5. Fungsi dari Peubah Acak EL2002-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan B. Suksmono
Isi 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Transformasi Peubah Acak Fungsi Pembangkit Momen Pencuplikan Acak Teori Pencuplikan Pencuplikan Sebaran Mean Pencuplikan Sebaran (n-1)S2/σ2 Sebaran t Sebaran F
5.1 Transformasi Peubah Acak
Pendahuluan • Seringkali kita perlu menurunkan sebaran peluang dari fungsi satu peubah atau lebih. • Misalnya, andaikan X peubah acak diskrit dengan sebaran f(x) dan andaikan lagi Y=u(X) transformasi satu-ke-satu dari X ke Y. Kita ingin menentukan sebaran peluang dari Y. • Dari pembahasan pada Bab 2, jelas bahwa peubah acak Y bernilai y saat peubah acak X punya nilai tertentu, misalnya, w(y). Akibatnya, sebaran Y akan diberikan oleh g(y) =P(Y=y) = P(X=w(y)) = f[w(y)] • Hasil ini kita rangkum dalam teorema berikut.
Transformasi satu peubah acak • TEOREMA 5.1 Andaikan X peubah acak diskrit dengan sebaran peluang f(x). Andaikan Y=u(X) adalah transformasi satu-ke-satu antara nilai-nilai X dng Y sedemikian hingga persamaan y=u(x) dapat dipecahkan secara unik untuk x dalam y, misalkan berbentuk x=w(y). Maka, sebaran peluang dari Y adalah g(y) = f[w(y)] • Contoh 5.1: Andaikan X peubah acak geometrik dengan sebaran peluang f(x) = (3/4)(1/4)x-1, x = 1, 2, 3, … Tentukan sebaran peluang dari peubah acak Y=X2. • Jawab: karena semua nilai X positif, transformasi ini menyatakan korespondensi satu-ke-satu antara x dengan y, dimana y = x2 dan x = √y. Dengan demikian g(y) = f(√y) = (3/4)(1/4)√y – 1 , y=1, 4, 9, … =0 , lainnya
Transformasi dua peubah acak • Teorema 5.2 Andaikan X1 dan X2 peubah acak diskrit dengan sebaran peluang gabungan f(x1,x2). Andaikan Y1 = u1(X1,X2) dan Y2=u2(X1,X2) menyatakan transformasi antara titik (x1,x2) dan (y1,y2) sedemikian hingga y1=u1(x1,x2) dan y2=u2(x1,x2) secara unik dapat dipecahkan untuk x1 dan x2 yang dinyatakan dalam y1 dan y2, misalnya x1=w1(y1,y2) dan x2=w2(y1,y2). Maka sebaran peluang gabungan dari Y1 dan Y2 adalah g(y1,y2) = f[w1(y1,y2), w2(y1,y2)] • •
Contoh 5.2: Andaikan X1 dan X2 dua peubah acak saling bebas yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ1 dan μ2. Tentukan sebaran dari peubah acak Y1 = X1+ X2 Jawab: Karena X1 dan X2 saling bebas, maka f ( x1 , x 2 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) e − μ1 μ x11 e − μ 2 μ x22 e − ( μ1 + μ 2 ) μ x11μ 2x2 = = x1! x2 ! x1! x2 ! dimana x1= 0, 1, 2, … dan x2 = 0, 1, 2, ….
Lanjutan … • Sekarang kita definisikan peubah acak kedua, mis. Y2=X2. Fungsi inverse diberikan oleh x1=y1-y2 dan x2 = y2. Dengan Teorema 5.2, kita temukan sebaran peluang bersama dari Y1 dan Y2, yakni:
e − ( μ1 + μ 2 )μ1y1 − y2 μ 2y2 g ( y1 , y2 ) = ( y1 − y2 )! y2!
dimana y1 = 0, 1, 2, …, dan y2 = 0, 1, 2, …Karena x1>0, transformasi x1=y1-x2 berimplikasi bahwa x2 dan y2 harus selalu kurang dari atau sama dengan y1. Akibatnya, sebaran marjinal dari Y1 adalah h( y1 ) =
y1
∑ g( y , y ) = e
y2 =0
1
e −( μ1 + μ2 ) = y1!
2
−( μ1 + μ 2 )
y1
μ1y − y μ2y
∑ ( y − y )! y !
y2 =0
1
1
2
2
2
2
y1! e −( μ1 + μ2 ) y1 − y2 y2 μ1 μ2 = ∑ y1! y2 =0 ( y1 − y2 )! y2 ! y1
⎛ y1 ⎞ y1 − y2 y2 ⎜⎜ ⎟⎟μ1 μ2 ∑ y2 =0⎝ y2 ⎠ y1
Lanjutan … • Penjumlahan tsb adalah ekspansi binomial (μ1+μ2)y1. Dengan demikian, kita peroleh: e − ( μ1 + μ 2 ) (μ1 + μ 2 ) 1 h ( y1 ) = y1! y
, y1 = 0, 1, 2, ...
• Kesimpulan: penjumlahan dia peubah acak saling bebas yang memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ1 dan μ2 adalah suatu sebaran Poisson dengan parameter (μ1+ μ2)
Transformasi satu peubah acak kontinyu •
Teorema 5.3 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan korespondensi satu-ke-satu antara X dengan Y sedemikian hingga persamaan y=u(x) dapat dipecahkan secara unik untuk x dalam y, misalnya x=w(y). Maka sebaran peluand dari Y adalah g(y) = f[w(y)]|J| dimana J=w’(y) adalah Jacobian dari transformasi.
•
Bukti: (1) Andaikan y=u(x) fungsi monoton naik spt pd Gb5.1. Maka terlihat bahwa jika Y jatuh antara nilai a dan b, maka peubah acak X akan berada antara w(a) dan w(b). Dengan demikian, P(a
•
y b
y = u(x)
a x w(a) w(b) Gambar .5.1
Lanjutan … •
Karena integral tsb memberikan nilai yng diinginkan untuk setiap a
x
Contoh 5.3 • Soal: Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran peluang f(x) = x/12 ; 1<x<5 =0 ; lainnya Tentukan sebaran peluang dari peubah acak Y=2X-3 • Jawab: inverse dari y=2x-3 adalah x=(y+3)/2, dan kita peroleh J=dx/dy = ½. Berdasar teorema 5.3, kita temukan fungsi kerapatan Y g(y) = f[(y+3)/2]|J| = {[(y+3)/2]/12}(1/2) = (y+3)/48 ; -1
Transformasi dua peubah acak kontinyu • Teorema 5.4. Andaikan X1 dan X2 peubah acak kontinyu dengan sebaran peluang f(x1,x2). Andaikan Y1=u1(X1,X2) dan Y2=u2(X1,X2) menyatakan transformasi satu-ke-satu antara titik (x1,x2) dan (y1,y2) sehingga persamaan y1=u1(x1,x2) dan y2=u2(x1,x2) dapat secara unik dipecahkan untuk x1 dan x2 dalam y1 dan y2, misalnya x1= w1(y1,y2) dan x2=w2(y1,y2). Maka sebaran peluang bersama dari Y1 dan Y2 adalah g(y1,y2) = f[w1(y1,y2), w2(y1,y2)]|J| dimana Jacobian merupakan determinan matriks 2 ×2 sbb: J =
∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y1
∂x1 ∂y 2 ∂ x 2 ∂y 2
dan ∂x1/∂y1 adalah turunan dari x1 = w1(y1,y2) terhadap y1 dengan menganggap y2 konstan, seperti pada proses penurunan x1 terhadap y1 pada kalkulus. Turunan parsial lain didefinisikan dengan cara yang sama.
Contoh 5.4 •
•
Soal: Andaikan X1 dan X2 dua buah peubah acak kontinyu dengan sebaran peluang gabungan f(x1,x2) = 4x1x2 ;0<x1<1, 0<x2<1 =0 ; lainnya Tentukan sebaran peluang gabungan dari Y1=X12 dan Y2=X1X2. Jawab: Solusi invers dari y1=x12 dan y2=x1x2 adalah x1=√y1 dan x2=y2/√y1 , sehingga diperoleh Jacobian berikut: 1 0 1 2 y1 J = = 2 y1 − y 2 / 2 y13 / 2 1 y1 Transformasi ini bersifat satu-ke-satu, memetakan titik-titik {(x1,x2)|0<x1<1, 0<x2<1} ke himpunan {(y1,y2)| y22
Jika pemetaan tidak satu-ke-satu … • Penerapan prinsip transformasi peubah acak bisa muncul masalah jika kita ingin menentukan sebaran peubah acak Y=u(X), dimana X kontinyu dan transformasinya tidak satu kesatu. Yakni, setiap nilai x ada satu nilai y, tapi setiap y berkorespondensi dengan lebih dari satu nilai x. • Contoh: andaikan f(x) positif pada interval -1<x<2 dan nol di tempat lain. Tinjau transformasi y=x2. Dalam kasus ini, x=±√y untuk 0
y y = x2 1
x -1 -√b -√a 0
√a
√b 1
Gambar .5.3
2
Lanjutan … •
Maka, bagi setiap nilai y akan ada nilai x tunggal untuk setiap partisi. Dari Gambar 5.3 P(a
Transformasi untuk k-buah fungsi invers • Teorema 5.5 Andaikan X peubah acak kontinyu dengan sebaran peluang f(x). Andaikan Y=u(X) menyatakan transformasi yang tidak satu-ke-satu antara nilai X dengan Y. Jika selang keseluruh X dpt dipartisi menjai k-buah himpunan tak beririsan sedemikian hingga setiap fungsi inverse x1=w1(y), x2=w2(y), …, xk=wk(y) dari y=u(x) berkorespondensi satu-ke-satu, maka sebaran peluang dari Y adalah g (y ) =
k
∑ f [w ( y )] J i =1
i
i
dimana Ji=wi’(y), i =1, 2, …, k • Latihan: Soal no. 1, 2, 4, 6, 10 dalam buku teks
Contoh 5.5 • Soal: Tunjukkan bahwa Y=(X-μ)2/σ2 memiliki sebaran chikuadrat dengan derajat bebas 1, jika X tersebar normal dengan mean μ dan variansi σ2. • Jawab: Andaikan Z=(X-μ)/σ, dimana peubah acak Z memiliki sebaran normal baku f(z) = (1/2π)1/2exp(-z2/2) ; -∞
Kita sekarang akan mencari sebaran dari peubah acak Y=Z2. Solusi invers dari y=z2 adalah z=±√y. Kita namakan z1=-√y dan z2=√y; J1=-1/(2√y) dan J2=1/(2√y). Maka berdasarkan Teorema 5.5, akan diperoleh g(y) = =
1 − y 2 −1 1 −y 2 1 e + e 2π 2 y 2π 2 y 1 21 2 π
y1 2−1e − y 2 , y > 0
Lanjutan … • Karena g(y) fungsi kerapatan peluang, maka 1= =
1 21 2 π Γ(1 2 )
∞
1 2 −1 − y 2 y ∫ e dy 0
1 Γ(1 2 ) 1 2 −1 − y 2 = y e dy π ∫0 21 2 Γ(1 2) π ∞
integral ini menyatakan luas daerah dibawah kurva peluang gamma dengan parameter α=1/2 dan β=2. Oleh karena itu, √π= Γ(1/2) dan sebaran peluang Y diberikan oleh
1 g(y) = 1 2 y1 2−1e − y 2 , y > 0 2 Γ(1 2 ) yaitu sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebas 1.
5.2 Fungsi pembangkit momen
Pendahuluan • Disamping metoda transformasi variabel spt yang sudah dijelaskan, ada cara lain untuk menentukan fungsi sebaran peluang dari banyak peubah acak, terlebih jika fungsi ini merupakan penjumlahan beberapa peubah acak yang saling bebas. • Metoda ini disebut teknik fungsi pembangkit momen.
Fungsi pembangkit momen • DEF.5.1 Fungsi pembangkit-momen dari peubah acak X diberikan oleh E(etX) dan dituliskan sebagai MX(t), yakni
( )
M X (t ) = E e tX n
= ∑ e txi f ( xi ) , untuk X diskrit i =1 ∞
=
tx e ∫ f (x )dx , untuk X kontinyu
−∞
• Fungsi pembangkit momen ini ada jika jumlah atau integral di ruas kanan pada DEF.5.1 konvergen. • Jika fungsi ini ada, fungsi ini dapat dipakai untuk membangkitkan/menentukan semua nilai momen dari variabel ybs, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.
Perhitungan momen • TEOREMA 5.6. Andaikan X peubah acak dengan fungsi pembangkit momen MX(t). Maka
d r M X (t ) = μ 'r r dt t=0 • Bukti: dengan asumsi proses diferensiasi dapat dilakukan, maka d r M X (t ) n r txi = ∑ xi e f ( xi ) , X diskrit r dt i =1 ∞
=
r tx x ∫ e f (x )dx , X kontinyu
−∞
Dng membuat t=0, kedua kasus akan menghasilkan E(Xr) =μ’r.
Contoh 5.6 • Soal: Tentukan fungsi pembangkit momen utk peubah acak binomial X dan gunakan utk membuktikan μ=np dan σ2=npq. • Jawab: Dari definisi 5.1, kita dapatkan ⎛ n ⎞ x n− x n ⎛ n ⎞ t x n− x M X (t ) = ∑ e ⎜⎜ ⎟⎟ p q = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ pe q x =0 x =0 ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ n
tx
( )
Yang tak lain adalah ekspansi binomial (pet + q)n, sehingga diperoleh: MX(t) = (pet + q)n Selanjutnya: dMX(t)/dt = n (pet + q)n-1 pet dan d2MX(t)/dt2 = np[et(n-1)(pet + q)n-2 pet + (pet + q)n-1et] Dengan membuat t=0, maka diperoleh μ1’ = np dan μ2’=np [(n-1)p +1] dan Akibatnya: μ = μ1’ = np σ2 = μ2’ - μ12 = np(1-p) = npq
Contoh 5.8 • Soal: Tunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari peubah acak X yang tersebar Chi-kuadrat dengan derajat bebas v adalah MX(t)=(1-2t)exp(-v/2). • Jawab: Sebaran Chi-kuadrat adalah kasus khusus dari sebaran gamma dengan membuat α=v/2 dan β=2. Dari DEF 5.1 diperoleh ∞
∞
1 1 v 2 −1 − x (1− 2 t ) 2 M X (t ) = ∫ e tx v 2 x v 2−1e − x 2 dx = v 2 x e dx ∫ 2 Γ(v 2 ) 2 Γ(v 2 ) 0 0 Dengan menuliskan y=x(1-2t)/2v 2dan dx=[2/(1-2t)]dy diperoleh −1 ∞
1 ⎛ 2y ⎞ M X (t ) = v 2 ⎜ ⎟ ∫ ( ) v t 2 Γ 2 0 ⎝1− 2 ⎠ 1 = v2 v2 2 Γ(v 2 )(1 − 2t ) = (1 − 2t )
−v 2
∞
2 e dy t 1− 2 −y
v 2 −1 − y y ∫ e dy 0
Komb. linier peubah acak yang saling bebas • TEOREMA 5.7 (T. KEUNIKAN) Andaikan X dan Y dua peubah acak yang memiliki fungsi pembangkit momen, berturut-turut, MX(t) dan MY(t). Jika MX(t)=MY(t) untuk semua nilai t, maka X dan Y akan memiliki sebaran peluang yang sama. • TEOREMA 5.8: • Bukti: MX+a(t)
MX+a(t) = eatMX(t)
= E[et(X+a)] = eatE[etX] = eatMX(t)
• TEOREMA 5.9: MaX (t) = MX(at) • Bukti: MaX(t)
= E[et(aX)] = E[e(at)X] = MX(at)
Lanjutan … • TEOREMA 5.10 Jika X1 dan X2 peubah acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen MX1(t) dan MX2(t), dan Y=X1 + X2, maka MY(t) = MX1+X2(t) = MX1(t)MX2(t) • BUKTI: MY(t)
= E[etY] = E[et(X1+X2)] = ∫-∞∞ ∫-∞∞ et(X1+X2) f(x1,x2)dx1dx2
Karena semua peubah saling bebas, maka f(x1,x2)=g(x1)h(x2) dan MY(t) = ∫-∞∞ etX1 g(x1) dx1 ∫-∞∞ etX2 g(x2) dx2 = MX1(t)MX2(t) Bukti untuk kasus diskrit sejalan dengan yang diatas, dimana integral digantikan dengan penjumlahan.
Aplikasi Contoh: • Tinjau dua peubah acak Poisson X1 dan X2 yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen MX1(t) = eμ1(exp(t) – 1) dan MX2(t) = eμ2(exp(t) – 1) Maka, menurut Teorema 5.10, fungsi pembangkit momen untuk peubah acak Y1=X1+X2 adalah MY1(t) = MX1(t) MX2(t) = eμ1(exp(t) – 1) eμ2(exp(t) – 1) = e(μ1+ μ2)(exp(t) – 1) Yang tak lain adalah fungsi pembangkit momen untuk peubah acak Poisson dengan parameter μ1+ μ2. • Berdasarkan contoh ini dan Teorema 5.7, kita simpulkan sekali lagi bahwa jumlah dua peubah acak bebas yang masing-masing tersebar Poisson dengan parameter μ1dan μ2, juga akan memiliki sebaran Poisson dengan parameter μ1+ μ2.
Penjumlahan dua peubah acak normal • •
Dalam statistik terapan, seringkali kita ingin tahu sebaran peluang dari kombinasi linier sejumlah peubah acak saling bebas yang tersebar secara normal (Gaussian). Tinjau dua peubah acak, X1 dan X2 yang tersebar normal yang masingmasing memiliki mean μ1 dan μ2 dan variansi σ12 dan σ22 .
Berdasarkan Teorema 5.10, kita dapatkan fungsi pembangkit momennya MY(t) = Ma1X1(t) Ma2X2(t) dan berdasarkan Teorema 5.9, maka MY(t) = MX1(a1t) MX2(a2t) Berdasarkan contoh 5.7, maka MY(t) = exp[(a1μ1t +a12σ12 t2)/2]⋅exp[(a2μ2t+a22σ22 t2)/2] = exp[{(a1μ1+a2μ2)t]+[(a12σ12+a22σ22) t2}/2] Yakni fungsi pembangkit momen dari sebaran normal dengan mean a1μ1+a2μ2 dan variansi a12σ12+a22σ22. • Hasil terakhir dapat diperumum sbb.
Sifat reproduktif sebaran • TEOREMA 5.11 Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acak saling bebas yang tersebar normal dengan mean μ1, μ2, …, μn dan variansi σ12, σ22, …, σn2, maka peubah acak Y = a1X1+ a2X2+ …+ anXn akan tersebar normal dengan mean μY = a1μ1+ a2μ2+ … +anμn dan variansi σY2 = a12σ12 + a22σ22 + …+ an2σn2 terlihat bahwa sebaran Poisson dan sebaran Normal punya sifat reproduktif, yakni, jumlah peubah acak saling bebas dengan sebaran Poisson atau normal akan menghasilkan sebaran yang tipenya sama. • Sifat reproduktif ini dimiliki juga oleh sebaran Chikuadrat, spt dinyatakan dalam Teorema berikut.
Reproduksibilitas sebaran Chi-kuadrat • TEOREMA 5.12 Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acak yang saling bebas dengan sebaran sebagai Chi-kuadrat dengan derajat bebas v1, v2, …, vn, maka peubah acak Y = X1+X2+ …+ Xn akan tersebar secara Chi-kuadrat pula dengan derajat bebas v = v1+ v2+ … + vn • Bukti: berdasarkan Teorema 5.10 MY(t) = MX1(t)MX2(t) … MXn(t) dari Contoh 5.8 diperoleh fungsi pembangkit momen MX1(t) = (1-2t) -vi/2 oleh karena itu MY(t) = (1-2t) –v1/2(1-2t) –v2/2 … (1-2t) -vn/2 = (1-2t) –(v1+v2+ …+vn)/2 yang tak lain adalah fungsi pembangkit momen sebaran Chikuadrat dengan v = v1+ v2+ … + vn derajat bebas.
• COROLLARY Jika X1, X2,… , Xn adalah peubah acak yang memiliki sebaran normal dengan mean μ dan variansi σ2, maka peubah acak Y =
n
∑
i=1
⎛ X i − μ ⎞ ⎜ ⎟ σ ⎝ ⎠
2
akan memiliki sebaran Chi-kuadrat dengan derajat bebas v=n.
• Corrolary ini adalah konsekuensi langsung dari contoh 5.5, yang menyatakan bahwa, masingmasing dari n peubah acak bebas [(Xi -μ)/σ]2, i=1, 2, …,. n tersebar Chi-kuadrat dengan derajat bebas 1.
5.3 Pencuplikan Acak
Populasi • DEF 5.2 Suatu populasi terdiri dari keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita. • Jumlah pengamatan disebut besar (size) dari populasi. Mis. 600 orang mahasiswa, sejumlah tak-hingga lantunan dadu, jumlah kartu, tinggi badan penduduk kota tertentu, dst. • Setiap pengamatan dari populasi merupakan peubah acak X dng sebaran f(x). • Populasi binomial, populasi normal, dst akan mengacu pada nilai peubah acak yang tersebar secarac binomial, normal, … dst.
Cuplikan acak • DEF. 5.3 Andaikan X1, X2, …, Xn adalah peubah acak saling-bebas yang masing-masing memiliki sebaran peluang f(x). Kita akan mendefinisikan X1, X2, …, Xn sebagai cuplikan acak berukuran n dari populasi f(x) dan menuliskan sebaran peluang gabungannya sebagai f(x1, x2, …, xn) = f(x1)⋅f(x2) ⋅ ⋅ ⋅ f(xn)
5.4 Teori Pencuplikan
Statistik • Tujuan pemilihan cuplikan acak adalah untuk mengetahui lebih jelas perihal parameter dari suatu populasi. • Andaikan kita ingin tahu pendapat masyarakat suatu negara mengenai merk kopi-kopi tertentu, tidak mungkin kita bertanya ke semua penduduk satu per satu. Yang bisa dilakukan, ambil sejumlah besar cuplikan acak dan analisa pendapatnya. • Nilai yang dihitung dari suatu cuplikan disebut sebagai statistik. Karena dari suatu populasi kita bisa mengambil berbagai sampel, maka nilai statistik dapat bervariasi. Dengan demikian, statistik adalah suatu peubah acak. • DEFINISI 5.4 Suatu statistik adalah peubah acak yang nilai-nya hanya bergantung pada cuplikan acak yang sedang diamati.
Mean cuplikan (sample mean) • Statistik akan kita tuliskan sebagai P^, sedangkan nilainya adalah p^. Tingkat ketelitian p^ dalam menggambarkan populasi sesungguhnya, yaitu p, terlebih dahulu kita lihat sebaran dari statistik P^. • Salah satu statistik yang paling populer adalah ukuran pusat data, yaitu mean, median, dan mode.
• DEFINISI 5.5 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikan acak berdimensi n, maka mean dari cuplikan (sample mean) didefinisikan dengan statistik berikut: n
X =
∑
X
i =1
i
n
• Catat bahwa statistik X mengasumsikan bahna nilai x = Σi=1N(xi/n) saat X1 bernilai x1, X2 bernilai x2, … dst.
Contoh 5.9 • Soal: Tentukan mean dari cuplikan acak yang nilai pengamatannya adalah 20, 27, dan 25. • Jawab: Nilai x teramati dari statistik X adalah x = (20 + 27 +25)/3 = 24
MEDIAN • DEFINISI 5.6 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikan acak berukuran n yang diurutkan secara meningkat, maka median X~ dari cuplikan dinyatakan oleh statistik X~ = X(n+1)/2 jika n ganjil = (Xn/2 + X(n/2)+1)/2 jika n genap • Contoh 5.10: Tentukan median dari cuplikan acak yang nilai pengamatannya adalah 8, 3, 9, 5, 6, 8, dan 5. • Jawab: Pengurutan yang meningkat 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9, memberikan nilai median x~ = 6. • Contoh 5.11 Tentukan median dari cuplikan acak yang nilai pengamatannya adlah 10, 8, 4, dan 7. • Jawab: Pengurutan dari hasil pengamatan secara meningkat 4, 7, 8, 10 dan DEF 5.6, maka median adalah mean aritmetik dari titik tengah kedua nilai. Jadi, x~ = (7+8)/2 = 7.5
MODE • DEFINISI 5.7 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan cuplikan acak berukuran n yang tidak perlu berlainan nilainya, maka mode M dari cuplikan adalah nilai yang paling sering muncul atau yang frekuensi nya paling besar. Mode bisa jadi tidak ada, dan jika adapun belum tentu unik. • Contoh 5.12: Tentukan mode dari cuplikan acak yang nilai pengamatannya adalah 2, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, dan 8. • Jawab: mode m = 6. • Contoh 5.13: Hasil pengamatan 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, dan 9 memiliki dua mode, yaitu 4 dan 8. Sebaran yang demikian disebut bimodal. • Jika deretan cuplikan punya dua mode berurutan, kita ambil rata-rata aritmetikanya. Dengan demikian 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 adalah (5+6)/2 = 5.5 dan 9.
Kelebihan dan kekurangan mean • Keuntungan mean: – paling umum dipakai dalam menggambarkan pusat kecenderungan data. – Mudah dihitung dan menggunakan semua informasi yang ada. – Sifat sebaran mean cuplikan sudah banyak dipelajari, shg inferensi statistik didasarkan pada sample mean.
• Kerugian: – mudah terpengaruh nilai ekstrim. Jika dalam pengumpulan dana sebagian besar orang menyumbang $5, maka sumbangan seseorang sebesar $10,000 menghasilkan rata-rata sumbangan yang jauh lebih besar dari seharusnya.
Kelebihan dan kekurangan median • Keuntungan median: – Mudah dihitung – Tak terpengaruh nilai ekstrim, akan memberikan nilai tengah yang sebenarnya dalam contoh donasi.
• Kerugian median – Dalam penanganan cuplikan populasi, mean tidak akan se-variatif median sehingga mean lebih stabil. Dengan demikian, mean cuplikan lebih mewakili mean populasi dibandingkan median cuplikan menyatakan median pupulasi.
Kelebihan dan kekurangan mode • Mode lebih jarang dipakai dibandingkan dengan dua ukuran pusat yang lain, yaitu mean dan median. • Jika cuplikannya sedikit, nilai mode hampir samasekali tidak ada gunanya. Jika ukuran data besar, manfaatnya baru kelihatan. • Keuntungan satu-satunya dari mode adalah: tidak perlu melakukan kalkulasi apapun untuk mendapatkan mode.
Ukuran penyebaran data • Ketiga statistik yang telah disebut (mean, median, mode) tidak menggambarkan apapun mengenai penyebaran data. • Tinjau kasus berikut berkaitan dengan isi jus buah didalam botol dari dua merek A dan B. Cuplikan A Cuplikan B
75 86
80 80
74 69
83 71
86 94
• Kedua cuplikan punya nilai mean cuplikan yang sama sebesar 80, tapi terlihat jelas bahwa jus merek A lebih seragam dibandingkan dengan merek B. • Statistik paling penting dalam menyatakan variabilitas cuplikan acak adalah jangkauan (range) dan variansi. • Dari kedua macam statistik ini, yang paling mudah dihitung adalah jangkauan.
Jangkauan (range) • DEFINISI 5.8 Jangkauan dari cuplikan acak X1, X2, …, Xn yang diurutkan meningkat, didefinisikan sebagai statistik Xn-X1. • Contoh 5.14. Nilai jangkauan dari kumpulan pengamatan 10, 12, 12, 18, 19, 22, dan 24 adalah 24-10=14. • Untuk kasus jus buah pada contoh sebelumnya, jangkauan dari merek A adalah 12, sedangkan untuk merek B adalah 25.
Kelemahan jangkauan • Jangkauan bukanlah ukuran variabilitas data yang baik karena hanya mempertimbangkan dua nilai ekstrim tanpa mengatakan apapun mengenai nilai diantara dua ekstrim tsb. • Tinjau dua kumpulan data berikut 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 3, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 15 kedua data ini memiliki jangkauan 12. • Data pertama memiliki mean dan median sebesar 8, tetapi nilai-nilai diantaranya sangat bervariasi. • Data kedua memiliki mean dan median sebesar 9, tetapi nilai diantaranya dekat ke mean maupun median. • Untuk mengatasi kelemahan jangkauan, diperkenalkanlah variansi cuplikan yang menyatakan variabilitas data dengan mempertimbangkan posisi setiap data pengamatan terhadap mean cuplikan.
Variansi cuplikan • DEFINISI 5.9 Jika X1, X2, …, Xn menyatakan peubah acak berukuran n, maka variansi cuplikan didefinisikan sebagai statistik n 2 S2 =
∑ (X i =1
i
−X)
n −1
• Nilai hasil hitungan S2 dinyatakan sebagai s2. • Perhatikan bahwa S2 pada dasarnya adalah rata-rata dari simpangan kuadrat data pengamatan terhadap mean. Penggunan n-1 sebagai pembagi dan bukannya n, sebenarnya jelas dengan sendirinya. Penjelasan lebih lanjut akan dibahas pada Bab VI.
Variansi cuplikan • TEOREMA 5.13 Jika S2 adalah variansi dari cuplikan acak berukuran n, kita bisa menuliskan ⎛ ⎞ n∑ X i2 − ⎜ ∑ X i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ S 2 = i =1 n(n − 1) n
n
2
• Bukti: --lakukan sendiri • Simpangan baku cuplikan S didefinisikan sebagai akar kuadrat positif dari variansi cuplikan.
Contoh 5.15 • Soal: Tentukan variansi dari cuplikan pengamatan berikut: 3, 4, 5, 6, 6, dan 7 • Jawab: Kita mendapatkan Σi=16(xi)2 = 171, Σi=16(xi) = 31, dan n = 6. Dengan demikian s2 = [(6)⋅(171) - 312]/[(6)⋅(5)] = 13/6.
Sebaran cuplikan • Statistika induktif berkaitan dng generalisasi dan prediksi. Generalisasi dari parameter statistik dapat dilakukan jika perilakuk fluktuatif dari statistik diketahui. • DEFINISI 5.10 Sebaran peluang dari suatu statistik disebut sebaran cuplikan (sampling distribution). • DEFINISI 5.11Simpangan baku dari sebaran cuplikan dari suatu statistik disebut sebagai kesalahan baku dari statistik (standard error of statistic). • Sebaran peluang dari X disebut sebagai sebaran cuplikan dari mean, sedangkan kesalahan baku dari mean adalah simpangan baku dari sebaran cuplikan dari X.
5.5 Sebaran cuplikan dari mean
Pendahuluan • Pokok bahasan pertama ttg sebaran cuplikan penting ( important sampling distribution ) adalah mean X. • Andaikan cuplikan acak dari n buah pengamatan diambil dari populasi normal dengan mean μ dan sebaran σ 2. Setiap pengamatan Xi, i=1,2, …,n dari cuplikan acak akan punya sebaran normal yang sama dengan populasi yang dicuplik. • Berdasarkan sifat reproduktif dari sebaran normal pada Teoriema 5.11, maka X = (X1 + X2 + … + Xn)/n akan tersebar normal dengan mean μX = (μ + μ + … + μ)/n = μ dan variansinya σX2 = (σ2 + σ2 + … + σ2)/n2 = σ2/n2 • Jika pencuplikan dilakukan pada popolasi yang sebarannya tak diketahui, berhingga maupun takhingga, sebaran cuplikan X akan tetap mendekatai normal dengan mean μ dan variansi σ2/n jika jumlah cuplikan cukup banyak. Hasil yang menakjubkan ini adalah konsekuansi langsung dari Central Limit Theorem.
Central Limit Theorem • THEOREM 5.14 Jika X adalah mean dari cuplikan acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan mean μ dan variansi berhingga σ2, maka limit dari bentuk sebaran X −μ Z= σ n
ketika n →∞, adalah sebaran normal baku n(z;0,1) • Pada umumnya, hampiran normal dari X akan baik jika n ≥30, apapun bentuk populasinya. Jika n<30, hampiran akan baik hanya jika populasi tidak terlalu menyimpang dari bentuk normal. • Jika populasinya normal, sebaran cuplikan X akan mengikuti sebaran normal secara tepat, seberapapun ukuran cuplikan.
Contoh 5.16 • Soal: sebuah pabrik memproduksi lampu listrik yang memiliki waktu-hidup hampir tersebar normal, dengan mean 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Tentukan peluang bahwa suatu cuplikan acak 6 buah lampu akan memiliki waktu hidup kurang dari 775 jam. • Jawab: Sebaran cuplikan dari X akan mendekati normal dengan μX =800 dan σX=40/√(16) =10. Peluang yang diinginkan akan diberikan oleh daerah diarsir pada Gb 5.4. • Untuk x=775, maka kita akan mendapatkan z = (775-800)/10 = -2.5 Oleh karena itu P(X<775) = P(Z<-2.5) = 0.006
σX=10
x 775
800
Contoh 5.17 • Soal: Suatu populasi memiliki sebaran seragam f(x) =¼ ; x=0, 1, 2, 3 =0 ; lainnya tentukan peluang bahwa suatu cuplikan acak berukuran 36, yang diambil dengan penggantian, akan menghasilkan mean cuplikan lebih dari 1.4, tetapi kurang dari 1.8, jika mean diukur ke persepuluhan terdekat. • Jawab: Perhitungan mean dan variansi dari sebaran seragam dari rumus pada Teorema 3.1 menghasilkan μ = (0+1+2+3)/4 = 3/2 σ2 = {(0-3/2)2 + (1-3/2)2 + (2-3/2)2 + (2-3/2)2 }/4 = 5/4 Sebaran cuplikan X dapat didekati dengan sebaran normal dengan mean μX=3/2 dan variansi σX2 = σ2/n = 5/144. Dengan demikian, simpangan bakunya adalah σX=0.186. Peluang bahwa X akan lebih dari 1.4 tetapi kurang dari 1.8 diberikan oleh daerah diarsir pada Gb.5.5
Lanjutan … • Nilai z yang untuk x1=1.45 dan x2=1.75 adalah z1= (1.45-1.5)/0.186 = -0.269 z2= (1.75-1.5)/0.186 = 1.344 Oleh karena itu P(1.4<X<1.8) ~ P(-0.269
x 1.45
1.5
1.75
Selesai
