BAB III FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Pada bagian ini kita selalu mempertimbangkan fungsi elementer yang dipelajari dalam kalkulus dan mendefinisikan hubungannya dengan fungsi dari suatu variabel kompleks. Khususnya, kita definisikan fungsi analitik dari suatu variabel kompleks z untuk mereduksi kedalam fungsi kalkulus z = x + i0. Kita mulai mendefinisikan fungsi eksponen kompleks dan kita gunakan untuk pengembangan selanjutnya. 23. FUNGSI EKSPONENSIAL Jika suatu fungsi f dari suatu variabel kompleks z = x + iy adalah direduksi kedalam keluarga fungsi eksponensial dalam kalkulus dimana z adalah real, kita harus mengingat kembali bahwa f(x+i0) = ex
(1)
untuk setiap bilangan real x. Karena (ex)’ = ex untuk setiap bilangan real x, juga asalnya fungsi tersebut memenuhi kondisi berikut: (2)
f adalah terdiferensialkan dimana-mana (entire) dan f’(z) = f(z) untuk setiap z.
Perhatikan kembali contoh 1 pada bagian 18, fungsi f(z) = ex(cosy + isiny), Dimana y dihitung dalam radian, fungsi tersebut terdiferensialkan dimana-mana dan f’(z) = f(z). Juga kondisi (1) dan (2) jelas dipenuhi fungsi ini. Fungsi ini dapat ditunjukkan bahwa memenuhi kondisi (1) dan (2) (lihat soal nomor 15); dan kita tulis f(z) = ez. Kadang-kadang, untuk memudahkan kita gunakan notasi exp z untuk ez. Fungsi eksponensial dari analisis kompleks adalah didefinisikan untuk semua z dengan persamaan (3)
ez = ex(cos y + i sin y)
dimana z = x + iy. Fungsi ini direduksi dari fungsi eksponensial dalam kalkulus dengan y = 0 adalah entire dan, (4)
d z e ez , dz
82
adalah juga entire dalam bidang z. Dalam kalkulus, nilai
n
e akar pangkat n dari e adalah positif, demikian juga ex
dimana x = 1/n ( n = 2, 3, …). Selanjutnya, nilai fungsi eksponensial kompleks ez sama dengan
n
e asalkan z = 1/n ( n = 2, 3, …).
Jika z bagian imajiner murni i, maka dari persamaan (3) ei = cos + i sin . Rumus ini disebut rumus Euler yang telah dijelaskan pada BAB I bagian 5. Pendefinisian ei yang diberikan digunakan pada persamaan (3) dan ez secara umum dapat dituliskan sebagai berikut ez = exeiy.
(5)
Persamaan (5) dapat ditulis menjadi e z ei , dimana = ex dan y .
(6)
Bilangan = ex adalah positif untuk semua x, dan dari persamaan (6), modulus ez adalah ex dan y merupakan suatu argumen dari ez., yakni (7)
ez ex
dan arg(ez) = y + 2n (n = 0, 1, 2, 3, …)
Sebagai catatan, e z selalu positif, (8)
ez 0 untuk semua bilangan kompleks z.
Persamaan (5) untuk ez dapat digunakan untuk menurunkan sifat fungsi eksponensial kompleks berikut. (9)
(exp z1)( exp z2) = exp (z1+z2).
Untuk membuktikan sifat ini, tulis z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2. Maka
(exp z1)( exp z2) = e x1 eiy1 e x 2 eiy 2 e x1 e x2 eiy1 eiy 2 . Karena x1 dan x2 keduanya bilangan real, dan dari bab 1 bagian 6, eiy1 eiy 2 ei y1 y 2 , maka (exp z1)( exp z2) = e x1 x 2 ei y1 y 2 ; dan juga
83
(x1 + x2) + i(y1 + y2) = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = z1 + z2. Ini berarti sifat pada persamaan (9) telah ditunjukkan. Dari sifat (9) dapat diturunkan pula sifat exp(z1 – z2) exp z2 = exp z1, atau exp z1 exp z1 z2 exp z 2
(10)
Dari (10) diperoleh e0 = 1 dan
1 = e-z. Sifat-sifat yang lain dari fungsi eksponensial z e
adalah (n = 0, 1, 2, …), dan
(11)
(exp z)n = exp(nz)
(12)
e z 2i e z e 2i =ez untuk semua z
Persamaan (12) mempunyai arti bahwa fungsi ez adalah fungsi periodik dengan periodik 2i. Contoh. Carilah semua nilai z yang memenuhi ez = -1.
(13)
Persamaan (13) dapat ditulis menjadi exeiy = 1ei. Maka dari bagian 5, bahwa dua bilangan kompleks adalah sama dalam bentuk eksponensial , jika ex = 1 dan y = + 2n (n = 0, 1, 2, …). Jadi, x = 0, dan diperoleh (14)
z = (2n + 1)i, (n = 0, 1, 2, …).
LATIHAN 1. Tunjukan bahwa 2 i (a). exp(2 3i) = - e2; (b). exp 4
e 1 i ; (c). exp(z+i) = -exp(z) 2
2. Pada saat kapan fungsi 2z2 – 3 – zez + e-z entire? 3. Buktikan bahwa fungsi exp z tidak analitik dimana-mana. 4. Tunjukkan dalam dua cara bahwa fungsi exp(z2) adalah entire, Tentukan pula turunannya.
84
5. Tulis exp2 z i dan expiz 2 dan bentuk x dan y. Tunjukkan pula bahwa
exp2 z i exp iz 2 e 2 x e 2 xy
.
6. Tunjukkan bahwa exp z 2 exp z
2
7. Buktikan bahwa exp 2 z <1 jika dan hanya jika Re z > 0. 8. Carilah semua nialai z sedemikian sehingga (a). ez = -2;
(b). ez = 1 +
3 i;
(c).
exp(2z-1) = 1.
9. Tunjukkan bahwa expiz exp i z jika dan hanya jika z = n, (n = 0, 1, 2, …). 10. (a). Tunjukan bahwa jika ez real, maka Im(z) = n (n = 0, 1, 2, …) (b). Jika ez imajiner murni, maka tentukan batasan nilai pada z. 11. Tentukan nilai dari exp(x+iy), jika (a) x menuju - , (b) y menuju . 1 12. Tulis Re e z dalam bentuk x dan y. Bagaimana fungsi ini agar harmonik pada
setiap domain yang tidak memuat titik asal? 13. Misalkan fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain D. Pada saat kapan fungsi U(x,y) = eu(x,y)cos v(x,y),
V(x,y) = eu(x,y)sin v(x,y)
Harmonik di D dan bagaimana harmonik konjugate V(x,y) dari U(x,y)? 14. Buktikan kesamaan (exp z)n = exp(nz) (n = 0, 1, 2, …) 24. FUNGSI TRIGONOMETRI Dari rumus Euler pada bagian 5, telah diketahui bahwa eix = cos x + isin x, e-ix = cos x - isin x untuk setiap bilangan real x, dan dari persamaan ini diperoleh eix - e-ix = 2isin x
, eix + e-ix e-ix = 2cos x.
85
Definisi di atas yang mendasari pendefinisian fungsi kosinus dan sinus dari suatu variabel kompleks z, yakni: (1)
sin z
eiz e iz , 2i
cos z
eiz e iz 2
Fungsi ini adalah entire karena mereka adalah kombinasi linier (latihan 3, bagian 22) dari eiz dan e-iz. Dari turunan fungsi eksponensial, turunan dari (1) adalah (2)
d sin z cos z , dz
d cos z sin z . dz
Dari definisi (1) mudah untuk ditunjukkan bahwa : (3)
sin (-z) = -sin z dan cos (-z) = cos z.
Contoh. Tunjukkan bahwa (4)
2sin z1 cos z2 = sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2)
Dengan menggunakan definisi (1), diperoleh bahwa 2sin z1 cos z2
eiz1 eiz 2 = 2 2i
eiz1 eiz 2 2
ei z1 z 2 e i z1 z 2 ei z1 z 2 e i z1 z 2 = 2 i 2 i = sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2). Sifat-sifat yang lain dari fungsi trigonometri adalah sebagai berikut: (5)
sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
(6)
cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2
(7)
sin2 z + cos2 z = 1
(8)
sin 2z = 2sin z cos z,
cos 2z = cos2z – sin2z
(9)
sin z =cos z, 2
sin z =-cos z 2
Jika y suatu bilangan real, maka dari definisi (1) dan definisi fungsi hiperbolik sinh y
e y e y , 2
cosh z
dalam kalkulus, diperoleh hubungan
86
e y e y 2
(10)
sin(iy) = i sinh y,
dan
cos(iy) = cosh y.
Dari persamaan (10) diperoleh bagian real dan bagian imajiner dari fungsi sin z dan cosz, dengan memisalkan z1 = x dan z2 = iy , dan persamaan (5) dan (6), diperoleh (11)
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
(12)
cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y,
dimana z = x + iy. Suatu sifat yang paling penting dari sinz dan cosz yang diturunkan dari persamaan (11) dan (12) adalah fungsi periodik masing-masing, yakni : (13)
sin (z+2) = sin z,
sin (z + ) = - sin z
(14)
cos (z+2) = cos z,
cos (z + ) = - cos z
Juga (lihat latihan 7) 2
(15)
sin z = sin2x + sinh2y,
(16)
cos z = cos2x + cosh2y.
2
Persamaan (15) dan (16) memberikan gambaran bahwa sin z dan cos z tidak terbatas dalam nilai mutlak, walaupun nilai mutlak dari sin x dan cos x kurang dari atau sama dengan satu. Pembuat nol dari fungsi f(z) adalah suatu bilangan z0 sedemikian sehingga f(z0) = 0. Jika sin z merupakan fungsi sinus dalam kalkulus dimana z adalah bilangan real, maka sin z = 0 jika z = n, (n = 0, 1, 2, …). Demikian juga jika sin z = 0, maka dari (15), diperoleh sin2x + sinh2y = 0 jadi, sin x = 0 dan sinh y = 0. Ini berarti x = n (n = 0, 1, 2, …) dan y = 0. Dari sini diperoleh suatu sifat, bahwa (17)
sin z = 0 jika dan hanya jika z = n (n = 0, 1, 2, …).
Karena dari persamaan (9), -sin z = cos z, maka 2 (18)
cos z = 0 jika dan hanya jika z =
87
+ n (n = 0, 1, 2, …) 2
Jadi, dalam hal ini pembuat nol dari sin z dan cos z adalah bilangan real. Empat fungsi trigonometri lain yang diturunkan dari fungsi sinus dan cosinus adalah sebagai berikut : sin z , cos z 1 sec z , cos z
cos z sin z 1 csc z sin z
tan z
(19)
cot z
Fungsi tan z dan sec z adalah fungsi analitik dimana-mana kecuali dititik singularitasnya (bagian 20), yaitu z = (/2) + n (n = 0, 1, 2, …), dan ini merupakan pembuat nol dari fungsi cos z. Demikian juga fungsi cot z dan csc z mempunyai titik singularitas di pembuat nol sin z, yakni z = n (n = 0, 1, 2, …). Selanjutnya, dengan mendeferensialkan bahagian kanan dari persamaan (19), diperoleh rumus diferensial sebagai berikut : d tan z sec 2 z , dz d sec z sec z tan z , dz
(20)
d cot z csc 2 z dz d csc z csc z cot z dz
Untuk menyelidiki sifat periodik dari fungsi trigonometri (19) dapat diselidiki dari persamaan (13) dan (14). Sebagai contoh, tan(z + ) = tan z.
(21) LATIHAN 1.
(a). Uraikan secara rinci persamaan (2) dalam bagian 24 untuk menentukan turunan sin z dan cos z. (b). Misalkan fungsi f(z) adalah analitik dalam domain D. Pada saat kapan fungsi sin f(z) dan cos f(z) analitik dalam domain D. Juga dengan menuliskan w = f(z), maka tunjukkan bahwa d dw d dw , dan sin w cos w cos w sin w dz dz dz dz
88
2.
Tunjukkan bahwa eiz = cos z + i sin z untuk setiap bilangan kompleks z.
3.
Tunjukkan bahwa setiap rumus trigonometri pada persamaan (7), (8), dan (9) bagian 24 diturunkan dari persamaan (5) dan (6) bagian 24.
4.
Gunakan sifat pada persamaan (7) bagian 24 untuk menunjukkan (a). 1 + tan2z = sec2z
(b). 1 + cot2z = csc2z
5.
Turunkan rumus differensial pada persamaan (20) bagian 24.
6.
Dalam bagian 24, gunakan persamaan (11) dan (12) untuk menurukan persamaan 2
2
(15) dan (16) dari sin z dan cos z . 7.
Tunjukkan ketaksamaan berikut ini dengan menggunakan persamaan (15) dan (16) 2
2
dari sin z dan cos z ,
8.
(a). sin z sin x
(b). cos z cos x
(c). sinh y sin z cosh y
(c). sinh y cos z cosh y
a. Gunakan definisi (1) dalam bagian 24 dari sin z dan cos z untuk menunjukkan 2sin (z1 + z2) sin (z1 - z2) = cos 2z2 -cos 2z1 b. Dengan menggunakan bagian a, tunjukkan bahwa, jika cos z1 = cos z2 maka paling sedikit salah satu dari bilangan z1 - z2 dan z1 + z2 merupkan kelipatan dari 2.
9.
Tunjukkan bahwa fungsi sin z dan cos z tidak analitik dimana-mana untuk z.
10.
Gunakan sifat refleksi bagian 21 untuk menunjukkan bahwa, untuk semua z a. sin z sin z
11.
b. cos z cos z
Dengan menggunakan persamaan (11) dan (12) bagian 24, tunjukkan secara langsung soal nomor 10.
12.
Tunjukkan bahwa
(b). sin iz sin i z
(a). cosiz cos i z untuk semua z jika dan hanya jika z = ni (n = 0, 1, 2, …)
89
13.
Carilah semua nilai z yang memenuhi dari persamaan sinz = cosh4 dengan menyamakan bagian real dan bagian imajiner sinz dan cosh4.
14.
Carilah semua nilai yang memenuhi persamaan cos z = 2.
25. FUNGSI HIPERBOLIK Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik dari variabel kompleks didefinisikan melalui pendefisian mereka pada variabel real, yakni, (1)
sinh z =
e z e z , 2
cosh z =
e z e z . 2
Karena ez dan e-z adalah entire, maka dari persamaan (1) sinh z dan cosh z adalah entire. Lebih dari itu, (2)
d sinh z cosh z , dz
d cosh z sinh z . dz
Karena (1) didefinisikan melalui fungsi eksponensial dan definisi bagian 24 sin z =
eiz e iz , 2i
cos z =
eiz e iz 2
dari sin z dan cos z, maka fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik mempunyai hubungan dengan fungsi sinus dan cosinus, yakni: (3)
-i sinh (iz) = sin z,
cosh (iz) = cos z
(4)
-i sin (iz) = sinh z,
cos (iz) = cosh z
Disamping sifat-sifat di atas, fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik mempunyai sifat sebagai berikut : (5) (6)
sinh (-z) = -sinh z,
cosh (-z) = cosh z 2
2
cosh z – sinh z = 1
(7)
sinh (z1 + z2) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2
(8)
cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2
(9)
sinh z = sinh x cos y + icosh x sin y
(10)
cosh z = cosh x cos y + isinh x sin y
90
2
(11)
sinh z = sinh2x + sin2y
(12)
cosh z = sinh2x + cos2y
2
dimana z = x + iy. Untuk membuktikan sifat-sifat di atas dapat dilakukan dengan menggunakan definisi (1) dan sifat-sifat lain yang telah dibuktikan. Sebagai contoh akan dibuktikan persamaan (11), dan selain itu dijadikan sebagai latihan. 2
Contoh. Buktikan bahwa sinh z = sinh2x + sin2y, dengan z = x + iy. Dari persamaan (4) sinh z sin iz , yakni 2
(13)
2
sinh z sin y ix , 2
2
dimana z = x + iy. Tetapi dari persamaan (15) bagian 24, diketahui bahwa sin x iy sin 2 x sinh 2 y , akibatnya 2
sin y ix sin 2 y sinh 2 x = sinh2x + sin2y, 2
ini berarti persamaan (11) telah dibuktikan. Dari sifat periodik sin z dan cos z, dan hubungannya dengan persamaan (4), maka fungsi sinh z dan cosh z adalah fungsi periodik dengan periode 2i. Persamaan (4) memberikan hasil bahwa (14)
sinh z = 0 jika dan hanya jika z = ni (n = 0, 1, 2, …)
dan (15)
cosh z = 0 jika dan hanya jika z = n i (n = 0, 1, 2, …). 2
Tangen hiperbolik dari z didefinisikan dengan persamaan (16)
tanh z
sinh z cosh z
dan analitik disetiap domain asalkan cosh z 0. Sedangkan fungsi cot h, sec h, dan csc h didefisikan sebagai berikut :
coth z
cosh z sinh z
sec hz
91
1 cosh z
csc hz
1 . sinh z
Selanjutnya, turunan dari fungsi tanhz, cothz, sechz, dan cschz diperoleh dari sifat-sifat turunan seperti pada fungsi hiperbolik yang bernilai real, dan diperoleh : (17)
d tanh z sec h 2 z , dz
d coth z csc h 2 z dz
(18)
d sec hz sec hz tanh z , dz
d csc hz csc hz coth z dz
LATIHAN 1. Buktikan turunan dari sinh z dan cosh z pada persamaan (2) bagian 25. 2.
Buktikan bahwa sinh2z = 2sinh z cosh z dengan menggunakan : a. definisi (1), bagian 25, dari sinh z dan cosh z. b. dari sifat sin 2z = 2sin z cos z
3. Tunjukkan bahwa persamaan (6) dan (8) bagian 25 diturunkan dari persamaan (7) dan (6) bagian 24. 4. Tulis sinhz = sinh(x + iy) dan coshz = cosh(x+iy), tunjukkan persamaan (9) dan (10) bagian 25 dengan menggunakan persamaan (7) dan (8) bagian 25. 5. Turunkan persamaan (12) bagian 25 untuk cosh z
2
6. Tunjukkan bahwa sinh x cosh z cosh x dengan menggunakan (a) persamaan (12) bagian 25; (b) persamaan dalam latihan 8b bagian 24. 7. Tunjukkan bahwa (a). sinh(z + i) = -sinhz
(b). cosh(z + i) = -coshz
(c). tanh (z + i) = tanhz.
8. Tunjukkan secara lengkap pembuat nol dari fungsi sinhz dan coshz yang dinyatakan dalam persamaan (14) dan (15) bagian 25. 9. Gunakan hasil pada soal nomor 8 untuk menuntukan pembuat nol dan titik singularitas dari fungsi tangen hiperbolik. 10. Turunkan rumus differensial persamaan (17) bagian 25. 11. Gunakan prinsip refleksi bagian 22 untuk menunjukkan bahwa, untuk setiap z, (a). sinh z sinh z
(b). cosh z cosh z
92
12. Gunakan hasil pada soal nomor 11 untuk menunjukkan bahwa tanh z tanh z dititik-titik coshz 0. 13. Kapan fungsi sinh(ez) entire? Tulis bagian real melalui fungsi dari x dan y, dan keadaan bagaimana fungsi tersebut harus harmonik dimana-mana. 14. Carilah semua nilai z yang memenuhi persamaan
1 2
(a). cos z =
(b). sinh z = i
(c). cosh z = -2.
26. FUNGSI LOGARITMA DAN CABANG-CABANGNYA Salah satu motivasi untuk mendefinisikan fungsi logaritma adalah mencari penyelesaian dari persamaan (1)
ew = z
untuk w, dimana z adalah suatu bilangan kompleks tak nol. Dari sini, kita tulis z rei
dan w = u + iv, sehingga persamaan (1) menjadi eu eiv re i .
Maka dari kesamaan dari dua bilangan kompleks dalam eksponensial, diperoleh eu = r dan v +2n, dimana n suatu bilangan bulat. Karena persamaan eu = r mengakibatkan u = ln r, dan persamaan (1) dipenuhi jika dan hanya jika w mempunyai satu dari nilai w = ln r + i ( + 2n) (n = 0, 1, 2, …). Jadi, jika kita tulis (2)
log z = ln r + i ( + 2n) (n = 0, 1, 2, …),
kita mempunyai hubungan sederhana (3)
elogz = z.
Persamaan (2) memberikan arti bahwa fungsi logaritma dari variabel kompleks z =rei tak nol merupakan fungsi bernilai banyak.
93
Jika z bilangan kompleks tak nol, dengan bentuk eksponensial z =rei, maka mempunyai satu nilai dari nilai = + 2n (n = 0, 1, 2, …), dimana = Arg z. Persmaan (2) dapat ditulis menjadi (4)
log z = ln r + i,
Jadi, (5)
log z = ln z + i arg z (z 0). Perlu ditekankan bahwa tidak selalu benar bahwa bagian kiri dari persamaan (3)
dengan urutan kebalikan dari fungsi logaritma dan eksponensial adalah sama dengan z. Hal ini disebabkan oleh karena log (ez) mempunyai sejumlah tak hingga nilai untuk setiap z yang diberikan. Tepatnya, dalam bagian 23, ez ex
dan
arg (ez) = y + 2n (n = 0, 1, 2, …)
dimana z = x + iy, dan dari persamaan (5) diperoleh log (ez) = ln e z + i arg ez = x + i(y + 2n), atau (6)
log (ez) = z + i arg ez (n = 0, 1, 2, …) Nilai utama dari log z adalah nilai yang termuat dalam persamaan (2) dimana n =
0 dan dinyatakan dengan Log z. Jadi (7)
Log z = ln r + i ,
atau (8)
Log z = ln z + i Arg z (z 0).
Sebagai catatan, log z = Log z + i2n (n = 0, 1, 2, …). Fungsi Log z adalah jelas terdefinisi dengan baik dan mempunyai nilai tunggal pada saat z 0. Hal ini diturunkan dari logaitma asli dalam kalkulus dimana z adalah bilangan positif z = r. Dari sini, penulisan z = rei0 adalah tunggal, dalam persamaan (7) Log z = ln r dan akibatnya Log r = ln r. Contoh. Dari persamaan (2), diperoleh
94
log 1 = 2ni (n = 0, 1, 2, …) dan log (-1) = (2n + 1)i (n = 0, 1, 2, …). Khususnya, Log 1 = 0 dan Log (-1) = i. Jika kita memisalkan sembarang bilangan real dan nilai pada persamaan (4) dibatasi pada interval < < + 2, maka fungsi (9)
(r>0, < < + 2),
log z = ln r + i
dengan komponen-komponennnya (10)
u(r,) = ln r dan v(r,) = ,
adalah bernilai tunggal dan kontinu dalam domain yang diberikan (lihat gambar 25). Sebagai catatan, jika fungsi pada persamaan (9) kita definisikan pada sinar = , maka fungsi tersebut tidak kontinu disana. Jika z titik pada sinar, maka terdapat titik-titik sembarang yang dekat ke z yang memberikan nilai dari v dekat dengan dan juga titiktitik sedemikian sehingga v dekat dengan + 2. y
x
0 Gambar 25
Fungsi (9) tidak hanya kontinu tetapi juga analitik dalam domain r > 0, < < + 2 dimana turunan parsial orde pertama dari u dan v adalah kontinu dan memenuhi bentuk polar persaamaan C-R dari bagian 19. 1 ur v , r
1 u vr r
95
Juga dari bagian 19, d 1 1 log z e i ur ivr e i i 0 i ; dz r re
Jadi, (11)
d 1 log z dz z
z
0, arg z 2 .
d 1 Logz dz z
z 0, Argz .
Khususnya, (12)
Suatu cabang dari fungsi bernilai banyak f adalah nilai tunggal F yang analitik dalam suatu domain di setiap titik z yang memberikan satu nilai F(z) dari nilai-nilai f(z). Dari sifat keanalitikannya, jelas bahwa kita dapat memilih secara acak dari nilai f. Untuk setiap nilai tetap, fungsi bernilai tunggal pada persamaan (9) adalah suatu cabang dari fungsi bernilai banyak persamaan (4). Fungsi (13)
Log z = ln r + i
z 0,
adalah disebut cabang utama. Suatu potongan cabang adalah bagian dari garis atau kurva yang telah dijelaskan pada pendahuluan pendefisian suatu cabang F dari fungsi bernilai banyak f. Titik pada potongan cabang untuk F adalah titik singular (bagian 20) dari F, dan setiap titik adalah irisan dari semua potongan cabang dari f dan disebut titik cabang. Titik asal dan sinar = dibuat dari potongan cabang untuk cabang (9) dari fungsi logaritma. Potongan cabang untuk cabang utama (13) terdiri dari titik asal dan sinar = . Titik asal merupakan titik cabang dari fungsi logaritma yang bernilai banyak. 27. SIFAT-SIFAT FUNGSI LOGARITMA Hubungan persamaan (3) dan (6) dalam bagian 26, semua sifat logaritma dari bilangan real positif di bawah kedalam sifat analisis kompleks, dengan sedikit modifikasi. Dalam bagian ini akan diturunkan beberapa sifat.
96
Jika z1 dan z2 menyatakan dua bilangan kompleks tak nol, maka jelas dapat ditunjukkan bahwa (1)
log (z1z2) = log z1 + log z2.
Pernyataan ini, diartikan sama dengan fungsi bernilai banyak pada pernyataan (2)
arg (z1z2) = arg z1 + arg z2
yang telah dijelaskan pada bagian 6. Jadi, jika dua nilai dari tiga logaritma ditetapkan, maka terdapat suatu nilai dari logaritma keempat sedemikian sehingga pernyataan (1) benar. Untuk menunjukkan persamaan (1) dapat digunakan persamaan (2) sebagai dasar pembuktian. Karena z1 z2 z1 z2 dan nilai modulus adalah semua bilangan real positif, serta dari definisi logaritma dalam kalkulus bahwa
ln z1 z2 ln z1 ln z2 juga dari persamaan (2), diperoleh bahwa (3)
ln z1 z2 i arg z1 z 2 ln z1 i arg z1 ln z2 i arg z2 .
Persamaan (3) menunjukkan bahwa persamaan (1) telah dibuktikan. Dengan cara yang serupa dapat pula ditunjukkan bahwa (4)
log
z1 = log z1 - log z2 z2
Contoh. Ilustrikan persaman (1) dengan nilai z1 = z2 = -1. Jika nilai log z1 = i dan log z2 = -i adalah ditentukan, maka persamaan (1) adalah jelas dipenuhi jika nilai log (z1z2) = 0 adalah dipilih. Juga dapat diselidiki jika nilai z1 = z2 = -1, bahwa Log (z1z2) = 0
Log z1 + Log z2 = 2i.
Jadi pernyataan pada persamaan (1) tidak selalu benar jika log diganti dengan Log. Demikian pula untuk persamaan (4). Jika z suatu bilangan kompleks tak nol, maka (5)
zn = enlogz
(n = 0, 1, 2, …)
97
untuk setiap nilai dari log z ditentukan. Jika n = 1, maka telah dijelaskan pada persamaan (3) bagian 28. dan persamaan (5) jelas dipenuhi. Jika kita menuliskan z = rei pada persamaan (5) maka kedua ruas akan diperoleh rnein. Juga benar bahwa, jika z 0, maka 1 1 z n exp log z , (n = 1, 2, …) n
(6)
Bentuk pada bagian kanan persamaan (6) memberikan n nilai yang berbeda, dan nilainilainya adalah merupakan nilai dari akar pangkat n dari z. Untuk membuktikan ini, tulis z = r exp (i ), dimana adalah nilai utama dari arg z. Maka dari persamaan (2) bagian (26), untuk log z, diperoleh i 2k 1 1 exp log z exp ln r , k = = 0, 1, 2, …. Jadi, n n n
2k 1 exp log z n r expi , (k = 0, 1, 2, …). n n n
(7)
Karena exp(i2k/n) mempunyai nilai yang berbeda jika k = 0, 1, 2, …, n-1, bagian kanan persamaan (7) hanya mempunyai n nilai. Jadi bagian kanan persamaan (7) 1
merupakan akar pangkat n dari z (bagian 7), dan juga dapat ditulis z n . Untuk menunjukan persamaan (6) jika bilangan bulat negatif dijadikan sebagai latihan. LATIHAN 1.
Tunjukkan bahwa (a). Log ei 1
2.
i 2
(b). Log 1 i
1 ln 2 i 2 4
Tunjukkan bahwa, jika n = 0, 1, 2, …, maka:
1 1 (a). log e = 1 + 2ni (b). log i = 2n i (c). log 1 3i ln 2 2 n i 2 3 3.
Tunjukkan bahwa (a) Log(1+i)2 = 2 Log(1+i)
(b). Log (-1 + i)2 2 Log(-1 + i).
98
4.
Tunjukkan bahwa
9 (a). log (i2) = 2 log i jika log z = ln r + i r 0, ; 4 4 3 11 (b). log (i2) 2 log i jika log z = ln r + i r 0, 4 4
5.
Tunjukkan bahwa (a). Himpunan dari nilai log i 2 adalah n 14 i (0, 1, 2, …) dan 1
log i 2 = 12 log i . 1
(b). Himpunan nilai dari log (i2) tidak sama dengan himpunan dari 2 log i. 6.
Diberikan cabang log z = ln r + i (r>0, < < + 2) dari fungsi logaritma adalah analitik disetiap titik z pada domain yang diberikan. Carilah turunannya dengan mendiferensialkan kedua sisi dari persamaan exp(logz) = z bagian 26 dan aturan rantai.
7.
Carilah semua nilai yang memenuhi persamaan log z = (/2)i.
8.
Misalkan bahwa titik z terletak dalam strip (bidang) < y< + 2. Tunjukkan bahwa jika cabang log z = ln r + i (r>0, < y< + 2) dari fungsi logaritma, maka log (ez) = z.
9.
Tunjukkan bahwa, jika Re z1>0 dan Re z2>0, maka Log (z1z2) = Log z1 + Log z2
10.
Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan kompleks tak nol z1 dan z2 Log (z1z2) = Log z1 + Log z2 + 2Ni, dimana N mempunyai satu nilai dari 0, .
11.
Turunkan persamaan (4) bagian 27, untuk log (z1/z2) (a). dengan menggunakan kenyataan bahwa arg (z1/z2) = arg z1 – arg z2 (b). pertama tunjukkan bahwa log (1/z) = - log z (z0), selanjutnya log (1/z) dan -log z mempunyai himpunan nilai yang sama, dan terakhir gunakan persmaan (1) bagian 27 untuk log (z1z2).
12.
Dengan memilih nilai-nilai tak nol dari z1 dan z2, tunjukkan bahwa persamaan (4) dalam bagian 27 untuk log (z1/z2) tidak selalu benar jika log diganti dengan Log.
99
13.
Tunjukkan bahwa (a). fungsi Log (z-i) adalah analitik dimana-mana kecuali pada y = 1 (x0); (b). fungsi
Log z 4 1 i adalah analitik dimana-mana kecuali dititik-titik dan 2 z i 2
pada x -4 untuk sumbu real. 14.
Tunjukkan dalam dua cara bahwa fungsi ln (x2 + y2) adalah harmonik dalam setiap domain yang tidak memuat titik asal.
15.
Tunjukkan bahwa Relog z 1
1 2 ln x 1 y 2 (z1). 2
Apakah fungsi ini memenuhi persamaan Laplace jika z 1? 28. EKSPONEN KOMPLEKS Jika z 0 dan eksponen c adalah suatu bilangan kompleks, maka fungsi zc didefinisikan dengan persamaan zc = ec log z
(1)
dimana log z menyatakan fungsi logaritma bernilai banyak. Persamaan (1) merupakan definisi dari zc dan ini telah dijelaskan dalam bagian 27 ketika c = n (n = 0, 1, 2, …) dan c =
1 n
(n = 0, 1, 2, …). Jadi pendefinisian zc berdasarkan pada pemilihan c
seperti di atas. Contoh. Pangkat dari z secara umum bernilai banyak, sebagai ilustrasi dapat dituliskan 1 i 2i exp 2i log i exp 2i 2n i exp4n 1 2 dimana n = 0, 1, 2, …. Sebagai catatan dari sifat fungsi eksponensial adalah 1 1 e z , demikian juga dua himpunan dari bilangan c dan z c adalah sama. Juga z e z
kita dapat menuliskan
100
1 z c c z
(2) dan khususnya,
1 = exp4n 1 (n = 0, 1, 2, …). i 2i
Jika z = rei dan suatu bilangan real , cabang (r>0, < < + 2)
log z = ln r + i
dari fungsi logaritma adalah fungsi bernilai tunggal dan analitik dalam domain yang diberikan. Jika cabang di atas digunakan, maka fungsi zc = exp (c log z) adalah fungsi bernilai tunggal dan analitik dalam domain yang sama. Turunan dari suatu cabang dari zc ada dan diperoleh d c d c expc log z z expc log z expc log z c c expc 1log z dz dz z explog z
bentuk terakhir dari penurunan di atas adalah fungsi bernilai tunggal czc-1, jika didefinisikan pada domain r>0, < < + 2. Jadi (3)
z
d c z cz c 1 dz
0 , α arg z α 2π .
Nilai utama dari zc diperoleh jika log z diganti dengan Log z dalam definisi (1): (4)
zc = ec Log z
Persamaan (4) juga mendefinisikan cabang utama dari fungsi zc pada domain
z
0 , Argz π .
Contoh 2. Nilai utama dari (-i)i adalah
expiLog i expi i exp . 2 2 2
Contoh 3. Cabang utama dari z 3 dapat ditulis
2 2 2 2 exp Logz exp ln r i 3 r 2 exp i . 3 3 3 3
101
Adalah analitik dalam domain r 0 , π . Juga dapat ditunjukkan secara langsung dengan menggunakan teorema dalam bagian 19. Dari definisi (1), fungsi eksponensial dengan basis c, dimana c adalah konstanta kompleks tak nol, dapat ditulis cz = ezlogc.
(5)
Jika nilai dari log z adalah spesifik, cz adalah fungsi entire dari z. Kenyataannya,
d z d z log c c e e z log c log c ; dz dz dan ini menunjukkan bahwa
d z c c z log c dz
(6)
29. INVERS DARI FUNGSI TRIGONOMETRI DAN HIPERBOLIK Invers dari fungsi trigonometri dan hiperbolik dapat dijelaskan dalam bentuk logaritma. Untuk mendefinisikan fungsi invers dari sinus sin-1z, kita tulis w = sin-1z dimana z = sin w. Jadi w = sin-1z, jika z
eiw e iw . 2i
Persamaan ini kita rubah dalam bentuk persaman kuadrat eiw, yakni: (eiw)2 – 2iz (eiw )– 1 = 0. Penyelesaian eiw dapat dilihat pada latihan 8(a) bagian 7. Dan diperoleh (1)
1
eiw iz 1 z 2 2 ,
dimana 1 z 2 2 adalah fungsi yang mempunyai dua nilai dari z. Jika kedua ruas pada 1
persamaan (1) dilogaritmakan dan diketahui bahwa w = sin-1z, maka diperoleh (2)
sin 1 z i log iz 1 z 2 2 . 1
102
Contoh berikut mengilustrasikan bahwa sin-1 z adalah fungsi bernilai banyak dengan sejumlah tak berhingga nilai untuk setiap titik z. Contoh. Dari persamaan (2) diketahui bahwa
sin 1 i i log 1 2 .
Tetapi
log 1 2 ln 1 2 2ni (n = 0, 1, 2, …) dan
log 1 2 ln 2 1 2n 1i (n = 0, 1, 2, …) Karena
maka bilangan,
ln 2 1 ln
1 ln 1 2 , 1 2
1n ln1
2 ni (n = 0, 1, 2, …)
merupakan himpunan nilai dari log 1 2 . Jadi sin 1 i n i 1
n 1
ln 1 2
(n = 0, 1, 2, …).
Dengan teknik seperti yang digunakan pada persamaan (2) untuk sin-1z, dapat ditunjukkan bahwa (3)
cos 1 z i log z i 1 z 2 2 1
dan juga (4)
tan 1 z
i iz log 2 iz
Fungsi cos-1z dan tan-1z adalah juga bernilai banyak. Jika kita amati cabang dari akar kuadrat dan fungsi logaritma yang digunakan, maka semua tiga fungsi invers di atas berasal dari fungsi bernilai tunggal dan analitik sebab mereka adalah komposisi dari fungsi analitik.
103
Turunan dari ketiga fungsi di atas dapat dilihat pada persamaan di bawah ini. Turunannya tergantung pada dua nilai yang dipilih untuk akar kuadrat: (5)
d 1 sin 1 z dz 1 z2
(6)
d 1 cos 1 z dz 1 z2
,
1 2
1 2
Turunan dari yang terakhir adalah tidak ada, bagaimanapun, tergantung pada cara bagaiamana membuat fungsi tersebut bernilai tunggal. Invers dari fungsi hiperbolik dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan invers fungsi trigonometri, dan diperoleh
(8)
sinh 1 z log z z 2 1 2 ,
(9)
cosh 1 z log z z 2 1 2
1
1
dan
tanh 1 z
(10)
1 1 z log . 2 1 z
Terakhir, notasi lain untuk fungsi invers adalah arc sinz, arc cos z, dan seterusnya. LATIHAN 1. Tunjukkan bahwa jika n = 0, 1, 2, …, maka i i a. 1 i exp 2n exp ln 2 , 4 2
b. 1 e2 n 1i 1
2. Carilah nilai utama dari a. ii ,
3i
e b. 1 3i ; 2
c. 1 i
4i
3. Dengan menggunakan definisi (1) bagian 28 dari zc tunjukkan bahwa
104
1 3i
3 2
2 2
4. Tunjukkan bahwa hasil dalam soal nomor 3 dapat ditulis dalam bentuk:
3 2
3
a. 1 3i 1 3i 2 dan yang dicari pertama adalah akar kuadrat dari 1
1 3i
1
3 2 b. 1 3i 1 3i dan yang dicari pertama adalah pangkat tiga dari 3 2
1 3i 5. Tunjukkan bahwa nilai utama akar ke-n dari bilangan kompleks tak nol zo yang 1
didefinisikan pada bagian 7 adalah sama dengan nilai utama dari z0n yang didefinisikan dalam bagian 28. 6. Tunjukkan bahwa jika z 0 dan a suatu bilangan real, maka z a expa ln z z . a
7. Misalkan c = a + bi suatu bilangan kompleks, dimana c 0, 1, 2, … dan diketahui ic adalah fungsi bernilai banyak. Bagaimana cara membatasi konstanta c agar supaya nilai dari i c adalah semua sama? 8. Misalkan c, d, dan z adalah bilangan-bilangan kompleks, dimana z 0. Buktikan bahwa jika semua pangkatnya adalah nilai utama, maka (a).
1 c z zc
(b). (zc)n = zcn (n = 1, 2, …) (c). zczd = zc+d
9. Asumsikan bahwa f’(z) ada, carilah rumus turunan untuk
(d).
zc z cd d z
d f z c dz
10. Carilah semua nilai dari : (a). tan-1(2i)
(b). tan-1(1+i)
(c). cosh-1(-1)
(d). tanh-10.
11. Selesaikan persamaan sin z = 2 untuk z, a. Dengan menyamakan bagian real dan imajiner kedua bagian. b. Gunakan persamaan (2) bagian 9, untuk sin-1z.
105
12. Selesaikan persamaan cos z =
2 untuk z.
13. Turunkan rumus (5) bagian 29 untuk turunan dari sin-1z. 14. Turunkan rumus (4) bagian 29 untuk tan-1z 15. Turunkan rumus (7) bagian 29 untuk turunan dari tan-1z 16. Turunkan rumus (9) bagian 29 untuk cosh-1z
106
