3
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
3.1. Pangkat Pangkat dari sebuah bilangan adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun. Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan degan x itu sendiri sebanyak n kali. Notasi bilangan berpangkat sangat berguna untuk merumuskan penulisan bentuk perkalian sacara ringkas. Misalnya, 7 x 7 x 7 x 7 x 7, cukup situlis dengan 75. 3.1.1. Kaidah Pemangkatan Bilangan Kaidah pemangkatan bilangan yang perlu diperhatikan adalah sebagai berikut: 1. x0 = 1, untuk x ≠ 0. Misalnya: 40 = 1. 2. x1 = x, untuk x ≠ 0. Misalnya: 41 = 4. 3. x n
1 . xn
Misalnya: 42
1 1 2 4 16
a
4. x b b x a . 1
Misalnya: 83 3 81 3 8 2 a
x xa 5. a y y 2
2 9 3 3 Misalnya: 2 25 5 5
6. (xa)b = xab.
1 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
Misalnya: (32)4 = 32x4 = 38 = 6.561. b
7. x a xc , dengan c = ab. 4
Misalnya: 32 316 43.046.721 . 3.1.2. Kaidah Perkalian Bilangan Berpangkat Kaidah perkalian bilangan berpangkat adalah sebagai berikut: 1. xa . xb = xa + b Misalnya: 32 . 34 = 32+4 = 36 = 729. 2. xa . xa = (xy)a Misalnya: 32 . 52 = (3.5)2 = 152 = 225. 3.1.3. Kaidah Pembagian Bilangan Berpangkat Kaidah pembagian bilangan berpangkat adalah sebagai berikut: 1. xa : xb = xa – b Misalnya: 32 : 34 = 32 – 4 = 3-2 = 1/9. 2. xa : xa = (x / y)a misalnya: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25. 3.2. Akar Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. Berdasarkan konsep pemangkatan, diketahui bahwa jika bilangan-bilangan yang sama (misalnya x) dikalikan sejumlah tertentu sebanyak (katakanlah) a kali, maka dapat ditulis menjadi xa , dalam hal ini x disebut basis sedangkan a disebut pangkat. Misalkan xa = m maka x dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m, yang jika dituliskan dalam bentuk akar menjadi x a m . Jadi
a
m x sebab xa = m.
Misalnya:
9 3 sebab 32 = 9.
Secara umum, bilangan berpangkat dan bentuk akar dapat dilihat pada hubungan berikut:
2 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
a
m x sebab xa = m.
3.2.1. Kaidah Pengakaran Bilangan Ada beberapa kaidah dalam pengakaran suatu bilangan yaitu: 1.
b
xx
1 b
Misalnya: 2.
b
x x a
b
b
5
3 3 1,55 2
2 5
xy b x . b y
Misalnya: 4.
64 64 4
a b
Misalnya: 3.
1 3
3
x y
b b
3
8 x 64 3 8 3 64 2 x 4 8
3
3 8 8 2 3 0,5 64 64 4
x y
Misalnya:
3.2.2. Kaidah Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bentuk Akar Bilangan-bilangan dalam bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis. Perhatikan kaidah berikut:
m b x a n b x a ( m n) b x a . Misalnya: 5 3 2 3 7 3
3.2.3. Kaidah Perkalian dan Pembagian Bilangan Bentuk Akar Kaidah perkalian dan pembagian bilangan bentuk akar adalah sebagai berikut: 1.
b
x.
b
y b xy
(Kaidah ini identik dengan kaidah pengakaran bilangan point 3). Misalnya:
3
8 . 3 64 3 8 x 64 3 512 8
3 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
2.
b c
x a bc x a 3
Misalnya: b
3.
b
15625 2x3 15625 6 15625 5
x x b y y
(Kaidah ini identik dengan kaidah pengakaran bilangan point 4). 3
Misalnya:
3
8 3 8 31 1 64 8 2 64
3.3. Logaritma Logaritma merupakan invers dari bilangan bentuk berpangkat atau eksponen, sehingga antara eksponen dan logaritma mempunyai hubungan seperti berikut: ax = b jika dan hanya jika x = a log b, untuk b > 0, a > 0, dan a ≠ 1 dengan a disebut bilangan pokok, b disebut numerus, x disebut hasil logaritma. Bentuk x = a log b dibaca “ x adalah logaritma dari b dengan bilangan pokok a”. Hubungan antara bentuk logaritma, bentuk pangkat, dan bentuk akar dapat dilihat pada bentuk berikut: Bentuk Pangkat ax = b
Bentuk Akar x
Bentuk Logaritma a
b a
log b x
Perhatikan bahwa, suku-suku di ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk. Dari ketiga bentuk tersebut, maka bentuk logaritma 5 log 625 4 sebab 54 = 625 atau
4
625 5 .
3.3.1. Basis Logaritma Basis atau bilangan pokok logaritma selalu bernilai positif dan tidak sama dengan 1. Logaritma dengan basis 10 cukup ditulis log b, bukan
10
log b .
Sementara untuk logaritma dengan basis e dengan e = 2,718287 ≈ 2,72, maka e
log b = ln b. Bentuk logaritma dengan basis e biasa disebut dengan logaritma
natural.
4 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
3.3.2. Kaidah-Kaidah Logaritma Beberapa kaidah tentang bentuk logaritma adalah sebagai berikut: 1. log a . b = log a + log b a 2. log log a log b b
3.
a
log b . b log c = a log c
4. log an = n log a 1
1a log b n log b 1 a 6. log b log a b log a 5.
7.
an
log b a log b n
log b
a
p p
log b log a
8.
a
log 1 = 0 sebab a0 = 1
9.
a
log a = 1 sebab a1 = a
3.3.3. Persamaan Logaritma Persamaan logaritma dalam x adalah persamaan yang mengandung fungsi x di bawah tanda logaritma atau fungsi x sebagai bilangan pokok suatu logaritma. Sifat-sifat yang berlaku pada persamaan logaritma adalah sebagai berikut: 1. Jika a log f (x) = a log p, maka f (x) = p, untuk f (x) > 0. 2. Jika a log f (x) = b log f (x), dengan a ≠ b, maka f (x) = 1. Contoh: Jika x log 3 = 0,4 , berapakah x? Penyelesaian: x
log3 0,4 x log3
2 5
Jika dikonversi ke bentuk berpangkat diperoleh
3 x
2 5
5 2
1 2
x3 3 .3 9 3. 2
Jadi, nilai x yang dimaksud adalah 9 3 .
5 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
Soal-Soal Latihan. 1. Selesaikanlah bentuk berikut ke dalam bentuk yang paling sederhana. a. 45 . 43 . 4-6 b. 53 . 34 . (-6)4 c. 45 : 43 : 4-6 d. 53 : 34 : (-6)4 2. Ubahlah bentuk berikut ke dalam bentuk akar a. 62/3 b. (62/3)2 c. 31/7. 34/7. 33/7 d. 72/5 + 93/5 3. Sederhanakan kemudian selesaikanlah bentuk berikut: a. 10 5 2 5 7 5 b.
3
c.
4 0,5
d.
5 16 : 2 4
27 5 3 125
169
4. Ubahlah ke dalam bentuk logaritma: a. 54 b.
3
64
c. 45 . 43 . 4-6 9 2
d. 3 : 243 5. Apabila x dan y masing-masing adalah 100 dan 50, hitunglah: a. log xy b. log (x / y) c. log x2y d. log (x2/y) 6. tentukanlah x jika: a. x5 = 50.000
6 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
b. 100x = 50.000 c. 35x-1 = 27x + 3 7. Tentukan nilai x yang memenuhi (3x + 2)log 27 = 5log 3. 8. Jika 9log 8 = 3m, tentukanlah nilai 4log 3. 9. Hitunglah alog (1/b) blog (1/c2) clog (1/a3). 10. Hitunglah 5 log 27 9 log125 16 log32 .
7 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com