7. APLIKASI INTEGRAL
MA1114 KALKULUS I
1
7.1 Menghitung Luas Daerah a.Misalkan daerah D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f ( x)} Luas D = ? f(x)
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar) ∆x
D a
∆x
b
∆ A ≈ f ( x ) ∆x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b Luas D = A =
∫ a
f ( x) dx MA1114 KALKULUS I
2
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh 2 y = x , sumbu x, dan x = 2. kurva
Luas irisan y=x
∆A ≈ x 2 ∆ x
2
Luas daerah
x2 ∆x 2 2
A=
∫ 0
2
1 3⎤ 8 x dx = ∫ x dx = x ⎥ = 3 ⎦0 3 0 2
2
2
MA1114 KALKULUS I
3
b) Misalkan daerah D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b, g ( x) ≤ y ≤ h( x)} h(x)
Luas D = ?
D
h(x)-g(x)
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar) ∆x
g(x) a
∆x
b
∆A ≈ h( x) − g ( x) ∆x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b
Luas D = A =
∫ h( x) − g ( x) dx a
MA1114 KALKULUS I
4
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola y = x 2 − 2 Titik potong antara garis dan parabola
x + 4 = x2 − 2
( x + 4) − ( x − 2) 2
y = x2 − 2
y=x+4 -2
∆x 3
x2 − x − 6 = 0 ( x − 3)( x + 2) = 0 x = -2, x = 3
Luas irisan
∆A ≈ (( x + 4) − ( x 2 − 2))∆x MA1114 KALKULUS I
5
Sehingga luas daerah : 3
A=
2 (( x + 4 ) − ( x − 2 )) dx = ∫
−2
3
2 ( − x + x + 6 ) dx ∫
−2
3
125 1 3 1 2 ⎤ = − x + x + 6 x⎥ = 6 3 2 ⎦ −2 Ctt :
Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
MA1114 KALKULUS I
6
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,
y = x2
dan y = -x + 2
Jawab Titik potong
x2 = −x + 2
x2 + x − 2 = 0
( x + 2)( x − 1) = 0 x = -2, x = 1
Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harus dibagi menjadi dua bagian y = x2
y=-x+2
∆x1
∆x
2
Luas irisan I
∆A1 ≈ x 2 ∆x Luas irisan II
∆A2 ≈ (− x + 2)∆x MA1114 KALKULUS I
7
Luas daerah I 1
1 A1 = ∫ x dx = x | = 3 0 2
1 3
3 1 0
Luas daerah II 2
A2 = ∫ − x + 2 dx = − 12 x 2 + 2 x |12 1
1 = ( −2 + 4) − ( − + 2) = 2 1 2
Sehingga luas daerah
1 1 5 A = A1 + A2 = + = 3 2 6 MA1114 KALKULUS I
8
c). Misalkan daerah D = {( x, y ) | c ≤ y ≤ d , g ( y ) ≤ x ≤ h( y )} d g(y)
Luas D = ?
D h(y)
∆∆ yy h(y)-g(y) c
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar) ∆y
∆A ≈ h( y ) − g ( y ) ∆y 2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: d
Luas D = A =
∫ h( y) − g ( y) dy c
MA1114 KALKULUS I
9
Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = 3 − y 2 dan
y = x −1
Jawab :
Titik potong antara garis dan parabola
y = x −1
y +1 = 3 − y2
y2 + y − 2 = 0
1
( y + 2)( y − 1) = 0
∆y
y = -2 dan y = 1
(3 − y 2 ) − ( y + 1)
Luas irisan
x = 3 − y2
-2
∆A = (3 − y 2 ) − ( y + 1) ∆y
MA1114 KALKULUS I
10
Sehingga luas daerah : 1
1
−2
−2
L = ∫ ((3 − y 2 ) − ( y + 1))dy = ∫ (− y 2 − y + 2)dy 1
9 1 3 1 2 ⎤ = − y − y + 2 y⎥ = . 3 2 ⎦ −2 2 Ctt :
Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
MA1114 KALKULUS I
11
Soal Latihan A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh 1.
y = x 2 dan y = x + 2
2.
y = x 3 , y = − x, dan y = 8
3.
y = x , y = 4x , y = -x +2
4.
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2π.
5. x = 4 - y2 dan y = x + 2 6. y = x2 – 3x + 2, sumbu y, dan sumbu x
MA1114 KALKULUS I
12
7.2 Menghitung volume benda putar 7.2.1 Metoda Cakram a. Daerah D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x)} diputar terhadap sumbu x f(x) D a Daerah D
b
? Volume benda putar MA1114 KALKULUS I
Benda putar 13
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
f(x) D
∆x
a
b
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas ∆x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal ∆x dan jari-jari f(x). sehingga
∆V ≈ π f 2 ( x ) ∆x
f(x) b
V = π ∫ f 2 ( x) dx ∆x
a
MA1114 KALKULUS I
14
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah D yang dibatasi oleh y = x , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x
Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari x 2 dan tebal ∆x
y = x2
x2 ∆x
2
Sehingga
∆V ≈ π ( x 2 ) 2 ∆x = π x 4 ∆x Volume benda putar
x2
∆x
2
π
32 V = π ∫ x dx = x | = π 5 5 0 4
MA1114 KALKULUS I
5 2 0
15
b. Daerah D
= {( x, y ) | c ≤ y ≤ d , 0 ≤ x ≤ g ( y )}
diputar terhadap sumbu y d
d
x=g(y) D
c
c
Daerah D
Benda putar ? Volume benda putar MA1114 KALKULUS I
16
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas ∆y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal ∆y dan Jari-jari g(y).
d
∆y
x=g(y) D
sehingga
c
∆V ≈ π g 2 ( y ) ∆y g ( y)
d
∆y
V = π ∫ g 2 ( y ) dy c
MA1114 KALKULUS I
17
Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah yang dibatasi oleh y = x garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y Jika irisan dengan tinggi y dan tebal ∆y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari y dan tebal ∆y
4
∆y y
y = x2
⇔x=
Sehingga
y
∆V = π ( y ) 2 ∆y = π y ∆y Volume benda putar 4
y
∆y
V = π ∫ ydy = 0
MA1114 KALKULUS I
π 2
y 2 |04 = 8π 18
B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x 1.
y = x 3 , y = 0, dan x = 2
2.
y = 9 − x 2 dan y = 0
C. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu y 3.
y = x 2 , y = 4, dan x = 0
4.
x = y2, y = 2, dan x = 0
5.
y = x 3 , y = 1, dan x = 0
di kuadran I
MA1114 KALKULUS I
19
7.2.2 Metoda Cincin a. Daerah
D = {( x, y ) | a ≤ x ≤ b , g ( x) ≤ y ≤ h( x)}
diputar terhadap sumbu x h(x) D g(x) a
b
Daerah D ? Volume benda putar MA1114 KALKULUS I
Benda putar 20
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. h(x)
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas ∆x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal ∆x dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).
D g(x) a h(x)
∆x
b
sehingga
∆V ≈ π (h 2 ( x) − g 2 ( x))∆x
∆x g(x)
b
V = π ∫ (h 2 ( x) − g 2 ( x))dx a
MA1114 KALKULUS I
21
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y = x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1 Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 1 + x 2 Sehingga
y = x2
D 1
∆V = π (( x 2 + 1) 2 − 12 )∆x
1+ x2 ∆x
2
= π ( x 4 + 2 x 2 + 1 − 1)∆x y=-1
= π ( x 4 + 2 x 2 )∆x
Volume benda putar : 2
V = π ∫ x 4 + 2 x 2 dx = π ( 15 x 5 + 23 x 3 | 02 ) = π ( 325 + 163 ) = 186 15 π 0
MA1114 KALKULUS I
22
Catatan : -Metoda cakram/cincin Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung
Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola y = x 2 ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap a. Garis y = 4 b. Garis x = 3
MA1114 KALKULUS I
23
a. Sumbu putar y = 4 (i) Metoda cincin
y=4
(4 − x ) 2
Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan 2 Jari-jari dalam =rd = (4 − x )
Jari-jari luar = rl = 4
4
y = x2
Sehingga D
∆V ≈ π ((4) 2 − (4 − x 2 ) 2 )∆x
∆x 2
= π (8 x 2 − x 4 )∆x
Volume benda putar 2
V = π ∫ (8 x 2 − x 4 )dx = π ( 83 x 3 − 15 x 5 ) | 02 = π ( 643 − 325 ) = 0
MA1114 KALKULUS I
224 15
π 24
b. Sumbu putar x=3 (i) Metoda cincin
x=3
Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam = rd = 1 Jari-jari luar = rl = 3 − y
y = x2
∆y
1 3− y
D
y
Sehingga
∆V ≈ π ((3 − y ) 2 − (1) 2 )∆y
2
= π (8 − 6 y + y )∆y
3 Volume benda putar 4
V = π ∫ (8 − 6 y + y )dy = π (8 y − 4 y 3 / 2 + 8 | 04 ) = 8π 0
MA1114 KALKULUS I
25
D. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x 1.
y = x dan y = 4 x
2.
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = π/4
3.
y = x 3 dan y = x, di kuadran 1
2
4.
y = x 2 , dan y = x
5.
y =
x , dan y = x
MA1114 KALKULUS I
26
E. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu y 1.
y = x dan y = 4 x
2.
y = -x+1, y = x2, dan x = 0 di kuadran 1
3.
y = x 3 dan y = x, di kuadran 1
2
4.
y = x 2 , dan y = x
5.
y =
x , dan y = x
MA1114 KALKULUS I
27
7.2.3 Metoda Kulit Tabung Diketahui D = {( x , y ) | a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x )} Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar
f(x) D a
b
Daerah D
Benda putar Volume benda putar ?
MA1114 KALKULUS I
28
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas ∆x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal ∆x
f(x) D
x
a
∆x
b
sehingga
∆x
∆V ≈ 2π x f ( x ) ∆x f(x) x
b
V = 2π ∫ xf ( x)dx a
MA1114 KALKULUS I
29
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y = x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y 2
Jika irisan dengan tinggi x ,tebal ∆x dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung 2 dengan tinggi x , tebal ∆x dan jari jari x
y = x2
x2
D x
∆x
2
Sehingga
∆V = 2π x x 2 ∆x = 2π x 3 ∆x Volume benda putar 2
V = 2π ∫ x dx = 3
0
MA1114 KALKULUS I
π 2
x 4 |02 = 8π 30
Catatan : -Metoda cakram/cincin Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar - Metoda kulit tabung
Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola y = x 2 ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap a. Garis y = 4 b. Garis x = 3
MA1114 KALKULUS I
31
(ii) Metoda kulit tabung
y=4 4− y
y=x
Jari-jari = r = 4 − y
2
Tinggi = h = 2 − y
∆y
y
Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan
D 2− y 2
Tebal = ∆y Sehingga
∆V ≈ 2π (4 − y )(2 − y )∆y = 2π (8 − 4 y − 2 y + y y )∆y
Volume benda putar 4
V = 2π ∫ (8 − 4 y − 2 y + y y )dy = 2π (8 y −
8 3
y 3 / 2 − y 2 + 52 y 5 / 2 ) | 04 =
224 15
0
MA1114 KALKULUS I
32
π
(ii) Metoda kulit tabung
x=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan Tinggi = h = x 2
y = x2
x
2
D
∆x 2 3-x
x
Jari-jari = r = 3-x Tebal = ∆x Sehingga
∆V ≈ 2π (3 − x) x 2 ∆x
3
= 2π (3 x 2 − x 3 )∆x
Volume benda putar 2
V = 2π ∫ (3x 2 − x 3 )dx = 2π ( x 3 − 14 x 4 ) | 02 = 2π (8 − 4) = 8π 0
MA1114 KALKULUS I
33
F. Daerah D dibatasi oleh kurva y = x dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x (2) garis x = -1 (3) garis y = 4
(4) sumbu y (5) garis y = -2 (6) garis x = 4
G. Daerah D dibatasi oleh parabol y = 4 x − x 2 dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x (2) garis x = 6
(3) sumbu y (4) garis y = -1
MA1114 KALKULUS I
34
7.3 Panjang Kurva Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t) y = g(t)
,a ≤ t ≤ b
(1)
Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva. Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika (i) f ' dan g ' kontinu pada [a,b] Kurva tidak berubah sekonyong-konyong (ii) f ' dan g '
tidak secara bersamaan nol pada (a,b)
MA1114 KALKULUS I
35
Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva Langkah 1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian
a = t o < t1 < t 2 < ... < t n = b Qi −1
●
Qi
●
●
Qo
●
a t1
● ● t i −1 t i
● t n −1 b
Qn
Q1●
●
Partisi pada [a,b] Paritisi pada kurva
MA1114 KALKULUS I
36
2. Hampiri panjang kurva
∆si
Qi
∆si
panjang busur Qi −1Qi
∆wi
panjang tali busur Qi −1Qi
Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur ∆wi Qi −1
∆xi
∆y i
∆s i ≈ ∆wi = (∆xi ) 2 + (∆yi ) 2
= [ f (t i ) − f (t i −1 )]2 + [ g (t i ) − g (t i −1 )]2 Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat tˆi , t i ∈ (t i −1 , t i ) sehingga
f (t i ) − f (t i −1 ) = f ' (t i )∆t
g (t i ) − g (t i −1 ) = g ' (tˆi ) ∆t MA1114 KALKULUS I
37
∆t i = t i − t i −1
dengan sehingga
∆wi = [ f ' (ti )∆ti ]2 + [ g ' (tˆi )∆ti ]2 = [ f ' (ti )]2 + [ g ' (tˆi )]2 ∆ti Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur n
L ≈ ∑ [ f ' (ti )]2 + [ g ' (tˆi )]2 ∆ti i =1
Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh b
L = ∫ [ f ' (t )]2 + [ g ' (t )]2 dt a
MA1114 KALKULUS I
38
Ctt: Jika persamaan kurva y=f(x), a ≤ x ≤ b f −1 (b )
∫
L= f
−1
(a ) b
=∫ a
b
dx dt
dy dt
[ f ' (t )] + [ g ' (t )] dt = ∫ [ ]2 + [ ]2 dt 2
2
a
2
2
dx 2 ⎛ dy ⎞ ⎛ dy ⎞ ( ) (1 + ⎜ ⎟ )dt = ∫ 1 + ⎜ ⎟ dx dt ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ a b
Jika persamaan kurva x=g(y), c ≤ y ≤ d g −1 ( d )
∫
L= g
−1
[ f ' (t )] + [ g ' (t )] dt 2
(c )
2
d
=∫ c
d
=∫ c
dx 2 dy 2 [ ] + [ ] dt dt dt
2 2 d ⎞ ⎛ ⎞ dy 2 ⎛⎜ ⎛ dx ⎞ dx ( ) ⎜⎜ ⎟⎟ + 1⎟ dt = ∫ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ dy ⎟ dt ⎜ ⎝ dy ⎠ ⎝ dy ⎠ c ⎝ ⎠
MA1114 KALKULUS I
39
Contoh : Hitung panjang kurva 1.
x = t3, y = t2; 0 ≤ t ≤ 4 x' (t ) = 3t 2 , y ' (t ) = 2t Panjang kurva 4
4
4
0
0
0
L = ∫ (3t 2 ) 2 + (2t ) 2 dt = ∫ 9t 4 + 4t 2 dt = ∫ t 2 (9t 2 + 4)dt 4
= ∫ t 9t + 4 dt 2
0
=
1 2 18 3
4
= ∫ t (9t + 4) 2
0
(9t 2 + 4) 3 / 2 | 04
=
1 27
1/ 2
d (9t 2 + 4) 18t
(40 40 − 8) =
MA1114 KALKULUS I
1 27
(80 10 − 8)
40
2.
y = 2x 3 / 2
antara x =1/3 dan x=7
Jawab :
dy = 3x 1 / 2 dx 7
L=
∫
1/ 3
=
2 27
(
1 + 3x
) dx = ∫
1/ 2 2
(1 + 9 x ) 3 / 2 |17/ 3 =
7
1 + 9 x dx =
7
1 9
1/ 2 ( 1 + 9 x ) d (1 + 9 x) ∫
1/ 3
1/ 3
2 27
(512 − 8) = 37 13
MA1114 KALKULUS I
41
E. Hitung panjang kurva berikut 1.
x = 4 sin t , y = 4 cos t − 5; 0 ≤ t ≤ π
2.
x = 3t 2 + 2, y = 2t 3 − 1 / 2; 1 ≤ t ≤ 4
3.
1 y = ( x 2 + 2) 3 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1 3
4.
x=
5.
y = ln(1 − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 / 2
1 y ( y − 3), 0 ≤ y ≤ 9 3
x 2 ln x 6. y = − , 2≤ x≤4 2 4 MA1114 KALKULUS I
42
