1. Pologrupy, monoidy a grupy

Matematický ustav Slezske´ univerzity v Opaveˇ ´ ´ sce ALGEBRA I, zimn´ı semestr 2002/2003 Uˇcebn´ı texty k pˇrednaˇ Michal Marvan

1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého stolet´ı je nauka o algebraických strukturách. Struktury se osvˇedˇcily jako prostˇredek ke sjednocen´ı a utˇr´ıdˇen´ı dosaˇzeného poznán´ı v matematice. Struktura obecnˇe je vˇzdy zadána na nˇejaké mnoˇzinˇe. Algebraická struktura je zpravidla zadána jako jedna cˇ i nˇekolik algebraických operac´ı. Mezi uˇziteˇcné algebraické struktury patˇr´ı jiˇz struktury s jednou asociativn´ı binárn´ı operac´ı; nazývaj´ı se pologrupy. Bohatˇs´ı jsou monoidy a grupy. Dalˇs´ı cˇ asto se vyskytuj´ıc´ı struktury poznáme pozdˇeji: okruhy, pole, vektorové prostory a svazy. Obecnˇe plat´ı u´ mˇera: cˇ´ım bohatˇs´ı struktura, t´ım v´ıce výsledk˚u pro ni m˚uzˇ eme odvodit, ale t´ım ménˇe pˇr´ıklad˚u pro ni nalezneme.

1. Binárn´ı operace 1.1. Definice. Binárn´ı operace na mnoˇzinˇe A je libovolné zobrazen´ı A × A −→ A. Tud´ızˇ , zadat binárn´ı operaci ∗ na mnoˇzinˇe A je totézˇ , co zadat pˇredpis, který libovolné dvojici (x, y) prvk˚u z A (nazývaj´ı se operandy) pˇriˇrad´ı nˇejaký jednoznaˇcnˇe urˇcený prvek z A (výsledek operace), který zpravidla oznaˇcujeme x ∗ y (symbolem binárn´ı operace um´ıstˇeným mezi operandy). Dalˇs´ı cˇ asto pouˇz´ıvané symboly binárn´ıch operac´ı jsou · , +, ◦. Zápis a · b se cˇ asto zkracuje na ab. Pˇr´ıklad. Bud’ N = {0, 1, 2, . . .} ⊂ Z mnoˇzina vˇsech pˇrirozených cˇ´ısel. Zobrazen´ı N × N −→ N, které dvojici pˇrirozených cˇ´ısel (a, b) ∈ N × N pˇriˇrazuje aritmetický souˇcet a + b ∈ N, je binárn´ı operace na mnoˇzinˇe N. Pˇr´ıklad. Na koneˇcné mnoˇzinˇe, napˇr´ıklad A = { ♥, ♠, ♦, ♣ } je moˇzno zadat operaci ,,“ tabulkou, napˇr´ıklad

♥

♠

♦

♣

♥ ♠ ♦ ♣

♥ ♥ ♥ ♥

♥ ♠ ♥ ♠

♥ ♥ ♦ ♦

♥ ♠ ♦ ♣

Podle této tabulky napˇr´ıklad ♠ ♣ = ♠.

ˇ 1.2. Definice. Rekneme, zˇ e binárn´ı operace ,, ∗ “ na mnoˇzinˇe A je asociativn´ı, jestliˇze pro kaˇzdé tˇri prvky a, b, c ∈ A plat´ı a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. Závorky pak m˚uzˇ eme vynechat a psát prostˇe a ∗ b ∗ c. Podobnˇe a ∗ b ∗ c ∗ d = a ∗ (b ∗ (c ∗ d)) = ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d = (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d atd. ˇ 1.3. Definice. Rekneme, zˇ e binárn´ı operace ,, ∗ “ na mnoˇzinˇe A je komutativn´ı, jestliˇze pro kaˇzdé dva prvky a, b ∈ A plat´ı a ∗ b = b ∗ a.

1. Pologrupy, monoidy a grupy

Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e operace ,,“ na mnoˇzinˇe A = { ♥, ♠, ♦, ♣ } ze shora uvedeného pˇr´ıkladu je asociativn´ı a komutativn´ı. Návod: S jakou symetri´ı tabulky je spojena komutativita operace ,,“? Asociativitu provˇeˇrte pro kaˇzdou ze 43 = 64 trojic a, b, c sestavených z prvk˚u ♥, ♠, ♦, ♣ nebo poˇckejte na pozdˇejˇs´ı pˇrednásˇku o svazech.

2. Pologrupy Asociativn´ı binárn´ı operace ,, ∗ “ na mnoˇzinˇe A zadává strukturu pologrupy: ˇ 2.1. Definice. (1) Rekneme, zˇ e je dána pologrupa (A, ∗), je-li dána – mnoˇzina A; – binárn´ı operace ,, ∗ “ na A, která je asociativn´ı. (2) Pologrupa (A, ∗) se nazývá komutativn´ı, je-li operace ,, ∗ “ nav´ıc komutativn´ı. Je tézˇ moˇzno ˇr´ıci, zˇ e A je pologrupa vzhledem k operaci ,, ∗ “. Je-li binárn´ı operace urˇcena kontextem, lze m´ısto o pologrupˇe (A, ∗) hovoˇrit prostˇe o pologrupˇe A. Pˇr´ıklad. R˚uzné pˇr´ıklady komutativn´ıch pologrup poskytuj´ı známé cˇ´ıselné obory. Máme pologrupy (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) resp. (C, +) pˇrirozených, celých, racionáln´ıch, reálných resp. komplexn´ıch cˇ´ısel, vzhledem k operaci obvyklého sˇc´ıtán´ı. Máme tézˇ pologrupy (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) resp. (C, ·) vzhledem k operaci obvyklého násoben´ı.

Pologrupa s binárn´ı operac´ı oznaˇcenou symbolem ,, + “ se nazývá aditivn´ı. Dodrˇzuje se zásada, zˇ e aditivnˇe se zapisuj´ı pouze komutativn´ı pologrupy. Pologrupa s binárn´ı operac´ı oznaˇcenou symbolem ,,·“ se nazývá multiplikativn´ı. (Jde o aditivn´ı cˇ i multiplikativn´ı zp˚usob zápisu.) 2.2. Pˇr´ıklad. Prodejn´ı automat rozeznává tˇri moˇzné vstupy, které oznaˇc´ıme po ˇradˇe (mince), (tlaˇc´ıtko) a (zásah operátora). Necht’ A = { , , }, oznaˇcme S A mnoˇzinu vˇsech koneˇcných a neprázdných posloupnost´ı s sestavených ze symbol˚u , , . Zaved’me operaci ,,·“ na mnoˇzinˇe S A tak, zˇ e pro dvˇe posloupnosti s, t ∈ S A bude s·t posloupnost vzniklá napojen´ım posloupnosti t za posloupnost s. Napˇr´ıklad: · = . Operace ,,·“ na mnoˇzinˇe S A je zˇrejmˇe asociativn´ı (provˇeˇrte), ale nen´ı komutativn´ı. Dostáváme tak pˇr´ıklad nekomutativn´ı pologrupy. 2.3. Pˇr´ıklad. Bud’ X libovolná neprázdná mnoˇzina. Uvaˇzujme o mnoˇzinˇe X X vˇsech zobrazen´ı X −→ X . Pro skládán´ı zobrazen´ı ,,◦“ plat´ı asociativn´ı zákon, tud´ızˇ (X X , ◦) je pologrupa. Cviˇcen´ı. Dokaˇzte, zˇ e pologrupa (X X , ◦) je komutativni právˇe tehdy, kdyˇz mnoˇzina X má jeden prvek. Návod: (a) Má-li mnoˇzina X jediný prvek, X = { a }, pak X X má tézˇ jediný prvek, a sice zobrazen´ı id X : a −→ a. (b) Obsahuje-li X dva r˚uzné prvky, ˇreknˇeme c1 = c2 , zaved’te zobrazen´ı f 1 jako x −→ c1 pro kaˇzdé x ∈ X (konstantn´ı zobrazen´ı s hodnotou c1 ) a podobnˇe f 2 jako x −→ c2 pro kaˇzdé x ∈ X . Ukaˇzte, zˇ e f 1 ◦ f 2 = f 2 ◦ f 1 . Cviˇcen´ı. Bud’ A libovolná neprázdná mnoˇzina, bud’ na A zadána operace ,,o2 “ (,,druhý operand“) pˇredpisem a o2 b = b. (1) Dokaˇzte, zˇ e (A, o2 ) je pologrupa. (2) Dokaˇzte, zˇ e pologrupa (A, o2 ) je komutativn´ı právˇe tehdy, kdyˇz mnoˇzina A má jeden prvek.

3. Monoidy 3.1. Definice. Bud’ ,, ∗ “ binárn´ı operace na mnoˇzinˇe A. Prvek e ∈ A se nazývá neutráln´ı prvek vzhledem k operaci ,, ∗ “, jestliˇze pro kaˇzdý prvek a ∈ A plat´ı a ∗ e = a = e ∗ a. 2


Cviˇcen´ı. Ovˇeˇrte, zˇ e v naˇs´ı pologrupˇe A = { ♥, ♠, ♦, ♣ } s operaci ,,“ je prvek ♣ neutrálnim prvkem.

3.2. Tvrzen´ı. V mnoˇzinˇe A se zadanou binárn´ı operac´ı ,,∗“ existuje nejvýsˇ e jeden neutráln´ı prvek. ˚ 3.3. Dukaz. Jsou-li e , e dva neutráln´ı prvky, pak e = e ∗ e = e . Prvn´ı rovnost plat´ı, protoˇze e je neutráln´ı prvek, druhá rovnost plat´ı, protoˇze e je neutráln´ı prvek. 3.4. Definice. Monoid (A, ∗, e) je pologrupa (A, ∗) s neutráln´ım prvkem e. Monoid (A, ∗, e) se nazývá komutativn´ı, je-li pologrupa (A, ∗) komutativn´ı. Pˇripomeˇnme, zˇ e podle posledn´ıho tvrzen´ı maj´ı dva monoidy se stejnou binárn´ı operac´ı na stejné mnoˇzinˇe i stejné neutráln´ı prvky. Pˇr´ıklad. Máme aditivn´ı monoidy (N, +, 0), (Z, +, 0), (Q, +, 0), (R, +, 0), (C, +, 0) a multiplikativn´ı monoidy (N, ·, 1), (Z, ·, 1), (Q, ·, 1), (R, ·, 1), (C, ·, 1). Vˇsechny jsou komutativn´ı. Neutráln´ı prvek v aditivn´ım monoidu se obvykle oznaˇcuje symbolem 0, neutráln´ı prvek v multiplikativn´ım monoidu se obvykle oznaˇcuje symbolem 1. Pˇr´ıklad. Bud’ X libovolná neprázdná mnoˇzina. Pak (X X , ◦, id X ) je monoid. Je nekomutativn´ı, pokud X má v´ıce neˇz jeden prvek (cviˇcen´ı). Pˇr´ıklad. Bud’ A koneˇcná mnoˇzina, kterou nazveme abeceda. Definujme slovo nad abecedou A jako koneˇcnou ˇ ıslo n se nazývá délka slova, znaˇc´ı se (α). Pro n = 0 posloupnost α = a1 a2 · · · an , n ≥ 0, prvk˚u ai ∈ A. C´ dostáváme prázdné slovo, znaˇc´ı se ω a máme (ω) = 0. Mnoˇzina vˇsech neprázdných slov nad abecedou A se znaˇc´ı S ∗A , mnoˇzina vˇsech slov nad abecedou A vˇcetnˇe prázdného se znaˇc´ı S A . Na mnoˇzinˇe S ∗A zavedeme binárn´ı operaci. Jsou-li α = a1 a2 · · · a p , β = b1 b2 · · · bq dvˇe slova, pak se slovo a1 a2 · · · a p b1 b2 · · · bq znaˇc´ı α · β. Nazývá se sloˇzen´ı slov α a β. Na mnoˇzinˇe S A zavedeme binárn´ı operaci ,, · “ stejnˇe jako na mnoˇzinˇe S ∗A a nav´ıc poloˇz´ıme α · ω = ω · α = α pro kaˇzdé α ∈ S A . Pro libovolná slova α, β, γ ∈ S A pak plat´ı asociativn´ı zákon (ovˇeˇrte) a nav´ıc existuje neutráln´ı prvek, a sice ω. Dostáváme monoid (S A , ·, ω). Nazývá se monoid slov nad abecedou A. Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e (S ∗A , ·) je pologrupa ale nen´ı monoid. Návod: Pro libovolná slova α, β plat´ı (α · β) = (α) + (β). Pˇripust’te, zˇ e β je neutráln´ı prvek. Cviˇcen´ı. Pˇridán´ı neutráln´ıho prvku k pologrupˇe. Bud’ (A, ∗) pologrupa. Vyberme jakýkoliv prvek e, který neleˇz´ı v A. Oznaˇcme A• = A ∪ { e }. Zaved’me zobrazen´ı A• × A• −→ A• pˇredpisem  a ∗ b jestliˇze a, b ∈ A,   a jestliˇze a ∈ A, b = e, (a, b) −→  b jestliˇze b ∈ A, a = e,   e jestliˇze a = b = e. (1) Ukaˇzte, zˇ e A• s touto binárn´ı operac´ı je monoid s neutráln´ım prvkem e. (2) Pokud pologrupa (A, ∗) jiˇz mˇela neutráln´ı prvek, kolik neutráln´ıch prvk˚u bude m´ıt A• ? (3) Ovˇeˇrte, zˇ e S ∗A • = S A .

4. Grupy 4.1. Definice. Bud’ (A, ∗, e) monoid. Prvek a ∈ A se nazývá invertibiln´ı, jestliˇze existuje prvek b ∈ B takový, zˇ e a ∗ b = b ∗ a = e. 3


Prvek b se nazývá inverzn´ı k prvku a. 4.2. Tvrzen´ı. Bud’ (A, ∗, e) monoid. Je-li prvek a ∈ A invertibiln´ı, pak k nˇemu existuje právˇe jeden prvek inverzn´ı. ˚ 4.3. Dukaz. Existence: Alespoˇn jeden inverzn´ı prvek k prvku a existuje, protoˇze a je invertibiln´ı. Jednoznaˇcnost: Pˇripust’me, zˇ e dva prvky b , b ∈ A jsou inverzn´ı k prvku a. Pak máme b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ b ) = (b ∗ a) ∗ b = e ∗ b = b . Vid´ıme, zˇ e kaˇzdé dva inverzn´ı prvky k prvku a se rovnaj´ı. Cviˇcen´ı. Vysvˇetlete kaˇzdou z rovnost´ı v pˇredchoz´ım d˚ukazu.

4.4. Definice. Monoid, jehoˇz kaˇzdý prvek je invertibiln´ı, se nazývá grupa. Tud´ızˇ , v grupˇe ke kaˇzdému prvku a existuje právˇe jeden prvek inverzn´ı. Znaˇc´ı se obvykle a −1 , pouze v aditivn´ım zápisu se uˇz´ıvá oznaˇcen´ı −a. S grupou (A, ∗, e) je pak spojeno zobrazen´ı A −→ A, a −→ a −1 a taková grupa se oznaˇcuje (A, ∗, e, −1 ); v aditivn´ım zápisu obvykle (A, +, 0, −). Pˇr´ıklady. (1) Aditivn´ı grupy (Z, +, 0, −), (Q, +, 0, −), (R, +, 0, −), (C, +, 0, −) celých, racionáln´ıch, reálných a komplexn´ıch cˇ´ısel. (2) Multiplikativn´ı grupy (Q∗ , ·, 1, −1 ), (R∗ , ·, 1, −1 ) a (C∗ , ·, 1, −1 ) nenulových racionáln´ıch, nenulových reálných a nenulových komplexn´ıch cˇ´ısel. Zde Q∗ = Q \ { 0 } a podobnˇe v ostatn´ıch pˇr´ıpadech. (3) Je-li X neprázdná mnoˇzina, pak symetrická grupa S(X ) je mnoˇzina vˇsech bijekc´ı X −→ X , spolu s operacemi ,,◦“ skládán´ı bijekcc´ı, identickou bijekc´ı id X jako neutráln´ım prvkem a inverz´ı ,,−1 “. Je nekomutativn´ı, má-li X v´ıce neˇz dva prvky. (4) Na libovolné jednoprvkové mnoˇzinˇe existuje jediná struktura grupy. V multiplikativn´ım zápisu: jediný prvek je nutnˇe totoˇzný s jedniˇckou grupy 1, operace jsou nutnˇe zadány pˇredpisem 1 · 1 = 1 a 1−1 = 1. 4.5. Poznámka. Kaˇzdé zobrazen´ı A −→ A se nazývá unárn´ı operace na A. Kromˇe toho se zavád´ı nulárn´ı operace na mnoˇzinˇe A jako libovolný vybraný prvek mnoˇziny A. Na grupˇe (A, ∗, e) pak máme kromˇe binárn´ı operace ,,∗“ i unárn´ı operaci ,,−1 “ a nulárn´ı operaci e. Cviˇcen´ı. (1) Dokaˇzte, zˇ e monoid (Z, ·, 1) nen´ı grupa. Návod: Dokaˇzte, zˇ e rovnice 2x = 1 nemá ˇreˇsen´ı v oboru celých cˇ´ısel. (2) Dokaˇzte podrobnˇe, zˇ e (Q∗ , ·, 1, −1 ), (R∗ , ·, 1, −1 ) a (C∗ , ·, 1, −1 ) jsou grupy. Návod: Povaˇzujte za dokázaný fakt, zˇ e ke kaˇzdému nenulovému racionáln´ımu (reálnému, komplexn´ımu) cˇ´ıslu a existuje pˇrevrácené cˇ´ıslo a −1 splˇnuj´ıc´ı a · a −1 = 1. Pro a, b ∈ Q∗ dokaˇzte (sporem), zˇ e a · b ∈ Q∗ a zˇ e a −1 ∈ Q∗ . Podobnˇe pro R∗ a C∗ .

Následuj´ıc´ı formule jsou uˇziteˇcné pˇri poˇc´ıtán´ı v grupách: 4.6. Lemma. Bud’ (G, ∗, 1, −1 ) grupa. Pak pro libovolná a, b ∈ G plat´ı: (1) Jestliˇze a ∗ b = 1, pak b = a −1 , a = b−1 ; (2) 1−1 = 1; (3) (a −1 )−1 = a; (4) (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a −1 . ˚ 4.7. Dukaz. (1) Necht’a ∗ b = 1, pak b = 1 ∗ b = a −1 ∗ a ∗ b = a −1 ∗ 1 = a −1 . Podobnˇe druhá rovnost (cviˇcen´ı). (2) Plyne z (1) a rovnosti 1 ∗ 1 = 1. (3) Plyne z (1) a rovnosti a −1 ∗ a = 1. (4) Plyne z (1) a rovnosti a ∗ b ∗ b−1 ∗ a −1 = 1. 4


5. Podpologrupy Algebraické podstruktury jsou podmnoˇziny algebraických struktur, které jsou ,,uzavˇrené“ vzhledem ke vˇsem algebraickým operac´ım, pˇredepsaným pro danou strukturu. Samy se pak stávaj´ı algebraickými strukturami téhoˇz typu.

5.1. Definice. Bud’ (A, ∗) pologrupa, bud’ B ⊆ A podmnoˇzina. Necht’plat´ı implikace: 1◦ jestliˇze b1 , b2 ∈ B, pak b1 ∗ b2 ∈ B. Potom se B nazývá podpologrupa pologrupy A. Pˇredpisem (b1 , b2 ) −→ b1 ∗ b2 je pak zadáno zobrazen´ı B × B −→ B, tj. binárn´ı operace na B. Oznaˇcuje se zpravidla týmˇz symbolem ∗. Pro vˇsechny prvky z B plat´ı asociativn´ı zákon (protoˇze plat´ı dokonce pro vˇsechny prvky z A). M˚uzˇ eme proto hovoˇrit o podpologrupˇe (B, ∗). Kratˇs´ı oznaˇcen´ı podpologrupa B je ovˇsem postaˇcuj´ıc´ı. Kaˇzdá pologrupa (A, ∗) obsahuje jako podpologrupy sama sebe a prázdnou pologrupu ∅. Tyto podpologrupy se nazývaj´ı triviáln´ı podpologrupy. Pˇr´ıklad. (1) Máme do sebe vloˇzené aditivn´ı pologrupy (N, +) ⊂ (Z, +) ⊂ (Q, +) ⊂ (R, +) ⊂ (C, +) i multiplikativn´ı pologrupy (N, ·) ⊂ (Z, ·) ⊂ (Q, ·) ⊂ (R, ·) ⊂ (C, ·). ˇ adná z aditivn´ıch pologrup (N, +) ⊂ (Z, +) ⊂ (Q, +) ⊂ (R, +) ⊂ (C, +) nen´ı podpologrupou v zˇ a´ dné (2) Z´ z multiplikativn´ıch pologrup (N, ·) ⊂ (Z, ·) ⊂ (Q, ·) ⊂ (R, ·) ⊂ (C, ·), ani naopak. D˚uvodem je odliˇsnost algebraických operac´ı. Cviˇcen´ı. Uvaˇzujme o pologrupˇe (S A , ·) vˇsech koneˇcných a neprázdných posloupnost´ı sestavených z prvk˚u mnoˇziny A = { , , }. Ukaˇzte, zˇ e následuj´ıc´ı podmnoˇziny jsou podpologrupy: (1) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, zakonˇcených symbolem . (2) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, v nichˇz po kaˇzdém následuje . (3) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, obsahuj´ıc´ıch alespoˇn jeden symbol . (4) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, obsahuj´ıc´ıch sudý poˇcet symbol˚u . (5) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, neobsahuj´ıc´ıch zˇ a´ dný symbol . Ukaˇzte, zˇ e následuj´ıc´ı podmnoˇziny nejsou podpologrupy: (6) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, jejich´z prvn´ı symbol je shodný s posledn´ım. (7) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, v nich´z po nenásleduje . (8) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, kde na sudých m´ıstech jsou . Cviˇcen´ı. Uvaˇzujme o pologrupˇe (X X , ◦) vˇsech zobrazen´ı X −→ X . Ukaˇzte, zˇ e následuj´ıc´ı podmnoˇziny jsou podpologrupy: (1) Podmnoˇzina vˇsech injektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X . (2) Podmnoˇzina vˇsech surjektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X . (3) Podmnoˇzina vˇsech bijektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X . (1 ) Podmnoˇzina vˇsech neinjektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X . (2 ) Podmnoˇzina vˇsech nesurjektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X . Necht’ X má alespoˇn tˇri prvky. Ukaˇzte, zˇ e následuj´ıc´ı podmnoˇziny nejsou podpologrupy: (4) Podmnoˇzina vˇsech zobrazen´ı f : X −→ X , která splˇnuj´ı f ◦ f = id X . (4 ) Podmnoˇzina vˇsech zobrazen´ı f : X −→ X , která nesplˇnuj´ı f ◦ f = id X . Jak je tomu v pˇr´ıpadˇe, zˇ e X má právˇe dva prvky? Problém k rˇ eˇsen´ı. Pro které mnoˇziny X je mnoˇzina vˇsech nebijektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X podpologrupa v XX? Cviˇcen´ı. Uvaˇzujme o pologrupˇe (A, o2 )“ (,,druhý operand“). Dokaˇzte, zˇ e kaˇzdá podmnoˇzina B ⊆ A je podpologrupa.

5


6. Podmonoidy Podmonoidy jsou podpologrupy, které nav´ıc obsahuj´ı i neutráln´ı prvek. 6.1. Definice. Bud’ (A, ∗, e) monoid, bud’ B podmnoˇzina v A. Necht’plat´ı 1◦ jestliˇze b1 , b2 ∈ B, pak b1 ∗ b2 ∈ B 2◦ e ∈ B. Potom se B nazývá podmonoid monoidu A. Prvek e ∈ B je potom neutráln´ım prvkem v pologrupˇe (B, ∗), naˇceˇz (B, ∗, e) je rovnˇezˇ monoid. Kaˇzdý monoid (A, ∗, e) obsahuje jako podmonoidy sama sebe a monoid ({ e }, ∗, e). Tyto podmonoidy se nazývaj´ı triviáln´ı podmonoidy. Pˇr´ıklad. Máme do sebe vloˇzené aditivn´ı monoidy (N, +, 0) ⊂ (Z, +, 0) ⊂ (Q, +, 0) ⊂ (R, +, 0) ⊂ (C, +, 0) resp. multiplikativn´ı pologrupy (N, ·, 1) ⊂ (Z, ·, 1) ⊂ (Q, ·, 1) ⊂ (R, ·, 1) ⊂ (C, ·, 1). Cviˇcen´ı. Uvaˇzujme o monoidu (S ∗A , ·, ω) vˇsech koneˇcných posloupnost´ı sestavených z prvk˚u mnoˇziny A = { , , } vˇcetnˇe prázdné posloupnosti ω. Ukaˇzte, zˇ e následuj´ıc´ı podmnoˇziny jsou podmonoidy: (2∗ ) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, v nichˇz po vˇzdy následuje . (4∗ ) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, obsahuj´ıc´ıch sudý poˇcet symbol˚u . (5∗ ) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, neobsahuj´ıc´ıch zˇ a´ dný . Ukaˇzte, zˇ e následuj´ıc´ı podmnoˇzina nen´ı podmonoid: (1∗ ) Podmnoˇzina vˇsech posloupnost´ı, zakonˇcených symbolem . Cviˇcen´ı. Uvaˇzujme o monoidu (X X , ◦, id X ) vˇsech zobrazen´ı X −→ X . Ukaˇzte, zˇ e následuj´ıc´ı podmnoˇziny jsou podmonoidy: (1) Podmnoˇzina vˇsech injektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X . (2) Podmnoˇzina vˇsech surjektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X . (3) Podmnoˇzina vˇsech bijektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X . Ukaˇzte, zˇ e následuj´ıc´ı podmnoˇziny nejsou podmonoidy: (1 , 2 ) Podmnoˇzina vˇsech neinjektivn´ıch resp. nesurjektivn´ıch zobrazen´ı X −→ X .

6.2. Upozornˇen´ı. Podpologrupa B v monoidu A m˚uzˇ e být sama o sobˇe monoidem a pˇritom nebýt podmonoidem v A. Pˇr´ıklad. Necht’ A = { ♠, ♥ } s operac´ı ,,“ zadanou tabulkou

♥

♠

♥ ♠

♥ ♥

♥ ♠

Pak je ♠ neutráln´ı prvek a (A, , ♠) je monoid. Podmnoˇzina B = { ♥ } je uzavˇrená na operaci , takˇze (B, ) je podpologrupa. Nav´ıc má pologrupa (B, ) neutráln´ı prvek ♥, takˇze (B, , ♥) je monoid. Souˇcasnˇe vˇsak (B, , ♥) nen´ı podmonoid v monoidu (A, , ♠), protoˇze maj´ı odliˇsné neutráln´ı prvky.

7. Podgrupy Podgrupa B je podmonoid, který s kaˇzdým svým prvkem b obsahuje i prvek b−1 k nˇemu inverzn´ı. Opˇet je jasné, zˇ e podgrupa je sama grupou. 7.1. Definice. Bud’ (A, ∗, e, −1 ) grupa, bud’ B ⊆ A podmnoˇzina. Necht’plat´ı 1◦ jestliˇze b1 , b2 ∈ B, pak b1 ∗ b2 ∈ B; 2◦ e ∈ B 3◦ jestliˇze b ∈ B, pak b−1 ∈ B. 6


Potom se B nazývá podgrupa grupy A. Kaˇzdá grupa (A, ∗, e, −1 ) obsahuje jako podgrupy sama sebe a grupu ({ e }, ∗, e, −1 ). Tyto podgrupy se nazývaj´ı triviáln´ı podgrupy. Pˇr´ıklad. Máme do sebe vloˇzené aditivn´ı podgrupy (Z, +, 0, −) ⊂ (Q, +, 0, −) ⊂ (R, +, 0, −) ⊂ (C, +, 0, −) resp. multiplikativn´ı podgrupy (Q∗ , ·, 1, −1 ) ⊂ (R∗ , ·, 1, −1 ) ⊂ (C∗ , ·, 1, −1 ). Cviˇcen´ı. (1) Ukaˇzte, zˇ e dvouprvková mnoˇzina {−1, 1} je podgrupa multiplikativn´ı grupy R∗ . (2) Ukaˇzte, zˇ e mnoˇzina S = {z ∈ C | |z| = 1} je podgrupa multiplikativn´ı grupy C∗ .

Podstruktury, které jsme zat´ım poznali, i ty, které jeˇstˇe poznáme, vykazuj´ı urˇcité shodné vlastnosti. D˚ukazy následuj´ıc´ıch tvrzen´ı jsou snadná cviˇcen´ı. 7.2. Tvrzen´ı. 1. Bud’ (A, ∗) pologrupa, bud’ (B, ∗) podpologrupa v (A, ∗) a bud’ (C, ∗) podpologrupa v (B, ∗). Pak (C, ∗) je podpologrupa v (A, ∗). 2. Bud’ (A, ∗) pologrupa, bud’te (B, ∗) a (C, ∗) podpologrupy v (A, ∗). Pak je (B ∩ C, ∗) podpologrupa v (A, ∗). Analogická tvrzen´ı plat´ı tézˇ pro podmonoidy a podgrupy. 8. Podgrupy aditivn´ı grupy Z Jednou z algebraických u´ loh je popsat vˇsechny podstruktury dané struktury. Vyˇreˇs´ıme ji pro aditivn´ı grupu Z = (Z, +, 0, −). Pro pˇrirozené cˇ´ıslo m ∈ N oznaˇcme mZ = { mk | k ∈ Z } = {. . . , −2m, −m, 0, m, 2m, . . .}. Ukázˇ eme, zˇ e podmnoˇzinami mZ jsou vyˇcerpány vˇsechny podgrupy grupy Z. 8.1. Tvrzen´ı. Podmnoˇziny mZ ⊆ Z jsou podgrupy v grupˇe Z a jiné podgrupy v grupˇe Z nejsou. ˚ 8.2. Dukaz. Ukaˇzme, zˇ e podmnoˇziny mZ jsou podgrupy. Jsou-li km, lm libovolné dva prvky mnoˇziny mZ, pak km + lm = (k + l)m je rovnˇezˇ prvek mnoˇziny mZ, cˇ´ımˇz je dokázána uzavˇrenost na binárn´ı operaci sˇc´ıtán´ı. Neutráln´ı prvek 0 grupy Z také leˇz´ı v kaˇzdé z mnoˇzin mZ. Nakonec, je-li km libovolný prvek mnoˇziny mZ, pak −(km) = (−k)m je rovnˇezˇ prvek mnoˇziny mZ, cˇ´ımˇz je dokázána uzavˇrenost na inverzn´ı (opaˇcné) prvky. Nyn´ı dokaˇzme, zˇ e kaˇzdá podgrupa B ⊆ Z je shodná s nˇekterou podgrupou mZ. Jistˇe 0 ∈ B (podle definice B obsahuje neutráln´ı prvek). Rozeznávejme dva pˇr´ıpady: a) B = { 0 }. Pak B = 0Z (pˇr´ıpad m = 0) a jsme hotovi. b) B = { 0 }. Pak tedy existuje cˇ´ıslo b ∈ B, r˚uzné od nuly. Nav´ıc existuje kladné cˇ´ıslo b+ ∈ B. Skuteˇcnˇe, je-li výsˇe zm´ınˇené cˇ´ıslo b ∈ B kladné, poloˇz´ıme b+ = b, je-li naopak záporné, poloˇz´ıme b+ = −b (inverzn´ı prvek −b je cˇ´ıslo kladné a rovnˇezˇ leˇz´ı v B, protoˇze B je podgrupa). A nakonec, existuje nejmenˇs´ı kladné cˇ´ıslo m ∈ B, protoˇze v neprázdné mnoˇzinˇe kladných celých cˇ´ısel vˇzdy existuje nejmenˇs´ı cˇ´ıslo. Dokaˇzme, zˇ e takto urˇcené cˇ´ıslo m je hledané cˇ´ıslo, pro nˇezˇ mZ = B. Ukaˇzme nejdˇr´ıve, zˇ e mZ ⊆ B. Jiˇz v´ıme, zˇ e 0 ∈ B a m ∈ B. Matematickou indukc´ı se snadno dokázˇ e, zˇ e km = (k − 1)m + m leˇz´ı v B pro kaˇzdé kladné k ∈ N. Pak ovˇsem i inverzn´ı prvky −km leˇz´ı v B, a t´ım je ukázáno, zˇ e vˇsechny prvky mnoˇziny mZ leˇz´ı v B. Zbývá dokázat inkluzi B ⊆ mZ. O libovolnˇe zvoleném prvku b ∈ B ukaˇzme, zˇ e b ∈ mZ. Proved’me celoˇc´ıselné dˇelen´ı cˇ´ıslem m = 0 s cˇ a´ steˇcným pod´ılem q a zbytkem r : b = mq + r,

0 ≤ r < m. 7


Pak r = b − mq = b + (−q)m je rovnˇezˇ prvek podgrupy B. Kdyby r = 0, pak by r bylo kladným prvkem mnoˇziny B, menˇs´ım neˇz prvek m, coˇz je v rozporu s definic´ı prvku m. Proto r = 0, naˇceˇz b = mq, a tedy b ∈ mZ, coˇz se mˇelo ukázat.

8

1. Pologrupy, monoidy a grupy

Recommend Documents