5. Analytic Hierarchy Process (AHP) (ld. Temesi J.: A d¨ont´eselm´elet alapjai, 120-128) (Rapcs´ak T.: T¨obbszempont´u d¨ont´esi probl´em´ak I. ld. http://www.oplab.sztaki.hu/tanszek/download/ I.Tobbsz-dont-modsz.pdf) 5.1 Bevezet´ es Az AHP-t Thomas Saaty fejlesztette ki 1980-ban. Az erre ´ep¨ul˝o szoftver az Expert Choice, melynek jelenleg az EC 11.5-¨os v´altozata a legfrissebb. A szoftver let¨olthet˝o a http://updates.expertchoice.com/products/grouptrialreg.html honlapr´ol a 15 napig m˝uk¨od˝o demo v´altozathoz is ott lehet k´odot k´erni. Az AHP t¨obbszempont´u d¨ont´esi probl´em´ak megold´as´ara alkalmas elj´ar´as, ami lehet˝ov´e teszi a d¨ont´esi feladatok logikus rendszerbe foglal´as´at. A d¨ont´esi feladatok megold´as´anak els˝o l´ep´ese a d¨ont´esi feladat fel´ep´ıt´ese, ami a c´el megfogalmaz´as´ab´ol, az alternat´ıv´ak kiv´alaszt´as´ab´ol ´es a szempontok meghat´aroz´as´ab´ol a´ll. Az AHP-ben a d¨ont´esi probl´ema az a´ttekinthet˝os´eg ´erdek´eben egy t¨obbszint˝u fastrukt´urak´ent van ´abr´azolva, amelynek legfels˝o szintj´en a c´el, az alatta lev˝o szinteken a szempontok, az alszempontok stb., a legals´o szinten pedig az alternat´ıv´ak helyezkednek el. A legalacsonyabb szinten lev˝o szempontokat lev´elszempontoknak nevezz¨uk. Az AHP d¨ont´esi modellek szerkezet´et mutatja az al´abbi ´abra.
1
2
L´athat´o, hogy az EC modellekben a grafikus a´br´azol´as´aban az alternat´ıv´ak nincsenek megk¨ul¨onb¨oztetve a szempontokt´ol. Az egyed¨uli k¨ul¨onbs´eg az, hogy az alternat´ıv´ak helyezkednek el a szempontfa legals´o szintj´en. Az EC ´altal kezelt f´ak legfeljebb 5 szint m´elys´eg˝uek, ´es egy szempontnak legfeljebb 9 alszempontja lehet, ´ıgy - mivel az utols´o szinten az alternat´ıv´ak vannak - elvileg 7380 = (9 + 92 + 93 + 94) szempont kezelhet˝o; ezekb˝ol 94 = 6561 lev´elszempont. Az AHP d¨ont´esi modellekben a c´el mindig az adott alternat´ıv´ak rangsor´anak a meghat´aroz´asa. Mivel az ´ert´ekel´esi szempontok fastruk´ur´aba vannak rendezve, ez´ert a szempontok k¨oz¨otti ¨osszef¨ugg´eseket is figyelembe lehet venni. Az alternat´ıv´ak szempontok szerinti ´ert´ekel´ese alapulhat • n´evleges, • rangsor, • intervallum • ´es ar´anyoss´agi (h´anyados) sk´al´an megadott ´ert´ekeken.
3
A d¨ont´esi feladat megold´asa a k¨ul¨onb¨oz˝o AHP modellekben a k¨ovetkez˝o l´ep´esekb˝ol a´ll: 1. a szempontok s´ulyainak a meghat´aroz´asa; 2. az alternat´ıv´ak ki´ert´ekel´ese a megadott szempontok szerint; 3. a s´ulyoz´as ´es az ´ert´ekel´esek o¨sszegz´ese. 5.2 P´ aros ¨ osszehasonl´ıt´ as Az AHP d¨ont´esi probl´em´ak megold´as´anak az egyik alapeszk¨ oze a p´aros (p´aronk´enti) ¨ osszehasonl´ıt´ as, amit a szempontok s´ulyoz´as´ara ´es az alternat´ıv´ak egyes szempontok szerinti ´ert´ekel´es´ere egyar´ant alkalmaznak. A p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrix a´ltal´anos esetben a k¨ovetkez˝o, ahol a pi (i = 1, . . . , n) s´ulyok tetsz˝oleges, pozit´ıv val´os sz´amok. Itt a p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrix´at az A1, A2, . . . , An alternat´ıv´akra ´ırjuk fel. A1 A2 · · · An A1 p1/p1 p1/p2 · · · p1/pn A2 p2/p1 p2/p2 · · · p2/pn ... ... ... ... ... An pn/p1 pn/p2 · · · pn/pn Itt az aij = pi/pj h´anyados azt mutatja, hogy az Ai alternat´ıva h´anyszor jobb, el˝ony¨osebb az Aj alternat´ıv´an´al. Azt is mondhatjuk, hogy a pi > 0 sz´am az Ai alternat´ıva s´ulya. Ha
p1/p1 p1/p2 · · · p1/pn p1 p2/p1 p2/p2 · · · p2/pn p2 n×n ∈ Rn A = .. ∈R , p= . . . . . . . . . . . . . pn/p1 pn/p2 · · · pn/pn pn
4
az ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixa ´es a s´ulyok vektora, akkor l´athat´o, hogy Ap = np vagyis n az A m´atrix saj´at´ert´eke ´es a hozz´a tartoz´o saj´atvektor ´eppen a s´ulyvektor. Az A m´atrix rangja 1, ennek seg´ıts´eg´evel igazolhat´o, hogy A-nak csak egy nemz´erus saj´at´ert´eke van. Igazolhat´o, hogy minden p´ aros ¨ osszehasonl´ıt´ asi m´ atrixnak k´et saj´at´ert´eke van, n, melynek multiplicit´ asa 1 ´es a hozz´ a tartoz´o saj´atvektor a p s´ ulyvektor, a m´ asik saj´ at´ert´ek 0, melynek multiplicit´asa n − 1 ´es a hozz´ a tartoz´ o line´ arisan f¨ uggetlen saj´atvektorok (p1, 0, 0, . . . , 0), (0, p2, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , pn−1, 0). A p´aros o¨sszehasonl´ıt´asi m´atrixok aij elemeire teljes¨ul az, hogy 1 pi 1 aij = mivel = pj aji pj p i
aij = aik akj
mivel
pi p i pk = pj p k pj
´ . Az A = (aij ) ∈ Rn×n pozit´ıv elem˝u aij > 0 Definicio m´atrixot reciprok m´atrixnak nevezz¨uk, ha 1 aij = (i, j = 1, . . . , n). (1) aji ´ . Az A = (aij ) ∈ Rn×n m´atrixot konzisztens Definicio m´atrixnak nevezz¨uk, ha aij = aik akj (i, k, j = 1, . . . , n).
(2)
A (2) egyenlet azt jelenti, hogy b´armely r¨ogz´ıtett i, k indexekre egy konzisztens A m´atrix i-edik sor´anak elemei a k-adik sor elemeinek konstansszorosai (a konstans aik f¨ugg az i, k indexekt˝ol).
5
Vil´ agos, hogy minden p´ aros o ¨sszehasonl´ıt´ asi m´ atrix pozit´ıv (elem˝ u) ´ es konzisztens, ´ es ford´ıtva, minden pozit´ıv (elem˝ u) konzisztens m´ atrix p´ aros o ¨sszehasonl´ıt´ asi m´ atrix. A megford´ıt´as igazol´as´ahoz legyen A = (aij ) pozit´ıv (elem˝u) konzisztens, akkor (2)-b˝ol j = k = i-vel k¨ovetkezik, hogy aii = aiiaii, azaz aii(1 − aii) = 0 azaz aii = 1 vagy [aii = 0]. (3) Tov´abb´a j = i-vel 1 = aii = aik aki, azaz aik =
1 aki
(4)
azaz pozit´ıv konzisztens m´atrix reciprok. ´ olve A els˝o oszlop´anak elemeit 1, P2, P3, . . . , Pn-nel (4) Atjel¨ miatt az els˝o sor elemei rendre 1, 1/P2, 1/P3, . . . , 1/Pn amib˝ol a (3) tulajdons´ag miatt az els˝o, m´asodik, harmadik, stb. n-edik sor elemei u´gy kaphat´ok, hogy az els˝o sor minden elem´et rendre megszorozzuk az 1, P2, P3, . . . , Pn sz´amokkal ´ıgy az A m´atrix 1 1/P2 1/P3 · · · 1/Pn P2 1 P2/P3 · · · P2/Pn P3 P3/P2 1 · · · P /P 3 n . ... ... ... ... .. Pn Pn/P2 Pn/P3 · · · 1 v´eg¨ul Pi = pi/p1 (i = 1, . . . , n)-nel kapjuk hogy A elemei aij = pi/pj alak´uak, amint azt ´all´ıtottuk. L´attuk, hogy ha egy pozit´ıv m´ atrix konzisztens, akkor b´ armely sora egy tetsz˝ oleges m´ asik sor´ anak pozit´ıv konstansszorosa. Egy´ uttal az is ad´ odik, hogy konzisztens m´ atrix rangja 1.
6
De abb´ol, hogy egy m´atrix rangja 1 k¨ovetkezik az, hogy a m´atrix konzisztens. Ellenp´elda a 1 2 2 4 melynek rangja 1, de nem konzisztens mivel a22 = 4 6= 1. Igazolhat´ok a k¨ovetkez˝o t´etelek. T´ etel. Egy pozit´ıv reciprok m´ atrix akkor ´es csak akkor konzisztens, ha λmax = n. T´ etel. Ha egy pozit´ıv m´ atrix konzisztens, akkor b´ armely sora egy tetsz˝oleges m´asik sor´ anak pozit´ıv konstansszorosa. 5.3 Az AHP m´ odszer A d¨ont´eshozatal sor´an a d¨ont´eshoz´o a d¨ont´esi feladat szempont s´ulyainak meghat´aroz´as´ara ´es az alternat´ıv´ak minden egyes lev´elszempont szerinti ki´ert´ekel´es´ere megadja a p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixokat. A p´aros o¨sszehasonl´ıt´as intervallum-sk´al´aja az AHP m´odszertanban a k¨ovetkez˝o: • 1. egyform´an fontos / el˝ony¨os; • 3. m´ers´ekelten fontosabb / el˝ony¨osebb; • 5. sokkal fontosabb / el˝ony¨osebb; • 7. nagyon sokkal fontosabb / el˝ony¨osebb; • 9. rendk´ıv¨uli m´ert´ekben fontosabb / el˝ony¨osebb. A p´aros ¨osszehasonl´ıt´asn´al felhaszn´alhatjuk a 2, 4, 6, 8 k¨ozbens˝o ´ert´ekeket is. A d¨ont´esi feladatok megold´asa sor´an keletkez˝o tapasztalati p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixok sok esetben nem konzisztensek, ez´ert erre a m´atrix oszt´alyra is ki kell terjeszteni a p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´odszert. A p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixok elemei pozit´ıvak, ´ıgy ez a m´atrixoszt´aly r´eszoszt´alya a pozit´ıv elem˝u m´atrixoknak. Perron 1907-ben az al´abbi alapvet˝o ´all´ıt´ast bizony´ıtotta.
7
Perron t´ etel. Minden pozit´ıv elem˝ u m´ atrixnak van olyan egyszeres pozit´ıv saj´at´ert´eke, amely nagyobb b´ armely m´ asik saj´at´ert´ek abszol´ ut ´ert´ek´en´el, a hozz´ atartoz´ o saj´ atvektor koordin´at´ai pozit´ıv sz´amok ´es egy konstanssal val´ o szorz´ as erej´eig egy´ertelm˝ uen meg vannak hat´ arozva. A p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixokb´ol a szempontok fontoss´ag´at, illetve az alternat´ıv´ak egyes lev´elszempontokra vonatkoztatott pont´ert´ek´et u´gy kapjuk, hogy meghat´arozzuk a p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixok legnagyobb saj´at´ert´ekeihez tartoz´o saj´atvektorokat, ´es az ´ıgy kapott saj´atvektorok komponensei adj´ak a priorit´asokat (a pi ´ert´ekeket). A m´odszer hasznoss´aga azon alapul, hogy a gyakorlatban ´eppen a pi ´ert´ekek ismeretlenek, ´es a pi/pj h´anyadosokr´ol rendelkez¨unk inform´aci´oval a p´aros ¨osszehasonl´ıt´asok elv´egz´ese ut´an. A d¨ ont´eshoz´ o ugyanis azt m´erlegeli, hogy b´ armely k´et szempont vagy alternat´ıva eset´en az egyik h´anyszor fontosabb vagy kev´esb´e fontos, mint a m´asik, pl. Ai sokkal el˝ony¨osebb Aj -n´el, teh´at a sk´ala szerint pi/pj = 5. A d¨ont´eshoz´o egy pozit´ıv reciprok m´atrixot ad meg, ez a tapasztalati p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixa. A d¨ont´esi feladatok megold´asakor keletkez˝o tapasztalati p´ aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixok sok esetben nem konzisztensek, ennek okai az al´abbiak lehetnek: • t´eved´es az adatbeviteln´el, • inform´aci´ohi´any, • az egy´en koncentr´al´as´anak hi´anya az o¨sszehasonl´ıt´asn´al, • a val´o vil´ag sokszor inkonzisztens (pl. sport) • a modell strukt´ura nem j´o (az egyes t´enyez˝ok ¨osszehasonl´ıt´asa kiv¨ul esik a megadott hat´arokon) A tapasztalati p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixok inkonzisztenci´aj´anak m´er´es´ere bevezetj¨uk a CI k¨ ovetkezetlens´egi indexet, ami
8
az AHP m´odszertanban az al´abbi formula alapj´an sz´am´ıthat´o: λmax − n , CI = n−1 ahol λmax a tapasztalati p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrix legnagyobb saj´at´ert´eke ´es n a p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrix sorainak a sz´ama. A k¨ovetkezetlens´egi indexek ´ atlagos ´ert´ekeit v´eletlenszer˝uen gener´alt p´aros ¨osszehasonl´ıt´as m´atrixok seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg minden n eset´ere, ´es ezeket RI-vel jel¨olj¨uk. Az RI ´ert´ekeit Saaty nyom´an az al´abbi t´abl´azatban adhatjuk meg: n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 14 RI 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49 1,51 1,54 1,56 1,57 A CR k¨ovetkezetlens´egi h´ anyadost, a CI ´es RI indexek h´anyadosak´ent kapjuk meg, azaz CI CR = . RI Bizony´ıthat´o, hogy pozit´ıv reciprok m´atrixokra λmax ≥ n, ez´ert a k¨ovetkezetlens´egi h´anyados ´ert´eke nemnegat´ıv sz´am. A k¨ovetkezetlens´egi h´anyados ´ert´ekeit az EC szoftver k´esz´ıt˝oi akkor tartj´ak j´onak, ha az ´ert´eke kisebb, mint 0,1. Az alacsony inkonzisztencia azonban nem c´ elja a d¨ ont´ esnek. L´ enyeges, de nem elegend˝ o a j´ o d¨ ont´ eshez. A konzisztenci´ an´ al fontosabb a pontoss´ ag. A p´aronk´enti ¨osszehasonl´ıt´ason alapul´o m´odszerekben h´ atr´ anyt jelent, hogy csak bizonyos, az ¨osszehasonl´ıtand´o objektumok sz´am´ara vonatkoz´o m´eretkorl´at alatt alkalmazhat´ok, ´es az alternat´ıv´akra csak rangsort (relat´ıv ´ert´ekeket) adnak ; el˝ony viszont, hogy szubjekt´ıv szempontok ´ert´ekel´es´en´el j´ol haszn´alhat´oak.
9
N´eh´any hasznos a´ll´ıt´as T. Saaty, The analytic hierarchy process, University of Pittsburgh, Pittsburgh, (1990) k¨onyv´eb˝ol: T´ etel. Pozit´ıv m´atrixok eset´eben a.) a maxim´alis saj´at´ert´ek λmax fels˝ o korl´ atja a maxim´ alis sor¨osszeg; b.) a maxim´alis saj´at´ert´ek λmax als´ o korl´ atja a minim´ alis sor¨osszeg. T´ etel. (Wielandt) Pozit´ıv m´ atrixok eset´eben a λmax ´ert´eke n˝o, ha a m´atrix b´armely komponens´enek az ´ert´eke n˝ o. Az AHP l´ep´esei teh´at: • A d¨ont´esi t´enyez˝ok hierarchi´aj´anak o¨ssze´all´ıt´asa. • Az egyes elemekre vonatkoz´o p´aros ¨osszehasonl´ıt´asokat tartalmaz´o m´atrixok el˝o´all´ıt´asa a d¨ont´eshoz´o kik´erdez´ese alapj´an. • Minden szinten minden elemre (az utols´o szint kiv´etel´evel) a s´ulyok meghat´aroz´as´ara szolg´al´o saj´at´ert´ek feladat megold´asa. • Az egyes szintek aggreg´al´as´aval megkapjuk a d¨ont´esi alternat´ıv´akra vonatkoz´o ´ert´ekeket, amelyekb˝ol azok sorrendje megkonstru´alhat´o.
5.4 P´ elda az AHP alkalmaz´ as´ ara K¨ozgazd´asz v´egzetts´eg˝u ismer˝os¨unk ´all´ast keres, ´es h´arom lehet˝os´eg k¨oz¨ul v´alaszthat: bel´ep egy nagy k¨onyvel˝oc´egbe partnerk´ent A1, saj´at tan´acsad´o c´eget alap´ıt A2, vagy elfogadja az egyetem aj´anlat´at A3.
10
A feladat hierarchikus strukt´ur´aj´at az al´abbi a´bra mutatja: 1.szint
El´egedetts´eg
2.szint Kereset
3.szint
Biztons´ag
Nagy v´ all.
El˝omenetel
Saj´at c´eg
Munkak¨ or¨ ulm.
Egyetem
P´eld´ankban a hierarchia els˝o szintje az (´altal´aban elvont) v´egc´elt jel¨oli: el´ egedetts´ eg a kiv´alasztott lehet˝os´eggel (amit u´gy is megfogalmazhatunk, hogy a legjobb a´ll´as kiv´alaszt´asa). A legals´o szinten a lehet˝os´egek, vagy alternat´ıv´ak sorakoznak. A v´egc´el alatt t¨obb szint˝u hierarchia is lehets´eges, eset¨unkben a legegyszer˝ubb esetet v´alasztjuk: n´egy t´enyez˝o alkotja ezt a szintet. A t´enyez˝ok: a kereseti lehet˝os´eg K, a biztons´ag B, az el˝omeneteli lehet˝os´eg E ´es a munkak¨or¨ulm´enyek M . Tegy¨uk fel, hogy k¨ozgazd´asz bar´atunk az a´ll´assal val´o el´egedetts´eg (legfels˝o szint) szempontj´ab´ol a k¨oz´eps˝o szint t´enyez˝oire vonatkoz´oan 6 p´aros o¨sszehasonl´ıt´ast v´egzett el, s azok eredm´enye: (K : B) = (7 : 1),
(K : E) = (1 : 1),
(K : M ) = (7 : 1),
(B : E) = (1 : 3), (B : M ) = (2 : 1), (E : M ) = (5 : 1). Az o¨sszes p´aros ¨osszehasonl´ıt´ast tartalmaz´o m´atrix: 1 7 1 7 1/7 1 1/3 2 1 3 1 5 1/7 1/2 1/5 1 A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o (alkalmasan norm´alt) saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [4.085025041, 1., [.4832143657, .100654793, .354461847, 0.061668993]]
11
Itt az els˝o sz´am a saj´at´ert´ek, m´asodik a multiplicit´as, az ut´ana k¨ovetkez˝o sz¨ogletes z´ar´ojelben a´ll´o sz´amok a norm´alt) saj´atvektor koordin´at´ai (norm´al´as: a koordin´at´ak o¨sszege 1 kell, hogy legyen). Bar´atunk most az alternat´ıv´akat az egyes t´enyez˝ok szerint is ´ert´ekeli ugyanezen a sk´al´an, ugyanezen a m´odon. A kereseti lehet˝ os´ egre vonatkoz´oan az alternat´ıv´ak p´aros o¨sszehasonl´ıt´asi m´atrixa: 1 1/3 2 3 1 5 1/2 1/5 1 A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o norm´alt saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [3.003694598, 1., [0.2296507940, 0.6483290138, 0.1220201922]] A biztons´ agra vonatkoz´o m´atrix: 1 3 1/5 1/3 1 1/7 5 7 1 A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o norm´alt saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [3.064887580, 1., [0.1883940966, 0.08096123211, 0.7306446710]] Az el˝ omeneteli lehet˝os´egekre vonatkoz´o rn´atrix: 1 1/5 2 5 1 7 1/2 1/7 1 A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o norm´alt saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [3.014151883, 1., [.1665932550, .7395940927, 0.09381265226]]
12
A munkak¨ or¨ ulm´ enyekre 1 3 5
vonatkoz´o ´ert´ekel´es: 1/3 1/5 1 1/3 3 1
A (legnagyobb pozit´ıv) saj´at´ert´ek ´es a hozz´atartoz´o norm´alt saj´atvektor MAPLEV-tel sz´amolva: [3.038511090, 1., [.1047294331, .2582849950, .6369855719]] (Vegy¨uk ´eszre, hogy az alternat´ıv´aknak az egyes t´enyez˝okre vonatkoz´o ´ert´ekel´eseit is p´aros o¨sszehasonl´ıt´asok seg´ıts´eg´evel kaptuk. Ez nem k¨otelez˝o: a keresetn´el pl. dolgozhattunk volna a val´odi keresetar´anyokkal, amennyiben ezek az ar´anyok j´ol kifejezik szubjekt´ıv ´ert´ekel´es¨unket.) Az eredm´enyeket o¨sszefoglalva (az adatokat kerek´ıtve): El´egedetts´eg(1,00) K(0, 48) B(0, 10) E(0, 36) M (0, 06)
A1(0, 23) A1(0, 19) A1(0, 17) A1(0, 10) A2(0, 65) A2(0, 08) A2(0, 74) A2(0, 26) A3(0, 12) A3(0, 73) A3(0, 09) A3(0, 64) V´eg¨ul a ki´ert´ekel´es un. disztribut´ıv m´ odban (az alternat´ıv´ak ´ert´ekeit s´ulyozzuk) S(A1) = 0, 48 · 0, 23 + 0, 10 · 0, 19 + 0, 36 · 0, 17 + 0, 06 · 0, 10 = 0, 1966 S(A2) = 0, 6020 S(A3) = 0, 2014 Ennek alapj´an az alternat´ıv´ak sorrendje: A2, A3, A1.
13
6. T´ avols´ agminimaliz´ al´ o m´ odszerek 6.1 Szempontok s´ ulyainak meghat´ aroz´ asa A d¨ont´esi feladatok megold´as´anak els˝o l´ep´ese a szempontok s´ulyainak meghat´aroz´asa. Az AHP modellekben a szempontok s´uly´at vagy k¨ozvetlen¨ul adjuk meg, vagy a saj´atvektor m´odszerrel hat´arozzuk meg. Ez ut´obbi esetben fel´ep´ıtj¨uk az azonos szinteken l´ev˝o szempontok egym´ashoz viszony´ıtott fontoss´ag´at tartalmaz´o p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixokat (melyek reciprok m´atrixok, nem felt´etlen¨ul konzisztensek) ´es ezek legnagyobb saj´at´ert´ekeihez tartoz´o saj´atvektorai szolg´altatj´ak az azonos szinteken lev˝o szempontok s´ulyait, amelyek ¨osszege minden szinten 1. A saj´atvektor m´odszer mellett t´avols´agminimaliz´al´o m´odszereket is alkalmazhatunk a priorit´asi ´ert´ekek meghat´aroz´as´ara. Ezek a legkisebb n´egyzetek m´odszere (LSM), ´es a s´ulyozott egkisebb n´egyzetek m´odszere (WLSM) melyet Chu ´es szerz˝ot´arsai vezettek be 1979-ben, a logaritmikus legkisebb n´egyzetek m´odszere (LLSM) amit De Jong 1985 valamint Crawford ´es Williams 1985 javasoltak, ´es Jensen χ-n´egyzetek m´odszere (1984). L´athat´o, hogy pozit´ıv konzisztens m´atrixokra (melyek p´aros o¨sszehasonl´ıt´as m´atrixok) amikor aij = ppji egy o¨sszeg˝ure norm´alt pi s´ulyokkal, a wi = pi mindig megold´as. Mivel a becsl´esn´el reciprok, de nem felt´etlen¨ul konzisztens A = (aij ) m´atrixokkal dolgozunk a kapott eredm´enyt a tekintj¨uk ide´alis s´ulyoknak.
14
M´odszer Minimaliz´aland´o f¨uggv´eny 2 n P n P wi LSM aij − wj
Felt´etelek n P wi = 1, w ∈ Rn+
WLSM
i=1 j=1 n P n P
LLSM
i=1 j=1 n P n P
i=1 n Q
i=1 j=1
i=1
CSM
i=1 n P
(aij wj − wi)2
wi = 1, w ∈ Rn+
(ln aij − ln wi + ln wj )2 wi = 1, w ∈ Rn+ i=1 j=1 i=1 n n n 2 PP P wi wi aij − wj wj wi = 1, w ∈ Rn+ 6.2 Az alternat´ıv´ ak ´ ert´ ekel´ esi m´ odjai
Tekints¨unk n alternat´ıv´at A1, A2, . . . , An ´es m szempontot/krit´eriumot C1, C2, . . . , Cm. T´etelezz¨uk fel, hogy az alternat´ıv´ak ´ert´ekel´ese az egyes szempontok szerint ismert, ´es a szempontok fontoss´aguk szerint s´ulyozva vannak. Jel¨olje aij > 0 (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) a j-edik alternat´ıva i-edik szempont szerinti ´ert´ek´et, wi > 0 (i = 1, . . . , m) az i-edik szempont s´uly´at. Felt´etelezz¨uk, hogy n X
aij = 1, (i = 1, . . . , n) ´es
j=1
m X
wi = 1
j=1
azaz az adatok norm´alva vannak. Ezeket az adatokat t´abl´azatos form´aban a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhatjuk fel: w1 C1 w2 C2 ... ... wm Cm
A1 a11 a21 ... am1
A2 a12 a22 ... am2
... ... ... ... ...
An a1n a2n ... amn
15
A d¨ont´esi probl´ema az alternat´ıv´ak sorbarendez´ese. Legyenek S(Aj ), (j = 1, . . . , n) az alternativ´ak s´ulyai melyek seg´ıts´eg´evel adjuk meg a keresett v´egs˝o rangsort. H´aromf´ele ki´ert´ekel´esi m´odot ismertet¨unk. ´d 1. Disztribut´ıv mo Ekkor m X S(Aj )D = wiaij , (j = 1, . . . , n) i=1
teh´at itt az 1 ´ert´eket osztottuk sz´et a lev´elszempontok ´es az alternat´ıv´ak k¨oz¨ott a fontoss´aguknak megfelel˝oen. Megjegyezz¨uk, hogy a disztribut´ıv AHP modell az alternat´ıv´ak rangsor´anak a meg´allap´ıt´as´ara, er˝oforr´as sz´etoszt´asra ´es a legt¨obb szempont szerint n´evleges ´ert´ekkel b´ır´o alternat´ıv´ak k¨oz¨ul val´o v´alaszt´askor javasolt. ´ lis mo ´d 2. Idea Ez esetben S(Aj )I =
m X i=1
wi
aij , max aik
(j = 1, . . . , n)
k
Ez a m´odszer legink´abb akkor hasznos, ha a c´ el a legjobb alternat´ıva kiv´ alaszt´ asa, ´es a sejthet˝oen legjobb alternat´ıv´ak pontsz´ama t¨obb szempont szerint k¨ozel azonos. A tapasztalatok szerint a disztribut´ıv ´es az ide´alis AHP modellek az esetek nagy sz´azal´ek´aban ugyanazt a rangsort adj´ak az alternat´ıv´akra. ˝ s´ıto ˝ mo ´d 3. Mino A min˝os´ıt˝o AHP modellek eset´eben a szempontok s´ulyoz´asa ugyan´ugy t¨ort´enik, mint a disztribut´ıv ´es az ide´alis AHP modellekn´el. A l´enyeges k¨ul¨onbs´eg az alternat´ıv´ak egyes szempontok
16
szerinti ´ert´ekel´es´eben van, ugyanis a min˝os´ıt˝o modell eset´eben minden alternat´ıv´at k¨ul¨on-k¨ul¨on min˝os´ıt¨unk a szempontokhoz megadott min˝os´ıt´eslist´ak alapj´an. Ennek a modellnek h´atr´anya, hogy az egyes szempontok szerinti ´ert´ekel´eskor nem adhatunk meg tetsz˝oleges ´ert´eket, hanem egy, legfeljebb 9 elem˝u, list´ar´ol kell v´alasztani. A min˝os´ıt˝o AHP modellben az aggreg´al´asra haszn´alt k´eplet a k¨ovetkez˝o: m X aij wi ∗ , (j = 1, . . . , n) S(Aj )R = ai i=1 ahol a∗i az i-edik szempont szerint adhat´o pontsz´amok k¨oz¨ul a maxim´alis. A k´eplet hasonl´o az ide´alis modellben alkalmazotthoz, de az a∗i , (i = 1, . . . , m) ´ert´ekek a feladatt´ol (a konkr´et alternat´ıv´akt´ol) f¨uggetlenek, ´es az ´ert´ekel´eskor el˝ore megadott sk´al´ahoz tartoznak. Az EC szoftverben a min˝os´ıt˝o AHP modell eset´en a lev´elszempontok al´a egy-egy min˝os´ıt´eslista elemeit (pl. j´o, k¨ozepes, rossz) kell besz´urnunk, majd az egyes listaelemek ´ert´ekeit kell meghat´aroznunk a k¨ozvetlen pontoz´ashoz hasonl´o m´odon, konkr´et sz´amok megad´as´aval vagy p´aronk´enti o¨sszehasonl´ıt´assal. Ezut´an a program automatikusan 1-re norm´al, ´es a t´abl´azatban ´ert´ekelhetj¨uk az egyes alternat´ıv´akat a lev´elszempontok alapj´an, a megfelel˝o list´ar´ol kiv´alasztva a j´onak gondolt min˝os´ıt´est.
