- 19 -
4. SEMINÁŘ Z MECHANIKY 4.1 Člověk drží jeden konec prkna, jehož druhý konec leží na válci. Člověk začne posouvat prkno kupředu tak, aby se válec valil po vodorovné rovině bez prokluzování a aby ani prkno po válci neklouzalo. Jakou dráhu musí člověk urazit než dostihne válec, má-li prkno délku L . [ 2L ] L
B
B´
B
S
L α
r A
x 2r
B´
A Dostihnutí válce – ruka (B´) držící konec prkna leží nad středem S válce (B´ → B). Převeďme daný vodorovný posuvný pohyb ruky a středu válce na otáčení kolem bodu A. Pak platí (srov. obrázek) L x α= = ⇒ x = 2L r 2r 4.2 Vypočtěte úhlovou a translační rychlost bodu na povrchu Země a jeho dostředivé zrychlení v zeměpisné šířce 50D . RZ = 6 378 km = 6,378 ⋅106 m ; T = 1 d = 8, 64 ⋅10 4 s ; α = 50D . ω, v , ad = ? ω=
2π 2π RZ cos α , v = 2,98 ⋅102 m ⋅ s −1 . , ω = 0, 73 ⋅10−4 s −1 ; v = ωR ⇒ v = T T 2
2π ad = ω R ⇒ ad = R Z cos α , ad = 2,17 ⋅ 10−2 m ⋅ s −2 . T 2
4.3 Kolo na hřídeli se začíná roztáčet z klidu a po 20 s dosáhne 200 ot ⋅ min −1 . Jaké je jeho úhlové zrychlení, předpokládáme-li, že je po dobu roztáčení stálé. Kolikrát se za prvních 20 s svého pohybu kolo otočí. t = 20 s; f ( 20 ) = 200 ot ⋅ min −1 = ω = εt ⇒ ε = ϕ=
10 −1 s . ε , N ( 20 ) = ? 3
2π f ω ; ω = 2πf ⇒ ε = , ε = 1,05 s − 2 . t t
ft 1 2 πf 2 ϕ ⇒ N (t ) = , N ( 20 ) = 33,3 ot . εt = t =πft ⇒ N = 2 2 t 2π
4.4 Lokomotiva táhne čtyři stejné vagóny tažnou silou stálé velikosti. Určete velikost tažných sil mezi jednotlivými vagóny. G F0
G F1 m
G F3
G F2 m G a
m
m
- 20 F0 = 4ma ; F1 = 3ma =
3 1 1 F0 ; F2 = 2ma = F0 ; F3 = ma = F0 . 4 2 4
4.5 Jakou průměrnou silou působí na zemský povrch kámen hmotnosti 0,5 kg při svém dopadu z výšky 10 m ? m = 0,5 kg; h = 10 m; g = 9,8 m ⋅ s −2 . FPR = ? Rychlost kamene při dopadu: 1 2h 2h ; v = gt = g h = gt2 ⇒ t = ⇒ v = 2hg . 2 g g Časový interval dopadu odhadneme na hodnotu ∆ t = 0, 01 s . Kámen se během tohoto intervalu zastaví a dojde ke změně jeho hybnosti ∆ p = mv . Tato změna hybnosti je rovna celkovému impulsu reakce zemského povrchu na akci – průměrnou sílu působení dopadnuvšího kamene. Platí tedy I = FPR ∆ t = ∆ p = mv = m 2hg ⇒ FPR =
m 2hg , FPR = 700 N ∆t
4.6 Na pevné kladce jsou zavěšena dvě stejná závaží. Určete jejich hmotnost, jestliže přívažkem 0,5 kg soustava (původně v klidu) dosáhne za 4 s rychlosti 2 m ⋅ s −1 . Jakou dráhu urazí za tuto dobu každé závaží? ∆m = 0,5 kg ; t = 4 s , v = 2 m ⋅ s −1 ; m1 = m2 = m, s = ?
G a
G JJJJJJG g = konst.
v = at =
m
G mg
( ∆m + 2m ) a = ∆mg ⇒
∆m m
G
s=
∆m g; ∆m + 2 m
∆m g t ⇒ v ∆m + 2v m = ∆mv t ⇒ ∆m + 2m
m=
( m + ∆m ) g
a=
gt − v ∆m 2v
1 1 2 1 ∆m at = gt 2 ⇒ s = v t 2 2 2 ∆m + g t − v ∆m v
4.7 Přes pevnou kladku zanedbatelné hmotnosti je vedena „nehmotná” nit na jejichž koncích visí závaží o hmotnostech 20 g a 30 g . Určete zrychlení závaží a tažnou sílu v niti. G m1 = 0, 02 kg, m2 = 0, 03 kg, g = 9,8 m ⋅ s −1 ; a, T = ? G Pohybují-li se závaží se zrychlením a v naznačeném směru, působí každé těleso na nit G G tažnou silou − T , a nit odpovídá na tuto akci reakcí – silou T . Na levé závaží ( m1 ) působí proto výsledná síla
- 21 G G G G F1 = m1g + T = m1a ⇒ m1a = T − m1g
G JJJJJJG g = konst.
G T
m1
G m1g
a na pravé závaží ( m2 ) výsledná síla G G G G F2 = m2g + T = m2a ⇒ m2 a = m2 g − T . Znaménka závisí na směru jednotlivých vektorů vzhledem ke zvolenému (pravděpodobnému) směru G zrychlení a .
G T
Algebraické rovnice m1a = T − m1g , m2 a = m2 g − T
tvoří soustavu o dvou neznámých ( a, T ) . Sečteme-li
m2
je, dostáváme a ( m1 + m2 ) = ( m2 − m1 ) g ⇒
G m 2g
a=
m2 − m1 g , a = 1,96 m ⋅ s −2 . m1 + m2
Odečteme-li od sebe zmíněné rovnice, dostaneme
( m2 − m1 ) a = ( m1 + m2 ) g − 2T ⇒ = ( m1 + m2 ) g − ( m2 − m1 )
2T = ( m1 + m2 ) g − ( m2 − m1 ) a =
2m1m2 m2 − m1 g , T = 0, 24 N g⇒ T= m1 + m2 m1 + m2
4.8 Člověk je ve vzdálenosti 50 m od přímé silnice, po které přijíždí automobil rychlostí 10 m ⋅ s −1 . Jakým směrem musí člověk utíkat, aby se setkal s automobilem, jestliže je automobil v okamžiku, kdy se dá do běhu, od něho vzdálen 200 m a může-li člověk běžet rychlostí 3 m ⋅ s −1 ? Jakou nejmenší rychlostí může člověk utíkat, chce-li se potkat s automobilem? 2 s 1
β γ
s = 200 m ; h = 50 m ; v1 = 10 m ⋅ s −1 ; v 2 = 3 m ⋅ s −1 ; α,v 2, min = ?
G v2
Řešme nejdříve situaci, kdy člověk ( t2 ) dorazí na silnici dříve než
α
h
G v1
automobil y
x
( t1; t1 > t2 ) .
Označme jako
α úhel, který svírá rychlost člověka se spojnicí výchozích poloh člověka a
automobilu. Z obrázku plyne sin α = sin (β + γ ) = sin β cos γ + cos β sin γ = sin α =
x h h y h + = ( x + y) ⇒ s v 2t2 s v 2t2 sv 2t2
hv1t1 . sv 2t2
Z podmínky t1 > t2 plyne, že sin α >
hv1 , α ∈ ( 56, 4D ;123,6D ) sv 2
- 22 Krajní body tohoto intervalu představují dvě možnosti směru pohybu, při němž člověk dorazí na silnici v tomtéž okamžiku jako automobil ( t1 = t2 ) . Pohybuje-li se člověk minimální rychlostí v 2, min , dorazí na silnici ve stejném okamžiku jako automobil ( t1′ = t2′ ) a proto platí hv hv1 = 1 ⇒ v 2,min = 1 , v 2, min = 2,5 m ⋅ s −1 . s sv 2, min 4.9 Z bodu A současně vzlétla dvě letadla, jejichž letová rychlost je stejná a rovna c . Jedno z letadel letí proti větru vanoucímu stálou rychlosti G C v (v < c ) do bodu B a pak se vrátí do bodu A. Druhé z letadel G v letí kolmo k rychlosti větru a po dosažení bodu C se také vrátí do l bodu A. Vzdálenosti AB a AC jsou stejné. Které z letadel se l B vrátí do bodu A dříve? A Je-li vzdálenost AB = l , pak doba letu prvního letadla, letícího zprvu proti a pak po větru, je 2lc l l t1 = + ⇒ t1 = 2 . c −v c +v c −v 2 G v G v′
Směr rychlosti druhého letadla musí být zvolen tak, aby jeho výsledná rychlost v ′ byla při letu tam i zpět kolmá k rychlosti větru. Musí tedy
G c
platit v ′ = c 2 − v 2 . Doba letu druhého letadla je pak t2 =
2l c 2 −v 2
.
Vytvoříme-li podíl obou časových intervalů, dostaneme v2 t2 2l c2 − v 2 = = 1 − 2 < 1 ⇒ t2 < t1 t1 c c 2 − v 2 2lc Druhé letadlo se tedy vrátí do místa A dříve. 4.10 Z bodu A na břehu kanálu s nehybnou vodou je nutno se přepravit do bodu B na protilehlém břehu. Všechny vzdálenosti jsou zakresleny na obrázku. Člověk na loďce přepluje řeku rychlostí v1 z bodu A do bodu C a vzdálenost BC urazí pěšky rychlostí v 2 . Jakou podmínku musí splňovat úhly α1 a α 2 , má-li cesta z bodu A do bodu C trvat nejkratší možnou dobu? A a
α1
C
x d
α2
B b
Při daných hodnotách a, b, d závisí hodnoty úhlů α1 a α 2 i doba t trvání cesty z bodu A do bodu B na vzdálenosti x bodu C. Doba pohybu loďky z bodu A do bodu C je t1 = a 2 + x 2 v1 . Doba pohybu člověka z bodu C
do bodu B je t2 =
(d − x )
2
+ b2 v 2 .
Celá cesta z bodu A do bodu B tedy trvá
- 23 -
(d − x )
a2 + x2 t = t1 + t2 ⇒ t = + v1
2
+ b2
v2
.
Nutnou podmínkou extrému (nejkratšího časového intervalu potřebného k cestě z bodu A do bodu B) je nulová první derivace této funkce podle proměnné x . 2 (d − x ) x dt 2x − = − =0⇒ 2 2 2 2 2 2 dx 2v1 a + x v a + x 2v 2 ( d − x ) + b v2 1 Z obrázku je zřejmé, že x a2 + x2
= sin α1 a
d−x
(d − x )
2
+b
2
d−x
(d − x )
2
+b
2
= 0.
= sin α2 .
Po dosazení do podmínky extrému tedy dostáváme podmínku pro úhly α1 a α 2 ve tvaru sin α1 v1 sin α1 sin α2 = = ⇒ sin α2 v 2 v1 v2 4.11 Po pohyblivých schodech dolů se pohybujícího eskalátoru běží dva chlapci. Rychlost prvního z nich vzhledem ke schodům je u , rychlost druhého vzhledem ke schodům je nu . První chlapec napočítal při svém běhu dolů p schodů, druhý q schodů. Určete skutečný počet N schodů eskalátoru a jeho rychlost v . Je-li na celkové délce l eskalátoru N schodů, připadá jich na jednotku jeho délky právě N l . První chlapec má vzhledem k nehybnému zábradlí rychlost u +v , k dolnímu okraji schodů dorazí za čas l ( u + v ) a na pohyblivých schodech urazí dráhu ul ( u + v ) . Druhý chlapec se vzhledem k nehybnému zábradlí pohybuje rychlostí nu +v , k dolnímu okraji schodů dorazí za čas l ( nu + v ) a na pohyblivých schodech urazí dráhu nul ( nu + v ) . Vzhledem k uvedenému je počet schodů napočítaných oběma chlapci roven p=
ul N u +v l
a q=
nul N . nu +v l
Řešením těchto rovnic obdržíme postupně n (q − p) p ul nu + v u ; p= = ⇒ v= np − q q u + v nul
pq ( n − 1) ul N ⇒ N= np − q n (q − p) l u+ u np − q
4.12 Kladka zanedbatelné hmotnosti je připevněna na vrcholu nakloněné roviny ( α ) . Přes kladku je vedeno vlákno, na jehož koncích jsou upevněna dvě tělesa téže hmotnosti ( m ) . Určete velikost a směr zrychlení soustavy a tažnou sílu v niti.
m, g ; a , T = ?
- 24 -
G JJJJJJG g = konst.
α
m
G T
G Ft
G T ′ (T ′ = T ) G a
Na těleso na nakloněné rovině působí výsledná síla G G G ma = Ft + T ⇒ ma = T − Ft ⇒ ma = T − mg sin α ,
m
G mg
G mg
Na visící těleso působí výsledná síla G G G ma = mg + T ′ ⇒
ma = mg − T . Řešením soustavy rovnic ma = T − mg sin α , ma = mg − T dostáváme a=
1 − sin α 1 + sin α g ; T= mg 2 2