Darpublic
www.darpublic.com
6. Fungsi Trigonometri Sudaryatno Sudirham
6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas. y1 = sin θ;
y2 = cos θ
sin θ ; cos θ 1 y5 = sec θ = ; cos θ y3 = tan θ =
cos θ sin θ 1 y6 = csc θ = . sin θ
(6.1)
y 4 = cot θ =
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jari-jari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. y 1 P r O [0,0]
-1
θ -θ
Q
1
x
P’ -1
Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1. Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka sin θ =
PQ = PQ r
(6.2)
PQ = 0 pada waktu θ = 0o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh sin 0o = 0; sin 90o = 1; sin 180o = 0; sin 270o = −1; sin 360o = 0
Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
1/11
Darpublic
www.darpublic.com
Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka cos θ =
OQ = OQ r
(6.3)
OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1 pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Secara singkat cos 0o = 1; cos 90o = 0; cos 180o = −1; cos 270o = 0; cos 360o = 1
Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ2 + OQ2 = OP2 =1, maka sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1
(6.4.a)
Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga sin( −θ) = cos(−θ) =
P′Q −PQ = = − sin θ r r
(6.4.b)
OQ = cos θ r
(6.4.c)
Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara −1 dan +1. Fungsi Tangent. tan θ =
PQ OQ
tan(−θ) =
(6.4.d)
P′Q −PQ = = − tan θ OQ OQ
(6.4.e)
Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0o, dan akan menuju +∞ jika θ menuju 90o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada waktu θ menuju −90o. Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞. Nilai tanθ = 1 bila θ = 45o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1 jika θ = −45o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5. Fungsi Cotangent. cot θ = cot(−θ) =
OQ PQ
OQ OQ = = − cot θ P′Q − PQ
(6.4.f) (6.4.g)
Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0o karena PQ akan menuju 0 walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90o karena OQ = 0. Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
2/11
Darpublic
www.darpublic.com
Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula kurva Gb.6.6. Fungsi Secan dan Cosecan sec θ =
1 r = cos θ OQ
(6.4.h)
csc θ =
1 r = sin θ PQ
.4.i)
Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90o karena OQ menuju 0 dan secθ = 1 pada waktu θ = 0o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1. Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju 0. Lihat pula Gb.6.7. Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.2., yaitu y
sinα cosβ sinα
1
sinα sinβ
cosα
β α
-1
cosα sinβ
β 1
[0,0]
x
cosα cosβ
-1
Gb.6.2. Relasi-relasi sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
(6.5)
Karena sin( −β) = − sin β dan cos(−β) = cos β maka kita peroleh pula sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
(6.6)
6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y r θ
s
Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas, π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ didefinisikan dengan persamaan s θ= , r
s = rθ
(6.7)
Jika θ = 360o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr . Jadi jumlah radian dalam sudut 360o adalah 2π. Dengan demikian maka ukuran sudut θ1 = 180o adalah π rad.
Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
3/11
Darpublic
www.darpublic.com θ 2 = 90o adalah 0,5π rad. θ3 = 1o adalah (π / 180) rad.
dst.
Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus y = sin(x)
(6.8)
terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ = 360o; inilah satu perioda. y
1,5 1 0,5
−2π
0
−π
-0,5
π
0
2π x
-1 -1,5
Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda. Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus y = cos(x)
(6.9)
terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0 atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180o, kembali nol pada x = 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu perioda, 2π. 1,5
y
1
perioda
0,5
−π
0 -0,5
0
π
2π
x
-1 -1,5
Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus. Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu sin( x) = − sin( − x)
sedangkan
cos( x) = cos(− x)
(6.10)
Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut memiliki simetri genap.
Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
4/11
Darpublic
www.darpublic.com
Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan dalam cosinus y = sin( x) = cos( x − π / 2)
(6.11)
Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi y = tan( x) =
sin( x) cos( x)
(6.12)
Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak hingga pada x = +π/2 dan −π/2. y
3 2 1
-1,5π -π
0 -0,5π 0 -1
0,5π π
1,5π
-2 -3
Gb.6.5. Kurva y = tan(x)
Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent. y = cot( x) =
cos( x) 1 = sin( x) tan( x )
(6.13)
Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0. Lihat Gb.6.6. 3 2 1 -1,5π -π
0 -0,5π 0 -1
0,5π π
1,5π
-2 -3
Gb.6.6. Kurva y = cot (x) Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus. y = sec( x) =
1 cos( x)
(6.14.a)
Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai 1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.
Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
5/11
Darpublic
www.darpublic.com
Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus. y = csc( x) =
1 sin( x)
(6.14.b)
Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara pada nilai x ini sin(x) bernilai 0. 3 2 1
-1,5π -π
0 -0,5π 0 -1
0,5π
π
1,5π
0,5π
π
1,5π
-2 -3
(a) y = sec(x) 3 2 1
-1,5π -π
0 -0,5π 0 -1 -2
(b) y = csc(x)
-3
Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)
6.3. Fungsi Trigonometri Inversi Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan y = sin(x ) , maka fungsi sinus inversi dituliskan sebagai (6.15) y = arcsin x atau y = sin −1 x Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan x. Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi y = sin −1 x tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a. Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya meninjau fungsi sinus inversi pada − π ≤ y ≤ π . Dengan pembatasan ini maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai 2
2
utama dari sin x. Jadi nilai utama y = sin −1 x terletak pada − π ≤ sin −1 x ≤ π . Kurva fungsi −1
y = sin −1 x
2
2
yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.
Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
6/11
Darpublic
www.darpublic.com
Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) = 0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x. Contoh: y = sin −1(1) = 0,5π ; y = sin −1 (−1) = −0,5π y = sin −1 (0,5) =
π 6
y = sin −1 (−0,5) = −
; π 6
y 2π
π 0,5π -1
0
0
1
y
x
0,25π 0
−π
-1
0
-0,5
0,5
x
1
-0,25π
−2π
-0,5π
a)
b) Gb.6.8. Kurva y = sin−1x
Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang − π ≤ y ≤ π , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi sinus 2
2
inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi. Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan y = cos −1 x =
π − sin −1 x 2
(6.16)
Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π / 2 − α dan sin α = cos β . Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x sehingga cos −1 x = β = π / 2 − α = π / 2 − sin −1 x
Karena −
dengan
π π ≤ sin −1 x ≤ 2 2
pembatasan
−
π π ≤ y≤ 2 2
pada
fungsi
sinus
inversi
memberikan
maka nilai-nilai utama dari cos −1 x akan terletak pada 0 ≤ cos −1 x ≤ π . Gb.6.9.b.
memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama. Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
7/11
Darpublic
www.darpublic.com
Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang 0 ≤ x ≤ π . y
π
y 0
-1
0
1
1π
0,75π
x
0,5π 0,25π
−π
0 -1
a)
-0,5
0
0,5
x
1
b) Gb.6.9. Kurva y = cos −1 x
Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah y = tan −1 x
(6.17)
dengan nilai utama − π < tan −1 x < π 2
2
Untuk fungsi ini, nilai y = ±(π / 2) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva y = tan −1 x lengkap sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai − 0,5π < y < 0.5π . 1,5π
y
π 0,5π
y
0,5π
0,25π -3
-2
-1
0
0
1
2
3
x 0
-0,5π
-10
-5
0
-π
-0,25π
-1,5π
-0,5π
a)
5
x 10
b) Gb.6.10. Kurva y = tan −1 x
Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent, dalam rentang −
π π < tan −1 x < 2 2
Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.
Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
8/11
Darpublic
www.darpublic.com
Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan y = cot −1 x =
π − tan −1 x 2
(6.18)
dengan nilai utama 0 < cot −1 x < π 0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y menjadi tak hingga. Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π / 2 − α dan tan α = cot β . Oleh karena itu jika tan α = x maka cot β = x sehingga cot −1 x = β = π / 2 − α = π / 2 − tan −1 x
Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11. 1π
y
0,5π
0 -10
0
-5
5
x
10
−1
Gb.6.11. Kurva y = cot x Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6. Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi y = sec −1 x = cos −1
1 x
(6.19)
dengan nilai utama 0 ≤ sec −1 x ≤ π . π 0,75π 0,5π 0,25 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
−1
Gb.6.12. Kurva y = sec x Fungsi Cosecan Inversi. csc −1 x = sin −1
1 x
(6.20)
dengan nilai utama − π ≤ csc −1 x ≤ π 2
2
Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.
Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
9/11
Darpublic
www.darpublic.com 0,5π y 0,25π
0 -4
-3
-2
-1
0
1
3 x 4
2
-0,25π
-0,5π
Gb.6.12. Kurva y = csc −1 x
6.4. Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku. 1). Dari fungsi y = sin −1 x , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan 1 seperti terlihat di bawah ini. 1
x
y
1 − x2
Dari gambar ini selain fungsi y = sin −1 x dan sin y = x , kita dapat peroleh cos y = 1 − x 2
tan y =
,
x 1 − x2
, dst.
2). Dari fungsi cosinus inversi y = cos −1 x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini. 1
1 − x2
y x
Selain cos y = x dari gambar ini kita dapatkan sin y = 1 − x 2
tan y =
,
1 − x2 x
,
dst.
3). Dari fungsi y = tan −1 x , kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini. 1+ x2 x y 1
Selain tan y = x , kita peroleh Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
10/11
Darpublic
www.darpublic.com sin y =
x 1 + x2
cos y =
,
1 1 + x2
,
dst
4). Dari fungsi y = sec −1 x kita gambarkan x
x2 −1
y 1
Dari gambar ini kita peroleh tan y = 1 − x 2
, sin y =
Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”
x2 − 1 x
, dst.
11/11
