hmotných bodů ve tvaru N
∑[ i =1
Fi − mi ɺɺ ri
který můžeme s využitím identity
ɺɺ ri δ ri =
]
δ ri = 0 ,
d ( rɺi δ ri ) − ɺɺ ri δ rɺi , d t
(9.47a)
(9.47b)
přepsat do následujícího tvaru N
∑ i =1
N
N
i =1
i =1
Fi δ ri + ∑ mi rɺi δ rɺi = ∑ mi
Uvážíme-li, že pro členy na levé straně rovnice (9.47) platí :
156
d ( ɺɺɺ ri δ ri ) . d t
(9.47c)
9-Analytická Mechanika N
∑ i =1
1 2 kde
δA
Fi ri = A → N
∑ i =1
N
∑
Fi δ ri = δ A
i =1
mi rɺ = Ek → 2 i
je variace práce působících sil a
δ Ek
(9.48a)
N
∑ i =1
mi rɺi δ rɺi = δ Ek
je variace kinetické energie, pak lze rovnici (9.47) psát ve tvaru
N mi rɺi δ ri , ∑ d t i =1 a po integraci tohoto vztahu v časovém intervalu a , b , dostaneme
δ A + δ Ek =
d
∫a ( δ A + δ Ek ) d t = b
N
∑ i =1
(9.48b)
b
mi rɺi δ ri . a
Jelikož variované trajektorie jsou voleny tak, aby v koncových bodech časového intervalu
( δ ri ) t = a = ( δ ri ) t = b = 0 ,
(9.48c)
a , b bylo (9.48d)
bude výraz na pravé straně rovnice (9.48) roven nule, čímž obdržíme vztah b
δ J ≡δ
∫( A+ E ) d t = 0, k
(9.49)
a
který je matematickým vyjádřením Hamiltonova principu : Sledujeme-li pohyb soustavy po libovolných izochronně variovaných drahách, které v koncových bodech časového intervalu procházejí stejnými body jako při skutečném pohybu, pak pro skutečný pohyb soustavy platí, že variace integrálu J je rovna nule. Jestliže síly působící na soustavu mají potenciál, pak platí δ A = −δ E p a Hamiltonův princip se vyjádří takto b
δ J ≡δ
∫( E − E ) d t = 0 . k
p
(9.50)
a
Tato rovnice zřejmě odráží to, že při pohybu těles v konzervativním potenciálovém poli práci A vykonávají jen síly potenciálové a při přechodu soustavy z jednoho stavu do druhého dochází k vzájemným přeměnám kinetické energie na potenciální. Tyto přeměny přitom nezávisí na prošlých drahách tj. jsou vykonávány mimo čas.
U soustavy s jedním stupněm volnosti můžeme Hamiltonův princip zapsat pomocí ɺ ) =Ek-Ep tj. variace časového integrálu kinetického potenciálu L= L( q ,q,t b
δ ∫ L dt = 0 ,
(9.51)
a
b
kde J = ∫ Ldt je tzv. Hamiltonův účinek (Hamiltonova akční funkce). a
Platí tedy b
∂L
∂L
∫ ∂q δ q + ∂qɺ δ qɺ dt = 0 a
157
(9.52)
9-Analytická Mechanika
označíme-li u =
∂L d d ∂L ,vɺ = δ qɺ = (δ q ) ,uɺ = ,v = δ q , pak integrací per partes ∂qɺ dt dt ∂qɺ
dostáváme b
b ∂L ∂L d ∂L ɺ . ∫ δ q dt = δ q − ∫ δ q dt ∂qɺ ∂qɺ a a dt ∂qɺ a b
(9.53) b
Protože variovaná funkce S má
δ ( q )t =a = 0, δ ( q )t =b = 0 , platí tedy
∂L ∂qɺ δ q = 0 . a
Z podmínky stacionárnosti Hamiltonova účinku tedy dostáváme Lagrangeovy rovnice II. druhu d ∂L ∂L =0 − dt ∂qɺ ∂q
(9.54)
Podobně lze využít Hamiltonova principu při formulaci metody konečných elementůposuvy v libovolném místě tělesa vyjadřujeme jako lineární kombinaci tvarových funkcí a zobecněných posuvů ve vybraných bodech (uzlech).Tím se nahradí spojité těleso (soustava těles) náhradní soustavou-diskrétním modelem, složeným z konečného počtu částí-prvků s přesně definovanými vlastnostmi
Kontrolní otázky Z čeho vychází řešení soustav těles metodami analytické mechaniky? Co je hlavní výhodou metod analytické mechaniky? Co je to virtuální posunutí a virtuální práce? Jak sestavujeme pohybové rovnice pro soustavy těles s jedním stupněm volnosti pomocí principu virtuální práce? 5) Napište Lagrangeovy rovnice II pro jeden stupeň volnosti
1) 2) 3) 4)
158
