7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN
• • •
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada Rn, maka biasanya tdk ada hubungan antara vektor x dengan vektor Ax. Ax
x
Namun , dapat terjadi vektor x tertentu sedemikian sehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lain Ax x
Nilai Eigen, Vektor Eigen Apabila diberikan transformasi linier A : Rn Rn, maka kita perlu menentukan skalar sehingga Ax = x mempunyai solusi tak nol.
Jika A adalah matriks nxn, • Vektor-vektor tidak nol pada Rn disebut vektor eigen dari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x, yaitu: Ax = x • •
Untuk semua skalar . Skalar disebut eigenvalue A, dan x disebut juga eigenvector A bersepadanan dengan .
Nilai Eigen, Vektor Eigen Jika diketahui vektor
adalah suatu vektor eigen
maka tentukan nilai eigen dari vektor tersebut.
Ax = x λ =3
Menghitung λ Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran nxn, maka: A nn Ax = x Ax = Ix (I – A)x = 0.
det (I – A) = 0
Persamaan karakteristik dari A, dimana skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. det (I – A) merupakan persamaan polinomial p dalam dan disebut polinomial karakteristik dari A.
Menghitung λ det (I – A) = 0
Nilai Eigen, Vektor Eigen 0 1 0 Tentukan nilai eigen dari A 0 0 1 4 17 8
• Polinomial karakteristik A didapat melalui:
0 1 det( I A) det 0 1 3 8 2 17 4 4 17 8 • Nilai eigen value diperoleh melalui 3 – 82 + 17 – 4 =0 (-4)(2-4 +1) = 0
3 – 82 + 17 – 4 =0
Nilai Eigen, Vektor Eigen Tentukan nilai eigen dari
1 0 0 2 2 A 1 0 3 1 5 8 4
det (I – A) = 0 • Nilai eigen value = ½ , = 2/3, dan = -1/4
Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A.
Teorema Eigen Jika Ann dan adalah bilangan real maka pernyataan berikut adalah ekuivalen:
• • • •
adalah nilai eigen dari A. Sistem persamaan (I – A)x = 0 memiliki solusi tak-trivial. Ada suatu vektor tak-nol x pada Rn sedemikian sehingga Ax = x. merupakan suatu penyelesaian dari persamaan karakteristik det(I – A) = 0.
Basis Ruang Eigen • Eigenvectors A bersepadanan dengan eigenvalue adalah vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = x. • Eigenvectors yang bersepadanan dengan adalah vektor tak-nol dalam ruang penyelesaian (I – A)x = 0 ruang eigen A yang berhubungan dengan . Mencari nilai eigen det (I – A) = 0 Mencari vektor eigen (I – A)x = 0
Basis Ruang Eigen Cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A ukuran nxn : 1. Tentukan polinomial karakteristik det(I – A)=0 dari matriks A. 2. Tentukan nilai eigen A dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det (I – A) = 0 untuk . 3. Untuk tiap nilai eigen tentukan ruang null dari matriks A-I. Vektor tak nol yang berhubungan dengan itu merupakan vektor eigen A. 4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut.
Contoh Basis Ruang Eigen Cari basis-basis untuk ruang eigen dari
•
Mencari nilai eigen det (I – A) = 0
3 – 52 + 8 – 4 = 0 ( – 1)( – 2)2 = 0
•
0 0 2 A 1 2 1 1 0 3
= 1 and = 2
Mencari vektor eigen (I – A)x = 0
0 2 x1 0 1 2 1 x 0 2 1 0 3 x3 0
(3)
Contoh Basis Ruang Eigen • Menentukan ruang solusi dan basis untuk = 2 2 0 2 x1 0 1 0 1 x 0 2 1 0 1 x3 0
x1 = -s, x2 = t, x3 = s
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: s s 0 1 0 x t 0 t s 0 t 1 s s 0 1 0
Cek : apakah
bebas linier.
Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2
Contoh Basis Ruang Eigen • Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk =1 Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 1 adalah vektor tak nol berbentuk:
basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan =2
Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks Jika k : bilangan bulat positif, : eigenvalue matriks A, x : eigenvector
k adalah eigenvalue dari Ak dan x is a corresponding eigenvector.
A2x= A (Ax) –A (x) = (Ax) - (x) = 2x Teorema: Jika k adalah suatu bilangan bulat positif, adalah suatu nilai eigen dari suatu matriks A, dan x adalah suatu vektor eigen yang berpadanan, maka k adalah suatu nilai eigen dari Ak dan x adalah suatu vektor eigen yang berpadanan.
Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks Contoh: Nilai Eigen dari
0 0 2 A 1 2 1 1 0 3
Nilai eigen untuk A7 : = 27 = 128
adalah
= 1 and = 2
dan = 17 = 1
Vektor eigen dari A untuk nilai = 2 adalah
Vekor eigen untuk A7 yang bersepadanan dengan = 27 = 128
Vektor eigen dari A untuk nilai = 1 adalah
Vekor eigen untuk A7 yang bersepadanan dengan = 17 = 1
Matriks Balikan pada Nilai Eigen Suatu matriks bujursangkar A dapat dibalik jika dan hanya jika = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A.
Ringkasan Jika A mn matrix, dan jika TA : Rn Rn adalah perkalian dengan A; • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
A dapat di-invers. Ax = 0 hanya memiliki persamaan trivial. Bentuk baris tereduksi dari A adalah In. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks dasar. Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n1. Ax = b tepat mempunyai satu solusi untuk setiap matriks b, n1. det(A)≠0. Range (daerah hasil) TA adalah Rn. TA satu satu. Vektor kolom A bebas linier. Vektor baris A bebas linier. Vektor kolom A merentang Rn. Vektor baris A merentang Rm. Vektor kolom dari A membentuk suatu basis untuk Rn. Vektor baris dari A membentuk suatu basis untuk Rn. A berpangkat n. A mempunyai kekosongan 0. Komplemen orthogonal dari ruang kosong A adalah Rn. Komplemen orthogonal dari ruang baris A adalah {0}. ATA bisa dibalik = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A
DIAGONALISASI
Diagonalisasi Matriks Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable • Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P-1AP =D adalah matriks diagonal • Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A.
Jika A nn maka: • A dapat didiagonalkan. • A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.
Prosedur Diagonalisasi Matriks Suatu matriks Anxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb: . • Step 1. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p1, p2, …, pn. • Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p1, p2, …, pn sebagai vektor-vektor kolomnya. • Step 3. Matriks P-1AP akan menjadi matriks diagonal dengan 1, 2, …, n sebagai anggota diagonalnya dimana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan pi, untuk i = 1, 2, …, n.
Contoh Diagonalisasi Matriks 0 0 2 Cari matriks P yang mendiagonalkan : A 1 2 1 1 0 3
•
Mencari nilai eigen det (I – A) = 0
3 – 52 + 8 – 4 = 0 ( – 1)( – 2)2 = 0
•
= 1 and = 2
Mencari vektor eigen (I – A)x = 0
0 2 x1 0 1 2 1 x 0 2 1 0 3 x3 0
(3)
Contoh Diagonalisasi Matriks • Menentukan ruang solusi dan basis untuk = 2 2 0 2 x1 0 1 0 1 x 0 2 1 0 1 x3 0
x1 = -s, x2 = t, x3 = s
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk: s s 0 1 0 x t 0 t s 0 t 1 s s 0 1 0
Cek : apakah
bebas linier.
Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2
Contoh Diagonalisasi Matriks • Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk =1 Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk:
basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan =2
Contoh Diagonalisasi Matriks Sehingga didapat basis untuk ruang eigen adalah sebagai berikut: 1 0 p1 0 , p 2 1 = 2: 1 0 1 0 2 P 0 1 1 2 1 0 1 1 p = 1: 3 1
Cek apakah matriks A dapat didiagonalkan dan mendiagonalkan A: 1 0 2 0 0 2 1 0 2 2 0 0 P 1 AP 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 2 0 D 1 0 1 1 0 3 1 0 1 0 0 1
Contoh Diagonalisasi Matriks Cari matriks P yang mendiagonalkan
1 0 0 A 1 2 0 3 5 2
Polinominal karakteristik dari A dicari dengan : 1
det (I – A) = 0
det( I A) 1 3
0
0
2
0
5
2
( 1)( 2) 2
Persamaan karakteristik: Nilai eigen dan basis ruang eigen adalah:
Karena A matriks 3X3 dan P hanya terdiri dari 2 vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalkan.
Teorema Diagonalisasi Matriks Jika v1, v2, …, vk, adalah vektor-vektor eigen dari A yang berpadanan dengan nilai eigen yang berbeda-beda 1, 2, …, k, maka {v1, v2, …, vk} adalah suatu himpunan yang bebas secara linier.
Jika suatu matriks Ann mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.
Diagonalisasi Matriks Contoh :
Cari matriks P yang mendiagonalkan
0 1 0 A 0 0 1 4 17 8
• Polinomial karakteristik A didapat melalui:
0 1 det( I A) det 0 1 3 8 2 17 4 4 17 8 3 – 82 + 17 – 4 =0 (-4)(2-4 +1) = 0 Matriks A3x3 mempunyai nilainilai eigen yang berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.
4 P 1 AP 0 0
0 2 3 0
0 2 3 0
Diagonalisasi Matriks Segitiga Ingat: Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A.
Matriks A berikut adalah didiagonalkan. 1 0 A 0 0
sebuah matriks yang bisa 0 3 1 7 0 5 8 0 0 2 2 4
DIAGONALISASI ORTOGONAL
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriks ortogonal P sedemikian sehingga : P-1AP = PTAP=D maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonal dan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal. Jika A adalah matriks nn maka pernyataan berikut ekuivalen: • A dapat didiagonalkan secara ortogonal. • A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal. • A simetris. AT = (PDPT)T=PDTPT = PDPT = A
Jika A adalah suatu matriks simetris, maka: – Nilai eigen dari A semuanya bilangan real. – Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.
Diagonalisasi Matriks Simetris Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris: • Step 1. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A. • Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen. • Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) 4 2 2 • Cari suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A 2 4 2 2 2 4
• Solusi: – Persamaan karakteristik A adalah: 2 4 2 det( I A) det 2 4 2 ( 2) 2 ( 8) 0 2 2 4
– Basis ruang eigien yang bersepadanan dengan = 2 adalah
1 1 u1 1 and u 2 0 0 1 – :
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks) Terapkan proses Gram Schmidt pada {u1, u2untuk menghasilkan vektor eigen yang ortonormal berikut: 1/ 2 1/ 6 v1 1/ 2 and v 2 1/ 6 0 2 / 6
1 Ruang eigen yang bersepadanan dengan = 8 adalah u3 1 1/ 3 1 Terapkan proses Gram Schmidt pada {u3} didapat: v 3 1/ 3 1/ 3 1 / 2 1 / 6 1 / 3 sehingga P v1 v 2 v 3 1 / 2 1 / 6 1 / 3 0 2 / 6 1 / 3
P mendiagonalkan A secara ortogonal. Cek bahwa PTAP=D
