2.4 Relasi dan Fungsi Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada bahasan berikutnya, sebagai suatu relasi yang khusus. Relasi Hubungan antara beberapa objek atau bilangan dapat dianalisa menggunakan ide dari teori himpunan. Sebagai contoh, pada himpunan {1, 2, 3, 4}, kita dapat menyatakan suatu hubungan “ a adalah pembagi b “ dengan mendaftar semua pasangan berurutan (a,b) untuk setiap hubungan yang sesuai, yaitu {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}. Pada bagian ini kita akan mempelajari tentang sifat-sifat dari relasi. Relasi
digunakan
pada
matematika
untuk
merepresentasikan suatu hubungan antara dua bilangan atau objek. Sebagai contoh, ketika kita membilang, “3 kurang dari 7”, “2 faktor dari 6”, dan “segitiga ABC adalah sebangun dengan segitiga DEF”, kita menyatakan hubungan antara pasangan bilangan-bilangan ke dalam dua kasus pertama dan segitita-segitiga sebagai hal berikutnya. Lebih umum lagi, konsep dari relasi tersebut dapat diterapkan untuk sebarang himpunan. Suatu himpunan pasangan berurutan dapat digunakan untuk menyatakan bahwa pasangan tertentu dari suatu objek adalah
berhubungan.
Sebagai
contoh,
himpunan
Gambar 2.36
{(Hawai, 50), (Alaska, 49), (New Meksiko, 48) daftar dari Negara bagian baru dari United State dan urutan menjadi Negara bagian. Relasi tersebut dapat dinyatakan secara lisan “__________ adalah Negara bagian ke ________ yang bergabung dengan United State” ; sebagai contoh,”Alaska adalah Negara bagian ke 49 yang bergabung dengan United state”.
Gambar 2.37
19
Secara diagram untuk menotasikan hubungan melalui dari diagram panah. Ketika relasi dapat dinyatakan dalam sebuah himpunan tunggal, suatu digram panah dapat digunakan pada himpunan tersebut dengan dua cara. Sebagai contoh, relasi “adalah faktor dari” dari himpunan {2, 4, 6, 8} bisa ditampilkan dalam dua cara yang ekuivalen pada gambar 2.36, menggunakan satu himpunan pada bagian (a) dan menggandakannya pada bagian (b). Keuntungan menggunakan dua himpunan dalam suatu digram panah adalah bahwa relasi antara dua himpunan berbeda dapat digambarkan. Secara formal, relasi R dari himpunan A ke himpuan B adalah himpunan bagian dari A x B, Cartesian produk dari A dan B. jika A = B, kita menyebutnya bahwa R adalah suatu relasi pada A. Pada paragraph sebelumnya, “adalah faktor dari” himpunan A dan B adalah sama, yaitu himpunan {2, 4, 6, 8}. Relasi terakhir ini dijelaskan dengan pasangan berurut di bawah ini. R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,4), (4,8), (6,6), (8,8)} Perhatikan bahwa R adalah himpunan bagian dari {2, 4, 6, 8} x {2, 4, 6, 8} Pada masalah suatu relasi R pada himpunan A, dimana R ⊆ A × A, ada tiga sifat yang digunakan yang memungkinkan adanya suatu relasi. 1. SIFAT REFLEKSIF Suatu relasi R pada suatu himpuan A dikatakan refleksif jika (a,a) ϵ R untuk setiap a ϵ A. kita katakan bahwa R refleksif jika setiap anggota di A direlasikan dengan dirinya sendiri. Secara umum, dalam suatu diagram panah, suatu relasi dikatakan refleksif jika setiap anggota di A memiliki titik panah ke dirinya sendiri (gambar 2.38)
Gambar 2.38
20
2. SIFAT SIMETRIK Suatu relasi R pada suatu himpunan A dikatakan simetrik jika untuk setiap (a,b) ϵ R, kemudian (b,a) ϵ R juga, dapat dikatakan, jika a direlasikan ke b, maka b derelasikan a. Dimana R menjadi relasi “ adalah lawan dari “ pada himpunan A = {1, -1, 2. -2}. Kemudian R = {(1,-1), (-1,1), (2,-2), (-2,2)}, bahwa R mempunyai semua pasangan berurutan yang mungkin (a,b) dari A × A jika a adalah lawan dari b. Diagram panah dari relasi ini ditunjukkan pada gambar 2.39.
Gambar 2.39
3. SIFAT TRANSITIF Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan transitif jika untuk setiap (a,b) ϵ R dan (b,c) ϵ R, maka (a,c) ϵ R. dengan kata lain, suatu relasi dikatakan trasitif jika untuk setiap a, b, c di A, jika a terhubung dengan b dan b terhubung dengan c, maka a terhubung dengan c. bandingkan relasi “ adalah faktor dari “ pada himpunan {2, 4, 6, 8}. Dengan memperhatikan bahwa 2 faktor dari 4, dan 4 faktor dari 8, dan 2 faktor dari 8. Juga 2 faktor dari 4, dan 4 faktor dari 12, dan 2 faktor dari 12. Permasalahan terakhir untuk pertimbangan, bahwa keterlibatan 2, 6, dan 12 juga benar. Demikian “adalah faktor dari” adalah relasi transitif pada himpunan {2, 4, 6, 8, 12}. Dalam diagram garis, suatu relasi dikatakan transitif jika ada suatu panah “a ke b” dan panah “b ke c”, maka juga ada ada suatu panah “a ke c” (gambar 2.40).
Gambar 2.40
Sekarang bandingkan relasi “mempunyai angka yang satuan yang sama” pada himpunan bilangan {1, 2, 3, …, 40}. Jelas, bahwa setiap bilangan mempunya angka satuan yang sama dengan dirinya sendiri, maka relasi itu dapat dikatakan 21
refleksif, itu juga simetrik, dan transitif. Relasi pada suatu himpunan yang refleksif, simetrik, dan juga transitif disebut dengan dengan relasi ekuivalen. Oleh karena itu relasi “punya angka yang satuan yang sama” adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan {1, 2, 3, …, 40}. Masih banyak lagi relasi ekuivalen dalam matematika. Beberapa yang umum adalah “adalah sama dengan” pada himpunan bilangan dan “adalah kongruen dengan” dan “adalah sebangun dengan” pada himpunan bangun geometri. Salah satu sifat penting dari relasi ekuivalen R pada himpunan A adalah bahwa relasi tersebut membagi suatu bagian dari himpunan A ke dalam himpuanan yang tidak kosong, pasangan himpunan bagian yang saling lepas (i.e., irisan dari dua himpunan bagian tersebut ∅). Sebagai contoh, jika bilangan yang berpasangan dengan bilangan lainnya pada paragraph sebelumnya dikumpulkan ke dalam suatu himpunan, relasi R pada himpunan {1, 2, 3, …, 40} adalah ditunjukkan dalam himpunan tidak kosong berikut, pasangan himpunan bagian saling lepas. {{1, 11, 21, 31,}, {2, 12, 22, 32}, …, {10, 20, 30, 40}} Semua angggota himpunan yang mempunya angka satuan sama dikumpulkan dalam kelompok sama.
Secara formal, suatu bagian dari himpunan A adalah suatu himpunan yang tidak kosong, himpunan bagian- bagian yang saling lepas, dengan gabungannya adalah A. Himpunan bagian tersebut dikelompokkan dengan relasi “mempunyai angka yang satuan yang sama” pada suatu himpunan bangun datar yang ditunjukkan dalam gambar 2.41. catatan, semua persegi dikelompokkan bersama, jika mereka memiliki “bentuk sama”.
Gambar 2.41
22
Gambar 2.41
Fungsi Dengan sederhana dapat dikatakan, fungsi adalah suatu relasi yang khusus. Konsep yang digarisbawahi dari fungsi ditunjukkan pada definisi berikut.
DEFINISI Suatu fungsi adalah suatu relasi yang memasangkan masing-masing anggota himpunan pertama dengan suatu anggota himpunan kedua denga suatu cara sedemikian sehingga tidak ada anggota pada himpunan pertama yang dipasangkan dengan dua anggota himpunan kedua.
Konsep suatu fungsi adalah menemukan matematis dan masyarakat secara terus-menerus. Contoh sederhana dalam masyarakat sebagai berikut (1) seseorang yang dipasangkan dengan nomor keamanannya (2) setiap barang pada suatu toko yang dipasangkan dengan nomor barcode khusus, dan (3) setiap rumah pada suatu jalan yang dipasangkan dengan suatu alamat khusus. Dari contoh-contoh yang kita periksa sebelumnya pada bagian ini, relasi didefinisikan “ _________ adalah factor dari __________ “ adalah bukan suatu fungsi karena 2, pada himpunan pertama adalah factor dari banyak bilangan dan oleh karena itu maka terhubung dengan lebih dari satu pada himpunan kedua. Diagram panah pada gambar 2.36(b) juga menunjukkan hal ini, karena 2 pada pada himpunan pertama mempunyai 4 panah darinya. Ingatlah bahwa urutan adalah daftar nomor, disebut syarat, disusun dalam urutan, di mana syarat pertama disebut syarat perlu. Sebagai contoh, urutan bilangan genap berturut-turut disusun dalam urutan naik 2, 4, 6, 8, 10,. . . . Cara lain untuk menunjukkan urutan ini adalah dengan menggunakan panah: 1 2, 2 4, 3 6, 4 8, 5 10, . . . Di sini, anak panah menunjuk ke setiap bilangan kelipatannya. Menggunakan variabel, relasi ini dapat direpresentasikan sebagai n 2n. Tidak hanya relasi yang dikatakan fungsi, fungsi terbentuk setiap kali setiap perhitungan bilangan mengarah ke satu dan hanya satu anggota himpunan. Beberapa barisan khusus dapat diklasifikasikan menurut aturan mereka bertemu. Barisan 2, 4, 6, 8,. . . , Masing-masing aturan menambah 2 pada anggota sebelumnya. Jenis barisan tersebut, di mana mempunyai beda yang tetap dengan 23
setiap bilangan, ini disebut barisan aritmatika. Dengan menggunakan variabel, suatu barisan aritmatika dapat dituliskan sebagai berikut a, a + d, a + 2d, … Dimana a adalah syarat perlu dan d adalah penjumlah dengan beda yang teratur. Bilangan d disebut beda umum dari barisan. Pada barisan 1, 3, 9, 27,. . . , Masing-masing anggota setelah yang pertama dapat ditemukan dengan mengalikan anggota sebelumnya dengan 3. Ini adalah contoh dari barisan geometri. Dengan menggunakan variabel, barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut a, ar, ar2, ar3, … bilangan r , yang mana berkelipatan untuk setiap anggota secara terurut, disebut dengan rasio umum barisan. Tabel 2.4 menunjukkan aturan umum barisan aritmetika dan geometri.
TABEL 2.4 Aturan
1
2
3
4
…
N
Barisan
a
a+d
a + 2d
a + 3d
…
a + (n-
Aritmetika Barisan
…
1)d a
ar
ar2
ar3
…
arn-1
…
Geometri
Dengan menggunakan tabel ini, barisan ke-400 dari barisan aritmetik 8, 12, 16 dapat ditemukan dengan memperhatikan bahwa a = 8 dan d = 4; sehingga barisan ke400nya adalah 8 + (400 - 1) 4 = 1604. Barisan ke -10 dari barisan geometri 4, 8, 16, 32,. . . dapat ditemukan dengan memperhatikan bahwa a = 4 dan r = 2, sehingga barisan ke-10nya adalah 4 . 210-1 = 2048.
CONTOH 2.17 : 1. Tentukan yang mana di antara barisan di bawah ini yang termasuk barisan aritmetika, geometri, atau bukan keduanya. Kemudian tentukan beda umum atau rasio yang dapat dipakai untuk menemukan barisan ke-10. a. 5, 10, 20, 40, 80, … b. 7, 20, 33, 46, 59, … c. 2, 3, 6, 18, 108, 1944, … 24
SOLUSI a. Barisan 5, 10, 20, 40, 80, … dapat ditulis 5, 5.2, 5.22 , 5.23 , 5.24 , … maka ini disebut barisan geometri dengan rasio 2. Barisan ke-10 adalah 5.29 = 2560. b. Pola pengurutan barisan 7, 20, 33, 46, 59, … mempunyai beda umum 13. Maka ini dinamakan barisan aritmetika, yang mana barisan ke-10nya adalah 7 + 9.(13) = 124 c. Barisan 2, 3, 6, 18, 108, 1944, … terbentuk dengan mengalikan dua barisan sebelumnya untuk membentuk barisan berikutnya. Contoh, 6 . 18 = 108. Barisan ini bukan merupakan barisan aritmetika maupun geometri. Dengan menggunakan notasi eksponen, barisan ini adalah 2, 3, 2 × 3, 2 × 32 , 22 × 33 , 23 × 35 , 25× 38 , 28 × 313 , 213 × 321 , 221 × 334 (barisan ke-10). 2. Bilangan persegi panjang adalah bilangan-bilangan yang merepresentasikan suatu susunan di mana jumlah titik pada sisi yang lebih pendek adalah satu kurangnya dari jumlah titik pada sisi panjang (Gambar 2.42). Enam angka pertama persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, dan 42. Panjang sisi yang pendek dari susunan ken adalah n dan sisi yang lebih panjang adalah n + 1. Dengan demikian jumlah persegi panjang ke-n adalah n (n + 1), atau n2 + n.
Gambar 2.42
Gambar 2.43
3. Gambar 2.43 menampilkan sebuah kubus 3 × 3 × 3 yang terdiri dari tiga lapisan dari sembilan kubus satuan maka total semuanya ada 27 kubus satuan. Tabel 2.5 menunjukkan beberapa contoh di mana sebuah kubus besar terbentuk dari kubus satuan. Secara umum, jika ada kubus satuan n kubus satuan sepanjang setiap sisi kubus besar, kubus besar tersebut terdiri dari batu n3 kubus satuan.
25
TABEL 2.5 Banyak kubus satuan di 1
2
3
4
5
6
…
8
27
64
125
216
…
sisi Banyak kubus satuan 1 kubus besar
4.
Amuba berkembang biak sendiri dengan cara membelah diri menjadi dua
amuba. Tabel 2.6 menunjukkan hubungan antara jumlah pemembelahan dan jumlah amuba setelah pembelahan itu, dimulai dari satu amuba. Perhatikan bagaimana jumlah amuba tumbuh pesat. Pertumbuhan pesat seperti yang dijelaskan dalam tabel ini disebut pertumbuhan eksponensial. TABEL 2.6 BANYAK
BANYAK
PEMBELAHAN
AMUBA
1
2
2
4
3
8
4
16
…
…
…
…
…
…
n
2n
NOTASI FUNGSI Suatu fungsi, f, yang memasangkan anggota himpunan A ke anggota himpunan B ditulis f : A
B. jika a ϵ A, maka notasi fungsi untuk setiap anggota di B yang tepasangkan dengan a disebut f(a), baca “f dari a” (gambar 2.44). Bandingkan bagaimana masing-masing contoh sebelumnya 1
Gambar 2.44
sampai 4 memenuhi definisi fungsi. 26
1. Bilangan genap: memasangkan setiap n dengan dua kali lipatnya, yaitu 2n; dapat ditulis, f(n) = 2n 2. Bilangan persegi panjang : Jika ada n titik di sisi pendek, terdapat n + 1 titik di sisi panjang. banyak titik pada persegi panjang ke-n adalah n (n + 1), dapat kita tulis f (n) = n (n + 1). Jadi f (n) = n (n + 1) adalah fungsi yang hasilnya adalah bilangan persegi panjang. 3. Kubus : memasangkan setiap n dengan kubus tersebut; yaitu, f(n) = n3. 4. Amuba : memasangkan setiap banyaknya pembelahan n dengan banyaknya am umuba, 2n. yaitu f(n) = 2n
CATATAN : Tidak diwajibkan untuk menggunakan f untuk menyatakan fungsi dan n sebagai variabel dalam f (n). Misalnya, fungsi persegi panjang dapat ditulis r(x) = x (x + 1) atau R (t) = t (t + 1). Fungsi untuk kubus dapat ditulis C (r) = r3. Artinya, suatu fungsi dapat diwakili oleh huruf besar atau huruf kecil. Namun, variabelnya biasanya ditulis dengan huruf kecil. CONTOH 2.18 : Nyatakan relasi di bawah ini menggunakan notasi fungsi. a. Biaya naik taksi adalah $ 1,75 ditambah 75 sen per seperempat mil. b. Ukuran derajat dalam Fahrenheit sebagai fungsi dari derajat Celcius, mengingat bahwa dalam Fahrenheit itu 32O lebih dari 1,8 kali derajat diukur dalam Celcius. c. Jumlah berat otot, dalam hal berat badan, mengingat bahwa untuk setiap 5 pon berat badan mewakili 2 pon otot. d. Modal sebesar $ 1000 setelah t tahun dengan bunga majemuk 7% pertahun, diketahui bahwa jumlah tersebut akan menjadi 1,07t kali modal awal. SOLUSI a. C(m) = 1,75 + 4m (0,75), di mana m adalah jauh perjalanan dalam mil. b. F (c) =1.8c + 32, di mana c adalah derajat Celcius c. M (b) =
2 b Mana b adalah berat badan. 5
d. P (t) = 1000(1.07t), Di mana t adalah lama waktu menabung dalam tahun.
27
REPRESENTASI DARI FUNGSI Jika f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, himpunan A disebut domain dari f dan himpunan B disebut kodomain. Fungsi penggandaan, f (n) = 2n, dapat didefinisikan untuk mendapatkan himpunan bilangan sebagai domain dan kodomain. Perhatikan bahwa hanya angka genap yang terdapat dalam kodomain fungsi tersebut. Himpunan semua elemen di kodomain yang merupakan pasangan fungsi dari unsur domain disebut daerah hasil (range) fungsi tersebut. Fungsi menggandakan sebagaimana telah dijelaskan memiliki domain {1, 2, 3,. . }, kodomain {1, 2, 3,. . }, dan daerah hasil {2, 4, 6,. . } (Gambar 2.45). Perhatikan bahwa range harus menjadi himpunan bagian dari kodomain tersebut. Namun, kodomain dan range mungkin sama. Sebagai contoh, jika A = {a, e, i, o, u}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, dan g fungsi yang memasangkan setiap huruf sesuai urutan abjad A dengan lima angka, maka g (a) = 1, g (e) = 2, g (i)= 3, g (o)= 4, dan g (u) = 5 (Gambar 2.46). Berikut range g adalah B. Dengan notasi g : A B digunakan untuk menunjukkan domain, A, dan kodomain, B, dari fungsi g. Suatu fungsi dapat memasangkan lebih dari satu anggota dari domain ke anggota yang sama pada kodomain. Misalnya, untuk himpunan A dan B dalam paragraf sebelumnya, suatu huruf huruf bisa dipasangkan dengan 1 jika berada dalam paruh pertama dari alfabet dan 2 jika pada paruh kedua. Jadi a, e, dan i akan dipasangkan dengan 1 sedangkan o dan u akan dipasangkan dengan 2.
Gambar 2.46 Gambar 2.45
FUNGSI SEBAGAI DIGRAM PANAH Karena fungsi adalah contoh dari relasi, maka fungsi dapat direpresentasikan sebagai diagram panah ketika himpunan A dan B adalah himpunan terbatas dengan sedikit anggota. Diagram panah yang berhubungan dengan fungsi pada Gambar 2.46 28
ini ditunjukkan pada Gambar 2.47. Untuk menjadi suatu fungsi, tepat satu panah yang bisa keluar dari setiap anggota di domain dan mengarah ke salah satu anggota pada kodomain. Namun, tidak semua elemen pada kodomain yang bisa dikenai panah. Misalnya, dalam fungsi yang ditampilkan pada Gambar 2.46, jika B diubah menjadi {1, 2, 3, 4, 5,. . },. bilangan 6, 7, 8,. . . . tidak akan terkena panah. Di sini kodomain dari fungsi akan menjadi himpunan bilangan dan rangenya adalah himpunan {1, 2, 3, 4, 5}.
Gambar 2.47
Gambar 2.48
FUNGSI SEBAGAI TABEL Fungsi pada Gambar 2.46, di mana B adalah himpunan {1, 2, 3, 4, 5}, juga dapat dinyatakan melalui tabel (Gambar 2.48). Perhatikan bagaimana ketika seseorang menyatakan fungsi dengan cara tersebut, itu tersirat bahwa kodomain dan range adalah sama, yaitu B. FUNGSI SEBAGAI MESIN Suatu cara dinamis untuk memvisualisasikan konsep fungsi adalah melalui penggunaan mesin. "Input"-nya adalah anggota domain dan "output"-nya adalah anggota range. Mesin fungsi dalam Gambar
Gambar 2.49
2.49 membutuhkan bilangan untuk dimasukkan ke dalam mesin, bagian yang berbentuk segiempat, dan kemudian outputnya juga pada bagian tersebut. Misalnya, jika 3 adalah input, maka output yang dihasilkan adalah 9. Dalam kasus ini, 3 merupakan anggota domain sedangkan 9 merupakan anggota range. Gambar 2.50
29
FUNGSI SEBAGAI RUMUS Sebagai contoh, rumus untuk menentukan luas lingkaran adalah L = πr2 , dimana r adalah jari-jari, kita terkadang menuliskan rumus ini dengan L(r) = πr2. Biasanya rumus ini digunakan untuk menentukan suatu fungsi ketika domainnya beranggota tak hingga banyak. Pada rumus L(r) = πr2, kita punya domain dari fungsi luas tersebut adalah banyak bilangan yang digunakan untuk menghitung luasnya, tidak hanya untuk bilangan bulat: A(1) = π, A(2) = 4π, A(0,5) = (0,5)2π = 0,25π, dan sebagainya. FUNGSI SEBAGAI TRANSFORMASI GEOMETRI Bagian tertentu dari geometri dapat dipelajari dengan lebih mudah melalui fungsi. Sebagai contoh, bangun geometri dapat digeser, diputar, dicerminkan untuk menghasilkan bentuk lain (gambar 2.51). Seperti itu transformasi dapat dipandang sebagai suatu fungsi yang memasangkan masing-masing titik pada suatu bidang ke titik tertentu pada bidang tersebut. Transformasi geometri tentangt bidang akan dipelajari pada BAB 16.
DIGESER
DIPUTAR
DICERMINKAN
Gambar 2.51
30
