8. FUNGSI TRANSENDEN
MA1114 KALKULU I
1
8.1 Fungsi Invers Misalkan f : D f → R f dengan
x a y = f (x) Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v atau jika u ≠ v maka f (u ) ≠ f (v )
y=x
y = x2
y = −x
u fungsi y=x satu-satu
fungsi y=-x satu-satu MA1114 KALKULUS I
v
fungsi y = x 2 tidak satu-satu 2
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik. Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi f −1
f −1 : R f → D f
y a x = f −1 ( y )
R Df x= f
−1
R f
x ( y)
f
Berlaku hubungan Rf
f
y=f(x)
f(f
−1
( f ( x)) = x −1
( y )) = y
−1
D f −1 = R f , MA1114 KALKULUS I
R f −1 = D f 3
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers f(x)=x
f ' ( x ) = 1 > 0, ∀x ∈ R f selalu naik
f(x)=-x f ' ( x ) = −1 < 0, ∀x ∈ R f selalu turun
⎧> 0, x > 0 f ' ( x) = 2 x = ⎨ ⎩< 0, x < 0 f naik untuk x>0 turun untuk x <0
f ( x) = x
f ( x) = x 2
f ( x) = − x
v
u
f
−1
ada
f
−1
ada
MA1114 KALKULUS I
f
−1
tidak ada
4
x −1 Contoh : Diketahui f ( x ) = x+2 a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya Jawab
3 1.( x + 2) − 1.( x − 1) = > 0, ∀x ∈ Df a. f ' ( x) = 2 2 ( x + 2) ( x + 2) Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers b.
Misal y = x − 1
x+2
xy + 2 y = x − 1 − 2y −1 f ( y) = y −1 −1
− 2y −1 x y − x = −2 y − 1 ⇒ x = y −1 − 2x − 1 ⇒ f ( x) = x −1 −1
MA1114 KALKULUS I
5
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.
f ( x) = x 2
f ( x) = x 2
u
Untuk x>0 f
−1
ada
Untuk x<0 f
−1
ada
v
Untuk x ∈ R f −1 tidak ada
f ( x) = x 2
MA1114 KALKULUS I
6
Grafik fungsi invers Titik (x,y) terletak pada grafik f
Titik (y,x) terletak pada grafik f −1
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x
f
Grafik f dan f f
−1
semetri terhadap garis y=x
−1
MA1114 KALKULUS I
7
Turunan fungsi invers Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan pada selang I. Jika f −1 ( x) ≠ 0, x ∈ I maka f −1 dapat diturunkan di y=f(x) dan
1 ( f )' ( y ) = f ( x) −1
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dx 1 = dy dy / dx Contoh Diketahui f ( x) = x 5 + 2 x + 1 tentukan ( f −1 )' (4) Jawab :
f ' ( x) = 5 x 4 + 2 ,y=4 jika hanya jika x=1
1 1 ( f )' (4) = = f ' (1) 7 −1
MA1114 KALKULUS I
8
Soal Latihan Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari 1.
1 f (x ) = x + , x>0 x
2.
f (x ) = 3 2x − 1
3. f ( x ) = 5 4 x + 2 4. f ( x ) =
5 x2 + 1
, x≥0
5. f ( x ) = x + 1 x −1 6.
f ( x) =
2x − 3 x+2 MA1114 KALKULUS I
9
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
x 1
ln x = ∫
1
t
dt , x > 0
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
⎛x1 ⎞ 1 D x [ln x ] = D x ⎜⎜ ∫ dt ⎟⎟ = ⎝1 t ⎠ x
.
Secara umum, jika u = u(x) maka
⎛ u ( x ) 1 ⎞ 1 du D x [ln u ] = D x ⎜⎜ ∫ dt ⎟⎟ = ⎝ 1 t ⎠ u dx MA1114 KALKULUS I
10
f ( x ) = ln(sin( 4 x + 2 )) 1 f ' ( x ) = D x (sin( 4 x + 2 )) = 4 cot( 4 x + 2 ) maka sin( 4 x + 2 )
Contoh : Diberikan
Jika
Jadi,
y = ln | x | , x ≠ 0 ⎧ ln x , x > 0 =⎨ ⎩ln(− x) , x < 0 1 d (ln | x |) = , x ≠ 0. dx x
Dari sini diperoleh :
y = ln x → y ' =
1 x
y = ln( − x ) → y ' =
−1 1 = −x x
1 ∫ x dx = ln | x | + C
Sifat-sifat Ln : 1. ln 1 = 0 2. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
4 . ln a r = r ln a
MA1114 KALKULUS I
11
4
Contoh: Hitung
∫ 0
x2 dx 3 x + 2
jawab Misal u = x + 2 → du = 3 x dx 3
2
x2 x 2 du ∫ x 3 + 2 dx = ∫ u 3x 2
=
1 1 1 du = ln | u | +c ∫ 3 u 3
1 = ln | x 3 + 2 | +c 3 sehingga 4
]
4 x2 1 3 ∫0 x 3 + 2dx = 3 ln | x + 2 | 0
1 1 = (ln 66 − ln 2) = ln 33. 3 3
MA1114 KALKULUS I
12
Grafik fungsi logaritma asli Diketahui x
a. f ( x) = ln x =
f(x)=lnx
1 b. f ' ( x) = > 0 ∀x ∈ D f x
f selalu monoton naik pada Df
c. f ' ' ( x ) = − 1
dt ∫1 t , x > 0
1 < 0 ∀x ∈ D f 2 x
Grafik selalu cekung kebawah d. f(1) = 0
MA1114 KALKULUS I
13
8.3 Fungsi Eksponen Asli
1 > 0 untuk x > 0 , maka fungsi logaritma asli Karena D x [ln x ] = x
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku hubungan
y = exp( x ) ⇔ x = ln y
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x)) Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
e r = exp(ln e r ) = exp r ln e = exp r MA1114 KALKULUS I
exp ( x) = e x 14
Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan
y = ex
⇔
x = ln y
dy 1 = = y = ex dx dx / dy
dx 1 = dy y
Jadi, Dx (e x ) = e x Secara umum
Dx (eu ( x ) ) = eu .u '
Sehingga x x e dx = e +C ∫ MA1114 KALKULUS I
15
Grafik fungsi eksponen asli Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
y=exp (x)
y=ln x
1 1
Contoh
D x (e 3 x ln x ) = e 3 x ln x .D x (3 x ln x) = e 3 x ln x (3 ln x + 3). MA1114 KALKULUS I
16
Contoh Hitung
e3/ x ∫ x 2 dx Jawab : Misalkan u =
3 1 1 −3 → du = 2 dx → 2 dx = − du x 3 x x
Sehingga
e3/ x 1 u 1 u 1 3/ x ∫ x 2 dx = ∫ − 3 e du = − 3 e + c = − 3 e + c.
MA1114 KALKULUS I
17
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi h( x) , f ' ( x) = ? Diketahui f ( x ) = ( g ( x ))
ln( f ( x )) = h ( x ) ln( g ( x )) D x (ln( f ( x))) = D x (h( x) ln( g ( x))) f ' ( x) h( x ) g ' ( x) = h' ( x) ln( g ( x)) + f ( x) g ( x) ⎛ ⎞ h( x ) f ' ( x) = ⎜⎜ h' ( x) ln( g ( x)) + g ' ( x) ⎟⎟ f ( x) g ( x) ⎝ ⎠
MA1114 KALKULUS I
18
Contoh Tentukan turunan fungsi f ( x) = (sin x) 4 x Jawab Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli
ln f ( x) = ln(sin x) 4 x = 4 x ln(sin( x)) Turunkan kedua ruas
D x (ln f ( x)) = D x (4 x ln(sin( x)))
f ' ( x) 4x = 4 ln(sin( x)) + cos x = 4 ln(sin( x)) + 4 x cot x f ( x) sin x f ' ( x) = (4 ln(sin( x)) + 4 x cot x)(sin x) 4 x
MA1114 KALKULUS I
19
b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi
lim f ( x) g ( x ) = ? x→a
Untuk kasus (i) lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = 0 x→a
x→a
f ( x ) = ∞, lim g ( x ) = 0 (ii) lim x→a x→a
f ( x) = 1, lim g ( x ) = ∞ (iii) lim x→a x→a Penyelesaian : Tulis lim( f ( x) x →a
g ( x)
) = lim[exp ( ln f ( x) g ( x ) )] = lim exp g ( x )[ln f ( x )] x→a
x→ a
Karena fungsi eksponen kontinu, maka
lim exp g ( x) ln ( f ( x) = exp lim g ( x) ln f ( x) x→a
x→a
MA1114 KALKULUS I
20
Contoh Hitung a.
lim x x
x→ 0+
b. lim (1 + x ) x →0
1 x
(
)
c. lim x 3 + 1 x →∞
1 / ln x
Jawab a.
lim+ ( x x ) = exp lim+ x ln x
x →0
x →0
(bentuk 0.∞ )
Rubah ke bentuk ∞ / ∞ lalu gunakan dalil L’hopital 1 ln x x = exp(0) = 1 = exp lim+ −1 = exp xlim →0 + 1 x →0 x − 2 x b.
1 ln(1 + x) lim ( (1 + x)1 / x ) = lim exp . . ln(1 + x) = exp lim x →0 x →0 x x →0 x MA1114 KALKULUS I
21
Gunakan dalil L’hopital
1 = exp lim = exp 1 = e x→0 1 + x sehingga
lim (1 + x ) = e 1 x
x→0
c.
(
)
lim x + 1 x →∞
3
1 / ln x
1 ln( x 3 + 1) 3 = exp lim ln( x + 1) = exp lim x → ∞ ln x x →∞ ln x
Gunakan dalil L’hopital
3x 2 3 3x 3 x 3 (3) + 1 x = exp lim . = exp lim 3 = exp lim 3 x →∞ 1 / x x → ∞ x (1 + 1 ) x →∞ x + 1 x3 (3) 3 = exp lim = exp 3 = e . 1 x →∞ (1 + ) x3 MA1114 KALKULUS I
22
Soal latihan A.Tentukan
y'
dari
(
1.
y = sec e 2 x + e 2 sec x
6.
y = ln x 2 − 5 x + 6
2.
y = x 5 e −3 ln x
7.
y = ln cos 3 x
3.
y = tan e
4. y
2
x
e 2 x + xy 3 = 1
5. e y = ln( x 3 + 3 y )
8.
y=
)
ln x x2
(
9. y = ln sin x
)
10. y = sin(ln( 2 x + 1))
MA1114 KALKULUS I
23
B. Selesaikan integral tak tentu berikut 1. ∫
4 dx 2x + 1
2 ln 3x 2. ∫ dx x
x
∫
2
x +x+5
7.
∫ ( x + 3) e
8.
∫e
3
3. ∫ 2 dx x +1 tan(ln x) dx 4. ∫ x
5. ∫
6.
4x + 2
2 x ( ln x)
dx 2
−x
dx
x 2 + 6x
2
(
11. dx
sec 2 − e
−x
9.
sin x (cos x ) e dx ∫
10.
2 ln x e dx ∫
MA1114 KALKULUS I
) dx
∫x e
2 2 x3
dx
e2x 12. ∫ e x + 3 dx 13.
e3x ∫ (1 − 2e 3 x ) 2 dx
24
C. Selesaikan integral tentu berikut ln 2 4 3 −3 x dx 1. ∫ 6. ∫ e dx 1 − 2x 1 0 4
3
1
2. 1∫ x (1 + x ) dx ln 3
3. 4.
∫
e
7.
x
x
− ln 3 e + 4 ln 5 x
2
dx
(
8.
1
5. ∫ e
)
dx
e2
9. 2x+ 3
∫ xe
4− x 2
0
x ∫ e 3 − 4 e dx
0
2 e x ∫ 2 dx 1 x
dx ∫e x(ln x) 2
dx
0
MA1114 KALKULUS I
25
D. Hitung limit berikut :
1.
lim x
1 1− x
5.
x →1
2. lim(1 + sin 2 x ) x →0
2⎤ ⎡ lim cos 3. ⎢ x ⎥⎦ x→∞ ⎣
4.
(
lim+ e
x →0
2x
1 x
x →∞
7.
)
x →∞
6. lim(ln x )
x2
−1
(
lim 1 + x
1 ln x
(
)
1 2 ln x
1 x
lim 3 x + 5 x →∞
)
1 x x
⎛ x + 1⎞ 8. lim ⎜⎝ x + 2 ⎟⎠ x→∞
MA1114 KALKULUS I
x
26
8.5 Fungsi Eksponen Umum Fungsi
f ( x) = a x, a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x ∈ R, didefinisikan
a x = e x ln a
Turunan dan integral
D x ( a x ) = D x ( e x ln a ) = e x ln a ln a = a x ln a Jika u = u(x), maka
Dx (a u ) = Dx (eu ln a ) = eu ln a ln a.u ' = a u u ' ln a Dari sini diperoleh : :
x a ∫ dx =
1 x a +C ln a MA1114 KALKULUS I
27
Sifat–sifat fungsi eksponen umum Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku 1.
a x a y = a x+ y
ax x− y = a 2. ay 3.
(a x ) y = a xy
4.
(ab) x = a x b x
5.
ax ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = x b ⎝b⎠
x
MA1114 KALKULUS I
28
Contoh 1. Hitung turunan pertama dari
f ( x ) = 3 2 x +1 + 2 sin 2 x Jawab :
f ' ( x ) = 2 .3 2 x +1 ln 3 + 2 .2 sin 2 x ln 2 2. Hitung
∫4
x2
.xdx
Jawab :
Misal
u = x 2 → du = 2 xdx → dx = x 4 ∫ .xdx = 2
u 4 ∫
u
1 2x
du
x2
du 1 4 4 = +C = +C 2 2 ln 4 2 ln 4
MA1114 KALKULUS I
29
Grafik fungsi eksponen umum Diketahui a. f ( x) = a x , a > 1
f ( x) = a x , a > 0 Df = ( −∞ , ∞ )
⎧a x ln a < 0 , 0 < a < 1 b. f ' ( x) = a ln a = ⎨ x ⎩ a ln a > 0 , a > 1 f monoton naik jika a > 1 monoton turun jika 0 < a < 1 x
c. f ( x ) = a x ,0 < a < 1
f ' ' ( x) = a x (ln a) 2 > 0 ∀ x ∈ D f Grafik f selalu cekung keatas
d. f(0) = 1
MA1114 KALKULUS I
30
8.6 Fungsi Logaritma Umum Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi a log x , sehingga berlaku : y y = a log x ⇔ x = a
Dari hubungan ini, didapat
ln x ln x = ln a = y ln a ⇒ y = ln a y
Sehingga
D x ( a log x ) = D x (
Jika u=u(x), maka
⇒
a
ln x log x = ln a
ln x 1 )= ln a x ln a
ln u u' D x ( log u ) = D x ( )= ln a u ln a a
MA1114 KALKULUS I
31
Contoh Tentukan turunan pertama dari 1. f ( x)= 3 log( x 2 + 1)
x +1 2. f ( x ) = log( ) x −1 4
Jawab : 1. 2.
ln( x 2 + 1) f ( x)= log( x + 1) = ln 3 3
2
x +1 ln( + x 1 4 x −1 ) f ( x)= log( )= x −1 ln 4
2x 1 f ' ( x) = 2 x + 1 ln 3 f ' ( x) =
1 1 x +1 ( Dx ) x +1 ln 4 ( x −1 ) x −1
1 x − 1 x − 1 − ( x + 1) ln 4 x + 1 ( x − 1) 2 −2 1 = ln 4 ( x + 1)( x − 1)
=
MA1114 KALKULUS I
32
Grafik fungsi logaritma umum Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x Untuk a > 1
Untuk 0 < a < 1
f ( x ) = a x ,0 < a < 1
f ( x) = a x , a > 1
MA1114 KALKULUS I
33
Soal Latihan A. Tentukan
y ' dari 2x 4 − 4x
1. y = 3
(
2. y = 10 log x 2 + 9
)
3. x 3 log( xy ) + y = 2 B. Hitung 1. 2.
5x −1
∫ 10
dx
x
2
∫ x 2 dx MA1114 KALKULUS I
34
8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satusatu sehingga mempunyai invers. a. Invers fungsi sinus Diketahui f(x) = sinx , −2π ≤ x ≤ −π 2
π 2
π 2
Karena pada −2π ≤ x ≤ π2 f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau sin −1 ( x) Sehingga berlaku
y = sin −1 x ⇔ x = sin y MA1114 KALKULUS I
35
Turunan Dari hubungan y = sin −1 x ⇔ x = sin y − 1 ≤ x ≤ 1, −2π ≤ y ≤
π 2
dan rumus turunan fungsi invers diperoleh dy 1 1 1 1 = = , | x |< 1 = = 2 2 dx dx / dy cos y 1 − sin y 1− x
atau Dx (sin −1 x) =
1 1− x2
Jika u=u(x) D x (sin −1 u ) =
u' 1− u2
Dari rumus turunan diperoleh
∫
dx 1− x2
= sin −1 x + C
MA1114 KALKULUS I
36
b. Invers fungsi cosinus monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers
Fungsi f(x) = cosx ,0 ≤ x ≤ π
Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau cos −1 ( x)
f ( x) = cos x
Berlaku hubungan
π
y = cos −1 x ⇔ x = cos y Turunan
Dari
y = cos −1 x ⇔ x = cos y −1 dy 1 = = dx dx / dy sin y
,−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π =
−1 1 − cos y 2
=
MA1114 KALKULUS I
−1 1− x
2
diperoleh
, | x |< 1 37
atau
Dx (cos −1 x) =
−1 1− x2
− u'
Dx (cos −1 u ) =
Jika u= u(x)
1− u2
Dari rumus turunan diatas diperoleh
∫
dx 1− x2
= sin −1 x + C
Contoh
D x (sin
−1
( x )) = 2
D x (cos −1 (tan x )) =
1 1 − (x2 )2
Dx ( x 2 ) =
−1 1 − (tan x)
2
2x 1− x4
D x (tan x) =
MA1114 KALKULUS I
− sec 2 x 1 − tan 2 x
38
Contoh Hitung
∫
Gunakan rumus
1 4− x
2
∫
dx
1 1− u2
du = sin −1 (u ) + C
Jawab :
∫
1 4 − x2
dx = ∫
Misal u =
∫
1 4(1 −
2
x ) 4
dx
=
1 2∫
1 x (1 − ( ) 2 2
dx
x → du = 12 dx → dx = 2du 2
1
2 −1 dx = 1 du = sin u+C 2 ∫ 2 4− x 2 (1 − u
MA1114 KALKULUS I
= sin −1 ( 2x ) + C
39
c. Invers fungsi tangen Fungsi f(x) = tanx,
−π 2
≤x≤
π 2
Monoton murni (selalu naik) sehingga mempunyai invers.
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, −1 notasi arc tanx atau tan ( x) Berlaku hubungan −π 2
f(x)=tanx
y = tan −1 x ⇔ x = tan y
π 2
Turunan Dari y = tan −1 x ⇔ x = tan y
, −2π < y < π2
dan turunan fungsi invers diperoleh
1 1 dy 1 1 = = = = 1 + tan 2 y 1 + x 2 dx dx / dy sec 2 y MA1114 KALKULUS I
40
atau Dx (tan −1 x) = Jika u=u(x)
dx −1 = tan x+C ∫ 1+ x2
1 1+ x2
Dx (tan −1 u ) =
u' 1+ u2
d. Invers fungsi cotangen Fungsi f(x)= cot x ,0 < x < π selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers Definisi Invers dari fungsi cot x disebut −1 Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot x
f(x)=cotx
Berlaku hubungan
y = cot −1 x ⇔ x = cot y
π Turunan
−1 −1 dy 1 1 = = = =− 2 2 1 + cot y 1 + x 2 dx dx / dy csc y MA1114 KALKULUS I
41
atau
Dx (cot −1 x) =
Jika u=u(x)
−1 1+ x2
dx −1 = − cot x+C ∫ 1+ x2
Dx (cot −1 u ) =
− u' 1+ u2
Contoh −1
D x (tan ( x + 1) =
1
2
D x (cot −1 (sin x )
Dx( x + 1) 2
2x = 1 + ( x 2 + 1) 2
1 + ( x + 1) −1 − cos x = Dx (sin x ) = 1 + (sin x) 2 1 + sin 2 x 2
2
Contoh Hitung a.
dx ∫ 4 + x2
b.
dx ∫ x 2 + 2x + 4 MA1114 KALKULUS I
42
Jawab a.
1 ∫ 4 + x 2 dx = ∫
1 x2 4(1 + ) 4
dx
=
1 1 dx ∫ 4 1 + ( x )2 2
x u = → du = 12 dx → dx = 2du 2 1 1 2 1 −1 dx = du = tan u +C 2 ∫ 4 + x2 ∫ 4 1+ u 2 Gunakan rumus
=
x 1 tan −1 ( ) + C 2 2
1 −1 du = tan (u ) + C ∫ 1+ u2
MA1114 KALKULUS I
43
b.
dx 1 = ∫ x 2 + 2 x + 4 ∫ ( x + 1) 2 + 3 dx = ∫
=
Misal
1 3∫
u=
1 ⎛ ( x + 1) ⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠
x +1
Gunakan rumus
3
→ du =
1 dx 2 ( x + 1) 3(1 + ) 3
dx
2
1 3
dx → dx = 3du
dx 1 3 1 −1 = du = tan u+C ∫ x 2 + 2x + 4 3 ∫ 1 + u 2 3
1 −1 du = tan (u ) + C ∫ 1+ u2
=
MA1114 KALKULUS I
⎛ x + 1⎞ tan −1 ⎜⎜ ⎟⎟ + C 3 ⎝ 3 ⎠
1
44
e. Invers fungsi secan Diberikan f(x) = sec x ,0 ≤ x ≤ π , x ≠
π 2
f ' ( x) = sec x tan x > 0,0 ≤ x ≤ π , x ≠
π 2
f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau sec −1 x Sehingga
y = sec −1 x ⇔ x = sec y
MA1114 KALKULUS I
45
Turunan Dari
sec −1 x = cos −1 ( 1x )
y = sec −1 x ⇔ x = sec y 1 cos y = x
y = cos −1 ( 1x )
Sehingga
−1
D x (sec −1 x ) = D x (cos −1 ( 1x ) = Jika u = u(x)
∫x
D x (sec −1 u ) =
1 x2 −1
1 − ( 1x ) 2
−1 |x| 1 = = 2 x2 x2 x2 −1 | x | x −1
u' | u | u2 −1
dx = sec −1 | x | +c
MA1114 KALKULUS I
46
e. Invers fungsi cosecan Diberikan f(x) = csc x , −2π ≤ x ≤ π2 , x ≠ 0
f ' ( x) = − csc x cot x < 0, −2π ≤ x ≤ π2 , x ≠ 0 f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau csc −1 x Sehingga
y = csc −1 x ⇔ x = csc y
MA1114 KALKULUS I
47
Turunan Dari
csc −1 x = sin −1 ( 1x )
y = csc −1 x ⇔ x = csc y 1 sin y = x
y = sin −1 ( 1x )
Sehingga
Dx (csc −1 x ) = Dx (sin −1 ( 1x ) Dx (sec −1 u ) =
Jika u = u(x)
∫x
1 x2 −1
=
1 1 − ( 1x ) 2
−1 −| x| −1 = = x2 | x | x2 −1 x2 x2 −1
− u' | u | u 2 −1
dx = − csc −1 | x | +c
MA1114 KALKULUS I
48
Contoh A. Hitung turunan pertama dari a. f ( x) = sec −1 ( x 2 ) −1
b. f ( x) = sec (tan x) Jawab a.
b.
f ' ( x) = f ' ( x) =
1 | x | (x ) −1 2
2 2
Dx( x ) = x
1 | tan x | (tan x) − 1 2
2x
2
2
2
x −1
Dx(tan x) =
MA1114 KALKULUS I
4
=
2 x x4 −1
sec 2 x | tan 2 x | tan 2 x − 1
49
B. Hitung
∫x
1 x −4 2
dx
Jawab
∫x
1 x −4 2
Misal
∫x
1
dx = ∫
2
x 4(
x − 1) 4
dx =
1 2∫
1 2
dx
⎛ x⎞ x ⎜ ⎟ −1 ⎝2⎠
x u = → du = 12 dx → dx = 2du 2
1 x2 − 4
dx =
1 1 1 1 du = du 2 ∫ ∫ 2 2 2 u u −1 2 2u u − 1
1 1 −1 −1 x = sec | u | +C = sec | | +C 2 2 2 MA1114 KALKULUS I
50
Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin 1.
y = (sin −1 x) 2
2.
y = tan −1 (e x )
3.
y = tan −1 x ln x sec −1 t
4.
f (t ) = e
5.
y = x 2 cot −1 (3x)
6.
y = tan −1 ( x − 1 + x 2 )
MA1114 KALKULUS I
51
B. Hitung
dx 1. ∫ 9 x 2 +16 2. 3.
∫ 4x
∫ 1/ 2
4.
∫ 0
ex dx 5. ∫ 2 x e +1
dx x −16 2
dx 2 − 5x2 sin −1 x 1− x
2
6.
∫
e2x
dx
1− e dx 7. ∫ x[ 4 + (ln x) 2 ] 4x
dx
MA1114 KALKULUS I
52
8.8 Fungsi Hiperbolik Definisi a. Fungsi kosinus hiperbolik :
e x + e−x f ( x) = cosh x = 2
b. Fungsi sinus hiperbolik :
e x − e−x f ( x) = sinh x = 2
c. Fungsi tangen hiperbolik :
sinh x e x − e − x f ( x) = tanh x = = x −x cosh x e + e
d. Fungsi cotangen hiperbolik :
cosh x e x + e − x f ( x) = coth x = = x −x sinh x e − e
e. Fungsi secan hiperbolik :
f ( x) = sec h x =
f. Fungsi cosecan hiperbolik :
f ( x) = csc h x =
MA1114 KALKULUS I
1 2 = x −x cosh x e − e
1 2 = x sinh x e + e − x 53
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik 1.
cosh x + sinh x = e x
2. cosh x − sinh x = e
−x
3.
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
2 2 1 − tanh x = sec h x 4.
5. coth
2
x − 1 = csc h 2 x
Turunan ⎛ e x + e− x ⎞ e x − e− x ⎟⎟ = Dx (cosh x) = Dx ⎜⎜ = sinh x 2 ⎝ 2 ⎠
∫ sinh x dx = cosh x + C
⎛ e x − e− x ⎞ e x + e− x ⎟⎟ = Dx (sinh x) = Dx ⎜⎜ = cosh x 2 ⎝ 2 ⎠
∫ cosh xdx = sinh x + C
MA1114 KALKULUS I
54
2 2 sinh x x x cosh − sinh 1 2 D x (tanh x) = D x ( ) = = = sec h x 2 2 cosh x cosh x cosh x 2 2 2 2 cosh x sinh x − cosh x − (cosh x − sinh x) ) = Dx (coth x) = Dx ( = 2 sinh x sinh x sinh 2 x
−1 2 = = − csc h x 2 sinh x 1 − sinh x D x (sec hx ) = D x ( ) = = − sec hx tanh x 2 cosh x cosh x D x (csc hx ) = D x (
1 − cosh x ) = = − csc hx coth x 2 sinh x sinh x
MA1114 KALKULUS I
55
Grafik f(x) = coshx Diketahui (i)
e x + e− x f ( x) = cosh x = ,x∈R 2
x −x (ii) f ' ( x) = e − e = ⎧⎨ f ' ( x) < 0 , x < 0 2 ⎩ f ' ( x) > 0 , x > 0
f monoton naik pada x > 0 monoton turun pada x < 0
1 (iii)
e x + e−x f ' ' ( x) = > 0 , ∀x ∈ R 2
Grafik f selalu cekung keatas (iv) f(0)=1 MA1114 KALKULUS I
56
Grafik f(x) = sinhx Diketahui (i)
e x − e− x f ( x) = sinh x = ,x∈R 2
e x + e− x >0 (ii) f ' ( x) = 2
f selalu monoton naik (iii)
e x − e − x ⎧> 0, x > 0 f ' ' ( x) = =⎨ 2 ⎩< 0, x < 0
Grafik f cekung keatas pada x>0 cekung kebawah pada x<0 (iv) f(0)= 0 MA1114 KALKULUS I
57
Contoh Tentukan y ' dari 2 1. y = tanh( x + 1)
2. x 2 sinh x + y 2 = 8 Jawab 1.
y ' = sec h 2 ( x 2 + 1) Dx( x 2 + 1) = 2 x sec h 2 ( x 2 + 1)
2.
Dx( x 2 sinh x + y 2 ) = Dx(8)
2 x sinh x + x 2 cosh x + 2 y y ' = 0 2 x sinh x + x 2 cosh x y' = − 2y MA1114 KALKULUS I
58
Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama dari 1.
f ( x) = tanh 4 x
2.
g ( x) = sinh 2 x
1 − cosh x 3. g ( x ) = 1 + cosh x 4.
h(t ) = coth 1 + t 2
5.
g (t ) = ln(sinh t ))
6.
f ( x) = x cosh x 2
MA1114 KALKULUS I
59
B. Hitung integral berikut 1. 2.
∫ Sinh(1 + 4 x)dx 2 sinh x cosh x dx ∫
3.
∫ tanh x dx
4.
sec h 2 x ∫ 2 + tanh x dx
MA1114 KALKULUS I
60
