a11 a12 a 21 a22
Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 – Tahun Ajaran 2016/2016:
Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
a11 a12 a 21 a22
Setijo Bismo & Bambang Heru Susanto
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
Segmentasi Penilaian
Pak Setijo Bismo
Pak Bambang Heru
50 %
50 %
1. Tugas/PR/Kelompok (10 %)
1. Tugas/PR/Kelompok
2. Kuis #1: SPL/SPAL, Determinan, Aplikasi MS-Excel (10 %)
2. Ruang Vektor Umum (3)
2
3
3. Kuis #2: Vektor di R dan R , Ruang Vektor Euclid, Ruang Vektor Umum (10 %)
4. UTS (20 %) *)
Tidak ada perbaikan Kuis atau pun UTS, dengan alasan apa pun. Jika tidak mengikuti Kuis, maka persentase UTS akan meningkat sesuai jumlah persentase Kuis tsb.
3. Ruang Hasil Kali Dalam (4) 4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen (3) 5. Transformasi Linier (4) 6. Aplikasi: Leat Square (1) 7. UAS
PENDAHULUAN Aljabar Linier sesungguhnya merupakan topik penting dari matematika aljabar yang banyak digunakan dalam berbagai dasar ilmu keteknikan, dan juga diperdalam bahkan diperluas lagi dalam berbagai mata kuliah: komputasi numerik, fenomena perpindahan, aliran fluida, perancangan struktur, rekayasa reaksi kimia, pemodelan, dan lain sebagainya. Yang terbanyak digunakan adalah: SPAL (Solusi Persamaan Aljabar Linier).
Skalar NOTASI Vektor Operasinya Matrik
NOTASI • Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil • Vektor, simbol atau variabelnya juga akan dituliskan menggunakan huruf kecil (akan berbeda dengan skalar sesuai konteksnya): cetak tebal (bold) bila menggunakan “topi” (tanda caping, ^) di atasnya atau cetak biasa bila menggunakan tanda panah di atasnya. • Vektor satuan, adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1 (satu satuan). • Umumnya dituliskan dengan menggunakan ˆ dibaca topi (bahasa Inggris: hat), sehingga: u "u-topi" ('u-hat').
NOTASI • Secara umum, suatu vektor merupakan vektor kolom,
v v v v v
k ,2 k ,n k ,1
• namun jika ingin menuliskan vektor baris:
vT v
b ,1
v
b ,2
v
b ,n
maka diberi indeks-atas yang menyatakan simbol “transpos” (xT) • Jika diperlukan, dimensi vektor dan atau vektor dapat dituliskan dalam indeks-bawah (umxn, ynx1, dlsb)
NOTASI • Matrik, dalam matematika dan fisika, adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi (ungkapan), berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. • Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. • Matriks, simbolnya dituliskan dalam huruf besar (kapital). • Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom (2 x 3) yaitu: 1 M 17
A23
a1,1 a2,1
7 3
a1,2 a2,2
11 4
a1,3 a3,3
NOTASI Definisi: Persamaan berikut ini,
a x b y cz d w h dengan a, b, c, dan d merupakan tetapan (konstanta) yang diketahui nilai-nilainya, sedangkan x, y, z, dan w merupakan bilangan yang tak deketahui (variabel), disebut juga sebagai PERSAMAAN LINIER. Jika h = 0, maka persamaan linier tersebut menjadi homogen. Suatu sistem persamaan linier (SPAL) adalah suatu set persamaan yang terdiri atas persamaan-persamaan linier Suatu sistem persamaan linier homogen adalah SPAL yang berharga nol.
Aplikasi Vektor dan Matriks Pemanfaatan (matriks dan juga vektor), misalnya dalam mencari solusi Sistem Persamaan Aljabar Linear (SPAL), sering juga disebut SPL (Sistem Persamaan Linear). Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linier, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3-dimensi. Persamaan di bawah ini, 3 x1 2 x2 1 2 x1 4 x2 2 Merupakan suatu sistem persamaan linier (SPAL), namun 4 x1 3 x22 1 x1 2 x2 1 bukanlah SPAL, karena ada variabel yang berpangkat “tak satu” (non-linier).
Aplikasi Vektor dan Matriks dalam MS-Excel (1) Perkalian Matriks dengan Vektor fungsi: MMULT
Aplikasi Vektor dan Matriks dalam MS-Excel (2) Perkalian Matriks dengan Vektor fungsi: MMULT
Aplikasi Vektor dan Matriks dalam MS-Excel (3) Balikan (Invers) Matriks fungsi: MINVERSE
Aplikasi Vektor dan Matriks dalam MS-Excel (4) Determinan Matriks fungsi: MDETERM
Aplikasi Vektor dan Matriks dalam MS-Excel Solusi SPAL fungsi: MMULT dan MINVERSE
Contoh SPAL Persamaan di bawah ini,
3 x1 2 x2 x3 2 2 x1 4 x2 4 x3 2 5 x1 9 x2 2 x3 2
3 2 1 x1 b1 2 4 4 x b 2 2 5 9 2 x2 b3
merupakan suatu Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) ber-ordo 3, sedangkan
x1 4 x2 5 x3 0
3 x1 2 x2 x3 0 2 x1 5 x2 7 x3 0 Adalah SPL yang homogen.
Metode Penyelesaian (Solusi) SPAL
Dalam Kuliah ini akan dipelejari 4 buah metode penyelesaian Sistem Persamaan Aljabal Linier (SPAL), yaitu: Bentuk Eselon-baris: matriks Eliminasi Gauss: matriks Eliminasi Gauss-Jordan: matriks Aturan CRAMER: determinan matriks
SPAL dalam Bentuk Matriks Sistem Persamaan Linear atau SPAL, misalnya:
3 x1 4 x2 2 x3 17 x1 3 x2 5 x3 10 2 x1 5 x2 2 x3 6 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks imbuhan (matriks yang diperluas atau teraugmentasi), sbb:
3 4 2 17 1 3 5 10 2 5 2 6
Matriks Eselon-baris (#1) Susunan/Bentuk Matriks Eselon-baris, yaitu yang memiliki syarat berikut: 1. Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1). 2. Jika ada baris yang bernilai NOL pada semua elemennya,, maka ia harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks. 3. Jika ada baris yang bereperan sebagai "leading 1", maka posisi angka "1" dari "leading 1" di bawahnya haruslah lebih kanan dari yang di atasnya. 4. Jika kolom yang memiliki "leading 1", sedangkan angka selain 1-nya adalah NOL, maka matriksnya disebut Eselon-baris tereduksi.
Matriks Eselon-baris (#2) Contoh matriks eselon-baris, memenuhi syarat: No. 1: baris pertama matriks berikut, sebagai “leading 1”
1 3 2 4 0 2 5 6 0 0 3 7 0 0 8 9 No. 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat no. 2:
1 3 2 4 0 2 5 6 0 0 3 7 0 0 0 0
Matriks Eselon-baris (#3) No. 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat no. 3
1 0 0 0
3 2 4 1 5 6 0 3 7 0 0 0
No. 4: matriks berikut memenuhi syarat no. 4 ( disebut juga: matriks eselon-baris tereduksi):
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Solusi SPL dengan Metode Eliminasi Gauss Metode “Eliminasi Gauss” merupakan suatu cara penyelesaian SPL dengan menggunakan bentuk matriks melalui teknik penyederhanaan matriks menjadi matriks yang lebih sederhana (diperkenalkan oleh Carl Friedrich Gauss), yaitu dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Teknis operasionalnya: dengan mengubah persamaan linier tersebut ke dalam matriks imbuhan (matriks yang diperluas atau teraugmentasi) dan mengoperasikannya. Setelah terbentuk matriks eselon-baris, maka lakukanlah substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabelvariabel tersebut.
Contoh Metode Eliminasi Gauss (#1) Diberikan SPL berikut ini: 3 x 4 y 2 z 17 x 3 y 5 z 10 2x 5 y 2z 6
Tentukanlah harga-harga x , y , dan z ! Jawab:
Ubahlah SPL di atas menjadi bentuk matriks (yang diperluas) sebagi berikut:
3 1 2
4 3 5
2 17 5 10 2 6
Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss, maka Operasi penyelesaian SPL dari "Matriks Imbuhan" di atas adalah:
Contoh Metode Eliminasi Gauss (#2)
3 1 2
Dari matriks
Didapatkan
Kemudian
3 5
1 0
4
2
3 13
3 13
3
3
5
2
2
Didapatkan
2 17 5 10 2 6
4
, B1 x 17 3 13 3 6
1 3
untuk mengubah a11 menjadi 1
, dengan B2 – B1 x 1 untuk mengubah a21 menjadi 0
17 3 3 3 13 13 13 , dengan B3 0 3 3 3 7 10 16 0 3 3 3 4
1
1 0 0
2
17 3 3 3 , B2 x 1 1 1 7 10 16 3 3 3 4
– B1 x 2 untuk mengubah a31 menjadi 0
2
3 13
untuk mengubah a22 menjadi 1
Contoh Metode Eliminasi Gauss (#3)
1 Didapatkan 0 0
3 1 0
, dengan B3 – B2 x
7 3
untuk mengubah a32 menjadi 0
Maka didapatkan SPL baru, yaitu: x
2 17 3 3 1 1 1 3
4
4 3
y
2
z
17
3 3 y z 1 z 3
z 3
Kemudian lakukan “substitusi balik”, sehingga diperoleh: x
y z 1 y 3 1 y 2
dan
4 3
y
2
z
17
3 3 4 2 17 x 2 3 3 3 3 x 1
a11 a12 a 21 a22
Eliminasi Gauss & Eliminasi Gauss Jordan
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
Metode Penyelesaian (Solusi) SPAL
Dalam Kuliah ini akan dipelajari metode-metode penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL), yaitu: Eliminasi Gauss: matriks Eliminasi Gauss-Jordan: matriks Aturan CRAMER: determinan matriks
Metode Eliminasi Gauss - Contoh#1 (ulangan)
Hal. 01
Diberikan SPL berikut ini: 3 x 4 y 2 z 17 x 3 y 5 z 10 2 x 5 y 2z 6
Tentukanlah harga-harga x, y, dan z ! Jawab:
Ubahlah SPL di atas menjadi bentuk matriks (yang diperluas) sebagi berikut:
2 17 3 4 1 3 5 10 2 5 2 6
Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss, maka Operasi penyelesaian SPL dari "Matriks Imbuhan" di atas adalah:
Metode Eliminasi Gauss - Operasi Baris Elementer (Tahap Eliminasi):
1.
2.
3.
4.
3 1 2
Baris#1: dari matriks
Didapatkan
Didapatkan
1 0 2
1 0 0
5
4
2
3 13
3 13
3
3
5
2
4
2
3 13
3 13
3 7
3 10
3
Kemudian, pada baris#2:
2 17 5 10 2 6
4 3
3
17 3 13 3 6
, B1 x
0 0
3
untuk mengubah a11 menjadi 1
, dengan B2 – B1 x 1 untuk mengubah a 21 menjadi 0
17 3 13 , dengan B3 3 16 3 1
1
Hal. 02
- B1 x 2 untuk mengubah a31 menjadi 0
17 3 3 3 1 1 1 7 10 16 3 3 3 4
2
, B2 x
3 13
untuk mengubah a 22 menjadi 1
Metode Eliminasi Gauss - (OBE Substitusi Balik Hasil):
5.
1 Didapatkan 0 0
4 3 1 0
2 17 3 3 1 1 1 3
, dengan B3 – B2 x
7 3
untuk mengubah a32 menjadi 0,
dan tahap ELIMINASI hanya sampai di sini (!?!)
6.
Maka didapatkan SPL baru, yaitu: x
4 3
y
2
z
17
3 3 y z 1 z 3
z 3
Kemudian lakukan “substitusi balik”, diperoleh: x
y z 1 y 3 1 y 2
dan
4 3
y
2
z
Hal. 03
17
3 3 4 2 17 x 2 3 3 3 3 x 1
Metode Eliminasi Gauss - Contoh#2:
Hal. 01
Sebagai contoh #2, diberikan SPL berikut: x1 2 x2 3 x3 3 2 x1 3 x2 2 x3 3 2 x1 1 x2 2 x3 5
Tentukanlah harga-harga x1 , x2 , dan x3 ! Jawab:
Ubahlah SPL di atas menjadi bentuk matriks imbuhan (teraugmentasi) sbb:
1 2 2
2 3 1
3 3 2 3 2 5
Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss, maka Operasi penyelesaian SPL dari "Matriks Imbuhan" di atas adalah:
Metode Eliminasi Gauss - Tahap OBE (Eliminasi):
1. 2. 3. 4. 5.
1 Baris#1: dari matriks 2 2 1 Didapatkan 0 2
2 1 1
1 Didapatkan 0 0
2 1 3
2 3 1
3 3 2 3 , B1 : 1 untuk mengubah 2 5
a11 menjadi 1
3 3 4 3 , OBE dengan B2 – B1 x 2 untuk mengubah 2 5 3 3 4 3 , OBE dengan B3 - B1 x 2 untuk mengubah 4 1
3 3 1 2 Kemudian, pada baris#2: 0 1 4 3 , B2 : 1 untuk mengubah 0 3 4 1
1 Didapatkan 0 0
2 1 0
Hal. 02
3 3 4 3 , dengan B3 – B2 x 3 untuk mengubah 8 8
a21 menjadi 0
a31 menjadi 0
a22 menjadi 1
a32 menjadi 0,
Metode Eliminasi Gauss - Tahap OBE (Eliminasi):
6.
Kemudian, pada baris#3: didapatkan SPL baru, yaitu:
1 0 0
2 1 0
Hal. 03
3 3 4 3 , B3 : 1 1
x1 2 x2 3 x3 3 x 2 4 x3 3
8
x3 1
x3 1
7.
Sampai di sini tahap ELIMINASI (OBE) diakhiri (!?!)
Kemudian lakukan “substitusi balik”, diperoleh: x3 1
x 2 4 x3 3 x2 4 (1) 3 x2 1
dan
x1 2 x2 3 x3 3 x1 2 (1) 3 (1) 3 x1 2
dan
Metode Eliminasi Gauss (Contoh #2 Notasi yang dipersingkat)
Dari SPL berikut: x1 2 x2 3 x3 3 2 x1 3 x2 2 x3 3 2 x1 1 x2 2 x3 5
1 2 2
2 3 1
3 3 2 3 2 5
Tahapan OBE dari matriksnya adalah sbb: 1.
1 2 3 3 2 3 2 3 2 1 2 5
2.
3 3 1 2 0 1 4 3 2 1 2 5
B 2 2 B1: untuk mengubah a21 menjadi 0
3.
3 3 1 2 0 1 4 3 0 3 4 1
B3 2 B1: untuk mengubah a31 menjadi 0
B1:1: untuk mengubah a11 menjadi 1
Hal. 01
Metode Eliminasi Gauss - (Contoh#2 Notasi yang dipersingkat)
(lanjutan)...Tahapan OBE dari matriksnya adalah sbb: 3 3 1
6.
1 2 3 3 0 1 4 3 0 0 1 1
B3 (
3 -
5.
1 2 3 3 0 1 4 3 0 0 8 8
B 2 : (1): untuk mengubah a 22 menjadi 1
) B 2: untuk mengubah
B3 : : untuk mengubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)
7. Maka didapatkan SPL baru, yaitu:
x1 2 x 2 3 x3 3 x 2 4 x3 3 x3 1
x3 1
;
a32 menjadi 0
8
4.
3 1 2 0 1 4 0 3 4
x2 1
x1 2
Hal. 02
Metode Eliminasi Gauss (Contoh #3 Notasi yang dipersingkat)
Dari SPL berikut: x1 2 x2 x3 6 x1 3 x2 2 x3 9 2 x1 1 x2 2 x3 12
1 1 2
2 3 1
6 2 9 2 12 1
Tahapan OBE dari matriksnya adalah sbb: 1.
1 1 2
2 3 1
1 6 2 9 2 12
B1 1: untuk mengubah a11 menjadi 1
2.
1 0 2
2 1 1
1 6 1 3 2 12
B2 1 B1: untuk mengubah a21 menjadi 0
3.
1 2 0 1 0 3
1 1 0
6 3 0
B3 2 B1: untuk mengubah a31 menjadi 0
Hal. 01
Metode Eliminasi Gauss - (Contoh#2 Notasi yang dipersingkat)
(lanjutan)...Tahapan OBE dari matriksnya adalah sbb:
6.
1 2 1 6 0 1 1 3 0 0 1 3
1
1 0
3 -
1
6 3 0
B2 :1: untuk mengubah a22 menjadi 1
B3 (
3 -
5.
1 2 1 6 0 1 1 3 0 0 3 9
2
) B2: untuk mengubah
B3 : : untuk mengubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)
7. Maka didapatkan SPL baru, yaitu:
x1 2 x2 x3 6 x 2 x3 3 x3 3
x3 3
;
a32 menjadi 0
3
4.
1 0 0
x2 0
x1 3
Hal. 02
Eliminasi Gauss
vs
Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A (matriks Jacobi atau matriks koefisien) menjadi matriks segitiga atas, yaitu berbentuk:
1 a12 a13 0 1 a23 0 0 1
Metode Eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks diagonal (matriks identitas), yaitu semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, sedangkan semua elemen lainnya bernilai nol, sehingga bentuk matriksnya adalah:
1 0 0
b1 b2 b3
0 1 0
0 b1 0 b2 1 b3
Metode Eliminasi Gauss-Jordan “lebih berat” dalam realisasinya, karena memerlukan tahapan “operasi komputasi” yang lebih banyak dibandingkan Eliminasi Gauss. Oleh karena itu, Eliminasi Gauss-Jordan tidak banyak digunakan dalam Komputasi Numerik dalam Ilmu Teknik.
Metode Eliminasi Gauss - Jordan (Contoh#2 Notasi yang dipersingkat)
Dari SPL berikut: u 2v 3w 3 2 u 3v 2 w 3 2 u 1v 2 w 5
1 2 3 3 2 3 2 3 2 1 2 5
Tahapan OBE dari matriksnya adalah sbb: 1.
2.
3.
B2 2 B1 B3 2 B1 B3 3 B 2
3 3 1 2 0 1 4 3 2 1 2 5
3 3 1 2 0 1 4 3 0 3 4 1
3 3 1 2 0 1 4 3 0 0 8 8
Hal. 01
Metode Eliminasi Gauss-Jordan - Tahap OBE (Eliminasi):
4. B 2 : (1) 5. B3 : 8
1 2 3 3 0 1 4 3 0 0 1 1
6. B 2 4 B3 7. B1 3 B3 8. B1 2 B 2 9.
1 2 3 3 0 1 4 3 0 0 8 8
1 0 0
1 0
3 0 1 1 1
2
0
1 0 0
1 0 0
0 1
2
1 0
0
3
0 0 1 1 1 0 2 0 1 1 1
(Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka, diperoleh: u 2; v 1; w 1
Hal. 02
Metode Eliminasi Gauss - Jordan (Contoh#2 Notasi yang dipersingkat)
Hal. 01
Dari SPL berikut: 3 x 4 y 2 z 17 x 3 y 5 z 10 2x 5 y 2z 6
3 1 2
4 3 5
17 10 2 6 2 5
Tahapan OBE dari matriks di atas adalah sbb: 1.
2.
3.
B2 B1: 3
3 0 2
B3 2 B1 3
3 0 0
B3 (7 ) B 2 13
4 13
2 13 3 2
3
5
4 13 7
3 0 0
17 13 3 6
2 13 3 10 3
3
3
4 13 0
3
17 13 3 16 3
2 13 3 3 3
17 13 3 9 3
3 0 0
4 13 0
3
2 13 3 1
17 13 3 3
Metode Eliminasi Gauss-Jordan - Tahap OBE (Eliminasi):
4. 5. 6.
3 0 0
B 2 : ( 13 ) 3
B 3 : 1
3 0 0
B 2 1 B 3
7. B1 2 B 3 8. B1 4 B 2 9. B1 : 3
4 1 0
2 17 1 1 1 3
2 17 1 1 1 3
4 1 0 3 0 0
4 1 0
3 0 0
3 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 3
4 1 0
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3
10. Maka, diperoleh:
x 1;
2 0 1
17 2 3
0 11 0 2 1 3
(Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi) y 2;
z 3
Hal. 02
Latihan Soal 1. Menggunakan metode EG (Eliminasi Gauss), hitunglah harga-harga variable x , y, dan z dari SPL berikut ini! 3x 4 y 2z 1 (a). x 3 y 5 z 22 2 x 5 y 2 z - 14
3 x y 2 z 11 (b). 4 x 2 y 7 z 13 11 x 5 y 9 z 28
2. Gunakan juga metode EGJ (Eliminasi Gauss-Jordan) untuk SPL berikut: (a).
3u 4v 2 w 1 u 3 v 5 w 22 2 u 5 v 2 w - 14
3 x y 2 z 11 (b). 4 x 2 y 7 z 13 11 x 5 y 9 z 28
3. Cobalah cari harga-harga variabel x1 , x2 , x3 , dan x4 dari SPL di bawah ini menggunakan metode EG dan EGJ: x1 2 x2 3 x3 4 x4 9
2 x1 3 x2 4 x3 x4 3 3 x1 4 x2 x3 2 x4 9 4 x1 x2 2 x3 3 x4 - 1
MATRIKS dan OPERASI MATRIKS
Macam Matriks • Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Contoh: 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0
• Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain. 1 0 0 Contoh: I 3 0 1 0 0 0 1
Matriks Diagonal • Matriks yang semua entri non diagonal utamanya nol. d 1 0 ... 0 Secara umum: 0 d ... 0 D
0
Contoh:
2
0
... d n ...
6 0 1 0 0 2 0 0 4 , 0 1 0, 0 5 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 8
Matriks Segitiga • Matriks persegi yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.
• Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.
0 0 a11 0 0 a 21 a 22 0 A a 31 a 32 a 33 0 a a a a 42 43 44 41
a11 a12 a13 0 a 22 a 23 A 0 0 a 33 0 0 0
a14 a 24 a 34 a 44
Matriks Simetris • Matriks persegi A disebut simetris jika A = At • Contoh: 7 3 , 3 5
1 4 5 4 3 0 , 5 0 7
d1 0 0 d2 0 0 0 0
0 0 d3 0
0 0 0 d4
Transpos Matriks (#1) • Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom. Contoh: 3 2 2 1 5 t A 1 0 A 3 0 3 5 3
Transpose Matriks (#2) •
Sifat: 1. (At)t = A 2. (AB)t = At Bt 3. (AB)t = BtAt 4. (kA)t = kAt
Balikan (Invers) Matriks [#1] • Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik dan B disebut balikan (invers) dari A. • Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.
Balikan (Invers) Matriks [#2] • Contoh: 2 5 A 1 3
3 5 B 1 2
adalah invers dari
karena
2 5 3 5 1 0 I AB 1 3 1 2 0 1
dan
3 5 2 5 1 0 I BA 1 2 1 3 0 1
Balikan (Invers) Matriks [#3] • Cara mencari invers khusus matriks 2x2: a b A Jika diketahui matriks c
d
maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus A
1
1 ad bc
d c
d b ad bc c a ad bc
b
ad bc a ad bc
Balikan (Invers) Matriks [#4] • Contoh: Carilah invers dari
2 5 A 1 3
Penyelesaian:
A
1
3 5 1 3 5 3 5 1 2(3) (5)( 1) 1 2 1 1 2 1 2
(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)
a11 a12 a 21 a22
Aljabar Matriks dan Mencari Matriks Balikan
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
Matriks dan Operasi Matriks Dalam kuliah hari ini akan dipelajari pokok-pokok bahasan lanjutan tentang matriks, yaitu: Matriks dan operasi matriks Aljabar matriks Matriks Elementer Cara mencari matriks balikan (Invers)
Matriks dan Operasi Penjumlahan Matriks [#01] Diberikan matriks-matriks seperti di bawah ini: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 1 3 8 A 0 2 4 ; B 0 2 4 ; C 0 2 4 2 ; D 1 2 3 6 5 1 3 5 1 3 5 1 3 7 0 3 5 8
Matriks A dan matriks B dikatakan sama (identik) karena matriksmatriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama. Karena ( A dan B ) atau ( C dan D ) adalah 2 buah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B atau C + D adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen-elemen ( A dan B ) atau ( C dan D ) yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Matriks dan Operasi Penjumlahan Matriks [#02] Untuk setiap A berlaku A + ( A ) = 0. Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Jika k sebarang skalar maka k A = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k . Negatif dari A atau A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan 1 . Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks: a.) A + B = B + A b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C c.) k ( A + B ) = k A + k B = ( A + B ) k , k = skalar
Matriks dan Operasi Penjumlahan Matriks [#03]
Sifat-sifat yang berlaku dalam operasi penjumlahan dan pengurangan matriks: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
A + B = B + A (sifat KOMUTATIF) (A + B) + C = A + (B + C) (sifat ASOSIATIF) k (A + B) = k A + k B (perkalian dengan skalar) ( + ) A = A + A (perkalian dengan skalar) A – A = A + (–A) = (0) (sifat ASOSIATIF) A (B + C) = A B + A C (sifat DISTRIBUTIF) (A + B) C = A C + B C (sifat DISTRIBUTIF) (A B) C = A (B C) (sifat ASOSIATIF)
Pada umumnya: ABBA A B = 0; tidak berakibat A = 0 atau B = 0 A B = A C; tidak berakibat B = C
Contoh Penjumlahan Matriks
A 2x3
5 6 7 6 7 4 dan B2x3 8 3 4 1 9 2
maka
C2x3 A 2x3 B2x3
C2x3
5 6 7 6 7 4 11 13 11 8 3 4 1 9 2 9 12 6
Matriks dan Operasi Perkalian Matriks [#04] Perkalian Matriks dengan Skalar: Jika k sebarang skalar, maka k A = A k adalah matriks hasil dari A yang setiap elemennya dikalikan dengan k . Perkalian Matriks dengan Matriks: Hasil kali matriks A yang ber-ordo (orde) m p dengan matriks B yang berordo p n dapat dituliskan sebagi matriks yang baru, sebut C = cij berordo m n dimana
cij ai1 b1 j ai 2 b2 j aip b pj
Syarat perkalian Matriks dengan Matriks: Jika matriks A mn dan matriks B pq dikalikan, maka: Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris matriks B , sehingga n p Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m q Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai.
Contoh Perkalian Matriks Diberikan berbagai matriks seperti di bawah ini: 1 0 1 3 1 2 3 2 2 1 2 3 ; B 0 4 ; C 0 2 4 ; D A 3 4 5 1 3 5 3 5 1 3 2 2
5 4 1 3 8 1 ; E 1 2 3 6 3 0 3 5 8 7
Maka, di antara operasi-operasi perkalian matriks berikut ini: A × B dapat dilakukan, karena ordo matriks A adalah 2 × 3 dan ordo matriks B adalah 3 × 2 , kolom matriks A sama dengan baris matriks B .
A × C dapat dilakukan, karena ordo matriks A adalah 2 × 3 dan ordo matriks C adalah 3 × 3 , kolom matriks A sama dengan baris matriks C . B × C tidak dapat dilakukan, karena ordo matriks B adalah 3 × 2 dan ordo matriks C adalah 3 × 3 , kolom matriks B tidak sama dengan baris matriks C . C × D tidak dapat dilakukan. C × E dapat dilakukan. D × E dapat dilakukan.
Ilustrasi Perkalian Matriks 1 2 3 A 5 1 3
1 3 B 0 4 5 3
1 2 3 C 0 2 4 5 1 3
Ordo 2 × 3
Ordo 3 × 2
Ordo 3 × 3
Maka, ilustrasi perkalian matriks berikut ini:
A × B dapat dilakukan:
2 x 3
3 x 3
B × C tidak dapat dilakukan:
3 x 2
3 x 3
Hasil Perkalian Matriks Diberikan matriks:
1 3 1 2 3 1 2 3 A ; B 0 4 ; C 0 2 4 5 1 3 5 3 5 1 3
Maka, hasil perkalian matriks-matriks terkait di atas adalah:
1 A ×B = 5 16 20
1 3 2 3 1 1 2 0 3 5 0 4 1 3 5 1 1 0 3 5 5 3 20 28
1 2 3 1 2 3 1 0 15 A×C = 0 2 4 5 1 3 5 1 3 5 0 15 16 9 20 20 15 28
1 3 2 4 3 3 5 3 1 4 3 3
2 4 3 3 8 9 10 2 3 15 4 9
Perkalian Matriks menggunakan MS-Excel 1 3 B 0 4 5 3
1 2 3 A 5 1 3 Ordo
2×3
Ordo
1 2 3 C 0 2 4 5 1 3
3×2
Ordo
3×3
Cobalah, perkalian matriks berikut ini: 1 5
2 1
3 3
1 0
3 4
16 20 20 28
1 0
3 4
1 0
2 2
3 4
### ### ### ###
5
3
Hasil
5
3
5
1
3
Hasil ?
Matriks Bujur-Sangkar Istimewa (a). Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujur-sangkar sedemikian sehingga AB = BA, maka A dan B disebut COMMUTE (merubah). (b). Bila A dan B sedemikian sehingga AB = -BA, maka A dan B disebut ANTI COMMUTE. (c). Matriks M dimana Mk+1 = M untuk k bilangan bulat positif, disebut matriks PERIODIK. (d). Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1 = M, maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k. (e). Jika k = 1 sehingga M2 = M, maka M disebut IDEMPOTEN. (f). Matriks A dimana Ap = 0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks NILPOTEN. (g). Jika p merupakan bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap = 0, maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.
Latihan 1: (Perkalian Matriks)
Diberikan berbagai matriks berikut ini: 1 3 1 3 1 2 3 2 2 1 2 3 ; B 2 4 ; C 1 2 4 ; D A 3 4 5 4 3 5 3 5 1 3 2 2
Hitunglah:
A ×B A×C
B×C C×D C×E
D×E
5 4 1 3 8 1 ; E 1 2 3 6 3 1 3 5 9 7
Aljabar Matriks Elementer
Definisi: Matriks A berukuran m n ialah suatu susunan atau himpunan angka dalam persegi empat dengan ukuran m n , sebagai berikut: a11 a12 a1n a a a 22 2n A 21 atau A aij i 1,2,,m j 1,2,,n am1 am 2 amn
Untuk menyatakan elemen matriks A yang ke (i,j), yaitu aij, digunakan notasi (A)ij . Ini berarti aij = (A)ij. Bila m n , maka matriks disebut sebagai matriks bujur sangkar berukuran m atau n .
Operasi Transpose pada Matriks Bujur-Sangkar Transpose matrik A dinotasikan AT atau A diperoleh dengan cara menukar elemen baris ke i dari matrik A menjadi elemen kolom ke i. Bila matrik A berukuran m n maka A berukuran m n dan elemen A yang ke (i,j) adalah aji; dapat pula dinyatakan ( A )ij = (A)ji . Berikut ini adalah contoh matrik A , 1 2 3 4 11 13 23 34 A , 5 18 28 31 4 14 25 37 b11 b21 B bm1
b12 b22 bm 2
b1n b2 n , bmn
1 2 A 3 4 b11 b12 B b1n
11 5 4 13 18 14 23 28 25 34 31 37 b21 b22 b2 n
bm1 bm 2 bmn
Operasi Trace pada Matriks Bujur-Sangkar Trace didefinisikan hanya pada matriks bujur-sangkar. Bila matriks A berukuran mxm maka trace A, dinotasikan tr(A), adalah jumlah elemen diagonal matriks A, m
tr(A) = aii i 1
Matriks A berukuran mxn dan B berukuran nxm, maka matriks AB berukuran mxm. Berlaku: trace (AB) = trace (BA) Penjabaran: tr AB ( AB ) ii ( A) i . ( B ).i aij b ji b ji aij m
m
m
n
i 1
i 1
i 1 j 1
n
n
j 1
j 1
n m
j 1 i 1
( B ) j . ( A). j ( BA) jj tr ( BA)
Jadi : tr(AB) = tr(BA)
Aljabar Matriks Elementer Matriks berukuran m 1 disebut vektor kolom dan berukuran 1 n disebut vektor baris. Contoh:
a 1 a a aˆ 2 , suatu vektor kolom a m ai menyatakan komponen a ke i.
b bˆ b1 , b2 , , bn , suatu vektor baris bi menyatakan komponen b ke i.
A i A j
menyatakan vektor baris ke i dalam matrik A . menyatakan vektor kolom ke j dalam matrik A .
Latihan 2: (Aljabar Matriks Elementer)
Berdasarkan matrik A seperti yang tercantum pada definisi di atas, sebutkan posisi dari elemenelemen matriks berikut:
(A)i. (A)1. (A)2 (A)m. (A).j (A).1 (A).2 (A).n
Berbagai Jenis Matriks (#1) 1. Matrik Diagonal Elemen diagonal dari matriks A (khusus untuk matriks bujur sangkar) adalah: a11 , a22 , …, amm . Bedakanlah dengan vektor kolom aˆ yang memiliki m komponen, yang dapat dituliskan sebagai berikut: a1 a a 2 an Bila semua elemen selain a11 , a22 , …, amm bernilai 0 (nol), maka A disebut matriks diagonal.
A = diag( a11 , a22 , …, amm ) menyatakan matriks diagonal dengan elemen diagonal a11, a22, ... , amm.
Berbagai Jenis Matriks (#1) Contoh Matrik Diagonal: 1.
2.
3.
3 0 0 A 0 2 0 0 0 1 5 0 0 B 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 C 0 0 0 0
0 0 0 0 2 0 0 2
Berbagai Jenis Matriks (#2) 2. Matrik Identitas Bila aii 1 , sedangkan lainnya bernilai 0 (nol) untuk i 1, 2, , m , maka A disebut matriks identitas berukuran m , dinotasikan: I m atau I . Perhatikan juga penulisan elemen-elemen matriks diagonal di bawah ini, bila dalam notasi matrisial ( DA ) ataupun dalam notasi vektorial ( Da ):
DA diag (a11 , a22 , …, amm ) a11 0 0 a22 DA 0 0
0 1 0 0 amm 0
0 1 0
0 0 1
Berbagai Jenis Matriks (#3) Da diag (a1 , a2 , …, am ) a1 0 0 a2 Da 0 0
0 1 0 0 1 0 am 0 0
Bila A diag (a1 , a2 , …, am ) dan b adalah skalar,
maka
Ab
diag (a1b , a2b , …, amb ) .
0 0 1
Berbagai Jenis Matriks (#4)
Bila A = I m , maka akan terdapat vektorvektor e1 , e2 ,, em , yang masing-masingnya menyatakan suatu vektor dengan komponen ke 1, 2, ... m bernilai 1, sedangkan komponen yang lain bernilai 0, dinyatakan sebagai berikut: 1 0 e1 , 0
0 0 1 0 e2 , , em 0 1
Berbagai Jenis Matriks (#5) 3. Matriks Segitiga Matriks segitiga ialah matriks dengan elemen di atas atau di bawah diagonal bernilai 0. Matriks segitiga terdiri dari dua macam, segitiga atas dan segitiga bawah. Disebut segitiga atas bila yang bernilai 0 adalah semua elemen di bawah diagonal, dan segitiga bawah bila semua yang bernilai 0 di atas diagonal. Contoh matrik segitiga atas (disebut: P ) dan segitiga bawah (disebut: Q ) adalah sebagai berikut: a11 0 P 0
a12 a22 0
a1m a2 m amm
dan
a11 a21 Q am1
0 a22 am 2
0 0 amm
Berbagai Jenis Matriks (#6) 3. Matriks dan Notasi Lain 0 menyatakan skalar bernilai 0. 0 atau 0ˆ atau 0 menyatakan vektor dengan semua komponennya bernilai 0. 0 menyatakan matriks dengan semua elemennya bernilai 0. 1 atau 1ˆ atau 1 menyatakan vektor dengan semua komponennya bernilai 1. 1m menyatakan vektor berukuran m komponen yang semuanya bernilai 1.
MENGHITUNG/MENCARI Matriks Balikan (Invers)
Definisi Matriks Balikan (Invers)
Definisi:
1. Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I , maka A disebut dapat dibalik dan B disebut balikan (invers) dari A.
2. Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers. Contoh: 3 5 2 5 B A adalah invers dari 1 3 1 2
karena 2 5 3 5 1 0 AB 1 2 0 1 I 1 3 3 5 2 5 1 0 BA 1 3 0 1 I 1 2
dan
Sifat Balikan Matriks
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka berlaku:
AB dapat dibalik, maka
A B
1
B A 1
1
Matriks SINGULAR vs Non-SINGULAR
Matriks
SINGULAR adalah matriks yang nilai DETERMINAN-nya
NOL
Matriks Non-SINGULAR adalah matriks yang nilai DETERMINANnya tak NOL Contoh: Buktikan bahwa matriks A adalah SINGULAR! 0,5 2 2
Penyelesaian: Determinan matriks A adalah A 2 2 0,5 8 4 4 0
8
Cara Mencari Matriks Balikan (ordo 2 x 2)
Khusus Matriks ordo 2 x 2:
a b Jika diketahui A , maka matriks A dapat dibalik jika c d atau a d b c 0 , dimana inversnya dapat dicari A
dengan rumus:
A
1
d b a d b c c a 1
d a d bc c a d bc
a d bc a a d b c b
Matriks Balikan ordo (2 x 2) dalam notasi baku
Khusus Matriks ordo 2 x 2:
a11 a12 Jika diketahui A , maka matriks A dapat dibalik a a 22 21 jika A atau a11 a 22 a12 a 21 0 , dimana inversnya dapat
dicari dengan rumus:
A
1
a12 a11
a22 a11 a22 a12 a21 a21 1
a22 a a a12 a21 11 22 a21 a a a a 12 21 11 22
a11 a22 a12 a21 a11 a11 a22 a12 a21
a12
Contoh Mencari Matriks Balikan ordo (2 x 2)
Carilah invers dari matriks 2 5 A 1 3
Penyelesaian: A
1
3 5 1 2 2(3) (5)(1) 1
1 3 5 1 1 2 3 5 1 2
Matriks Balikan ordo (3 x 3) Untuk mendapatkan matriks matriks balikan ordo (3 x 3) kita perlu memahami matriks-matriks berikut :
Matriks Kofaktor Adjoin Nilai elemen rumus invers Matriks ordo 3 x 3 Pelajari juga dari situs-situs berikut:
http://javaandro.blogspot.com/2014/05/cara-mencari-invers-matriksordo-3x3.html
http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/invers-matriks.html http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear
Matriks Balikan ordo lebih tinggi
Secara umum, digunakan: A
1
1 det A
adj A
1 A
adj A
Namun, untuk mendapatkan matriks balikan dengan ordo yang lebih tinggi dari (3 x 3), akan lebih rumit lagi dan dapat dipastikan tidak praktis dan memerlukan waktu lama !
Mencari Matriks Balikan “ordo TINGGI” Menggunakan OBE
Prinsip:
Caranya
hampir sama dengan metode
penyelesaian SPL menggunakan metode EG atau EGJ
Relasi Umum:
A 1 E k E k 1 E 2 E1 I n
dengan E adalah matriks dasar (matriks elementer, yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)
Prosedur Mencari Matriks Balikan Menggunakan OBE
Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari inversnya adalah: mereduksi matriks
A menjadi matriks
identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini pada matriks I agar supaya mendapatkan A 1 .
Untuk
melakukannya, sandingkan matriks identitas I ke sisi
kanan matriks A , sehingga menghasilkan matriks berbentuk
A I .
Terapkan
OBE pada matriks A sampai ruas kiri terreduksi
menjadi I . OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi
A 1 , sehingga matriks akhir berbentuk I A 1
Mencari Matriks Balikan “ordo TINGGI” Menggunakan OBE Contoh:
1 2 3 Carilah invers dari matrik A 2 5 3 1 0 8 Penyelesaian:
1 2 3 1 0 0 b 2b 2 5 3 0 1 0 2 1 b b 1 0 8 0 0 1 3 1
1 2 3 0 1 3 0 0 1
1 2 0 14 6 3 b 2b 1 0 0 40 16 9 0 1 0 13 5 3 1 2 0 1 0 13 5 3 0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1
1 0 0 b 3 2 1 0 5 2 1
1 2 3 0 1 3 0 2 5
1 0 0 b 2b 3 2 2 1 0 1 0 1
1 2 3 1 0 0 b 3b 1 3 0 1 3 2 1 0 b 3b 0 0 1 5 2 1 2 3
Mencari Matriks Balikan “ordo TINGGI” Menggunakan OBE Penyelesaian:
Dari matriks imbuhan berikut:
1 0 0 40 16 9 0 1 0 13 5 3 0 0 1 5 2 1 Diperoleh:
A
1
40 16 9 13 5 3 5 2 1
Mencari Matriks Balikan “ordo TINGGI” Menggunakan MS-Excel
Menggunakan prosedur: minverse()
1
2
3
-40
16
9
2
5
3
13
-5
-3
1
0
8
5
-2
-1
PR – Individu (untuk Minggu Depan) Carilah harga-harga operasi matriks balikan berikut, periksalah
ulang jawabnya menggunakan fungsi “minverse()” dari MS-Excel: (a).
1 0 1 A 1 1 2 ; 1 0 1
(b).
2 2 C 1 2
(c).
AB
(d).
AB BA
(e).
CD D1 C
1
2 3 1 2
4 7 ; 6 7
dan CD
1
1
1 2 3 3
4 0 2 B 1 2 3 2 1 0
1
2 1 1 1 5 1 6 7 D 5 0 6 8 3 0 4 5
