7. APLIKASI INTEGRAL

7. APLIKASI INTEGRAL

7.1 Menghitung Luas Daerah a.Misalkan daerah D  ( x, y) | a  x  b, 0  y  f ( x) Luas D = ? f(x)

Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar) x

D a

x

b

A  f ( x)x

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b

Luas D = A =

 f ( x)dx a

INF228 Kalkulus Dasar

2

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh 2 y  x , sumbu x, dan x = 2. kurva

Luas irisan yx

A  x 2 x

2

x2 x 2

Luas daerah 2

1 3 8 2 A   x dx  x   3 0 3 0 2


3

b) Misalkan daerah D  ( x, y) | a  x  b, g ( x)  y  h( x) h(x)

Luas D = ?

D

h(x)-g(x)

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar) x

g(x) a

x

Langkah :

b

A  (h( x)  g ( x))x

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b

Luas D = A =

 (h( x)  g ( x))dx a INF228 Kalkulus Dasar

4

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola y  x 2  2

Titik potong antara garis dan parabola

x  4  x2  2

( x  4)  ( x  2) 2

y  x2  2

y=x+4 -2

x 3

x2  x  6  0 ( x  3)( x  2)  0 x = -2, x = 3

Luas irisan

A  (( x  4)  ( x 2  2))x INF228 Kalkulus Dasar

5

Sehingga luas daerah : 3

3

2

2

A   (( x  4)  ( x 2  2))dx   ( x 2  x  6)dx 3

1 3 1 2 125    x  x  6 x  3 2 6  2 Ctt :

Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih


6

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,

y  x2

dan y = -x + 2

Jawab Titik potong

x2  x  2

x2  x  2  0

( x  2)( x  1)  0 x = -2, x = 1

Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harus dibagi menjadi dua bagian y  x2

y=-x+2

x1

x

2

Luas irisan I

A1  x 2 x Luas irisan II

A2  ( x  2)x INF228 Kalkulus Dasar

7

Luas daerah I 1

1 A1   x dx  x |  3 0 2

1 3

3 1 0

Luas daerah II 2

A2    x  2 dx   12 x 2  2 x |12 1

1  (2  4)  (  2)  2 1 2

Sehingga luas daerah

1 1 5 A  A1  A2    3 2 6 INF228 Kalkulus Dasar

8

c). Misalkan daerah D  ( x, y) | c  y  d , g ( y)  x  h( y) d

g(y)

Luas D = ?

D h(y)

 yy h(y)-g(y) c

Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar) y

A  (h( y)  g ( y))y 2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: d

Luas D = A =

 (h( y)  g ( y)) dy c INF228 Kalkulus Dasar

9

Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x  3  y 2 dan

y  x 1

Jawab :

Titik potong antara garis dan parabola

y  x 1

y 1  3  y2

y2  y  2  0

1

( y  2)( y  1)  0

y

y = -2 dan y = 1

(3  y 2 )  ( y  1)

Luas irisan

x  3  y2

-2

A  ((3  y 2 )  ( y  1)) y


10

Sehingga luas daerah : 1

1

2

2

L   ((3  y 2 )  ( y  1))dy   ( y 2  y  2)dy 1

1 3 1 2 9    y  y  2 y  . 3 2  2 2 Ctt :

Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih


11

7.2 Menghitung volume benda putar 7.2.1 Metoda Cakram a. Daerah

D  ( x, y) | a  x  b , 0  y  f ( x) diputar terhadap sumbu x f(x) D

a Daerah D

b

? Volume benda putar INF228 Kalkulus Dasar

Benda putar 12

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

f(x) D

x

a

b

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal x dan jari-jari f(x). sehingga

V   f 2 ( x) x

f(x) b

V    f 2 ( x) dx x

a


13

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah D yang dibatasi oleh y  x , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x

Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari x 2 dan tebal x

y  x2

x2 x

2

Sehingga

V   ( x 2 ) 2 x   x 4 x Volume benda putar

x2

x

2



32 V    x dx  x |   5 5 0 4


5 2 0

14

b. Daerah D 

( x, y) | c  y  d , 0  x  g ( y)

diputar terhadap sumbu y d

d

x=g(y) D

c

c

Daerah D

Benda putar ? Volume benda putar INF228 Kalkulus Dasar

15


Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal y dan Jari-jari g(y).

d

y

x=g(y) D

sehingga

c

V   g 2 ( y) y g ( y)

d

y

V    g 2 ( y ) dy c INF228 Kalkulus Dasar

16

Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah yang dibatasi oleh y  x garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y Jika irisan dengan tinggi y dan tebal y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari y dan tebal y

4

y y

y  x2

x y

Sehingga

V   ( y ) 2 y   y y Volume benda putar 4

y

y

V    ydy  0


 2

y 2 |04  8 17

7.2.2 Metoda Cincin a. Daerah

D  ( x, y) | a  x  b , g ( x)  y  h( x)

diputar terhadap sumbu x h(x) D g(x) a

b

Daerah D

? Volume benda putar INF228 Kalkulus Dasar

Benda putar 18

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. h(x)

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal x dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).

D

g(x) a h(x)

x

b

sehingga

V   (h 2 ( x)  g 2 ( x))x

x g(x)

b

V    (h 2 ( x)  g 2 ( x))dx a INF228 Kalkulus Dasar

19

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y  x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1 Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 1  x 2

Sehingga

y  x2

D 1

V   (( x 2  1) 2  12 )x

1 x2 x

2

  ( x 4  2 x 2  1  1)x y=-1

  ( x 4  2 x 2 )x

Volume benda putar : 2

V    x 4  2 x 2 dx   ( 15 x 5  23 x 3 |02 )   ( 325  163 )  186 15  0


20

7.2.3 Metoda Kulit Tabung Diketahui D  ( x, y) | a  x  b , 0  y  f ( x) Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar

f(x) D a

b

Daerah D

Benda putar Volume benda putar ?


21


Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal x

f(x) D

x

a

x

b

sehingga

x

V  2 x f ( x) x f(x) x

b

V  2  xf ( x)dx a INF228 Kalkulus Dasar

22

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y  x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y 2

Jika irisan dengan tinggi x ,tebal x dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung 2 dengan tinggi x , tebal x dan jari jari x

y  x2

x2

D x

x

2

Sehingga

V  2 x x 2 x  2 x 3 x Volume benda putar 2

V  2  x 3 dx  0


 2

x 4 |02  8 23

Catatan : -Metoda cakram/cincin

Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola y  x 2 ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap a. Garis y = 4 b. Garis x = 3


24

a. Sumbu putar y = 4 (i) Metoda cincin

y=4

(4  x ) 2

2 Jari-jari dalam =rd  (4  x )

4

y  x2

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan Jari-jari luar = rl  4

Sehingga D

V   ((4) 2  (4  x 2 ) 2 )x

x 2

  (8x 2  x 4 )x

Volume benda putar 2

V    (8 x 2  x 4 )dx   ( 83 x 3  15 x 5 ) |02   ( 643  325 )  0


224 15

 25

(ii) Metoda kulit tabung

y=4 4 y

yx

Jari-jari = r = 4  y

2

Tinggi = h = 2  y

y

y

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan

D 2 y

2

Tebal =

y

Sehingga

V  2 (4  y)(2  y )y  2 (8  4 y  2 y  y y )y


V  2  (8  4 y  2 y  y y )dy  2 (8 y  8 y 3 / 2  y 2  3

2 5

y 5 / 2 ) |04 

224 15

0 INF228 Kalkulus Dasar

26



b. Sumbu putar x=3 (i) Metoda cincin

x=3

Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam = rd  1 Jari-jari luar = rl  3  y

y  x2

y

1 3 y

D

y

Sehingga

V   ((3  y ) 2  (1) 2 )y

2

  (8  6 y  y)y

3


V    (8  6 y  y )dy   (8 y  4 y 3 / 2  8 |04 )  8 0 INF228 Kalkulus Dasar

27

(ii) Metoda kulit tabung

x=3

Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan Tinggi = h = x 2

y  x2

x

2

D

x 2 3-x

x

Jari-jari = r = 3-x Tebal = x

Sehingga

V  2 (3  x) x 2 x

3

 2 (3x 2  x 3 )x


V  2  (3x 2  x 3 )dx  2 ( x 3  14 x 4 ) |02  2 (8  4)  8 0 INF228 Kalkulus Dasar

28

7.3 Panjang Kurva Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t) y = g(t)

,a  t  b

(1)

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva. Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika

(i) f ' dan g ' kontinu pada [a,b] Kurva tidak berubah sekonyong-konyong (ii) f ' dan g '

tidak secara bersamaan nol pada (a,b)


29

Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva

Langkah 1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

a  t o  t1  t 2  ...  t n  b Qi 1

●

Qi

●

●

Qo

●

a t1

● ● t i 1 t i

● t n 1 b

Qn

Q1●

●

Partisi pada [a,b] Paritisi pada kurva


30

2. Hampiri panjang kurva

si

Qi

si

panjang busur Qi 1Qi

wi

panjang tali busur Qi 1Qi

Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur wi Qi 1

xi

y i

si  wi  (xi ) 2  (yi ) 2

 [ f (t i )  f (t i 1 )]2  [ g (t i )  g (t i 1 )]2 Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat tî , t i  (t i 1 , t i )sehingga

f (t i )  f (t i 1 )  f ' (t i )t

g (t i )  g (t i 1 )  g ' (tî )t INF228 Kalkulus Dasar

31

t i  t i  t i 1

dengan sehingga

wi  [ f ' (ti )ti ]2  [ g ' (tî )ti ]2  [ f ' (ti )]2  [ g ' (tî )]2 ti Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur n

L   [ f ' (ti )]2  [ g ' (tî )]2 ti i 1

Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh b

L   [ f ' (t )]2  [ g ' (t )]2 dt a


32

Ctt:

Jika persamaan kurva y=f(x), a  x  b b

L   [ f ' (t )]  [ g ' (t )] dt 2

2

a

b

 a

2

b

 [ a

dx 2 dy 2 ]  [ ] dt dt dt 2

dx 2  dy   dy  ( ) (1    )dt   1    dx dt  dx   dx  a b

Jika persamaan kurva x=g(y), c  y  d d

L   [ f ' (t )]  [ g ' (t )] dt 2

c d

 c

2

d

 c

dx 2 dy 2 [ ]  [ ] dt dt dt

2 2 d dx 2   dy    dy  ( ) 1    dt   1    dx dt   dx    dx  c


33

Contoh : Hitung panjang kurva 1.

x  t3, y  t2; 0  t  4 x' (t )  3t 2 , y' (t )  2t Panjang kurva 4

4

4

0

0

0

L   (3t 2 ) 2  (2t ) 2 dt   9t 4  4t 2 dt   t 2 (9t 2  4)dt 4

  t 9t  4 dt 2

0

4

  t (9t  4) 2

0

 181 23 (9t 2  4) 3 / 2 |04



1 27

1/ 2

d (9t 2  4) 18t

(40 40  8) 


1 27

(80 10  8)

34

2.

y  2x 3 / 2

antara x =1/3 dan x=7

Jawab :

dy  3x1 / 2 dx 7

L





1  3x

 dx  

1/ 2 2

1/ 3



2 27

(1  9 x) 3 / 2 |17/ 3 

7

1  9 x dx 

7

1 9

1/ 2 ( 1  9 x ) d (1  9 x) 

1/ 3

1/ 3

2 27

(512  8)  37 13


35

Soal Latihan A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh

1.

y  x 2 dan y  x  2

2.

y  x3 , y   x, dan y  8

3. y 4.

= x , y = 4x , y = -x +2

y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2.


36

B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x 1.

y  x3 , y  0, dan x  2

2.

y  9  x 2 dan y  0

3.

y  x 2 dan y  4 x

4.

y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = /4

5.

y  x3 dan y  x, di kuadran 1


37

C. Daerah D dibatasi oleh kurva y  x dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

(1) sumbu x (2) garis x = -1 (3) garis y = 4

(4) sumbu y (5) garis y = -2 (6) garis x = 4

D. Daerah D dibatasi oleh parabol y  4 x  x 2 dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

(1) sumbu x (2) garis x = 6

(3) sumbu y (4) garis y = -1


38

E. Hitung panjang kurva berikut 1.

x  4 sin t , y  4 cos t  5; 0  t  

2.

x  3t 2  2, y  2t 3  1 / 2; 1  t  4

3. 4. 5.

1 y  ( x 2  2) 3 / 2 , 0  x  1 3 x 2 ln x y  , 2 x4 2 4 y  ln(1  x 2 ), 0  x  1 / 2

1 y ( y  3), 0  y  9 6. x  3 INF228 Kalkulus Dasar

39

7. APLIKASI INTEGRAL

Recommend Documents