Algebra I RNDr. Libor Polk.
Zpisky z pednky zpracoval:
Ji Dobe
20. dubna 1995
Obsah
1 Grupy 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10
Grupy zbytkovch td : : : : : : : : : : : Zkladn vlastnosti grup : : : : : : : : : : Podgrupy : : : : : : : : : : : : : : : : : : Mor smy : : : : : : : : : : : : : : : : : : Cayleho vty : : : : : : : : : : : : : : : : Klasi kace cyklickch grup : : : : : : : : Souiny grup : : : : : : : : : : : : : : : : Klasi kace konench komutativnch grup Lagrangeova vta : : : : : : : : : : : : : : Faktorov grupy : : : : : : : : : : : : : :
2 Okruhy a polynomy
Zaveden pojmu okruh : : : : : : : : : Zkladn vlastnosti : : : : : : : : : : : Vtan vlastnost okruh : : : : : : : : Podokruhy : : : : : : : : : : : : : : : Homomor smy okruh, podlov tleso Polynomy : : : : : : : : : : : : : : : : Koeny polynom : : : : : : : : : : : : Polynomy nad C, R, Q : : : : : : : :
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
: : : : : : : :
: : : : : : : :
1
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: : : : : : : : : :
: 3 : 6 : 7 : 8 : 8 : 9 : 9 : 9 : 9 : 10
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
: : : : : : : :
11
11 12 13 13 14 15 17 18
1 Grupy Nejdve uvedeme nkter zkladn pojmy: Binrn operace na mnoin A je zobrazen : A A A . Msto (a b) peme a b. (A ) Mnoina A s operac se nazv grupoid. Operace je komutativn, plat-li a b A : a b = b a. Operace je asociativn, plat-li a b c A : (a b) c = a (b c). Pologrupa je grupoid s asociativn operac. Lev neutrln prvek e A spluje a A : e a = a.
8
2
!
8
2
8
1
2
2
1 GRUPY
2
Prav neutrln prvek e A spluje a A : a e = a. Neutrln prvek je lev neutrln a prav neutrln. Monoid je pologrupa s neutrlnm prvkem. Vta 1.1 2
8
2
Nech e je lev neutrln prvek a f prav neutrln prvek grupoidu (A ). Pak
e = f. Dkaz:
e=e f =f
grupoid me mt vce nap. levch neutrlnch prvk, m-li i njak prav neutrln prvek, pak m jedin neutrln prvek, tedy i jedin lev neutrln prvek. 2
Denice 1.2
Nech (A ) je grupoid s neutrlnm prvkem e, a A. b A se nazv lev (resp. prav) inverzn prvek k a, plat-li b a = e (a b = e). Prvek b se nazv inverzn, spluje-li a b = b a = e.
2
2
Vta 1.3
Nech (A e) je monoid, a A, nech b je lev inverzn k a, c je prav inverzn k a. Pak b = c.
2
Dkaz:
c = e c = (b a) c = b (a c) = b e = b
Denice 1.4
Permutace na mnoin X je bijekce f : X vech permutac na mnoin X. Zejm plat f g S (X ), pak g f S (X ). 2
!
2
X . S (X ) ozname jako mnoinu
2
Denice 1.5
Grupa je pologrupa s neutrlnm prvkem takov, e ke kadmu prvku existuje prvek inverzn.
Poznmka 1.6
Grupa (S (X ) ) se nazv symetrick grupa na mnoin X. Jde o grupu vech permutac na mnoin X. Je komutativn prv, kdy X 2. Pro X konenou lze pedpokldat, e X = 1 2 : : : n , peme Sn . Sn = n!
j
f
g
j
j
j
Denice 1.7
Nech (i1 i2 : : : ik ), k 2 jsou po dvou rzn prvky z 1 : : : n . Permutaci danou pedpisem: f (ij ) = ij+1 pro j = 1 : : : k 1 f (ik ) = i1 f (i) = i pro i 1 2 : : : n i1 i2 : : : ik nazvme cyklem. Cyklus dlky 2 nazvme transpozic. Cykly (i1 : : : ik ) a (j1 : : : jl ) nazvme nezvisl, plat-li i1 : : : ik j1 : : : jl =
f
g
;
2 f
f
g\ f
g;f
g
g
Vta 1.8
Libovolnou neidentickou permutaci f mnoiny X = 1 2 : : : n lze pst jako souin po 2 nezvislch cykl. Tento rozklad je jednoznan a na poad initel. f
g
1 GRUPY
3
Vta 1.9
Kad f Sn je souinem transpozic. 2
Denice 1.10
Nech f Sn , 1 i < j n. Dvojice (i j ) je inverz v f, plat-li f (i) > f (j ). Permutace se sudm (lichm) potem inverz se nazv sud (lich). 2
Vta 1.11
Permutace je sud prv, kdy je souinem sudho potu transpozic.
Dkaz: Identick permutace je sud a je souinem nula transpozic. Sta ukzat, e nsoben transpozic mn paritu. 2
1.1 Grupy zbytkovch td Denice 1.12
Z, a b (a dl b) prv,kdy c Z : c a = b. Poznmka 1.13 Jen na okraj: a 0 pro a Z Nech a b
j
8
2
j
9
2
2
0 a prv pro a = 0. j
Vta 1.14
Nech a N b Z. Pak existuje q Pitom q i r jsou ureny jednoznan. 2
2
2
Z, r
2 f
0 1 : : : a 1 tak,e b = q a + r. ;
g
Dkaz: 1. b 0 indukc vzhledem k b (a) b < a sta pst b = 0 a + b, kde q = 0 r = b: (b) b a podle induknho pedpokladu b a = q a + r q Z r 0 : : : a 1 b = (q + 1) a + r 2. b < 0 podle prvnho bodu b = q a + r b = ( q) a r pro r = 0 b = ( q 1) a + (a r) pro r > 0
;
2
2 f
;
g
;
;
;
;
;
;
Jednoznanost:
b=q a+r =q a+r 0
0
q q
0
2
Z r r
0
0 : : : a 1
2 f
;
g
Lze pedpokldat, e r r .
0
r r = (q ;
0
0
;
q) a
r r ;
0
2 f
0 1 : : : a 1 ;
g
jedin cel nsobek a v mnoin na pedchzejcm dku je 0, tedy r = r q = q 0
0
2
1 GRUPY
4
Denice 1.15
Nech a b Z. d nazveme spolenm dlitelem sel a,b, plat-li d a d b. d nazveme nejvtm spolenm dlitelem sel a,b, je-li mezi spolenmi dliteli nejvt. Oznaujeme (a b). 2
j
^
j
Vta 1.16 Euklidv algoritmus Nech a b N. 2
a = q1 b + r1 b = q2 r1 + r2 r1 = q3 r2 + r3 ::: rn 2 = qn rn 1 + rn rn 1 = qn+1 rn
; ;
Plat r1
0 b),r2
2 h
0 r1 ),r3
2 h
2 h
;
0 r2 ), atd. Pak rn = (a b).
Dkaz: 1. dokeme, e rn je spolen dlitel a,b z posledn rovnosti rn rn z pedposledn r n rn .. .. . . 3. r n r1 2. rn b 1. rn a
;
j
;
1 2
j
j j j
2. a e rn je nejvtm spolenm dlitelem: Nech d a a zrove d b, j
j
rn N
z 1.rovnosti d r1 z 2. d r2 .. .. . . z pedp. d rn j
2
,
d rn
j
j
2
Vta 1.17
Bezoutova rovnost Nech a b 2 N. Pak existuje u v 2 Z tak,e u a + v b = (a b).
Dkaz: Vyplv z Euklidova algoritmu.
2
Denice 1.18
Z nazvme nesoudln, plat-li, e (a b) = 1 Dsledek 1.19 sla a b Z jsou nesoudln prv, kdy u v Z takov, e u a + b v = 1. Dsledek 1.20 Nech a b c N, a b c, (a b) = 1. Pak a c. sla a b
2
2
9
2
j
j
2
1 GRUPY
5
Denice 1.21 a 2 a N se nazv prvoslo, plat-li: a = b c, b c N b = 1 nebo c = 1. Lemma 1.22 Nech a N a 2. Pak lze vyjdit a jako souin prvosel. Tento rozklad je
2
2
2
)
jednoznan a na poad initel.
Dkaz: existence indukc vzhledem k a, jednoznanost indukc
2
Denice 1.23
Nech a b Z n N. a b (mod n) n (a b) je kongruentn modulo ("a je kongruentn s b modulo n"). Ozname a]n := k n + a k Z . 2
2
,
j
;
f
j
2
g
Lemma 1.24
Je ekvivalentn : 1. a b (mod n) 2. a,b dvaj pi dlen n stejn zbytek. 3. a]n = b]n
Denice 1.25 De nujeme nsledujc mnoinu: Zn := a]n a Z = 0]n 1]n : : : n 1]n v prvn mnoin vypotvme i prvky, kter jsou shodn, zato druh u je pesnm vtem (vzjemn rzn tdy tvoc rozklad Zn ), obsahuje jen zbytky po dlen. Na Zn de nujeme operaci + pedpisem: a]n + b]n := a + b]n , a dle operaci f
j
2
g
f
;
g
takto: a]n b]n := a b]n .
Vta 1.26
Pro libovoln n
2
Vta 1.27
Pro libovoln n
2
N je (Zn +) komutativn grupa.
N je (Zn ) komutativn monoid. a]n m inverzi (a n) = 1.
,
Dsledek 1.28 (Zn = 1]n 2]n : : : n 1]n ) je pro prvoseln n grupou. Poznmka 1.29 znamen, e jde o mnoinu bez nulov tdy. Pouze je-li n prvoslo, je pslun Zn uzaven na operaci a je tedy grupou. Denice 1.30 Pro n N de nujeme tzv. Eulerovu funkci '(n) jako poet sel z mnoiny
f
;
g
2
f
1 2 : : : n 1 , kter jsou nesoudln s n. ;
g
Vta 1.31
Pro prvoseln p plat '(pn ) = pn 1 :(p 1). Pro a,b nesoudln plat '(a b) = '(a) '(b)
Pklad 1.1
'(1000) = '(23 :53) = 22 :1:52:4
;
;
1 GRUPY
6
1.2 Zkladn vlastnosti grup Vta 1.32
Nech (s ) je pologrupa, n N, a1 a2 : : : an S . Pak souin prvk a1 a2 : : : an v danm poad nezvis na uzvorkovn.
2
2
Dkaz: indukc vzhledem k n 1. pro n = 1 2 nen co dokazovat 2. pro n 3 a tvrzen plat pro men n: nech a1 a2 : : : an S , uvaujme souin (a1 : : : ak ) (ak+1 an ) =
2
podle induknho pedpokladu nezvis obsah 1. zvorky na uzvorkovn ( ani 2. zvorky), = (a1 (a2 : : : ak )) (ak+1 : : : an ) = a1 (a2 : : : ak ) (ak+1 : : : an )
pro k 2 nemusme pouvat zvorek a pro k = 1 u mme poadovan tvar.
2
Vta 1.33
Je-li (S ) komutativn pologrupa, n N a1 a2 : : : an souinu prvk a1 a2 : : : an nezvis na jejich poad.
2
Denice 1.34
Bu! (s ) pologrupa a
2
S, n
2
Zejm n m 8
2
N0 plat
S . Pak vsledek
N. De nujeme an := a| a{z a}. Pokud m
n initel
pologrupa neutrln prvek 1, klademe t a0 := 1.
Lemma 1.35
2
am an = am+n (am )n = am n
Lemma 1.36
Maj-li a,b inverzi, eknme a 1 b 1 , plat, e b ;
;
;
1
a 1 je inverze a b. ;
Denice 1.37 Pro n N klademe a n := (a 1)n . Co je samozejm rovno (an ) 1 . Lemma 1.38 Opt se snadno vid, e m n Z 2
;
;
8
;
2
am an = am+n (am )n = am n
Denice 1.39
d prvku a grupy (G ) je nejmen pirozen slo n takov, e an = 1. Pokud takov n neexistuje, pravme, e a m d 0.
Pklad 1.2 V (Z +) m a = 2 d 0. V (Z6 +) je to takto:
1 GRUPY
7
0]6 m d 1.
1]6 m d 6.
2]6 m d 3.
3]6 m d 2.
4]6 m d 1.
5]6 m d 6.
Lemma 1.40
Nech (G ) je grupa, a G. 1. Nech a je du n, k Z, k = qn + r q
2
2
2
Z 0 r < n, pak
ak = ar 1 a a2 : : : an 1 jsou po 2 rzn. 2. Nech a je du 0, pak pro libovoln k l ;
2
Z k = l je ak = al 6
6
1.3 Podgrupy
Denice 1.41
Nech (G ) je grupa a H 1 H
G. H nazvme nosiem podgrupy grupy (G ), je-li
2
a H a 1 H a b H a b H 2
;
)
2
)
2
2
Denice 1.42
Grupu (H ) nazveme podgrupou grupy (G ) plat-li: H
a b = a b.
G a b
2
H
)
Pak 1G = 1H : 1H 1G = 1H = 1H 1H = 1H 1H . Pro libovoln a H je inverze
a 1 v (H ) rovna inverzi a 1 v (G ). Odvozen je analogick. ;
;
2
Vta 1.43
V dalm nebudeme mezi tmito pojmy rozliovat.
Lemma 1.44
T
Nech (G ) je grupa. (Hi )i I je systm podgrup, I = . Pak H = i I Hi je opt podgrupa.
6
2
2
Vta 1.45
Nech (G ) je grupa, M G. Pak existuje T(vzhledem k inkluzi) nejmen podgrupa grupy obsahujc mnoinu M. Je rovna i I Hi , kde (Hi )i I je systm vech podgrup, kter obsahuj mnoinu M.
2
2
Dkaz: I T= , nebo samo G je takovou podgrupou. H = i I Hi je podgrupa podle pedchozho lemmatu. Zejm M 6
H . Chci dokzat, e H je nejmen takov. Nech H' je podgrupa obsahujc M . A zejm T i0 I : H = Hi0 , ale plat, e i I Hi Hi0 . 2 2
9
2
0
2
1 GRUPY
8
Denice 1.46
Podgrupu z pedchzejc vty nazvme podgrupou generovanou mno inou M, oznaujeme M . h
i
Pklad 1.3 (Z +) je generovna napklad mnoinou 2 . Ta generuje jen podgrupu sudch sel.
1 nebo 2 3 . Nesta mnoina
f; g
f
g
f g
Denice 1.47
Grupa generovan jednoprvkovou mnoinou se nazv cyklick.
Vta 1.48
Nech (G ) je grupa, M
h
G. Pak
M = a"11 a"22 : : : a"nn n N0 a1 : : : an M "1 : : : "n i
f
j
2
2
1 1
2 f
; gg
Souin dlky 0 interpretujeme jako jedniku 1.
Dsledek 1.49
a = ak k Z . Msto a peme a .
h i
f
j
2
g
hf gi
h i
1.4 Morsmy Denice 1.50
Nech (G ), (H ) jsou grupy. Zobrazen : G H se nazv homomorsmem grupy (G ) do grupy (H ), plat-li a b G : (a b) = (a) (b). Peme : (G ) (H ) Dle oznaujeme vno en jako prost homomor smus, izomorsmus jako bijektivn homomor smus. "kme, e (G ) je izomorfn s (H ), existuje-li izomor smus (G ) na (H ), peme (G ) = (H ).
!
!
8
2
Lemma 1.51 Pirozen logaritmus ln : (R+ ) (R +) je izomor smus. Plat tak (Z6 ) = (Z7 ) Vta 1.52
!
Nech : (G ) (H ) je homomor smem grup. Pak (1G ) = 1H , pro lib. a G (a 1 ) = ((a)) 1
2
;
!
;
Poznmka 1.53 Sloen homomor sm je opt homomor smus. Zobrazen inverzn k izomor smu je izomor smus. Je-li H podgrupa grupy (G ), pak inkluze je vnoenm (a a).
7!
1.5 Cayleho v ty
Budeme pracovat s touto strukturou: nech A je mnoina. (AA ) je pologrupa.
Vta 1.54
Libovoln pologrupa je izomorfn podpologrup pologrupy (AA ) pro vhodnou mnoinu A.
1 GRUPY
9
Dkaz: Nech (S ) je pologrupa. De nujeme pro a S zobrazen a : S S vztahem fa(x) = a x pro libovoln x S . je vnoen (S ) do (S S ). Chceme dokzat, e je homomor smus: Pro a b S , x S , pak a b (x) = a:b:x. Plat a b (x) = a ( b (x)) = a (b:x) = a:b:x. Tedy jde skuten o homomor smus. Chceme navc, e je prost: a b S , a = b . Lze pedpokldat, e nae pologrupa S je monoid, nen-li, pak pidme 1. Plat a (1) = b (1), z toho a:1 = b:1, a tedy a = b. A mme
2
2
!
2
2
2
izomor smus.
2
Vta 1.55
Libovoln grupa (G ) je izomorfn s podgrupou (=lze vnoit do) grupy (PermA ) pro vhodnou mnoinu A. Za A lze vzt G.
1.6 Klasikace cyklickch grup
Vta 1.56
Libovoln nekonen cyklick grupa je izomorfn grup (Z +). Libovoln n-prvkov (n N) cyklick grupa je izomorfn grup (Zn +). 2
1.7 Souiny grup
Denice 1.57
Nech (G ), (H ) jsou grupy. Na mnoin G H de nujeme operaci takto: (a b) (a b ) := (a a b b ). (nsoben po slokch)
0
0
0
0
Lemma 1.58
(G H ) je grupa. Zobrazen : G H G (a b) a, : G H H (a b) b jsou surjektivn homomor smy grupy (G H ) na (G ) respektive (H ).
!
7!
7!
!
Vta 1.59
Nech (G ) je komutativn grupa, H a K jej podgrupy. Nech H 1 G H K (= h k h H k K ) Pak (G ) = (H ) (K ).
f g
f
j
2
2
g
\
K =
1.8 Klasikace konench komutativnch grup Vta 1.60
Nech (G ) je konen komutativn grupa, G
j
j
2. Pak
(G ) = (Zpk11 +) : : : (Zpkmm +) kde m k1 : : : km N p1 : : : pm jsou prvosla. Tento rozklad je jednoznan a na poad initel.
2
1.9 Lagrangeova v ta
Denice 1.61
Nech (G ) je grupa, H jej podgrupa, de nujme aH := a h h H , G=H := aH a G .
f
j
2
g
Lemma 1.62
Pro a b G je ekvivalentn : 1. aH = bH 2
f
j
2
g
1 GRUPY
10
2. a bH 3. b 1 a H 2
;
2
Vta 1.63
G=H je rozklad na mnoin G. Libovoln dv tdy jsou stejn mohutn.
Dkaz:
S
a G aH
G, nebo a aH . nech c aH bH , pak h k H tak,e
2
2
2
\
9
2
c = ah = b k a = b k h
j
;
1
h 1 zprava bH k h ;
2
1
;
2
H
Tedy aH = bH a jde o rozklad. Nech a G, : H aH h ah. je surjektivn a injektivn. Tedy bijekce a mezi lib. dvma tdami. Proto jsou lib. dv tdy stejn velk. 2
!
7!
2
Dsledek 1.64
Nech (G ) je komutativn grupa, G = n. Pak 1. G = G=H H , pro libovolnou podgrupu H. 2. (Lagrangeova vta) H dl G , pro libovolnou podgrupu H. 3. a G du m, pak m n. 4. je-li n prvoslo, je (G ) cyklick. 5. (Fermatova vta) a G, pak an = 1.
j
j
j
j
j j
j
j
j
2
j
j
j
j
2
Dsledek 1.65 (Euler) Nech a n N, (a n) = 1. Pak a'(n) 1 (mod n). Dkaz: uvaujme grupu invertibilnch prvk v (Zn ). Tato grupa m '(n) prvk ( 2
a]n m inverzi , (a n) = 1) a]'n(n) = 1]n
2
1.10 Faktorov grupy Denice 1.66 H.
Podgrupa H grupy (G ) se nazv normln, plat-li a G : h H : a 1 ha
8
2
G=H := aH a G - lev rozklad H G := Ha a G - prav rozklad n
f
j
2
g
f
j
2
g
Lemma 1.67
Je ekvivalentn: 1. H je normln grupa. 2. a G : aH = Ha( G=H = H G) 3. Na G/H de nujeme takto operaci: aH bH := (a b)H . 8
2
,
n
8
2
;
2
2 OKRUHY A POLYNOMY
11
Vta 1.68
Je-li (G ) grupa, H jej normln podgrupa, pak G=H s operac de novanou ve je grupa. Zobrazen natH : G G=H a aH je surjektivn homomor smus grupy (G ) na grupu (G=H ).
!
Denice 1.69
Nech : (G ) G (a) = 1 .
j
7!
!
(H ) je homomor smus grup, klademe J () := a
f
2
g
Lemma 1.70
Nech (G ) je grupa. Normln podgrupy v (G ) jsou prv jdra homomor sm vedoucch z (G ).
Dkaz: nech H je normln podgrupa v (G ). natH : (G ) J (natH ) = a G (natH )(a) = H = a G aH = H = H
f
2
j
f
2
j
!
(G=H )
g
g
Naopak, bu! : (G ) (H ) homomor smus, dokeme, e J () je normln podgrupa v (G ) : 1 J () a b J () (a) = (b) = 1 (ab) = (a) (b) = 1 (a 1 ) = ((a)) 1 = 1 1 = 1 a mme podgrupu. Normlnost: a G, b J (). Chceme a 1 ba J (). (a 1 b a) = ((a)) 1 (b) (a) = 1. 2
2
!
2
)
)
;
;
;
2
;
2
2
;
;
Lemma 1.71
J () = 1
je prost.
f g ,
Vta 1.72
Nech : (g ) (H ) je homomor smus grup. G' je normln podgrupa (G ), nech G J (). Pak existuje jedin homomor smus : (G=G ) (H ) takov, e natG = .
0
!
0
!
0
Dsledek 1.73
Nech : (G ) (H ).
!
(H ) je surjektivn homomor smus. Pak (G )=J () =
2 Okruhy a polynomy
2.1 Zaveden pojmu okruh Denice 2.1
Uspodanou trojici = (R + ) nazvme okruh, je-li (R +) komutativn grupa, (R ) monoid a jsou-li splnny tzv. distributivn zkony: R
a b c R : a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc: se nazv komutativn okruh, je-li (R ) komutativn. 8
R
2
Oznaen: 0 . . . je neutrln prvek vzhledem k +, a . . . inverzi prvku a vzhledem k + nazvme opan prvek,
;
2 OKRUHY A POLYNOMY
1 . . . je neutrln prvek vzhledem k , se nazv triviln, je-li R = 1, a b := a + ( b).
R
12
j
;
j
;
Lemma 2.2
Nech = (R + ) je okruh. Pak 1. 0a = a0 = 0 2. ( a)b = a( b) = (ab) 3. a(b c) = ab ac 4. je triviln 0 = 1 R
;
;
;
;
;
R
,
Denice 2.3 Okruh
R : (ab = 0
R )
se nazv obor integrity, je-li netriviln, komutativn a plat a b a = 0 b = 0). 8
2
_
Tedy v oboru integrity se nevyskytuj dlitel nuly nebo tak, analogicky, nenulov prvky jsou uzaveny vzhledem k nsoben.
Lemma 2.4 (Zn + ) je obor integrity n je prvoslo. Denice 2.5
Okruh
R
,
se nazv tleso, je-li (R ) komutativn grupa.
Q R C jsou tlesa. Naprosto zejm je, e je-li tleso, pak je i oborem integrity. R
R
2.2 Zkladn vlastnosti Denice 2.6
Charakteristika okruhu R je d 1 v (R +). Zname charR.
Pklad 2.1 charZn = n, seln okruhy maj charakteristiku 0. Lemma 2.7
z
Nech char = n, a R, pak plat n a = 0. (n a znamen a + a R
2
n
}|
{
+ a).
Lemma 2.8
Charakteristika oboru integrity je 0 nebo prvoslo.
Denice 2.9
Bu! komutativn okruh, a b R. a dl b, jestlie c R : a c = b. Peme a b. Prvky a,b nazvme asociovan, je-li a b b a. Peme a b. Prvek e R nazvme jednotkou (v libovolnm okruhu), m-li v (R ) inverzi. R
j
2
9
j
j
2
2
V R jsou jednotky vechna sla mimo 0 a asociovan prvky jsou vechny dvojice nenulovch sel.
Lemma 2.10 Plat:
1.
je relace ekvivalence na R.
2 OKRUHY A POLYNOMY 2.
R
13
obor integrity. Pak a b prv, kdy existuje jednotka c tak, e b = a c.
Denice 2.11
Bu! komutativn okruh, a b c d R. Prvek c je spolen dlitel prvk a,b, plat-li c a c b. Prvek c je nejvt spolen dlitel, je-li spolen dlitel a pro libovoln jin spolen dlitel d plat d c. R
2
j
j
j
Denice 2.12
Libovoln prvek a R je dliteln libovolnou jednotkou a libovolnm prvkem asociovanm s a, tyto dlitele nazvme nevlastn dlitele. 2
Denice 2.13
Prvek a R se nazv ireducibiln, je-li rzn od 0, nen jednotkou a m jen nevlastn dlitele. 2
Lemma 2.14
Nech je komutativn okruh, pak 1. pokud existuje nejvt spolen dlitel prvk a,b je uren jednoznan a na asociovanost. 2. je-li a ireducibiln, a b, pak je prvek b tak ireducibiln. R
2.3 Vtan vlastnost okruh
Vlastnost, kter je u okruh tak cenn, je jednoznanost rozkladu. Uvedeme si de nici, kter tento pojem zavd pesn.
Denice 2.15 Libovoln prvek a R , kter nen jednotkou, lze pst ve tvaru a = p1 : : : pk , kde k N, p1 : : : pk jsou ireducibiln prvky. Pokud t a = q1 ql , kde l N,
2
2
2
q1 : : : ql jsou ireducibiln, potom l = k a zrove existuje permutace mnoiny 1 k tak, e qi p(i) . f
g
Pklad 2.2 Okruh (Z + ) je s jednoznanm rozkladem, libovoln tleso je okruhem s jed
noznanm rozkladem.
2.4 Podokruhy
Denice 2.16
Nech = (R + ) je okruh, mnoina M se nazv podokruhem okruhu , plat-li M R, 0 1 M , a jestlie a b M , pak plat a + b a b a M . R
R
2
2
;
2
Poznmka 2.17
Zejmna (M +) je podgrupa grupy (R +). Zejm i (M +=M M =M M ) je okruh.
Lemma 2.18
T
Nech Si pro i I I = je podokruh okruhu = (R + ). Pak tak i I Si je podokruh. Zavedeme nsledujc oznaen: Pro libovolnou mnoinu M R existuje nejmen podokruh okruhu R obsahujc M. Nazveme ho podokruh generovan mnoinou M, ozname M ]. Dle nech S je podokruh okruhu , a R msto S a ] peme S a]. 2
6
R
2
R
2
f g
Lemma 2.19
S a] = 0 + 1 a + 2 a2 + : : : + n an n N0 0 : : : n S . f
j
2
2
g
2 OKRUHY A POLYNOMY
14
2.5 Homomorsmy okruh, podlov t leso Denice 2.20
Nech R = (R + ), S = (S + ) jsou okruhy. Zobrazen : R ! S se nazv homomorsmus okruhu R do okruhu S , plat-li:
(a + b) = (a) + (b) (a b) = (a) (b) (1) = 1 , kde a b R.
2
R
Zejmna se jedn o homomor smus grupy (R +) do grupy (S +). Dle se nazv izomorsmus, je-li bijektivn. a se nazvaj izomorfn, existuje-li izomor smus na . R
R
S
S
Lemma 2.21 Nech :
R ! S
je homomor smus okruh.
je prost
Libovoln homomor smus tles je prost a pro a R plat (a 1 ) = ((a))
,
J () := a R (a) = 0 = 0 f
2
j
g
f g 2
Lemma 2.22 Nech takto:
R
= (R + ) je obor integrity. Na mnoin R R de nujeme relaci
(a b) (c d) je relace ekvivalence.
Pak
;
,
1
;
a d = b c:
Ozname tdu ekvivalence takto: ab = (a b)]
Denice 2.23
a + c := ad + bc a c := ac b d bd b d bd a Q( ) := b (a b) R R
R
f
j
2
g
Mnoina Q( ) se oznauje tak jako podlov tleso. R
Vta 2.24
+ jsou korektn de novan operace na Q( ). (Q( ) + ) je tleso.
R
R
Denice 2.25 Racionln sla Q := Q((Z + )) Vta 2.26
Nech = (R + ) je obor integrity, : R Q( ) a a1 je prost homomor smus do Q( ). Je-li : prost homomor smus do tlesa , existuje jedin homomor smus : Q( ) takov, e = . R
R
R
!
R
R ! T
R
! T
7!
T
Denice 2.27 zaveden pirozen ch sel N0 je nejmen mnoina obsahujc a uzaven vzhledem k (unrn) operaci a
7!
a
a.
f g
2 OKRUHY A POLYNOMY
Denice 2.28
Zavedeme relaci
na N0
15
N0 takto:
(a b) (c d)
a+d =b+c
,
Jde zejm o relaci ekvivalence.
Denice 2.29
Z := (N0 N0)=
Prvek tto mnoiny vyjdme jako a takto: (a b) + (c d) := (a + c) (b + d) ;
;
;
b := (a b)] . Operace budou zavedeny
(a b) (c d) := (ac + bd) (ad + bc)
;
;
;
;
2.6 Polynomy
Denice 2.30
Nech = (R + ) je okruh. Polynomem nad nazvme posloupnost f = (f0 f1 : : :) prvk z R takovou, e skoro vechny jsou rovny 0 (tzn. vechny a na konen poet nebo od jistho msta jsou vechny nulov). R x] & je mnoina vech polynom na . Na R x] de nujeme operace + takto: R
R
R
(f0 f1 : : :) + (g0 g1 : : :) = (f0 + g0 f1 + g1 : : :) (f0 f1 : : :) (g0 g1 : : :) = (h0 h1 : : :) kde hi := j=0 fj gi j pro i = 0 1 : : :. Zejm je h0 = f0 g0 h1 = f0 g1 + f1 g0 . . .
Pi
;
Lemma 2.31
x] = (R x] + ) je okruh. Je-li komutativn, je i x] komutativn. Je-li obor integrity, je i x] obor integrity (toto neplat pro tleso !). R
R
R
R
R
Denice 2.32
Stupe polynomu f, st(f ) je nejvt n N takov, e fn = 0, kde fn je vedouc koe cient polynomu f. Stupe polynomu (0 0 : : :) klademe . 2
6
;1
Lemma 2.33
Nech f,g jsou polynomy.
st(f + g) max st(f ) st(g) st(f:g) st(f ) + st(g)
f
g
Je-li R obor integrity, plat ve 2. ppad rovnost.
Lemma 2.34
Nech R je obor integrity,f R x] . f je jednotka v R x] prv tehdy, kdy je konstantn a je jednotkou v R. (jen na okraj: ztotoujeme prvky z R a konstantn polynomy) 2
Pklad 2.3
v okruhu (Zn + ) plat: (2x + 1)(2x + 1) = 1 & tento nekonstantn polynom je jednotkou
2 OKRUHY A POLYNOMY
16
Lemma 2.35
Nech R je obor integrity, f g R x]. Nech vedouc koe cient polynomu g je jednotkou v R. Pak existuj, a to jednoznan polynomy q r R x] takov, e f = q q + r, st(r) < st(g) . 2
2
Pklad 2.4
Nejsme-li nad oborem integrity, nen jednoznanost: 2x + 1 = 1(2x + 1) + 0 = 2x(2x + 1) + 1
Vta 2.36
Je-li R tleso, f g R x]. Pak existuje nejvt spolen dlitel h tchto polynom a existuj polynomy u,v tak,e u f + v g = h 2
Dkaz: viz Euklidv algoritmus a dkaz Bezoutovy rovnosti
2
Lemma 2.37
Nech R je obor integrity. f g R x] jsou asociovny prv tehdy,kdy existuje jednotka c R tak, e g = c f . 2
2
Denice 2.38
Normovan polynom m vedouc koe cient roven 1 (jedn).
Vta 2.39
Nech R je tleso, f g R x] 0 . Pak existuje jedin jejich normovan nejvt spolen dlitel, oznaujeme ho (f g). 2
nf g
Dkaz: plyne z pedchoz vty a lemmatu o jednoznanosti NSD
2
Denice 2.40
Polynomy f,g se nazvaj nesoudln, plat-li (f g) = 1.
Vta 2.41
Nech R je tleso, f g h R x]. Jestlie f g h, (f g) = 1, pak plat f h. 2
j
j
Dkaz: viz Bezoutova rovnost
2
Denice 2.42
Polynom f se nazv ireducibiln, je-li nekonstantn a nen-li souinem dvou nekonstantnch polynom.
Pklad 2.5
V polynomech Z x]: 2 & je ireducibiln prvek (nad Z), nen ireducibiln polynom. 2x & je ireducibiln polynom, nen ireducibiln prvek.
Lemma 2.43
Nech R je tleso. Pak f R x] je ireducibiln polynom 2
,
je ireducibiln prvek.
Poznmka 2.44
Nad oborem integrity je libovoln linern polynom ireducibiln.
Vta 2.45
Nech R je tleso. Pak R x] je okruh s jednoznanm rozkladem. ( f R x] nekonstantn, f lze pst ve tvaru f = a p1 p2 : : : pk a to jedinm zpsobem a na poad initel a R, p1 p2 : : : pk jsou normovan ireducibiln polynomy) 2
2
2 OKRUHY A POLYNOMY
17
Dkaz: Existence: f R x] nekonstantn indukc vzhledem ke n:= st(f) n = 1, f se normuje n 2 bu! f je ireducibiln, pak se f normuje, nebo f = g h, st(g) st(h) 1 2
a pouiji indukn pedpoklad. Jednoznanost: f = a p1 : : : pk = b q1 : : : ql Zejm a = b jako koe cienty nejvy mocniny. Kdyby pk = q1 : : : ql bylo by (pk q1 ) = : : : (pk ql ) = 1, (pk b) = 1 a NSD je konstantn polynom. (Plat f gh (f g) = 1 f h) l-krt aplikovat, dostali bychom pk 1 tedy spor. Proto mus pk = qm (1 m l)
6
j
)
j
j
p1 : : : pk 1 = q1 : : : qm 1 qm+1 : : : ql Pouijeme dle indukci vzhledem ke k. ;
;
2
2.7 Koeny polynom Denice 2.46
Nech je R okruh, c R, f ko enem polynomu f, plat-li 2
2
R x], f = fn xn + : : : + f1 x + f0 . c se nazv
f (c) := fncn + : : : + f1 c + f0 = 0:
Lemma 2.47
Nech R je komutativn okruh, c R, f g R x]. Pak plat: 1. (f + g)(c) = f (c) + g(c) 2. (fg)(c) = f (c) g(c) 2
2
Vta 2.48
Nech R je komutativn okruh, c R, f kdy plat (x c) f . 2
;
2
R x]. Pak c je koen f prv tehdy,
2
R x], k 1. c je k-nsobn ko en f,
j
Denice 2.49
Nech R je komutativn okruh, c R, f plat-li (x c)k f , a zrove (x c)k+1 f . 2
;
j
;
6 j
Vta 2.50
Nech R je tleso, f nenulov polynom nad R, pak f m nejve n = st(f ) koen, potme-li kad tolikrt, co jeho nsobnost.
Poznmka 2.51
Vtu je mono zobecnit a na okruh integrity.
Denice 2.52
Nech R je okruh, f R x], de nujme '(f ) : R 2
Vta 2.53
!
R a
7!
f (a )
Nech R je nekonen obor integrity. Pak f = g prv tehdy, kdy '(f ) = '(g).
Denice 2.54
Nech f = an xn + : : : + a1 x + a0 De nujeme f = nan xx 1 + : : : + a1 a nazvme derivace f.
Lemma 2.55
0
;
Plat (f + g) = f + g , (f g) = f g + f g . 0
0
0
0
0
0
2 OKRUHY A POLYNOMY
18
Vta 2.56
Nech R je tleso charakteristiky 0, f R x], c R. Jestlie c je k-nsobn koen f, k 2, pak c je (k-1)-nsobn koen f . Jestlie c je jednoduch koen (nsobnosti jedna) f, pak c nen koen f . 2
2
0
0
Denice 2.57
Tleso R se nazv algebraicky uzav en, m-li kad nekonstantn polynom nad R v R koen.
Vta 2.58
(dn konen tleso nen algebraicky uzaven.
Pklad 2.6
pro R = a1 : : : an polynom f = (x a1 ) : : : (x an ) + 1 nem v R koen. f
g
;
Vta 2.59
Tleso R je algebraicky uzaven polynomy.
,
;
ireducibiln polynomy jsou prv linern
2.8 Polynomy nad C, R, Q
Vta 2.60 Zkladn vta algebry Tleso C je algebraicky uzaven. Lemma 2.61 Nech c C je koen f R x]. Pak x je koen f. Vta 2.62 Nad R jsou ireducibiln polynomy prv linern polynomy a kvadratick poly2
2
nomy se zpornm diskriminantem.
Vta 2.63
Nech f = an xn + : : : + a1 x + a0 Z x]. pq je koen f, p (p q) = 1. Pak p a0 , q an . Pro r Z plat (p rq) f (r). 2
j
Vta 2.64
Polynom f
2
j
2
;
2
Z, q Z 0 , 2
n f g
j
Z x] je ireducibiln je ireducibiln nad Q. ,
Vta 2.65 Eisensteinovo kriterium
Nech mme polynom f = an xn + : : : + a1 x + a0 Z x]. Jestlie existuje prvoslo p tak, e p a0 : : : p an 1 pnedlan p2 nedla0 potom f je ireducibiln nad Q. 2
j
Pklad 2.7 n
j
;
x + 2 je ireducibiln nad Q (pro prvoslo p=2).