Vodní integrátor Projektanti: Petra Kaštánková, Veronika Valešová
Konzultant: Bc. František Louda
1
Vodní integrátor, Kořenov 2012
Obsah: Původní plán Materiály Stavba β model α model α+ model Měřítka + Osy α model a α+ model Rám Roztok Kalibrace Teorie - Integrální počet Primitivní funkce, neurčitý integrál Neurčité integrály některých funkcí Určitý integrál Obsah rovinného obrazce Přepočet (V : S) Funkce Závěr Poděkování
3 3 4 4 5 5 6 6 6 8 8 9 9 9 10 11 12
2
Vodní integrátor, Kořenov 2012
Původní plán Postavíme zařízení, které nám bude pomáhat integrovat. Máme makrolonovou desku, která se skládá z úzkých sloupečků. Do každého sloupečku nalijeme určité množství vody podle dané funkce – „opíšeme její předpis“ a díky ní budeme vědět „plochu“ pod křivkou. Nakonec sestavíme kalibrační tabulku, podle níž budeme schopny odvodit obsah plochy pod křivkou.
Materiály K dispozici máme 2 makrolonové desky o rozměrech 100x105x0,5cm a šířkou sloupečku 0,57 cm. Dále tavící pistole, další lepidla, těsnící a klempířský tmel k zadělání spodní strany makrolonové desky a kovovou lištu na lepší utěsnění, abychom dovnitř mohly nalévat vodu a neprotékalo nám to. Černou lihovou fixu na narýsování os a napsání měřítka, fixy, které jdou na makrolonové desce mazat, na „malování“ předpisů funkcí. A samozřejmě vodu, Jar, potravinářská barviva a injekční stříkačky, které slouží jako nalévací prostředek.
3
Vodní integrátor, Kořenov 2012
Stavba β model Jako prvotní plán jsme se rozhodly zalepit spodek makrolonové desky pomocí tavící pistole. Do každého ze 185 sloupečků – „komůrek“ jsme nalily cca 0,5 cm lepidla a nechaly přes odpolední mimoňskou hru zaschnout. Bohužel jsme při testování narazily na problém s podtékáním a rozhodly se udělat novější verzi – α model s lepším utěsněním – tzn. místo 0,5 cm lepidla z tavící pistole tam „nalít“ cca 2 cm lepidla.
α model Po neúspěchu s prvním modelem – β verzí jsme sestavily druhý a vylepšený α model. Měl o 1,5 cm více lepidla v „komůrkách“. Po prvním testování nového modelu již neprotékal každý třetí sloupeček, ale z celkového množství 185 sloupečků „jen“ 15. Takže jsme se rozhodly spodek desky utěsnit ještě přilepenou kovovou lištou. Druhé testování, již včetně lišty, obstálo na jedničku. Nyní jsme si již mohly narýsovat osy, měřítka a začít s kalibrací nuly a čtvereční jednotky. Ale nakonec se voda ukázala jako velký soupeř a asi po pátém nalití desky opět povolil zalepený spodek. Takže jsme byly nuceny začít od začátku.
4
Vodní integrátor, Kořenov 2012
α+ model Po týdnu marné snahy s utěsněním spodku markolonové desky jsme musely začít od znova. Již víme, že lepidlo z tavící pistole v jakémkoli množství není vhodný kandidát na utěsnění vodního integrátoru. Spodek α modelu jsme uřízly a model α+ jsme vytvořily ze zbytku α modelu. Takže v ranních úterních hodinách (01,30 – 02,30) nám náš skvělý konzultant spodek desky zadělal těsnícím a klempířským tmelem. Po několika hodinách schnutí, byla provedena zátěžová zkouška, při které oba tmely obstály na výbornou. A i po nalévání a vylévání čtvrté funkce tmel držel a nepropouštěl.
Měřítka + Osy α model a α+ model Naše makrolonová deska má rozměry 100x105x0,5 cm, později 97,5x105x0,5 cm a cca 185 sloupečků o půdorysu 0,5x0,5 cm. Zvolily jsme si tedy, že 1 jednotka se bude skládat z 10 sloupečků. To znamená, že na ose y to odpovídá 5,7 cm. Osu x i y jsme umístily do 2/5 desky. Tudíž naše deska je schopna integrovat v rozsahu <-7;10> na ose x a v rozsahu <-6;10> na ose y.
5
Vodní integrátor, Kořenov 2012
Rám Tento projekt je Péti i Verči první konstrukční projekt, takže nám s rámem pomáhal náš skvělý konzultant Fanda. Konstrukčně se skládá ze 2 latěk 70 cm, 2 latěk 65 cm a 1 laťky 180 cm a několika zpevňovacích.
Roztok Nejdříve jsme využily obyčejnou vodu z kohoutku, ale kvůli kapilárnímu tlaku a povrchovému napětí nešla do úzkých kapilár – „sloupečků“ nalévat, ani z nich pak vylévat. Po několika neúspěšných pokusech, jejichž cílem bylo dostat vodu do kapilár, nám bylo porazeno využít fyzikálních vlastností Jaru – snížení povrchového napětí vody. Kromě roztoku vody s několika kapkami Jaru jsme přidaly i potravinářské barvivo pro zvýraznění funkcí v makrolonové desce.
Kalibrace Jako první jsme si naměřily objem v jednom intervalu – např.: …,<-2;-1>, <-1;0>, <0;1>, <1;2>, … po osu x (kde y = 0). Objem v každém intervalu vyšel cca 107 ml, to znamená, že pro všech 17 intervalů na ose x to vychází 1819 ml. Objem celého sloupce až po okraj markolonové desky vychází na 290,4 ml a tudíž objem celé integrační plochy je 4936,8 ml. Objem jedné jednotky čtvereční vyšel průměrně 17 ml. 6
Vodní integrátor, Kořenov 2012
7
Vodní integrátor, Kořenov 2012
Teorie - Integrální počet
Primitivní funkce, neurčitý integrál Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci f v otevřeném intervalu (a,b), jestliže pro každé x ϵ (a,b) platí Fʼ(x) =f(x). Funkce F je primitivní funkce k funkci f v (a,b), potom existuje nekonečně mnoho primitivních funkcí k funkci f v (a,b). Jsou to právě všechny funkce dané rovnicemi y = F(x) + C, kde C je reálná konstanta. Místo primitivní funkce se někdy říká neurčitý integrál. Neurčitým integrálem funkce f v intervalu (a,b) se někdy nazývá též množina všech primitivních funkcí k funkci f v (a,b). Používá se zápis
Postačující podmínka pro existenci primitivní funkce. Jestliže funkce f je spojitá v intervalu (a,b), potom k funkci f existuje v (a,b) primitivní funkce.
Neurčité integrály některých funkcí xϵ R xϵ R nϵ N n ϵ Z \ (N υ {0,-1} n ϵ R\ Z
xϵ R xϵ ( nebo x ϵ (0, + x ϵ (0, + xϵ ( nebo x ϵ (0, + xϵ R
a ϵ (0, +
\ {1}
xϵ R xϵ R xϵ R
x ϵ (-
kϵ Z
8
Vodní integrátor, Kořenov 2012
xϵ (
kϵ Z
Určitý integrál Jestliže funkce F je primitivní funkcí k funkci f v uzavřeném intervalu
, potom číslo F(b) – F(a) se označuje symbolem
a nazývá se určitý integrál funkce f v mezích od a do b. Zapisujeme:
Obsah rovinného obrazce Jestliže funkce f je spojitá a nezáporná v uzavřeném intervalu , potom pro obsah S rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce f a přímkami o rovnicích y = 0, x = a, x = b platí: S= Jestliže funkce f a g jsou spojité v uzavřeném intervalu a pro každé x ϵ platí g(x) f(x), potom pro obsah S rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f, g a přímkami o rovnicích x = a, x = b platí: S=
Přepočet (V : S) Do makrolonové desky funkce „naléváme“, a tak jsme si vytvořily poměrně jednoduchý přepočet z objemu na plochu. Nalily jsme si v jednom intervalu definičního oboru 5 jednotek v oboru hodnot, tento objem jsme pak vydělily pěti a vyšlo nám, že jedna čtvereční jednotka
9
Vodní integrátor, Kořenov 2012
má objem 17 ml. A podle této skutečnosti nalité funkce vydělíme 17 a dostaneme jejich plochu.
Funkce Funkce x2
3
Interval Objem/cm
Přepočtená Integrál Plocha/ Procentuální plocha/ vypočítaný cm2 chyba/ % cm2
<-3;3>
301
17,7
18
1,7
<-2;2>
116
6,8
7,25
6,2
10
Vodní integrátor, Kořenov 2012
lnx
<0;5>
32
1,9
<-2;2>
207 (/4*17)
3,04
x.lnx - x
3,4
44,1
3,53
13,9
11
Vodní integrátor, Kořenov 2012
Závěr K utěsnění markolonové desky nejlépe sloužil těsnící a klempířský tmel. Deska, kterou nám postavil náš konzultant, se stala velkou oporou projektu. Funkce, které jsme integrovaly, ne vždy vycházely shodně s vypočtenou hodnotou, ale u 2 funkcí je chyba menší než 6,5%, u jedné funkce je těsně nad 10% a u další funkce necelých 50%. Chyby mohou být způsobeny nepřesným měřením či chybným odečtem injekčních stříkaček. Zprvu z nezábavného projektu se stala velká zábava, kterou jsme si všichni užívaly – i poslední noc projektů.
Poděkování Moc bychom chtěly poděkovat našemu skvělému konzultantovi – Bc. Františkovi Loudovi, který nám pomáhal s konstrukčními částmi projektu a občas to bylo i na úkor jeho spánku. Další velké poděkování patří Věrce Koudelkové za obětavou pomoc při nalévání funkcí, focení a zapůjčování foťáku a Zdeňce Koupilové za nápad, jak snížit povrchové napětí vody. Děkujeme také všem odborníkům, kteří nám pomáhali a radili, jak projekt vylepšit. A nakonec velké poděkování patří mimoňskému týmu za odpočinková odpoledne, klidné noci a veškeré hry, které rozvíjely naše nápady k vodnímu integrálu .
12
Vodní integrátor, Kořenov 2012
