25/09/2013
Konsep Peubah Acak Metode Statistika (STK211) Pertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)
•
• Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). • Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan g kejadian--kejadian alam. kejadian • Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil.
Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:
Kuis
a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang contoh ! Berikan minimal dua contoh untuk ruang contoh!
Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah: X = munculnya sisi dadu yang bermata genap = {0, 1} Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Daerah fungsi S1 . S2 . S3 . S4 . S5 . S6.
Wilayah fungsi
• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang kejadian j ! Berikan minimal dua contoh untuk ruang kejadian
X(ei) .0 .1
Tipe Peubah Acak • Diskret ¾ Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable) ¾ Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A
Peubah Acak Diskret
• Kontinu ¾ Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable) ¾ Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval ¾ Misalkan X = tinggi badan (cm)
1
25/09/2013
• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret • Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut • Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1
Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang setimbang SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut: p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
• Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut
Sisi yang muncul Kejadian
• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.
Latihan (1) Dua buah mata uang dilempar bersamabersamasama. Jika masingmasing-masing memiliki sisi yang seimbang, senaraikanlah ruang contohnya. Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka pada kedua mata uang, maka k definisikan d fi i ik peubah b h acak k tersebut. Lengkapi dengan sebaran peluang dari peubah acak tersebut.
x
S1
S2
S3
S4
S5
S6
Peluang kejadian
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
X
0
1
0
1
0
1
0
1
P(X=x)
1/2
1/2
X
0
1
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret • Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulangberulang-ulang sampai tak berhingga kali. • Secara matematis nilai harapan p dapat p dirumuskan sebagai berikut: n
Ε( X ) = ∑ x x p ( xi ), jika X p.a diskret i =1
Sifat--sifat nilai harapan: Sifat • Jika c konstanta maka E(c ) = c • Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X) • Jika X dan Y peubah acak maka E(X± E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
Ragam Peubah Acak •
Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut: V(X) = E(XE(X-E(X))2 = E(X2) – [E(X)] 2 tunjukkan !
•
Sifat Sifat--sifat dari ragam J a c konstanta o s a a maka a a V(c (c ) = 0 ¾ Jika ¾ Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c2 V(X) ¾ Jika X dan Y peubah acak maka, V(X±Y) = V(X) + V(Y) ± Cov(X,Y) Dimana: Cov(X,Y) = E(XE(X-E(X))E(YE(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
2
25/09/2013
Contoh:
Beberapa sebaran peluang diskret
• Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel di bawah
• Bernoulli
• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah: E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6
• Binomial • Poisson
E(3X) ( ) = 3 E(X) ( ) = 45/6 Nilai peubah Acak X X
0
1
2
3
4
5
P(X=xI)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Xip(xi)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2 = 55/6 - 225/36 = 105/36
Sebaran Peluang Bernoulli Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%
¾Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal ¾Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gaga gagal ¾Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:
Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.
P(x,p)=pxq(1-x), x=0,1
¾E(X) = p
var(X)= p(1-p)
Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan
Sebaran Peluang Binomial ¾Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas ¾Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n 0, , , , ¾Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai: P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)! ¾E(X) =np var(X)=np(1-p)
S
S
S
G
S
S
S
S
G
S
G
S
S G G
G S G
G
G
p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas ⎛ 3⎞ x=3 P( X = 3) = ⎜⎜ ⎟⎟ p 3 (1 − p ) 3−3 ⎝ 3⎠ x=2
⎛ 3⎞ P( X = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ p 2 (1 − p)3− 2 ⎝ 2⎠
G G S
x=1
⎛ 3⎞ P( X = 1) = ⎜⎜ ⎟⎟ p1 (1 − p ) 3−1 ⎝1⎠
G
x=0
⎛ 3⎞ P( X = 0) = ⎜⎜ ⎟⎟ p 0 (1 − p ) 3−0 ⎝0⎠
Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p
3
25/09/2013
Latihan Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:
Peubah Acak Kontinu
a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu? b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?
Beberapa sebaran peluang kontinu • Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu • Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang • Integral fungsi kepekatan peluang dari semua kemungkinan nilai sama dengan 1
• Normal • Weibull • Gamma
• P Peluang l d darii suatu t selang l nilai il i d dapatt dib dibentuk t k dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut
• Beta
Sebaran Normal
Bentuk sebaran normal dengan berbagai nilai ragam
0.4500 0.4000 0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000
¾Bentuk sebaran simetrik ¾Mean, median dan modus berada dalam satu titik ¾Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai berikut: 2 1 x− μ X
⎞ ⎟
σ ⎠
50 40 Pe ercent
⎛
− ⎜ 1 f ( x, μ , σ ) = e 2⎝ 2π σ 2
Variable ragam 1 ragam 3 ragam - 5 ragam -10
60
30 20
¾Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan b normal:
p (a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x) dx = F (b) − F ( a ) a
• P (μ - θ < x < μ + σ ) = 0.683 • P (μ - 2θ < x < μ + 2σ ) = 0.954
¾Peubah acak (X) dengan mean (μ) dan ragam (σ2) menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (μ, σ2)
10 0
-36
-24
-12
0 Data
12
24
36
Semakin besar ragam dari sebaran normal maka semakin landai bentuk sebarannya
4
25/09/2013
Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu • Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka panjang • Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:
• Lakukan transformasi dari X ∼ N( N(μ μ , σ2) menjadi peubah acak normal baku Z ∼ N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi • Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z ∼ N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku
∞
Ε( X ) =
• Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbedaberbeda-bedaÎ bedaÎ perhitungan peluang akan sulit
∫ xi f ( xi )dx, jika X p.a kontinu
−∞
Z=
Cara penggunaan tabel normal baku ¾ Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua) ¾ Nilai p peluang g didalam tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z
Nilai Z
0.00
0.01
0.02
0.03
-2.6
0.005
0.005
0.004
0.004
-2.5
0.006
0.006
0.006
0.006
-2.4
0.008
0.008
0.008
0.008
X −μ
σ
Latihan Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2. Hitunglah, 1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm? 2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm? 3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm? 4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut!
P(Z<-2.42)=0.008
Contoh Soal
Latihan Soal
• Dalam suatu bagian terdapat tiga orang karyawan laki-laki dan dua orang karyawan wanita. Manajer ingin memutasi dua orang karyawan dari bagian tersebut. Jika didefinisikan peubah acak X sebagai banyaknya karyawan wanita yang dimutasi :
• Diketahui bahwa gaji menyebar normal dengan nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara acak:
• Tentukan sebaran peluang dari peubah acak X tersebut! • Tentukan E(X)!
• Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2 juta? • Tentukan peluang gaji antara 2,3 2 3 juta sampai 3,2 juta? • Jika 23% orang mempunyai gaji tertinggi, tentukan batas bawah dari range tersebut!
• Tentukan V(X)!
5
