4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na takováto des. čísla převést. Množinu racionálních čísel označujeme Q. Des. číslo s ukončeným des. rozvojem – např. 0,16 Periodická čísla – dělíme na- ryze periodická, např. 0,3333... zapisujeme - neryze periodická, např. 0,1333, číslo 1 je předperioda, 3 perioda, zapisujeme Převod zlomku na des. číslo např.
získáme des. číslo s ukončeným des. rozvojem
získáme číslo ryze periodické získáme číslo neryze periodické Zlomek -
je část celku jmenovatel určuje, na kolik dílů byl celek rozdělen čitatel určuje počet takových dílů (které jsme vybrali, vybarvili, apod.) čitatel
zlomková čára jmenovatel Zlomek jako část celku Příklady k procvičení 1. Urči
1 z 86 2 2 b) z 40 5 3 c) z 98 7
a)
2 z 18 3 3 e) z 32 8
d)
f)
4a) Racionální čísla - 1
2. Vyjádři v minutách
5 h 6 2 b) h 3 5 c) h 12 3 d) h 4 7 e) h 10
a)
Rozšiřování zlomků Zlomek rozšíříme tak, že jeho čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem různým od nuly. zlomek jsme rozšířili 5 Příklady k procvičení
1.
Zlomky rozšiř: 1 7 3 , , třemi 2 5 8 1 7 3 b) , , pěti 2 5 8 1 7 3 c) , , deseti 2 5 8
a)
2.
3 7 zapiš se jmenovatelem 10 2 5
Zlomky ,
Krácení zlomků Zlomek krátíme tak, že jeho čitatele i jmenovatele vydělíme stejným číslem různým od nuly.
, zlomek jsme zkrátili 5 (častěji, krátíme zpaměti, krácená čísla škrtneme a podíl napíšeme nad krácené číslo) Zlomek v základním tvaru – jeho čitatel a jmenovatel, jsou nesoudělná čísla (mají jediného společného dělitele – jedničku), již nelze dál krátit Zlomek, který není v základním tvaru, můžeme krátit, čitatel a jmenovatel jsou čísla soudělná (mají alespoň jednoho společného dělitele různého od 1)
4a) Racionální čísla - 2
Příklady k procvičení
1. Proveď krácení 48 40 36 a) čtyřmi , , 60 24 80 12 36 60 b) šesti , , 18 24 54 9 30 39 c) třemi , , 15 27 18 2. Zkrať zlomky na základní tvar 16 20 25 b) 20 14 c) 21
12 16 35 e) 15 9 f) 27
a)
d)
Převod zlomků na smíšená čísla Na smíšené číslo můžeme převést pouze zlomky větší než 1, tj. zlomky, jejichž čitatel je větší než jmenovatel. celé číslo
zlomek menší než 1 Běžně převod děláme zpaměti, u větších čísel můžeme počítat i písemně. Např:
Příklady k procvičení 1. Zapiš jako smíšená čísla
28 ; 5 30 b) ; 4 44 c) ; 7
a)
59 ; 12 35 e) ; 4 40 f) ; 6
d)
4a) Racionální čísla - 3
Převod smíšeného čísla na zlomek Celé číslo vynásobíme jmenovatelem a k součinu přičteme čitatele, jmenovatele zlomku opíšeme. )
Příklady k procvičení 1. Zapiš jako zlomek 2 5 5 b) 3 6 2 c) 1 7
4 7 1 e) 3 5 3 f) 5 8
a) 4
d) 7
Převod zlomků na společného jmenovatele - společný jmenovatel dvou zlomků určíme jako nejmenší společný násobek obou jmenovatelů - určíme, jakým číslem musíme rozšířit každý ze zlomků, abychom získali požadovaný jmenovatel a oba zlomky rozšíříme (viz výše) Společný násobek můžeme určit pomocí rozkladu čísel na součin prvočísel nebo zpaměti (to hlavně využijeme u menších čísel – říkáme si násobky většího čísla a zjišťuji, jestli je násobek dělitelný menším číslem, první číslo, které mi tuto vlastnost splní je nejm. společný násobek) např. n(4, 6)= 6 – není dělitelné 4 ,12 – je dělitelné 4, proto n(4,6) je 12 U větších čísel je snažší použít rozklad na součin prvočísel n(25, 40)= 25 5 1
5 5
40 20 10 5 1
25 = 5.5
2 2 2 5
pozn. do pravého sloupce píšeme prvočíselné dělitele, do levého vzniklý podíl tak dlouho, dokud nám nevyjde 1
40 = 2.2.2.5
K n(25, 40)= opíšeme rozklad menšího čísla a doplníme o činitele, kteří se u menšího z čísel nevyskytovali a vynásobíme( učivo 6.tř.) tedy n(25,40)= 5.5.2.2.2 = 200 Pokud už umíme počítat s mocninami, můžeme použít následující postup: Rozklady na součin prvočísel zapíšeme pomocí mocnin a k určení nejm. spol. násobku vynásobíme všechna vyskytující se prvočísla vždy v té nejvyšší mocnině. 25 = 52
40 = 23.5
n(25, 40) = 23. 52= 8.25=200 4a) Racionální čísla - 4
Příklady k procvičení 1. Převeď zlomky na společného jmenovatele
1 1 1 , , 2 3 4 3 1 5 b) , , 4 6 8
2 3 5 , , 5 4 6 7 5 3 d) , , 12 8 10
a)
c)
Porovnávání zlomků 1. způsob – převodem na společného jmenovatele, u zlomků se společným jmenovatelem porovnáme čitatele př. porovnej zlomky
2. způsob – šipkové pravidlo porovnávané zlomky zapíšeme vedle sebe a vyznačíme šipky
vynásobíme dvojice čísel ve směru šipky, vzniklé součiny zapíšeme k čitateli, u nějž končí šipka 5.5= 25
8.3=24
porovnáme součiny (výsledky)
Příklady k procvičení 1. Porovnej zlomky podle velikosti:
3 5 , 4 6 11 7 b) , 12 8
a)
11 14 , 4 5 16 24 d) , 26 39
c)
4a) Racionální čísla - 5
Sčítání a odčítání zlomků a) se stejnými jmenovateli - sečteme (odečteme) čitatele, jmenovatele opíšeme
př.
Příklady k procvičení 1. Sečti zlomky
1 3 ; 5 5 3 21 ; 8 8 1 7 ; 12 12 3 12 ; 25 25
a) b) c) d)
b) s různými jmenovateli -
zlomky převedeme na společného jmenovatele a pak sčítáme (odčítáme) jako zlomky se stejnými jmenovateli
př. Příklady k procvičení 1. Vypočtěte
a) b) c) d) e)
3 1 ; 4 2 3 2 ; 8 5 2 28 ; 7 21 7 5 ; 12 16 1 2 1 ; 2 5 4
f)
4a) Racionální čísla - 6
2. Převeďte na zlomky a pak sečtěte
1 3 a) 2 1 ; 4 8 2 4 b) 5 5 ; 3 9 1 1 1 c) 1 2 3 ; 2 4 8 3. Odečtěte zlomky
d)
8 1 ; 15 5
i)
9 1 ; 20 4 15 22 ; 7 14 11 5 ; 10 6 23 16 ; 14 21
e)
6 1 ; 7 3
j)
53 21 ; 40 20
a) b) c)
3 1 ; 4 2 1 3 ; 2 8 3 2 ; 4 7
f) g) h)
4. Převeďte na zlomky a pak odečtěte
1 3 a) 5 ; 4 4 1 3 b) 6 3 ; 4 8 4 5 c) 8 ; 11 6 2 7 d) 6 ; 9 12
Násobení zlomků Dva zlomky násobíme tak, že vynásobíme zvlášť jejich čitatele a zvlášť jmenovatele.
př.
Pokud to je možné, nejdříve vhodně zkrátíme. Krátit můžeme pouze v součinu a to čísla v rámci jednoho zlomku nebo „do kříže“
př.
4a) Racionální čísla - 7
Příklady k procvičení 1. Vynásobte
1 5 a) ; 4 2 2 4 b) 1 2 ; 3 5 4 5 c) ; 6 7
d) e) f)
1 2 5 ; 2 3 8 5 3 8 ; 2 4 5 1 7 5 ; 7 4 6
Dělení zlomků Při dělení zlomků využíváme převrácených zlomků. Jde o zlomky, u nichž zaměníme čitatele a jmenovatele.
př. Zlomky dělíme tak, že první zlomek vynásobíme převráceným zlomkem.
Příklady k procvičení
1. Vydělte zlomky:
5 15 : 6 21 7 11 b) : 1 8 24 1 3 c) 2 : 3 4 4 3 1 d) 2 : 1 16 20 21 19 e) 1 : 1 39 26
a)
9 7 : 1 15 25 5 13 g) 1 : 5 6 15 2 9 h) 6 : 3 4 10 2 19 i) 1 : 1 44 33
f) 1
4a) Racionální čísla - 8
Složené zlomky Složený zlomek je zlomek, který má v čitateli či jmenovateli, případně v obou místo čísla zlomek. Počítáme
1. převedením na dělení nebo 2. vynásobením vnitřních a vnějších členů.
Příklady k procvičení
1. Vypočti
3 a) 4 9 10
c)
12 9 4
5 d) 9 15 27
15 b) 8 10
Číselné výrazy s racionálními čísly
a) b) c) d) e)
f)
3 5 2 1 5 : 2 3 4 8 8 4 2 3 : 5 5 3 2 1 14 3 11 1 . 4 : = 6 31 7 24 2 1 3 12 : 6 14 7 1 1 7 2 2 : 3 5 3 15 5 3 5 3 4 4 6= 7 5 2 3 8 6
5 13 1 3: 6 15 5 3 1 2:2 4 12 2 2 1 3 13 3 0,25 8 2 4
g)
h)
4a) Racionální čísla - 9
