7. APLIKASI INTEGRAL
1
7.1 Menghitung Luas Daerah a.Misalkan daerah D ( x, y ) | a x b, 0 y f ( x) Luas D = ?
f(x)
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar) x
D a
x
b
A f ( x ) x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b Luas D = A =
f ( x)dx a
2
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh 2 kurva y x , sumbu x, dan x = 2. Luas irisan yx
A x x 2
2
x2 x 2
Luas daerah 2
1 3 8 A x dx x 3 0 3 0 2
2
3
b) Misalkan daerah D ( x, y ) | a x b, g ( x) y h( x) h(x)
Luas D = ?
D
h(x)-g(x)
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar) x
g(x) a
x
Langkah :
b
A (h( x) g ( x))x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b
Luas D = A =
(h( x) g ( x))dx a
4
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola y x 2 2 Titik potong antara garis dan parabola
x 4 x2 2
( x 4) ( x 2) 2
y x2 2
y=x+4
-2
x 3
x2 x 6 0 ( x 3)( x 2) 0 x = -2, x = 3
Luas irisan
A (( x 4) ( x 2 2))x 5
Sehingga luas daerah : 3
A
2 (( x 4 ) ( x 2 )) dx
2
3
2 ( x x 6 ) dx
2
3
1 3 1 2 125 x x 6 x 3 2 6 2
6
c). Misalkan daerah D ( x, y ) | c y d , g ( y ) x h( y ) d
g(y)
Luas D = ?
D
h(y)
yy h(y)-g(y) c
Langkah : 1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar) y
A (h( y ) g ( y ))y 2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: d
Luas D = A =
(h( y) g ( y)) dy c
7
Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x 3 y 2 dan
y x 1
Jawab :
Titik potong antara garis dan parabola
y x 1
y 1 3 y2
y2 y 2 0
1
( y 2)( y 1) 0
y (3 y 2 ) ( y 1)
x 3 y2
-2
y = -2 dan y = 1 Luas irisan
A ((3 y 2 ) ( y 1)) y
8
Sehingga luas daerah : 1
1
2
2
L ((3 y 2 ) ( y 1))dy ( y 2 y 2)dy 1
1 3 1 2 9 y y 2 y . 3 2 2 2
9
7.2 Menghitung volume benda putar 7.2.1 Metoda Cakram a. Daerah D ( x, y ) | a x b , 0 y f ( x ) diputar terhadap sumbu x f(x) D a Daerah D
b
? Volume benda putar
Benda putar 10
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. f(x) D
x
a
b
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal x dan jari-jari f(x). sehingga V f 2 ( x ) x
f(x)
b
V f 2 ( x) dx a
x
Catatan: jari-jari=jarak dari sumbu putar ke batas daerah 11
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah D yang dibatasi oleh y x , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x
Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari x 2 dan tebal x
y x2
x2 x
2
Sehingga
V ( x ) x x x 2 2
4
Volume benda putar x2
x
5 2 32 V x dx x |0 5 5 0 2
4
12
b. Daerah D
( x, y ) | c y d , 0 x g ( y )
diputar terhadap sumbu y d
d
x=g(y) D
c
c
Daerah D
Benda putar ? Volume benda putar 13
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal y dan Jari-jari g(y).
d
y
x=g(y) D
sehingga
c
V g 2 ( y ) y g ( y)
d
y
V g 2 ( y ) dy c
14
Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika 2 daerah yang dibatasi oleh y x garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y Jika irisan dengan tinggi y dan tebal y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari y dan tebal y
4
y y
y x2
x
Sehingga
y
V ( y ) 2 y y y Volume benda putar
2 4 V ydy y | 0 8 2 0 4
y
y
15
7.2.2 Metoda Cincin a. Daerah
D ( x, y ) | a x b , g ( x) y h( x)
diputar terhadap sumbu x h(x) D g(x) a
b
Daerah D ? Volume benda putar
Benda putar 16
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. h(x)
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal x dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).
D g(x) a h(x)
x
b
x
sehingga
V (h 2 ( x) g 2 ( x))x b
V (h 2 ( x) g 2 ( x))dx g(x)
a
Catatan penting !: Jari-jari luar=jarak dari sb putar ke batas daerah paling luar Jari-jari dalam=jarak dari sb putar ke batas daerah paling dalam 17
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y y x2
Sehingga
2 x
y
y
D 2
V ( 2 2 ( y ) 2 ) y
(4 y )y
Volume benda putar : 4
V (4 y )dy (4 y 12 y 2 |04 ) (16 8) 8 0
18
Soal Latihan A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh 1.
y x 2 dan y x 2
2.
y x , x 4, dan sumbu x
3. y x dan x 2 y 4. y x 2 1 dan y 2 (daerah dikuadran I)
19
B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x 1.
y x 3 , y 0, dan x 2
2.
y x , x 4, dan sumbu x
3. 4.
y x 2 dan y 4 x y x dan y 1, sumbu y
20
C. Daerah D dibatasi oleh kurva y x dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x (2) sumbu y
21
