2
Akar Persamaan NonLinear
Beberapa metoda untuk mencari akar yang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner. Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan x2 −x−6 = 0 ruas kiri difaktorkan menjadi (x − 3)(x − 2) = 0 sehingga diperoleh akar persamaannya adalah x = 2 dan x = 3, dan sebagainya. Akan tetapi, akar persamaan akan sulit dicari jika persamaan tersebut tidak dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat yang bukan pecahan. Sebagai contoh adalah akar dari persamaan x3 − x2 + 4x − 1 = 0. Grafik fungsi f (x) = x3 − x2 + 4x − 1 diberikan sebagai berikut.
akar
f( x ) = x
3
- x
2
+4x - 1
Jelas bahwa grafik fungsi memotong sumbu horisontal di sekitar x = 0.5, dengan nilai sesungguhnya belum dapat diketahui. Ada tiga metoda yang akan dipelajari di sini, yaitu metoda bagi dua, metoda Newton (-Raphson) dan metoda Sekan. Masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing.
2.1
Metoda Bagi Dua (Bisection )
Misalkan f suatu fungsi kontinu yang nilainya berbeda tanda pada kedua ujung selang tertutup [a, b] dengan a < b. Dengan kata lain, f (a) f (b) < 0. Maka f mempunyai suatu akar pada selang (a, b). Jadi, ada bilangan r dengan a < r < b sehingga f (r) = 0. Algoritma Metoda Bagi dua adalah sebagai berikut 1. Tentukan selang lokasi akar [a, b], dengan f (a), f (b) 6= 0. 2. Tentukan titik tengah selang, yakni c0 = dan [c0 , b].
a+b . 2
Bagi menjadi dua subselang [a, c0 ]
3. Periksa nilai dari f (a).f (c0 ). Jika nilainya negatif, maka selang [a, c0 ] adalah selang lokasi akar yang baru. Sebaliknya jika nilainya positif maka selang lokasi akar yang baru adalah [c0 , b]. Jika f (c0 ) = 0, maka c0 adalah akar dari persamaan. 7
4. Ulangi langkah 1 dan seterusnya untuk c1 dan seterusnya. Iterasi dihentikan jika telah didapat ci dengan error yang dikehendaki. Algoritma tersebut diilustrasikan sebagai berikut.
f(a)f(c0) < 0 [
a
c0 =0.5
[
]
b
a
]
c1 =0.25
c0 =0.5
b
f(c1)f(c0) < 0
Langkah 1
Langkah 2
Contoh: Diketahui fungsi f (x) = x sin x. Tentukan x yang menyebabkan f (x) = 1 dengan metoda bagi dua. Diketahui nilai x tersebut berada pada selang [0, 2]. Solusi: Persamaan yang dimaksud adalah f (x) = 1
−→ x sin x = 1
−→ x sin x − 1 = 0
(4)
Mulai dengan a0 = 0 nilai f (0) = −1.000000 dan b0 = 2, nilai f (2) = 0.818595. Akar dari = 1. persamaan(4) terletak pada selang [0, 2]. Titik tengah selang ini adalah c0 = 0+2 2 Diperoleh f (c0 ) = −0.158529. Sehingga nilai f (c0 )f (b0 ) < 0. Akar berada pada selang [1, 2]. Kita bekerja pada selang a1 = 1 dan b1 = 2. Langkah-langkahnya ditabelkan sebagai berikut k ak ck bk f(ck ) 0 0 1 2 −0.158529 1 1 1.5 2 0.496242 2 1 1.25 1.5 0.186231 3 1 1.125 1.25 0.015051 4 1 1.0625 1.125 −0.071827 5 1.0625 1.09375 1.125 −0.028362 .. .. .. .. .. . . . . . Kriteria untuk penghentian iterasi adalah banyaknya iterasi yang dibatasi, misalkan sebanyak 4 kali. Iterasi dapat pula dihentikan berdasarkan error, misalkan dibatasi bahwa errornya tidak boleh lebih dari 0.05. Untuk soal ini, jika kriteria penghentiannya adalah berdasarkan jumlah iterasi sebanyak 4 maka akarnya adalah c4 = 1.0625 dan jika kriteria penghentiannya adalah berdasarkan error maka akar persamaan tersebut adalah c5 = 1.09375. Tugas Mandiri Dengan metoda Bagi dua tentukan akar dari persamaan berikut 1. ex − 2 − x = 0, [a0 , b0 ] = [−2.4, −1.6] 2. cos(x) + 1 − x = 0, [a0 , b0 ] = [0.8, 1.6] 8
3. ln(x) − 5 + x = 0, [a0 , b0 ] = [3.2, 4.0] 4. x2 − 10x + 23 = 0, [a0 , b0 ] = [6.0, 6.8]
2.2
Metoda Newton (-Raphson)
Jika f adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan f ′ pada selang tertutup [a, b], maka untuk mencari akar persamaan fungsi yang terletak pada selang tersebut dapat digunakan metoda Newton. Algoritma metoda Newton adalah sebagai berikut. 1. Ambilah suatu titik tebakan awal x0 yang dekat dengan posisi akar. 2. Dari titik tersebut, hitunglah nilai f (x0 ) dan f ′ (x0 ). Tarik garis singgung dengan kemiringan f ′ (x0 ) sampai memotong sumbu x.Titik perpotongan garis singgung dengan sumbu x ini akan menjadi titik tebakan yang baru, sebutlah x1 . 3. Ulangi langkah 1 dan seterusnya hingga diperoleh titik xi yang menghasilkan f (ai ) dengan error yang diinginkan. Titik xi yang demikian adalah akar persamaan yang diperoleh secara numerik. y
y
f(x0)
x0
x1
x2
x
x1
x
f(x1)
f(x)
f(x) Langkah 2
Langkah 1
y
y
f(x2)
akar
x2
x3
x
f(x3)
x3
f(x)
x
f(x)
Langkah 3
Langkah 4
Contoh: Tentukan akar dari f (x) = x3 − 2 sin x dengan tebakan awal x0 = 1 sebanyak 3 kali iterasi. Solusi: Diketahui x0 = 1 maka f (x0 ) = f (1) = −0.6829. Tarik garis singgung dari titik (1, −0.6829) sehingga memotong sumbu x. Persamaan garis singgung ini adalah y − f (x0 ) = f ′ (x)(x − x0 ) 9
Sehingga titik tebakan barunya menjadi 0 − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) −f (x0 ) = xf ′ (x0 ) − x0 f ′ (x0 ) f (x0 ) x = x0 − ′ f (x0 )
(5)
Persamaan (5) adalah rumusan untuk mencari titik tebakan baru. Secara umum, untuk mencari titik tebakan awal ke n + 1 adalah xn+1 = xn −
f (xn ) f ′ (xn )
(6)
Pada soal ini, turunan fungsi f (x) adalah f ′ (x) = 3x2 − 2 cos x Perhitungannya ditabelkan sebagai berikut n 0 1 2 3
xn 1 1.3558 1.2500 1.2364
f (xn ) −0.6829 0.5382 0.0552 0.0008
f ′ (xn ) 1.9194 5.0879 4.0569
Dengan demikian diperoleh akar persamaan tersebut adalah x = 1.2364. Tugas Mandiri 1. Gunakan metode Newton untuk menentukan akar dari e−x − cos x = 0 dengan tebakan awal x0 = π2 sampai dengan 5 iterasi. 2. Gunakan metode Newton untuk menentukan titik potong dari dua buah kurva yang diberikan pada nomor 1. Bandingkanlah hasilnya dengan nomor 1. 3. Analisa apa yang terjadi jika metode Newton digunakan untuk mencari akar dari persamaan 2x3 − 9x2 + 12x + 15 = 0 dengan tebakan awal x0 = 3, x0 = 1.5, dan x0 = 4. Tentukan pula akar dari persamaan tersebut dengan menggunakan metode bisection pada selang [−1, 2] 4. Selesaikan persamaan tak linear berikut ini dengan terlebih dahulu mengeliminasi y, kemudian gunakan metode Newton untuk mencari x dengan tebakan awal x0 = 1. ½ 3 x − 2xy + y 7 − 4x3 y = 5 y sin x + 3x2 y + tan x = 4 2
5. Gunakan metode Newton untuk mencari akar dari persamaan e−x = cos x + 1 dengan tebakan awal x0 = 0, x0 = 1, dan x0 = 4.
10
2.3
Metoda Secant
Metode ini mirip dengan metode Newton, hanya saja f ′ (xn ) pada persamaan (6) diganti dengan hampiran yang mudah dihitung. Karena turunan didefinisikan sebagai f (x + h) − f (x) h→0 h
f ′ (x) = lim sehingga untuk h yang kecil,
f (x + h) − f (x) h Khususnya, jika x = xn dan h = xn−1 − xn , maka akan diperoleh f ′ (x) ≈
f ′ (xn ) ≈
f (xn−1 ) − f (xn ) xn−1 − xn
Jika hasil ini disubstitusikan pada metode Newton, maka akan diperoleh metode secant, yaitu xn − xn−1 xn+1 = xn − f (xn ) f (xn ) − f (xn−1 ) Contoh: Gunakan metode secant untuk menentukan akar dari f (x) = x3 −2 sin x dengan x0 = 1 dan x2 = 2 sampai 5 kali iterasi. Solusi: n xn f (xn ) 0 1 −0.6829 1 2 6.1814 2 1.0995 −0.4528 3 1.1610 −0.2696 4 1.2514 0.0609 5 1.2347 −0.0056 6 1.2362 −0.0001 Pada bagian ini, diperkenalkan tiga metode untuk menyelesaikan persamaan f (x) = 0. Jika metode bisection dapat digunakan, maka metode ini akan selalu konvergen, namun kekonvergenan ini lebih lambat dibandingkan dengan dua metode yang lainnya. Metode bisection ini memerlukan dua tebakan awal (yaitu di ujung-ujung selang), sama seperti metode secant. Syarat kedua metode ini lebih ringan dibandingkan dengan metode Newton. Metode bisection dan secant, fungsinya cukup kontinu, sedangkan pada metode Newton, fungsinya haruslah diferensiabel. Kelebihan metode Newton adalah hanya memerlukan satu tebakan awal saja. Sama seperti metode secant, kekonvergenannya lebih cepat dibandingkan dengan metode bisection. Namun, demikian kedua metode ini tidak selalu konvergen. Tugas Mandiri 1. Gunakan metode bisection, Newton, dan secant untuk mencari akar terbesar dari persamaan x5 − 5x + 3 = 0 sampai dengan 4 desimal di belakang koma (semua akar dari persamaan tersebut berada pada selang [−3, 3]). 2. Gunakan metode secant untuk mencari akar dari himpunan fungsi fk (x) = 2e−k x + 1 − 3e−kx untuk k = 1, 2, 3, . . . , 10. Gunakan selang [0, 1]. 11
