15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15.1 Jumlah Riemann
Dalam kuliah Kalkulus pada tahun pertama, integral Riemann biasanya diperkenalkan sebagai limit dari ‘jumlah Riemann’, tidak melalui integral Riemann atas dan integral Riemann bawah. Hal ini memang dimungkinkan, karena nilai limit dari jumlah Riemann tersebut sama dengan integral Riemann yang kita bahas pada Bab 13. Seperti pada bab sebelumnya, sepanjang bab ini I menyatakan interval [a, b], kecuali bila kita nyatakan lain. Misalkan f : I → R terbatas dan P := {x0 , x1 , . . . , xn } partisi dari I. Jika tk adalah bilangan sedemikian sehingga xk−1 ≤ tk ≤ xk untuk k = 1, 2, . . . , n, maka jumlah
S(P, f ) :=
n X
f (tk )(xk − xk−1 )
k=1
disebut sebagai suatu jumlah Riemann untuk f , yang terkait dengan partisi P dan titik-titik sampel tk . Catat bahwa untuk sebuah partisi P terdapat tak terhitung banyaknya cara memilih titik-titik sampel tk , dan karenanya terdapat tak terhitung banyaknya jumlah Riemann yang terkait dengan partisi P . Untuk fungsi f ≥ 0 pada I, jumlah Riemann dapat diinterpretasikan sebagai jumlah luas daerah persegipanjang dengan lebar xk − xk−1 dan tinggi f (tk ). Jika partisi P cukup halus, maka masuk akal untuk mengharapkan bahwa jumlah Riemann S(P, f ) akan menghampiri luas daerah di bawah kurva y = f (x). Dalam hal ini, nilai S(P, f ) mestilah cukup dekat ke nilai integral dari f pada I, bila f terintegralkan pada I. Perhatikan bahwa untuk sembarang partisi P dari I dan untuk sembarang 117
118
Hendra Gunawan
pemilihan titik sampel tk ∈ Ik := [xk−1 , xk ], kita mempunyai mk ≤ f (tk ) ≤ Mk ,
k = 1, 2, . . . , n,
dengan mk := inf f (Ik ) dan Mk := sup f (Ik ). Akibatnya, n X
mk (xk − xk−1 ) ≤
k=1
n X
f (tk )(xk − xk−1 ) ≤
k=1
n X
Mk (xk − xk−1 ),
k=1
yakni L(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ U (P, f ). Jadi, jumlah Riemann untuk f senantiasa bernilai di antara jumlah Riemann bawah dan jumlah Riemann atas, terlepas dari bagaimana caranya kita memilih titik-titik sampel tk . Catat khususnya jika batas bawah mk dan batas atas Mk tercapai oleh f pada [xk−1 , xk ] untuk tiap k = 1, 2, . . . , n, maka jumlah Riemann bawah dan jumlah Riemann atas sama dengan jumlah Riemann untuk titik-titik sampel tertentu. Secara umum, jumlah Riemann bawah maupun atas bukan jumlah Riemann (karena nilai mk dan Mk tidak harus tercapai oleh f ). Namun demikian, dengan memilih titik-titik sampel secara cermat, kita dapat memperoleh jumlah Riemann yang cukup dekat ke jumlah Riemann bawah atau ke jumlah Riemann atas. Soal Latihan 1. Misalkan f (x) = x, x ∈ [0, b]. Untuk sembarang partisi P := {x0 , x1 , . . . , xn } dari [0, b], pilih titik-titik sampel tk = 21 (xk +xk−1 ). Hitunglah jumlah Riemann S(P, f ) dengan titik-titik sampel ini. 2. Misalkan f : I → R terbatas, P := {x0 , x1 , . . . , xn } partisi dari I, dan > 0 sembarang. (a) Tentukan titik-titik sampel tk sedemikian sehingga n X
f (tk )(xk − xk−1 ) − L(P, f ) < .
k=1
(b) Tentukan titik-titik sampel tk sedemikian sehingga U (P, f ) −
n X k=1
f (tk )(xk − xk−1 ) < .
Pengantar Analisis Real
119
15.2 Integral sebagai Limit Rb Di sini kita akan melihat bahwa a f (x) dx dapat dipandang sebagai ‘limit’ dari jumlah Riemann S(P, f ), dalam arti tertentu. Teorema 1. Misalkan f terintegralkan pada I. Maka, untuk setiap > 0 terdapat suatu partisi P dari I sedemikian sehingga untuk sembarang partisi P ⊇ P dan sembarang jumlah Riemann S(P, f ) berlaku Z S(P, f ) −
a
b
f (x) dx < .
Bukti. Diberikan > 0 sembarang, pilih partisi P dari I sedemikian sehingga U (P , f ) − L(P , f ) < . Selanjutnya ambil sembarang partisi P ⊇ P . Maka, menurut Proposisi 1 pada Subbab 13.1, kita mempunyai L(P , f ) ≤ L(P, f ) ≤ U (P, f ) ≤ U (P , f ). Akibatnya, U (P, f ) − L(P, f ) < . Sekarang misalkan S(P, f ) adalah sembarang jumlah Riemann yang terkait dengan P . Maka, L(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ U (P, f ). Sementara itu, kita juga mempunyai Z L(P, f ) ≤
b
f (x) dx ≤ U (P, f ).
a
Dari kedua ketaksamaan ini kita peroleh Z b f (x) dx ≤ U (P, f ) − L(P, f ) < , S(P, f ) − a
dan teorema pun terbukti. Teorema berikut merupakan kebalikan dari Teorema 1. Buktinya diserahkan sebagai latihan.
120
Hendra Gunawan
Teorema 2. Misalkan f terbatas pada I. Misalkan terdapat suatu bilangan A ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap > 0 terdapat partisi P dari I sedemikian sehingga untuk sembarang partisi P ⊇ P dan sembarang jumlah Riemann S(P, f ) berlaku |S(P, f ) − A| < . Maka f terintegralkan pada I dan Z
b
f (x) dx = A. a
Soal Latihan 1. Buktikan Teorema 2. 2. Misalkan f (x) = x, x ∈ [0, b]. Gunakan Teorema 1 dan Soal Latihan 15.1 No. Rb 1 untuk menyimpulkan bahwa 0 x dx = 12 b2 . 3. Gunakan Teorema 1 untuk memberikan bukti alternatif untuk Teorema Dasar Kalkulus II (Teorema 6 pada Sub-bab 14.2).
15.3 Teorema Darboux Terdapat cara lain melihat integral sebagai limit dari jumlah Riemann. Misalkan I := [a, b] dan P := {x0 , x1 , . . . , xn } adalah partisi dari I. Ukuran kehalusan dari P , dilambangkan dengan kP k, didefinsikan sebagai kP k := sup{xk − xk−1 : k = 1, 2, . . . , n}. Dalam perkataan lain, kP k adalah panjang sub-interval maksimum yang terkait dengan partisi P . Catat bahwa dua partisi berbeda dapat memiliki kehalusan yang sama. Selain itu, jika P ⊆ Q (yakni, Q merupakan perhalusan dari P ), maka kQk ≤ kP k. Namun sebaliknya kQk ≤ kP tidak mengharuskan Q ⊆ P . Teorema berikut memperlihatkan bahwa jika f terintegralkan pada I, maka integral f pada I merupakan limit dari jumlah Riemann untuk kP k → 0.
121
Pengantar Analisis Real
Teorema 3 (Teorema Darboux). Misalkan f terintegralkan pada I. Maka, untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika Q adalah partisi dari I dengan kQk < δ, maka untuk sembarang jumlah Riemann S(Q, f ) berlaku Z b f (x) dx < . S(Q, f ) − a Bukti. Diberikan > 0 sembarang, terdapat partisi P := {x0 , x1 , . . . , xn } sedemikian sehingga U (P , f ) − L(P , f ) < . 3 Akibatnya, jika P ⊇ P , maka U (P, f ) − L(P, f ) <
. 3
Selanjutnya misalkan M := sup{|f (x)| : x ∈ I} dan δ :=
12M n .
Ambil sembarang partisi Q := {y0 , y1 , . . . , ym } dari I dengan kQk < δ dan misalkan Q∗ := Q ∪ P . Maka Q∗ ⊇ P dan Q∗ mempunyai sebanyak-banyaknya n − 1 titik lebih banyak daripada Q, yakni titik-titik x1 , . . . , xn−1 yang ada di P tetapi tidak di Q. Selanjutnya kita akan membandingkan U (Q, f ) dengan U (Q∗ , f ), serta L(Q, f ) dengan L(Q∗ , f ). Karena Q∗ ⊇ Q, kita mempunyai U (Q, f ) − U (Q∗ , f ) ≥ 0. Jika kita tuliskan Q∗ = {z0 , z1 , . . . , zp }, maka U (Q, f ) − U (Q∗ , f ) dapat dinyatakan sebagai jumlah dari sebanyak-banyaknya 2(n − 1) suku berbentuk (Mj − Mk∗ )(zk − zk−1 ), dengan Mj menyatakan supremum dari f pada sub-interval ke-j dalam Q dan Mk∗ menyatakan supremum dari f pada sub-interval ke-k dalam Q∗ . Karena |Mj − Mk∗ | ≤ 2M dan |zk − zk−1 | ≤ kQ∗ k ≤ kQk < δ, kita peroleh 0 ≤ U (Q, f ) − U (Q∗ , f ) ≤ 2(n − 1) · 2M · δ < Akibatnya, kita dapatkan U (Q, f ) < U (Q∗ , f ) + . 3 Serupa dengan itu kita juga mempunyai L(Q∗ , f ) −
< L(Q, f ). 3
. 3
122
Hendra Gunawan
Rb Selanjutnya kita tahu bahwa S(Q, f ) dan a f (x) dx terletak dalam interval [L(Q, f ), U (Q, f )], dan karena itu keduanya berada dalam interval I := [L(Q∗, f ) − , U (Q∗ , f ) + ]. 3 3 Karena Q∗ ⊇ P , kita mempunyai U (Q∗ , f ) − L(Q∗ , f ) < 3 , sehingga panjang I Rb lebih kecil daripada . Jadi jarak antara S(Q, f ) dan a f (x) dx mestilah lebih kecil daripada , sebagaimana yang ingin kita buktikan. Kebalikan dari Teorema 3 juga berlaku. Teorema 4. Misalkan f : I → R terbatas. Misalkan terdapat suatu bilangan B ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk sembarang partisi P dari I dengan kP k < δ dan sembarang jumlah Riemann S(P, f ) berlaku |S(P, f ) − B| < . Maka f terintegralkan pada I dan Z
b
f (x) dx = B. a
Soal Latihan 1. Buktikan Teorema 4. (Petunjuk. Gunakan Teorema 2.) 2. Buktikan bahwa f terintegralkan jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika kP k < δ dan kQk < δ, maka |S(P, f ) − S(Q, f )| < .