3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

3

OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (3x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 200 km?

Sumber: Ensiklopedi Umum untuk Pelajaran, 2005

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, dan suku sejenis; dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar; dapat menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal; Kata-Kata Kunci: variabel dan konstanta faktor dan suku

operasi hitung bentuk aljabar pecahan bentuk aljabar

Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harus menguasai konsep mengenai faktor sekutu, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan atau lebih. Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasi hitungnya selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajari bab berikutnya. Perhatikan uraian berikut. A.

Al-Khwarizmi Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2003

Kata aljabar (aljabr) diambil dari judul buku Hisab al Jabr Wa’l Muqabalah (Perhitungan dengan Restorasi dan Reduksi), karya seorang ahli matematika Arab, Muhammad Al-Khwarizmi (780–850 M). Aljabar menjadi salah satu cabang ilmu matematika yang sangat bermanfaat dalam ilmu ekonomi dan ilmu sosial lainnya. Nanti pada bab selanjutnya, kalian akan mempelajari penerapan aljabar dalam kegiatan ekonomi.

BENTUK ALJABAR DAN UNSURUNSURNYA

Perhatikan ilustrasi berikut. Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah. Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x2 – 3x + 7, (x + 1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis. Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut. 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

80

Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p u q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 u x atau 5x = 1 u 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6. 2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ... Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ... b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ... c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ... d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

(Menumbuhkan kreativitas) Buatlah sebarang bentuk aljabar. Mintalah temanmu untuk menunjukkan unsur-unsur aljabar dari bentuk aljabar tersebut. Lakukan hal ini bergantian dengan teman sebangkumu.

Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ... Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Catatan: Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyak disebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua. Operasi Hitung Bentuk Aljabar

81

Tentukan koefisien dari x2 dan faktor dari masing-masing bentuk aljabar berikut. a. 7x2 b. 3x2 + 5 c. 2x2 + 4x – 3

Penyelesaian: a. 7x2 = 7 u x u x Koefisien dari x2 adalah 7. Faktor dari 7x2 adalah 1, 7, x, x2, 7x, dan 7x2. b. 3x2 + 5 = 3 u x u x + 5 u 1 Koefisien dari x2 adalah 3. Faktor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2. Faktor dari 5 adalah 1 dan 5. c. 2x2 + 4x – 3 = 2 u x u x + 4 u x – 3 u 1 Koefisien dari 2x2 adalah 2. Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2x. Koefisien dari 4x adalah 4. Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x. Faktor dari –3 adalah –3, –1, 1, dan 3.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tulislah setiap kalimat berikut dengan menggunakan variabel x dan y. a. Suatu bilangan jika dikalikan 2, kemudian dikurangi 3 menghasilkan bilangan 5. b. Empat lebihnya dari keliling suatu persegi adalah 16 cm2. c. Selisih umur Bella dan Awang adalah 5 tahun, sedangkan jumlah umur mereka 15 tahun. d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah 1 menghasilkan bilangan 50.

82


2. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabar berikut. a. 3 – 2x b. x2 – 2xy + x2 + 3 c. 4x2 – 5x + 6 d.

3 2 1 5 x x 4 2 4

e. x3 + 4x2 + x – 3 3. Tentukan konstanta dari bentuk aljabar berikut. a. 5x – 3 b. 2y2 + y – 5 c. (3x + 5)2 d. 3xy + 2x – y + 1 e. 4 – 3x + 5x2

4. Tentukan suku-suku yang sejenis dan tidak sejenis pada bentuk aljabar berikut. a. 3m – 2n + 9m + 15n – 6 b. 9a2 – 3ab + 4a + 6ab – 18a c. 5x2 + 6xy – 8y2 – 2xy + 9y2 d. 8p2q2 – p2q + 12pq + 5pq + 3p2q e. 5y2 – 3y + 4y2 + x2 – y2 + y – 1

B.

Ingat bahwa untuk sebarang bilangan bulat a dan b, berlaku 1) a u b = ab 2) a u (–b) = –ab 3) (–a) u b = –ab 4) (–a) u (–b) = ab

5. Termasuk suku berapakah bentuk aljabar berikut? a. –2x d. a2 – 2ab + b2 b. 4x2 – 3

e.

3 2 x x4 2

c. y2 – x2

OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut. a. –4ax + 7ax b. (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1) c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) Penyelesaian: a. –4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3ax 2 b. (2x – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1) = 2x2 – 3x + 2 + 4x2 – 5x + 1 = 2x2 + 4x2 – 3x – 5x + 2 + 1 = (2 + 4)x2 + (–3 – 5)x + (2 + 1) (kelompokkan sukusuku sejenis) = 6x2 – 8x + 3 c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2 = 3a2 – 4a2 + 3a + 5 – 2 = (3 – 4)a2 + 3a + (5 – 2) = –a2 + 3a + 3

Operasi Hitung Bentuk Aljabar

83

2. Perkalian

Panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah (2x + 1) cm, sedangkan panjang sisi siku-sikunya (3x – 2) cm dan (4x – 5) cm. Tentukan luas segitiga tersebut.

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a u (b + c) = (a u b) + (a u c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a u (b – c) = (a u b) – (a u c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar. a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut. k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kb

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah. a. 4(p + q) b. 5(ax + by) c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) d. –8(2x – y + 3z)

(Berpikir kritis) Diskusikan dengan temanmu. Dengan memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, buktikan perkalian bentuk aljabar berikut. (ax + b) (ax – b) = a2x2 – b2 b)2

(ax + = a2x2 + 2abx + b2

Penyelesaian: a. 4(p + q) = 4p + 4q b. 5(ax + by) = 5ax + 5by c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6 = (3 + 42)x – 6 + 6 = 45x d. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z

b. Perkalian antara dua bentuk aljabar Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut. (ax + b) (cx + d) = ax u cx + ax u d + b u cx + b u d = acx2 + (ad + bc)x + bd

(ax – b)2 = a2x2 – 2abx + b2

84


Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

ax + b cx d

ax cx d b cx d ax u cx ax u d b u cx b u d acx 2 adx bcx bd acx 2 ad bc x bd

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut.

(ax + b) (cx2 + dx + e)

= ax u cx2 + ax u dx + ax u e + b u cx2 + b u dx + b u e = acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih. 1. (2x + 3) (3x – 2) 2. (–4a + b) (4a + 2b) 3. (2x – 1) (x2 – 2x + 4) 4. (x + 2) (x – 2)

(Berpikir kritis) Coba jabarkan perkalian bentuk aljabar (ax + b)(cx2 + dx + e) dengan menggunakan sifat distributif. Bandingkan hasilnya dengan uraian di samping.

Penyelesaian: 1. Cara (1) dengan sifat distributif. (2x + 3) (3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2) = 6x2 – 4x + 9x – 6 = 6x2 + 5x – 6 Cara (2) dengan skema. (2x + 3) (3x – 2) = 2x u 3x + 2x u (–2) + 3 u 3x + 3 u (–2) = 6x2 – 4x + 9x – 6 = 6x2 + 5x – 6 2. Cara (1) dengan sifat distributif. (–4a + b) (4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b) = –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2 = –16a2 – 4ab + 2b2


85

Cara (2) dengan skema. (–4a + b) (4a + 2b) = (–4a) u 4a + (–4a) u 2b + b u 4a + b u 2b = –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2 = –16a2 – 4ab + 2b2 3. Cara (1) dengan sifat distributif. (2x – 1) (x2 – 2x + 4) = 2x(x2 – 2x + 4) – 1(x2 – 2x + 4) = 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4 = 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4 = 2x3 – 5x2 + 10x – 4 Cara (2) dengan skema.

(2x – 1) (x2 – 2x + 4)

= 2x u x2 + 2x u (–2x) + 2x u 4 + (–1) u x2 + (– 1) u (–2x) + (–1) . 4 = 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4 = 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4 = 2x3 – 5x2 + 10x – 4 4. Cara (1) dengan sifat distributif. (x + 2) (x – 2) = x(x – 2) + 2(x – 2) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 Cara (2) dengan skema. (x + 2) (x – 2) = x u x + x u (–2) + 2 u x + 2 u (–2) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan seperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan. 86


Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakat bahwa secara umum bentuk perkalian (x + a) (x – a) = x2 –a2? Diskusikan hal ini dengan temanmu.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 8p – 3 + (–3p) + 8 b. 9m + 4mn + (–12m) – 7mn c. 2a2 + 3ab – 7 – 5a2 + 2ab – 4 d. 4x2 – 3xy + 7y – 5x2 + 2xy – 4y e. –4p2 + 3pq – 2 – 6p2 + 8pq – 3 f. 12kl – 20mn –5kl – 3mn 2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 4m – 5 – 6m + 8 b. 9p2 – 4pq – q2 – 4p2 + 5pq – 3q2 c. 2(–8a – 3b) –4a + 9b d. 12x3 – 9x2 – 8 – 15x3 + 7x2 + 5 e. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2) f. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 – 9m) 3. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabar berikut sebagai jumlah atau selisih. a. –3(a – 2b + 5) b. xy(x2 – 4)

c.

1 2x 6 2

d. 2(x + 3) e. –3(2a + 5) f. –p(p2 – 3) 4. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagai perkalian konstanta dengan bentuk aljabar. a. 5x – 15y b. –2p + q – 3r c. 3x2 + 9xy – 18xy2 d. –4p + 8r2 5. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabar berikut ini. a. (x + 2) (x – 3) b. (2x – 3) (x + 4) c. (4k + 1)2 d. (3m + 2n) (3m – 2n) e. (3 – a) (5 + a) f. (2 + a) (a2 – 2a + 1)

3. Perpangkatan Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku

an

u a u a a u ... u a n faktor

Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar.

Jumlah dua buah bilangan adalah 35. Jika bilangan kedua adalah lima lebihnya dari bilangan pertama, tentukan hasil kali kedua bilangan itu.


87

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut. 1. (2p)2 2. – (3x2yz3)3 3. (–3p 2q)2

(Menumbuhkan inovasi) Jabarkan bentuk aljabar suku dua (a + b)n dengan 7 d n d 10. Tentukan pola koefisien yang terbentuk. Kemudian, tuliskan pola koefisien tersebut dalam segitiga Pascal. Diskusikan hal ini dengan temanmu. Ceritakan hasilnya secara singkat di depan kelas.

(Berpikir kritis) Pada bentuk aljabar berikut, tentukan koefisien dari a. x2 pada (2x – 5)2; b. x5 pada (x – 3)5; c. x3y pada (3x + 2y)4; d. x2y2 pada (x + 2y)4; e. a3 pada (4 – 2a)4.

Penyelesaian: 1. (2p)2 = (2p) u (2p) = 4p2 2. – (3x2yz3)3 = –27x6y3z9 3. (–3p2q)2 = 9p4q2

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.

o koefisiennya 1 1 (a + b)1 = a + b 2 (a + b) = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2 o koefisiennya 1 2 1 (a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 o koefisiennya 1 3 3 1 dan seterusnya Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1). Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran bentuk aljabar (a + b)n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga Pascal berikut. 0

(a + b) (a + b)

1

2

(a + b)

1

3

(a + b)

1

4

(a + b)

1

5

(a + b)

6

(a + b)

88

1

1


1 1

2 3

4

5 6

1

3 6

10 15

1 1 4 10

20

1 5

15

1 6

1

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

Jabarkan bentuk aljabar berikut. a. (3x + 5)2 b. (2x – 3y)2 c. (x + 3y)3 d. (a – 4)4

Penyelesaian: a. (3x + 5)2 = 1(3x)2 + 2 u 3x u 5 + 1 u 52 = 9x2 + 30x + 25 b. (2x – 3y)2 = 1(2x)2 + 2(2x) (–3y) + 1 u (–3y)2 = 4x2 – 12xy + 9y2 c. (x + 3y)3 = 1x3 + 3 u x2 u (3y)1 + 3 u x u (3y)2 + 1 u (3y)3 = x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 d. (a – 4)4 = 1a4 + 4 u a3 u (–4)1 + 6 u a2 u (–4)2 + 4 u a u (–4)3 + 1 u (–4)4 = a4 – 16 u a3 + 6a2 u 16 + 4a u (–64) + 1 u 256 = a4 – 16a3 + 96a2 – 256a + 256

4. Pembagian Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut. 1. 3xy : 2y 2. 6a3b2 : 3a2b 3. x3y : (x2y2 : xy) 4. (24p2q + 18pq2) : 3pq

Penyelesaian: 1.

3x y 2y

2.

3 x 2

6a 3b 2 : 3a 2b

(faktor sekutu y )

6a 3b 2 3a 2 b 3 a 2 b u 2ab 2

(faktor sekutu 3a 2b)

3a b 2ab


89

3.

4.

x3 y : ( x 2 y 2 : xy )

§ x2 y2 · x3 y : ¨ ¸ © xy ¹ § xy u xy · x3 y : ¨ ¸ ¨ xy ¸ © ¹ 3 x y xy u x 2 x3 y : xy xy xy

(24 p 2 q 18 pq 2 ) : 3 pq

x2

24 p 2 q 18 pq 2 3 pq 6 pq (4 p 3q ) 3 pq 2(4 p 3q)

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut. a. (2a)2 e. –3(x 2y)3 b. (3xy)3 f. –(2pq)4 1 2 c. (–2ab) 4 g. (2 xy ) 2 d. (4a 2b 2) 2 h. a(ab 2) 3 2. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar berikut. a. (x + 2)2 e. (4x – 2y)3 3 b. 3(2x – 1) f. 5(3a + 2)4 c. 2(3p + q)4 g. (y + 1)5 d. –3(–x – y)3 h. (–2x – 3y)3

3. Tentukan koefisien (a + b)n pada suku yang diberikan. a. Suku ke-2 pada (2a – 3)4. b. Suku ke-3 pada (x + 2y)3. c. Suku ke-4 pada (a – 3b)4. d. Suku ke-5 pada (2x + 3)5. 4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut. a. 16p2 : 4p b. 6a6b2 : a3b c. 3x2y5 : x2y2 : xy2 d. 15p4q5r3 : (6p2qr3 : 2pqr) e. (2a2bc2 + 8a3b2c3) : 2abc f. (p3qr2 + p2q2r3 – p5q3r2) : p2qr2

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

90


1. Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.

Penyelesaian: Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh 5 – 2m = 5 – 2(3) =5–6 = –1

2. Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2 – xy + 3y2.

Penyelesaian: Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh 2x2 – xy + 3y2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2 = 2(16) – (–12) + 3(9) = 32 + 12 + 27 = 71

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut.

Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut. a. 12pq dan 8pq2 b. 45x5y2 dan 50x4y3

Penyelesaian: a. 12pq = 22 u 3 u p u q 8pq 2 = 23 u p u q2 KPK = 23 u 3 u p u q2 = 24pq2 FPB = 22 u p u q = 4pq 5 2 b. 45x y = 32 u 5 u x5 u y2 50x4y 3 = 2 u 52 u x4 u y3 KPK = 2 u 32 u 52 u x5 u y3 = 450x5y3 FPB = 5 u x4 u y2 = 5x4y2


91

(Menumbuhkan inovasi) Berdasarkan contoh di atas, buatlah kesimpulan mengenai cara menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar. Diskusikan hal ini dengan temanmu.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Jika a = 6 dan b = –1, tentukan nilai dari bentuk aljabar berikut. a. a2 + 2ab + b2 b. a2b – ab2 + a2b2 c. 2a + 2a2b2 + 3ab2 + b3 d. a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 e. 3a2 – 2b + ab f. 2a3 – 3a2 + ab – 5 2. Hitunglah nilai p2 – 2qr + 3p jika a. p = –1, q = 2, dan r = –3; b. p = –2, q = 3, dan r = 1; c. p = 1, q = 5, dan r = –2; d. p = 3, q = 2, dan r = –5.

C.

3. Tentukan KPK dari bentuk aljabar berikut. a. 15ab dan 20ab b. 10a2b3c dan 15b2c2d c. 24p2q, 36p3q2, dan 60pqr d. 16pq2r, 30qr2s2, dan 36p3r2s5 4. Tentukan FPB dari bentuk aljabar berikut. a. 2x dan –3x2 b. 4x2y dan 12xy2 c. 48a3b5 dan 52a2b3c2 d. 12pq, 6q2r, dan 15p2qr

PECAHAN BENTUK ALJABAR

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar. Misalnya

a 4 3a m 3 x2 , , , , dan . 2 p 7bc n x y

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya. 92


Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y z 0. 3x a. 6x2 y b.

4 x 2 yz 3 2 xy 2

Penyelesaian: a. FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga 3x 3x : 3x 2 6 x y 6 x 2 y : 3x 1 2 xy 1 3x . Jadi, bentuk sederhana dari adalah 2 2xy 6x y b. FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga 4 x 2 yz 3 4 x 2 yz 3 : 2 xy 2 xy 2 2 xy 2 : 2 xy 2 xz 3 y

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal a. Penjumlahan dan pengurangan Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.

Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar berikut. 1 5 1. 2 p 3q

Penyelesaian: 1 5 1. 2 p 3q 1 u 3q 5u 2 p 2 p u 3q 3q u 2 p 3q 10 p 6 pq 6 pq 3q 10 p 6 pq


93

2. 3.

1 2 k 3 k 1 m 2 n 1 m n

2.

1 2 k 3 k 1

1(k 1) 2(k 3) ( k 3)( k 1) ( k 3)( k 1) k 1 2k 6 2 2 k 2k 3 k 2k 3 k 1 2k 6 k 2 2k 3 k 7 2 k 2k 3

3.

m 2 n 1 m n

n m 2

m n 1

mun num mn 2n mn m mn mn mn 2n mn m mn mn mn 2n m mn 2n m mn

b. Perkalian dan pembagian Ingat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapat dinyatakan sebagai berikut. a c u b d

ac ; untuk b, d z 0 bd

Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.

Tentukan hasil perkalian pecahan bentuk aljabar berikut. 1.

4 ab u 3a 2

2.

x 1 y 1 u y x

x2 1 2 x u 3. 5 3

94

Penyelesaian: 4 ab 4 u ab 2b u 1. 3a 2 3a u 2 3 x 1 y 1 x 1 y 1 2. u y x yux xy y x 1 xy xy x y 1 xy


x2 1 2 x u 5 3

3.

( x 2 1)2 x 5u3 3 2x 2x 15 2x 2 ( x 1) 15

Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers (operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.

c b a a 1 :c u b b c a c a d : u b d b c

a:

b c

au

ac untuk b z 0, c z 0 b a untuk b z 0, c z 0 bc ad untuk b z 0, c z 0 bc

Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan bentuk aljabar.

Sederhanakan pembagian pecahan aljabar berikut. 1.

4 p 2q : 3q 9 p

2.

3a c : b 4b 2

3.

ab b 2 : c ac

Penyelesaian: 4 p 2q 4 p 9 p : u 1. 3q 9 p 3q 2q 36 p 2 6q 2 6 p2 q2 2. 3a : c b 4b 2

3.

ab b 2 : c ac

3a 4b 2 u b c 2 12ab bc 12ab c ab ac u 1c 1b 2 a 2 bc b2 c a2 b Operasi Hitung Bentuk Aljabar

95

c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. 1

§a· ¨b¸ © ¹ 2 §a· ¨ ¸ ©b¹ (Berpikir kritis) Tunjukkan berlakunya sifat perpangkatan pecahan bentuk aljabar di samping. Gunakan contoh yang mendukung.

Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut. § 3x · 1. ¨ ¸ © 2 ¹

3

§ 4 · 2. ¨ 2 ¸ © 5y ¹

3

a2 b2

a a u b b

§a· ¨b¸ © ¹

n

a a a a u u u ... u b b b b

an bn

sebanyak n kali

Penyelesaian: § 3x · 1. ¨ ¸ © 2 ¹

3

§ 3x · § 3x · § 3x · ¨ ¸u¨ ¸u¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹ © 2 ¹ 2

§ 2a 1 · 3. ¨ ¸ © b ¹

2

§ 5p 3· 4. ¨ ¸ © 2 ¹

a3 b3

a a a u u b b b

§ 4 · 2. ¨ 2 ¸ © 5y ¹

2

§ 2a 1 · 3. ¨ ¸ © b ¹

§a· ¨ ¸ ©b¹

a b

§ 4 ¨ 2 © 5y 2

2

· § 4 · ¸u¨ 2 ¸ ¹ © 5y ¹

16 25 y 4

2a 1 2a 1 u b b 2a 1 2a 1 b2 4a 2 2a 2a 1 b2

§ 5p 3 · 4. ¨ ¸ © 2 ¹

2

27 x 3 8

4a 2 4a 1 b2

5p 3 5p 3 u 2 2 5 p 3 5 p 3 4 25 p 2 15 p 15 p 9 4 25 p 2 30 p 9 4

96


Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentuk aljabar berikut. 2 pq , p, q z 0 a. 4 pq 2

3. Tentukan hasil kali pecahan aljabar berikut. 3 q u a. p 2

b.

3 x 2 yz 3 , x, y , z z 0 6 xyz

b.

c.

3 x 2 15 y yz , x, y , z z 0 xyz

c.

d.

6 xy 2 4 xy 8 xz , x, z z 0 2 xz

d.

2. Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar berikut. 3 q a. p 2

e.

b. c. d. e. f. g. h. i. j.

3x x 2 x y xy

p3 p 12 3 4a 2a 2 a b ab x y x y x y 7b 3b 10 10 12 x 9 x y y 2 x 4 xy 2 y 9 y2 2p 3 q 4 6q 9p 4m 3 5m 12 3mn 12n

f.

m 3m u 2 n 5n 9mn 6kn 2 u 4k 3m 2 2 x 1 3x u y z 3x 1 u x 1 2x y p q2 p q u 3 p2 q 2

4. Tentukan hasil bagi bentuk pecahan aljabar berikut.

16a 2b 8ab 2 : 2 5c 3c 4klm 3k 2 m e. : 9 8l 2 2 x y 20 xy 2 f. : 3z 8z 2

x y : 4 12 4a 9b b. : 3b 2c mn 8mn c. : 6l 15l 2 a.

d.

5. Selesaikan operasi perpangkatan pecahan aljabar berikut. § 2x · a. ¨ ¸ © 3 ¹

§ 4x 1 · ¸ e. ¨ © y y¹

2

§ 3 · b. ¨ 2 ¸ © 4x ¹

3

§ 4x 2 · c. ¨ ¸ © y ¹ § 5 · d. ¨ 2 ¸ © 3y ¹

3

2

2

§ 2a 1 · 2¸ f. ¨ © 3 b ¹ § 3a b · g. ¨ ¸ © 2 ¹

2

3

§ 2 p q · h. ¨ ¸ © 3 pq ¹


2

97

D.

Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia ayah tiga kali usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya.

PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH

Penyelesaian: Misalkan: umur ayah = x; umur anak = y, sehingga diperoleh persamaan x = 4y ..................................... (i) x + 5 = 3(y + 5) ...................... (ii) Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh x+5 = 3(y + 5) 4y + 5 = 3(y + 5) 4y + 5 = 3y + 15 4y – 3y = 15 – 5 = 10 y Untuk y = 10, maka x = 4y x = 4 u 10 x = 40 Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10 tahun.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Panjang suatu persegi panjang diketahui (3x + 2) cm dan lebarnya (2x – 3) cm. a. Tentukan keliling persegi panjang dinyatakan dalam x. b. Jika kelilingnya 36 cm, tentukan ukuran persegi panjang tersebut.

98


2. Tiga tahun yang lalu jumlah umur seorang ibu beserta anak kembarnya diketahui 35 tahun. Jika pada saat itu umur ibunya 29 tahun, berapa tahunkah umur anak kembarnya sekarang?

3. Pak Ketut melakukan suatu perjalanan ke luar kota. Mula-mula ia mengendarai sepeda motor selama 2 jam dengan kecepatan rata-rata (5x – 2) km/jam. Kemudian Pak Ketut melanjutkan perjalanan dengan naik bus selama 3 jam dengan kecepatan rata-rata (4x + 15) km/jam. Tentukan a. jarak yang ditempuh dalam x; b. nilai x, jika jarak yang ditempuh 239 km. 4. Seekor kambing setiap hari menghabiskan (x + 2) kg ransum makanan, sedangkan seekor sapi setiap hari menghabiskan (2x – 1) kg ransum makanan.

a. Nyatakan jumlah ransum makanan untuk seekor kambing dan seekor sapi selama 1 minggu. b. Tentukan nilai x jika jumlah ransum makanan yang habis dalam 1 minggu adalah 70 kg. 5. Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (2x + 1) cm, lebar (x + 5) cm, dan tinggi x cm. Tentukan a. persamaan panjang kawat dalam x; b. nilai x, jika panjang kawat seluruhnya = 104 cm.

(Menumbuhkan inovasi) Amatilah lingkungan di sekitarmu. Buatlah contoh masalah sehari-hari yang berkaitan dengan penggunaan operasi hitung bentuk aljabar. Selesaikanlah dan hasilnya ceritakan secara singkat di depan kelas.

1. Variabel, konstanta, faktor, serta suku sejenis dan tak sejenis. – Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. – Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. – Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. – Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.


99

2. Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. 3. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut. k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kb 4. Perkalian antara dua bentuk aljabar dinyatakan sebagai berikut. (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd (ax + b) (cx2 + dx + e) = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be (x + a) (x – a) = x2 – a2 5. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien sukusukunya ditentukan dengan segitiga Pascal. (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 dan seterusnya 6. Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut. 7. Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1 dan penyebutnya tidak sama dengan nol. 8. Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan aljabar diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.

Setelah mempelajari mengenai Operasi Hitung Bentuk Aljabar, materi manakah yang telah kalian pahami? Buatlah rangkuman dari materi yang telah kalian pahami. Catatlah materi yang belum kalian pahami. Lalu, tanyakan pada temanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu. Berilah contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari beserta penyelesaiannya yang berkaitan dengan operasi hitung bentuk aljabar. Susunlah dalam sebuah laporan dan kumpulkan kepada gurumu.

100


Kerjakan di buku tugasmu. A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. 1. Koefisien dari x pada bentuk aljabar 2x2 – 24x + 7adalah .... a. 2 c. 24 b. –7 d. –24 2. Bentuk aljabar berikut yang terdiri atas tiga suku adalah .... a. abc + pqr c. ab – pq b. ab + ac – bc d. 3ab – 3cd 3. Bentuk paling sederhana dari 2(3x +2y) – 4(x – 5y) adalah .... a. 10x – 10y c. 2x – y b. 2x + 24y d. 2x – 3y 4. Bentuk sederhana dari 8x – 4 – 6x + 7 adalah .... a. 2x + 3 c. 2x – 3 b. –2x + 3 d. –2x – 3 5. Jika p = 2, q = –3, dan r = 5, nilai dari 2p2r – pq adalah .... a. 74 c. 86 b. 46 d. 34 6. Hasil penjabaran dari (2x – 3)2 adalah .... a. 4x2 + 6x + 9 b. 4x2 – 12x + 9 c. 2x2 + 12x + 3 d. 2x2 + 6x + 3

7. KPK dan FPB dari ab2c2 dan b3c2d adalah .... a. b2c2 dan a2b2c2 b. ab3c2d dan b2c2 c. ab3c3d dan b3c3 d. b3c3 dan ab3c2d2

x 7 2x 4 adalah .... 3 5

8. Hasil dari

11x 3 15 11x 11 b. 15

a.

9. Nilai dari

11x 23 15 11x 47 d. 15 c.

9 2 adalah .... 3x 5 x

a.

7 15x

c.

39 15x

b.

19 15x

d.

11 15x

10. Panjang sisi-sisi suatu segitiga diketahui berturut-turut p cm, 2p cm, dan (p + 4) cm. Keliling segitiga tersebut adalah .... a. (4p + 4) cm c. (2p + 6) cm b. (3p + 4) cm d. (2p + 2) cm

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat. 1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut. a. –4x + 5y – 10x + y b. (5x + 7) – 3(2x – 5) c. 8x – 2(–4x + 7) d. –3(2x – 5) + 2(–x + 4) e. 2x2 – 3x + 5 – 3x2 + x – 9

2. Tentukan hasilnya. a. (2x – 1) (–3x + 4) b. (–3p + 1)2 c. (–5x – 3)3 d. –2x(x + 3) (3x – 1)


101

3. Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut. a. 5p2q3 dan 18pq2r3 b. 20pq dan –35p2q c. 25p2qr2, 30pqr2, dan 36p3q2r d. 12pq3r, 24pqr, dan 20p2q2r 4. Sederhanakan bentuk aljabar berikut. 2 x 1 3x 2 a. 3 5 x 1 x 1 b. 2x 3x

102


3

§ xy · § 2 x · c. ¨ ¸ u ¨ 2 ¸ © 6 ¹ ©y ¹ p q pq : ; p, q z 0 d. 6 12 2

5. Sebuah yayasan sosial memberikan bantuan kepada korban banjir berupa 35 dus mi dan 50 dus air mineral. Satu dus mi berisi 40 bungkus dengan harga Rp900,00/bungkus. Adapun satu dus air mineral berisi 48 buah dengan harga Rp500,00/buah. Tentukan harga keseluruhan mi dan air mineral tersebut.

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

Recommend Documents