´ ˝ TARSULAT ´ TUDOMANYOS ISMERETTERJESZTO 1088 Budapest VIII., Br´ ody S´ andor u. 16. Postac´ım: 1431 Budapest, Pf. 176 E-mail:
[email protected]; Honlap: www.titnet.hu Telefon: 327-8900 Fax: 327-8901 Kalm´ ar L´ aszl´ o (matematikus)
´ ´ LASZL ´ ´ MATEMATIKAVERSENY 44. ORSZAGOS TIT KALMAR O Megyei fordul´ o - 2015. ´ aprilis 11.
´ HATODIK OSZTALY - Jav´ıt´ asi u ´ tmutat´ o
1. Melyik a legkisebb 3-mal oszthat´o n´egyjegy˝ u sz´am, amelynek minden sz´amjegye k¨ ul¨onb¨oz˝o, ´es az els˝o k´et sz´amjegy ¨osszege h´aromszorosa a harmadik ´es negyedik sz´amjegy o¨sszeg´enek? Megold´ as Keress¨ uk a sz´amot abcd alakban (a,b,c,d p´aronk´ent k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´amjegyek). Mivel abcd oszthat´o 3-mal, ´ıgy a sz´amjegyeinek o¨sszege is oszthat´o 3-mal. (1 pont) A felt´etel ´ertelm´eben az els˝o k´et sz´amjegy ¨osszege egyenl˝o a harmadik ´es a negyedik sz´amjegy o¨sszeg´enek h´aromszoros´aval (a + b = 3(c + d)). Ez azt jelenti, hogy a sz´amjegyek o¨sszege a harmadik ´es a negyedik sz´amjegy o¨sszeg´enek n´egyszerese (a + b + c + d = 4(c + d)). (1 pont) Ez csak u ´gy lehet 3-mal oszthat´o, ha a harmadik ´es a negyedik sz´amjegy ¨osszege oszthat´o 3-mal. (1 pont) Ekkor az els˝o k´et jegy ¨osszege, amely a harmadik ´es a negyedik jegy o¨sszeg´enek h´aromszorosa, oszthat´onak kell lennie 9-cel, azaz az o¨sszeg¨ uk legal´abb 9 (hiszen 0 nem lehet). (1 pont) Mivel ez egy val´odi n´egyjegy˝ u sz´am, ez´ert az els˝o jegy legal´abb 1 (a ≥ 1). A legkisebb ilyen sz´amra t¨oreksz¨ unk, ez´ert a = 1, ´es ´ıgy b = 8. (1 pont) Mivel a + b = 9, ´ıgy c + d = 3. Ism´et a minimumra t¨orekv´es miatt: c = 0, d = 3. (1 pont) A megold´as teh´at: 1803. (1 pont) ¨ Osszesen: 7 pont Megjegyz´es. A 9-cel val´o oszthat´os´agra nincs sz¨ uks´eg. Vegy¨ uk ´eszre, hogy az utols´o k´et sz´amjegy ¨osszege nem lehet nulla, mert akkor az els˝o k´et sz´amjegy o¨sszege is nulla lenne, ´es ´ıgy nem kapn´ank val´odi n´egyjegy˝ u sz´amot. Mivel az utols´o k´et sz´amjegy o¨sszege oszhat´o h´arommal, ´ıgy legal´abb 3 az o¨sszeg¨ uk. Ekkor viszont az els˝o k´et sz´amjegy o¨sszege legal´abb 9. 2. Adj meg egy n´egysz¨oget ´es 2 egym´asra mer˝oleges egyenest u ´gy, hogy ha felv´agjuk a n´egysz¨oget a k´et egyenes ment´en, akkor a lehet˝o legt¨obb darabot kapjuk! (Nem kell bizony´ıtani, hogy ez a maximum.)
FINY: 00516-2008 NMH: E-000226/2014
´ ˝ TARSULAT ´ TUDOMANYOS ISMERETTERJESZTO 1088 Budapest VIII., Br´ ody S´ andor u. 16. Postac´ım: 1431 Budapest, Pf. 176 E-mail:
[email protected]; Honlap: www.titnet.hu Telefon: 327-8900 Fax: 327-8901 Kalm´ ar L´ aszl´ o (matematikus)
Megold´ as Legfeljebb 6 r´eszre lehet osztani a n´egysz¨oget. Az al´abbi a´bra egy lehets´eges megold´ast mutat. (Nem kell bizony´ıtani, hogy enn´el t¨obb r´esz nem lehets´eges.)
7 pont Megjegyz´es. Ha siker¨ ul 5 r´eszre osztani egy (konk´av) n´egysz¨oget: 3 pont. Ha a k´et egyenes az a´br´an l´atv´anyosan nem mer˝oleges, akkor a fenti pontsz´amokb´ol vonjunk le 1-et.
3. Egy katica egy n´egyzetr´acs r´acsvonalain mozog u ´gy, hogy az egyik r´acspontb´ol indul, minden r´acspontban elfordul der´eksz¨ogben ´es az u ´tja v´eg´en vissza´erkezik a kiindul´asi pontba. Lehets´egese, hogy az u ´t sor´an ´eppen 222 egys´eget haladt? (Az ´abr´an egy 16 egys´eg hossz´ us´ag´ u u ´tvonal l´athat´o.) 3.
4.
7.
8.
2.
5.
6.
9.
10.
15.
12.
11.
14.
13.
1. 16. START
1. megold´ as A katica egy-egy l´ep´ese 4 ir´anyban t¨ort´enhet: v´ızszintesen balra vagy jobbra, illetve f¨ ugg˝olegesen fel vagy le. A katica u ´tja v´eg´en visszat´er a kiindul´opontba, ez´ert o¨sszesen ugyanannyi l´ep´est tesz balra, mint amennyit jobbra. ´Igy a v´ızszintes l´ep´esek sz´ama p´aros sz´am. (2 pont) Hasonl´oan l´athat´o a f¨ ugg˝oleges l´ep´esekr˝ol is, hogy ezek sz´ama szint´en p´aros. (1 pont) Mivel a katica minden r´acspontban elfordul der´eksz¨ogben, ez´ert felv´altva tesz egy-egy l´ep´est v´ızszintesen ´es f¨ ugg˝olegesen. (1 pont) Mindk´et t´ıpusb´ol p´aros sz´am´ u l´ep´est tesz, ez´ert ugyanannyit l´ep v´ızszintes ´es f¨ ugg˝oleges ir´anyban. (1 pont) FINY: 00516-2008 NMH: E-000226/2014
´ ˝ TARSULAT ´ TUDOMANYOS ISMERETTERJESZTO 1088 Budapest VIII., Br´ ody S´ andor u. 16. Postac´ım: 1431 Budapest, Pf. 176 E-mail:
[email protected]; Honlap: www.titnet.hu Telefon: 327-8900 Fax: 327-8901 Kalm´ ar L´ aszl´ o (matematikus)
Azaz a teljes l´ep´essz´am fele csak p´aros sz´am lehet. (A teljes l´ep´essz´am 4-gyel oszthat´o.) (1 pont) Mivel a 222 fele nem p´aratlan (a 222 nem oszthat´o 4-gyel), ´ıgy a k´ıv´ant u ´tvonal nem l´ etezik. (1 pont) ¨ Osszesen: 7 pont 2. megold´ as Tegy¨ uk fel, hogy a katica az orig´ob´ol indul ´es minden l´ep´ese 1 egys´eg hossz´ us´ag´ u. Ekkor minden l´ep´es ut´an egy eg´esz koordin´at´aj´ u pontban fog tart´ozkodni. Mivel egy l´ep´esben egy r´acsvonal ment´en halad 1 egys´eget, ez´ert pontosan az egyik koordin´ata v´altozik meg, m´egpedig ´eppen 1-gyel. N˝ohet is, cs¨okkenhet is. Vagyis minden l´ep´esben pontosan az egyik koordin´ata parit´asa v´altozik meg. (1 pont) Tegy¨ uk fel, hogy visszat´er a kiindul´as hely´ere, vagyis az orig´oba. Ez azt jelenti, hogy mindk´et koordin´at´aja p´aros sokszor kellett, hogy megv´altozzon. (1 pont) Mivel minden l´ep´es ut´an der´eksz¨ogben fordul el, ez´ert a koordin´at´ak szigor´ uan felv´altva v´altoznak. (1 pont) Kiindul´askor mindk´et koordin´ata p´aros (0). Az els˝o l´ep´es ut´an az egyik p´aratlan a m´asik p´aros. A m´asodik ut´an mindkett˝o p´aratlan. A harmadik ut´an az egyik p´aros a m´asik p´aratlan. A negyedik ut´an pedig ism´et mindkett˝o p´aros. (1 pont) Ez ism´etl˝odik ezt k¨ovet˝oen is, vagyis nyilv´anval´oan minden negyedik l´ep´esben lesz mindk´et koordin´ata p´aros. (1 pont) Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy ha visszat´er a kiindul´asi helyre, akkor az id˝ok¨ozben megtett l´ep´esek sz´ama 4-gyel oszthat´o. (1 pont) Mivel 222 nem oszthat´o 4-gyel, ´ıgy a k´ıv´ant u ´tvonal nem l´ etezik. (1 pont) ¨ Osszesen: 7 pont Megjegyz´es. Ha k¨ozli, hogy minden megfelel˝o u ´tvonal hossza 4-gyel oszthat´o, de nem bizony´ıtja: 2 pont.
4. Egy sakkt´abla a8 mez˝oj´en a´ll egy husz´ar, a b7-h1 a´tl´o valamennyi mez˝oj´en pedig egy-egy p´enz´erme tal´alhat´o (l´asd a bal oldali ´abr´at). A husz´arral a sakkban szok´asos m´odon l´ephet¨ unk (l´asd a jobb oldali a´br´at). Ha r´al´ep¨ unk egy ´erm´ere, akkor azt felvehetj¨ uk. (a) Bizony´ıtsd be, hogy nem lehets´eges 14-n´el kevesebb l´ep´essel begy˝ ujteni a 7 ´erm´et! (b) Adj meg egy 14 husz´arl´ep´esb˝ol ´all´o u ´tvonalat, amelynek sor´an mindegyik ´erm´et megszerzed! (Le´ırhatod sorban a mez˝oket az a8-cal kezdve vagy ´ırd be a 8 × 8-as n´egyzet megfelel˝o mez˝oj´ebe, hogy h´anyadik l´ep´es ut´an tart´ozkodik ott a husz´ar.)
FINY: 00516-2008 NMH: E-000226/2014
´ ˝ TARSULAT ´ TUDOMANYOS ISMERETTERJESZTO 1088 Budapest VIII., Br´ ody S´ andor u. 16. Postac´ım: 1431 Budapest, Pf. 176 E-mail:
[email protected]; Honlap: www.titnet.hu Telefon: 327-8900 Fax: 327-8901 Kalm´ ar L´ aszl´ o (matematikus)
Megold´ as (a) A husz´ar feh´er mez˝or˝ol indul ´es minden l´ep´esben megv´altozik a mez˝o sz´ıne, amin a´ll. Vagyis p´aros l´ep´es ut´an tart´ozkodik ism´et feh´er mez˝on. (2 pont) Mind a 7 ´erme feh´er mez˝on van ´es egy mez˝on csak egy ´erme, ez´ert legal´abb 7-szer feh´erre kell ¨ l´epnie, hogy ¨osszegy˝ ujthesse az o¨sszes ´erm´et. Osszesen teh´at legal´abb 14 l´ep´esre van sz¨ uks´eg az ´erm´ek ¨osszegy˝ ujt´es´ehez. (2 pont) (b) L´etezik ilyen l´ep´essorzat:
(a8-)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
c7-
d5-
f4-
g2-
h4-
f3-
e5-
c6-
d8-
b7-
d6-
e4-
g3-
h1
vagy
vagy
vagy
vagy
vagy
vagy
vagy
b6-
e3-
e1-
d4-
a5-
c5-
f2-
(3 pont) ¨ Osszesen: 7 pont Megjegyz´es. Ha valaki megad egy 16 hossz´ us´ag´ u l´ep´essorozatot, amivel ¨osszegy˝ ujti az o¨sszes ´erm´et, vagy pedig egy 14 hossz´ ut, amivel 6 ´erm´et gy˝ ujt o¨ssze: 1 pont. A feladat (a) r´esz´eben el´eg arra hivatkozni, hogy az a´tl´o egyik mez˝oj´er˝ol sem lehet k¨ozvetlen¨ ul egy m´asikra l´epni a husz´arral. A (b) r´eszben el´eg egyetlen helyes l´ep´essorozatot megadni a teljes pontsz´am´ert, tov´abbi megold´asok´ert nem j´ar pluszpont. 5. Egy nagy asztalra piros (P) ´es k´ek (K) korongokat pakolunk. Az els˝o sorba 5 darabot helyez¨ unk el. Ezt k¨ovet˝oen az els˝o sor al´a k´et-k´et korong k¨oz´e egy-egy u ´jabbat tesz¨ unk, m´egpedig u ´gy, hogy k´et egyforma al´a pirosat, k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o al´a k´eket rakunk. Majd ugyanezt a szab´alyt mindig egyegy sorral lejjebb alkalmazva tesz¨ unk korongokat a harmadik, negyedik ´es v´eg¨ ul az o¨t¨odik sorba (ide m´ar csak egyetlen korong ker¨ ul).
FINY: 00516-2008 NMH: E-000226/2014
´ ˝ TARSULAT ´ TUDOMANYOS ISMERETTERJESZTO 1088 Budapest VIII., Br´ ody S´ andor u. 16. Postac´ım: 1431 Budapest, Pf. 176 E-mail:
[email protected]; Honlap: www.titnet.hu Telefon: 327-8900 Fax: 327-8901 Kalm´ ar L´ aszl´ o (matematikus)
Igaz-e, hogy ha az els˝o sorban van k´ek korong, akkor ¨osszesen legal´abb 5 k´ek korong lesz az asztalon? 1. megold´ as Vizsg´aljuk meg a lehets´eges eseteket alulr´ol felfel´e. Tegy¨ uk fel, hogy az utols´o sorba k´ek korong ker¨ ul. Ez a szab´aly miatt azt jelenti, hogy a negyedik sorban is van k´ek korong (m´egpedig pontosan 1 k´ek ´es 1 piros), ami miatt a harmadik sorban is van k´ek korong, ´es ez igaz marad minden kisebb sorsz´am´ u sorra is. (1 pont) Mivel 5 sor van, ´ıgy van legal´abb 5 k´ek korong ebben az esetben. (1 pont) N´ezz¨ uk ezek ut´an azt az esetet, amikor az o¨t¨odik sorba piros korong ker¨ ul. Ekkor a negyedik sor vagy k´et k´ek korongot tartalmaz, vagy k´et pirosat. Ha k´et k´ek van benne, akkor az els˝o eset gondolatmenet´et k¨ovetve kapjuk, hogy van legal´abb 5 k´ek korong az asztalon. (1 pont) Ha k´et piros a´ll a negyedik sorban, akkor a harmadikban vagy h´arom k´ek, vagy h´arom piros korong van. Ha h´arom k´ek, akkor hasonl´oan az el˝oz˝oekhez kapjuk, hogy van legal´abb 5 k´ek korong az asztalon. (1 pont) Ha h´arom piros, akkor a felette l´ev˝o sorban lehet n´egy k´ek vagy n´egy piros. Az els˝o sorban is van k´ek, ´ıgy ha az els˝o esetben van legal´abb 5 k´ek korong. (1 pont) Ha pedig a m´asodik sorban minden korong piros, akkor az els˝o sorban is minden korong ugyanolyan sz´ın˝ u. Nem lehet azonban mindegyik piros, hiszen van k¨oz¨ott¨ uk k´ek. (1 pont) Teh´at ekkor mind k´ek, ´ıgy ekkor is van 5 k´ek korong az asztalon. A v´alasz teh´at az, hogy igen, igaz. (1 pont) ¨ Osszesen: 7 pont 2. megold´ as Ha egy sorban van k´ek korong, akkor az ¨osszes felette lev˝oben is van. Ez az´ert igaz, mert k´ek korongot akkor helyez¨ unk le, ha felette egy k´ek ´es egy piros volt szomsz´edos. (1 pont) Ha az utols´o sor egyetlen korongja k´ek, akkor a fentiek miatt mind az 5 sorban van legal´abb egy-egy. ´Igy van ¨osszesen legal´abb 5 k´ek korong. (1 pont) Ha a legals´o sorban piros korong van, akkor vegy¨ uk az a sort, amelyik a k´ek korongokat tartalmaz´o sorok k¨oz¨ ul a legalacsonyabban van. Mivel alatta csupa piros korong van, ´ıgy ebben a sorban minden korong egyforma sz´ın˝ u, teh´at mindegyik k´ek. (1 pont) Legyen ebben a sorban k darab k´ek korong. Mivel minden sorban eggyel kevesebb korong van, mint az el˝oz˝oben, ´ıgy efelett m´eg 5 − k darab sor van. (2 pont) Ezek mindegyik´eben van legal´abb egy-egy k´ek korong az els˝o meg´allap´ıt´asunk szerint, ez legal´abb 5 − k darab. (1 pont) ´Igy ¨osszesen legal´abb k + (5 − k) = 5 darab k´ek korong, teh´at az a´ll´ıt´as igaz. (1 pont) ¨ Osszesen: 7 pont
FINY: 00516-2008 NMH: E-000226/2014
