Nama Kelas NPM
: Zuni Eka Sari : 5b3 : 1284202150
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR A. Pangkat Bilangan Bulat
1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut. 2x2x2 3x3x3x3x3 6x6x6x6x6x6 Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilangan-bilangan di atas dapat kita tuliskan dengan: 2 x 2 x 2 = 23
(dibaca 2 pangakat 3)
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35
(dibaca 3 pangkat 5)
6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 66
(dibaca 6 pangkat 6)
Bilangan 23, 35, 66 disebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan berpangkat an dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut. an = a x a x a … x a n
faktor
Contoh 4.1 1. 45 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 2. 76 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 3.
(-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3)
Berdasarkan penjelasan di atas, diperoleh sifat-sifat berikut ini. Misalkan a,b R dan m , n adalah bilangan bulat positif. 1. a m x a n = a
2.
m+n
am = a m- n ,m > n n a
3. ( a m)n = a
mxn
4. ( a x b )n = a n x b n m
a 5. = , untuk b ≠ 0 b
2. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif Apa yang terjadi jika m = 0 ? Dari pembahasan di atas jika dipilih m = 0, maka:
am = a m-n an a0 = a 0–n n a 1 = a -n an Jadi, a -n = atau a n = dengan a ≠ 0 Contoh 4.3 1 1. 16-3 = 16 3
1 14 3 Dari contoh tersebut dapat disimpulkan: 2. 14-3 =
Untuk a
R , a 0 berlaku a -n = atau a n =
1 a n
a -n disebut pangkat bulat negatif. 3. Bilangan Berpangkat Nol Telah diketahui sebelumnya bahwa an adalah bentuk perkalian a sebanyak n dimana a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif. am Perhatikan kembali n = a m – n pada pembahasan sebelumnya. Jika diperoleh m = n a maka diperoleh :
am =a an
m–n
1 = a0 Jadi, a 0 = 1 , dengan a ≠ 0 Untuk setiap a
R , a 0 maka berlaku a 0 = 1
Contoh 4.2 1. (6)0 = 1 2. (-45)0 = 1
B. BILANGAN PECAHAN BERPANGKAT DAN BILANGAN BERPANGKAT PECAHAN 1. Bilangan Pecahan Berpangkat Untuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahan berpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jika a, b
B, b ≠ 0, n adalah bilangan bulat positif maka:
n
a a a a axaxax...a an a x x x… = = n = b b b b bxbxbx...b b b n
n
an a faktor , jadi = n b b
Contoh 4.4 3
3 8 2 2 1. = 3 = 27 3 3 4
44 256 4 2. = 4 = 625 5 5 2. Bilangan Pecahan Berpangkat m
Bilangan a n dengan a sebagai berikut
R, m dan n
bilangan asli a ≠ 0 dan n ≠ 0 didefinisikan
m
a n n a m ,a R,a ≠ 0 ,n ≠ 0 Bilangan disebut bilangan berpangkat tak sebenar nya.
Contoh 4.5 2
1. 6 3 3 6 2 4 5
2. 8 5 8 4 D. OPERASI PADA BENTUK AKAR
1. Operasi Hitung Bentuk Akar Dua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, maupun dikalikan. a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Untuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh - contoh berikut. 1.
4 3 + 4 3 = (4+3) 3 = 7 3
2.
6 5 + 3 5 = (6-3) 3 = 3 5
Dari
contoh
di
atas,
maka
untuk
menjumlahkan
dan
mengurangkan
bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapat dirumuskan sebagai berikut. Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlaku hubungan:
a c b c = (a + b) c dan a c b c = (a + b) c Contoh 4.6 1.
7 7+ 4 7- 7
2.
5 - 6 5 +7 5
3.
3 2 + 4 8 + 7 32
4.
6 27 - 3 12 -
7
Penyelesaian : 1.
7 7 + 4 7 - 7 = (7+4-1) 7 = 10 7
2.
5 - 6 5 + 7 5 = (1-6+7) 5 = 2 5
3.
3 2 + 4 8 + 7 32 = 3 2 + (4 x 2) 2 +(7 x4) 2 = 3 2 + 8 2 + 28 2 = (3+8+28) 2 = 39 2
4.
4. 6 7 - 3 12 - 3 = (6 x 3) 3 -(3 x 2) 3 - 3 = 18 3 - 6 2 - 3 = (18 - 6 - 1) 3 = 11 3
b. Perkalian Bentuk Akar Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlaku sifat perkalian berikut.
ab
ax b=
Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar. Contoh 4.7 1.
3 (3 2 -
5)
Penyelesaian 1.
3 (3 2 -
5 ) = ( 3 (3 2 ) - ( 3 x = 3(
3 x
2)-
=3 6 -
5)
15
15
c. Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar Bentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapun pemangkatan bentuk akar akar didapat beberapa sifat. 1. Pemangkatan bentuk
a p
Jadi
n
=
p
p
p
p
n
p
a a a ... a
=
p
a a a ... a
=
p
an
a = p
a
n
p
an
Contoh 4.8
3 = 2. 9 = 4
1.
2
3
3 4 = 32 = 9 3
92 =
3
81
2. Pemangkatan bentuk dengan pangkat negative Bentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya dengan bilangan berpangkat bilangan negatif. Sehingga:
a
n
p
=
1
a
n
p
=
1 p
an
Contoh 4.9
3 2
5
=
1
3
5
2
=
1 2
35
3. Pemangkatan bentuk (a + b ) 2 dan (a - b ) 2 (a + b ) 2 = (a + b )(a + b ) = a 2 +a b +a b + ( b x
b)
= a 2 +2a b +( b ) 2 Jadi , (a + b ) 2 = a 2 +2a b +( b ) 2 Dengan cara yang sama akan diperoleh (a - b ) 2 = a 2 -2a b + ( b ) 2 Contoh 4.10 ( 3+ 3 ) 2 = 3 2 + (2 x 3 3 +( 3 ) 2 =9+6 3+3 = 12 + 6 3 (3-
5 )2 = 42 - ( 2 x 4 5) + = 16 - 8
5
2
5+5
= 21 - 8 5 4. Pemangkatan bentuk ( a + b ) 2 dan ( a - b ) 2 Pada dasarnya penyelesaian dari pemangkatan bentuk (
a +
b )
2
dan
( a - b ) 2 sama dengan penyelesaian pemangkatan bentuk ( a + b ) 2 dan ( a - b ) 2 . Sehingga :
( a + b )2 =
a
2
+(2x
a x
b )2
= a + 2 a b +b Jadi ,( a + b ) 2 = a + 2 a b +b Dengan cara yang sama maka akan diperoleh ( a - b ) 2 = a - 2 a b +b Contoh 4.11 ( 5 + 7 ) 2 = 5+2 5 7 + 7 = 12+ 2 35 ( 3 - 2 ) 2 = 3 - 2 3 2 +2 = 5+ 2 6 2. Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan Pada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat tersebut akan digunakan untuk mencari hubungan antara bentuk
n
akar dengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah a m = a mn Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka p = q dengan a > 0, a ≠ 1 Perhatikan pembahasan berikut: n
1. Misalkan
a = a p jika kedua ruas dipangkatkan n, maka diperoleh :
a = a n
n
p n
a = a np
1 = np
p=
1 n
Jadi ,
n
a= a
1 n
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka: n
a= a
1 n
Berdasarkan kesimpulan pangkat pecahan a
1 n
, selanjutnya akan diperluas pada m
pangkat pecahan dalam bentuk yang lebih umum a n . Untuk tujuan itu perhatikan pembahasan berikut : m
1 a = a n , menggunakan sifat bilangan positif m n
m
an = a
m n
a
m
n
n
=
1
, menggunakan pangkat pecahan
n
a = an
a m , menggunakan sifat pemangkatan bentuk
a = p
n
p
an
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol, m
m bilangan bulat, dan n bilangan asli n ≥ 2, maka
n
am = a n
Contoh 4.12 Ubahlah bentuk akar berikut ke dalam bentuk pangkat pecahan. a.
3
4
c.
4
23
b.
3
53
d.
3
26
Penyelesaian : a.
3
3
4= 2
2
3
3 4
c.
4
2 = 2
d.
3
26 = 2 3
2
= 23 6
b.
3
53 =
3
=
53 5
3 3
= 22 = 4
D. MERASIONALKAN BENTUK AKAR KUADRAT Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan tersebut.
1. Merasionalkan Bentuk Untuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudah daripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan dari 3, yaitu dengan merasionalkan penyebut. Cara ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar :
a x
b =
ab
a x
a =
aa = a
Selanjutnya pecahan diubah bentuknya dengan memanipulasi aljabar. Contoh 4.13
6 6 = x 3 3 =
=
3 3
6 3 3 3 6 3 3
= 2 3
Mengubah
6 3 6 menjadi atau 2 3 disebut merasionalkan penyebut pecahan. 3 3
Dari uraian diatas, dapat kita ambil kesimpulan bahwa pecahan
a ( a bilangan 3
rasional dan b bentuk akar), bagian penyebut dapat dirasionalkan, dengan mengalikan pecahan tersebut dengan
b sehingga pecahan tersebut menjadi : b a a = x b b
b a b = b b
Contoh 4.14
12 12 = x 5 5
1.
12 5 5
=
5 = 5
2.
5 5
=
5 x 2
2 2
10 2
2. Merasionalkan Bentuk Untuk merasionalkan pecahan yang berbentuk
a , terlebih dahulu perhatikan b c
perkalian pasangan bilangan b c dan b c dengan b dan c bilangan rasional dan
c bentuk akar.
b c b c = b
2
- b c + b c -c
= b2 - c
Karena b dan c bilangan rasional, maka hasil kali pasangan bilangan b c
b c
dan
b c dan b c disebut bentuk c sekawan dari b c dan sebaliknya.
juga rasional. Pasangan bilangan
bentuk akar sekawan atau dikatakan b
Dengan mengunakan sifat perkalian bentuk-bentuk akar sekawan maka penyebut bentuk
a a atau dapat dirasionalkan dengan memanipulasi aljabar. b c b c a b c
a. Pecahan Bentuk Untuk pecahan
a diubah menjadi : b c
a a b c = x b c b c b c =
a b c b2 c
a b c
b. Pecahan Bentuk Untuk pecahan
a disederhanakan menjadi : b c
a a b c = x b c b c b c =
a b c b2 c
Contoh 4.15 1.
2.
3 3 5 2 = x 5 2 5 2 5 2
=
3 5 2 52 2
=
15 3 3 23
3 = 32
3 32 3 22
=
=
32 32
3 x 32
3 2 3 1
= - 3 2 3
3. Merasionalkan Bentuk
a atau b c
a b c
a dapat dirasionalkan dengan b c mengunakan manipulasi aljabar yang hampir sama dengan merasionalkan penyebut a pecahan yang berbentuk . b c Penyebut pecahan yang berbentuk
a b c
a. Pecahan Bentuk
a dan penyebut dikalikan b c
Untuk pecahan pembilang
b. Pecahan Bentuk
a b c
a b c bc
=
a a pembilang dan penyebut dikalikan b c b c
Untuk pecahan
a = b c
a x b c
=
a b c bc
b c b c
Contoh 4.16
2.
c
a b c x b c b c
a = b c
1.
b-
4 = 5 2
4 5 2 x 5 2 5 2
=
4 5 2 52
=
4 54 2 3
3 = 3 7 = =
3 3 7 x 3 7 3 7
3 3 7 37 3 21 4
