25 Trojúhelník a čtyřúhelník – výpočet jejich obsahu , konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c, a+c>b, b+c>a ) αβγ - vnitřní úhly trojúhelníku ( α + β + γ = 180° ) α´β´γ´ - vnější úhly troj. ( α + α´= 180° - i pro ostatní ) ( α´ = β + γ - i pro ostatní )
a) Výška v trojúhelníku: - je to kolmice spuštěná z vrcholu na protilehlou stranu Výšky se protínají v jednom bodě - V - tento bod nemá žádný zvláštní význam , dokonce ani nemusí ležet uvnitř trojúhelníku
b) Těžnice v trojúhelníku: - je to spojnice vrcholu a středu protilehlé strany. Průsečíkem těžnic je těžiště -dělí těžnici na dvě části v poměru 2 : 1 - těžiště leží blíže ke straně.
c) Střední příčky v trojúhelníku: - spojují vždy dva středy stran. Jsou rovnoběžné se stranami, jejich velikost je rovna polovině velikosti stran. Dělí trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky.
d) Kružnice trojúhelníku opsaná: - její střed najdeme jako průsečík os stran. e) Kružnice trojúhelníku vepsaná: - její střed najdeme jako průsečík os úhlů.
1
Zvláštní případy trojúhelníku - rovnoramenný, rovnostranný, pravoúhlý Konstrukce trojúhelníku: Konstrukční úloha má mít tyto části:
a) rozbor s náčrtkem b) konstrukční zápis c) vlastní konstrukci d) diskusi o počtu řešení
Cvičení: 1. Sestrojte kružnici opsanou trojúhelníku ABC : a = 6 , α = 60°, γ = 90° . 2. Sestrojte těžiště, kružnici opsanou i vepsanou trojúhelníkům: a) a = 6 ; b = 4 ; γ = 60° b) c = 7,5 ; α = 15°; β = 75° c) a = 5,4 ; b = 6,1 ; c = 7,2 3. Sestrojte trojúhelník ABC , je-li dáno : a) c = 8 , vc = 4 , tc = 5 e) a = 5 , va = 4 , tb = 3 b) c = 6 , α = 60°, γ = 75° f) a = 5 , β = 45° , vb = 3 c) c = 6 , γ = 45° , tc = 6 g) α = 105°, a = 5 , vc = 4 d) c = 6 , a = 4 , ta = 5 h) a = 5 , b= 7 , tc = 4 4. Sestrojte trojúhelník ABC , je-li dáno : a) a = 5 , α = 60° , r = 4 b) a + b = 10 , va = 4 , γ = 60° c) a + b + c = 8 , α = 30° , β = 45° d) a = 6 , vb = 5 , r = 4 e) a + c = 9 , va = 3, β = 30° f) a + b + c = 11 , vc = 3 , α = 45° 5. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC , je-li dán poloměr kružnice vepsané ρ = 2 cm . Jak velký je poloměr kružnice opsané? [ r = 4 cm ] 6. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC , je-li dáno: a) a = 5 , ta = 3 b) a = 5 , ρ = 1 c) c - a = 6 , α = 30° d) b + c = 8 , α = 22°30´ e) a + b = 5 , c = 3,6 f) c = 6 , vc = 2,5
Čtyřúhelník: - zaměříme se pouze na některé významné čtyřúhelníky a) Rovnoběžník: má vždy dvě protilehlé strany rovnoběžné a stejně dlouhé Rovnoběžníky dělíme na: a) kosodélník a ≠ b , α ≠ β b) kosočtverec a = b , α ≠ β c) obdélník a ≠ b , α = β = 90° d) čtverec a = b , α = β = 90°
b) Lichoběžník: - je to čtyřúhelník , který má dvě strany - a , c - rovnoběžné - nazývají se základny . Strany b , d se nazývají ramena
2
Vlastnosti čtyřúhelníků : a) úhlopříčky - má dvě - obvykle se značí e , f , svírají spolu úhel ω Úhlopříčky čtverce se navzájem půlí a jsou kolmé a stejně dlouhé, úhlopříčky obdélníku se navzájem půlí , jsou stejně dlouhé a nejsou kolmé , úhlopříčky kosočtverce se navzájem půlí , jsou kolmé a různě dlouhé, úhlopříčky kosodélníku se navzájem půlí, nejsou kolmé a jsou stejně dlouhé. b) součet vnitřních úhlů: α + β + γ + δ = 360° Cvičení: 1. Sestrojte čtyřúhelník ABCD , je-li dáno: a) a = 4 , b = 3 , c = 5 , d = 2 , β = 60° b) a = 5 , b = 3 , c = 4 , α = 60°, β = 90° c) a = 6 , b = 4 , α = 75° , β = 105°, γ = 30° 2. Sestrojte kosočtverec ABCD , je-li jeho strana AB = 4,5 cm a úhel DAB = 75° 3. Sestrojte kosočtverec o úhlopříčkách u1 = 7 cm , u2 = 5 cm. 4. Sestrojte kosodélník o úhlopříčkách u1 = 10 cm , u2 = 9 cm a jimi sevřeném úhlu ω = 60°. 5. Sestrojte rovnoběžník, je-li: a) va = 3 cm , vb = 4 cm , α = 60° b) a = 6 cm , u1 = 8 cm , u2 = 7 cm c) a + b = 10 cm, α = 30°, va = 3 cm 6. Sestrojte lichoběžník ABCD: a) a = 10,5 cm , b = 3 cm , c = 5,5 cm , d = 4 cm b) a = 6 cm , b = 4 cm , c = 4 cm , d = 4,5 cm c) a = 6 cm , α = 90°, β = 45° , u2 = 9 cm d) a = 6,5 cm, b = d = 4 cm , c = 2,5 cm e) a = 7 cm, α = β = 60° , c = 4 cm
Eukleidovy věty Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. V tomto trojúhelníku sestrojíme výšku vc. Tato výška dělí přeponu c na dva úseky ca ( blíže straně a ) a cb ( blíže straně b ).
V trojúhelníku platí následující věty: 1. Euklidova věta o výšce: vc2 2. Euklidova věta o odvěsně: b2
= ca . cb = c . cb 2 a = c . ca
Z těchto vět je možno odvodit Pythagorovu větu: 2
2
c =a +b
a2 + b2 = c . ca + c . cb = c. (ca + cb ) = c2
2
3
Příklad: Sestrojte úsečku velikosti v = 12 . Řešení: K sestrojení použijeme Euklidovu větu o výšce. Sestrojíme úsečku velikosti 7. Najdeme její střed a sestrojíme nad ním Thaletovu kružnici ( u vrcholu C musí být pravý úhel ). Úsečku rozdělíme na dva úseky ca = 3 a cb = 4. V bodě, kterým jsme přeponu rozdělili vztyčíme kolmici na stranu c - výška vc - má požadovanou velikost.
Cvičení 1.
Vypočtěte délku odvěsny b pravoúhlého trojúhelníku ABC, je-li dáno a = 5 cm , c = 13 cm. [ 12 cm ]
2.
Vypočtěte délku výšky vc v rovnoramenném trojúhelníku ABC, znáte-li délku základny c = 14,4 cm a délku ramene a = 12 cm. [ 9,6 cm ]
3.
Vypočtěte délku strany v rovnostranném trojúhelníku ABC, znáte-li délku jeho výšky v = 4,2 cm. [ 4,85 cm ]
4.
Vypočtěte délku delší úhlopříčky v kosočtverci, je-li dána délka strany a = 5,2 cm a délka kratší úhlopříčky u = 4 cm. [ 9,6 ]
5.
Vypočtěte výšku rovnoramenného lichoběžníku ABCD ( AB II CD ), jestliže a = 7 cm, b = 6 cm ( rameno ); c = 3 cm. [ 5,66 ]
6.
Použitím Pythagorovy věty sestrojte postupně úsečky délek
7.
Do kružnice k o poloměru r = 6 cm je vepsán čtverec.
8.
Vypočtěte délku základny c v pravoúhlém lichoběžníku ABCD ( AB II CD ) s pravým úhlem při vrcholu B, jestliže a = 4 cm, b = 3,3 cm, d = 4 cm. [ 1,74 cm ]
9.
Vypočtěte délku úhlopříčky čtverce , jehož obsah je 33,64 dm2.
2 , 3, 5, 6
Vypočtěte jeho obsah. [ 72,08 cm2 ]
[ 8,2 dm ] 10. V trojúhelníku ABC je dáno: b = 10,8 cm, tb = 9 cm, a velikost úhlu BAC = 90°. Vypočtěte délku těžnice tc. [ 11,38 cm ] 11. Výslednice dvou navzájem kolmých sil působících v jednom bodě na těleso je F = 180 N. Jak velká musí být svislá síla F2, je-li vodorovná síla F1 = 144 N. [ 108 N ] 12. Čtyřicet metrů vysoký stožár je ve třech čtvrtinách výšky připoután čtyřmi stejně dlouhými ocelovými lany. Kolik metrů ocelového lana bylo třeba, je-li ukotvení lan vzdáleno 12,5 m od paty stožáru? [ 130 m ] 13. Parašutista vyskočil z letadla ve výšce 2 500 m nad místem A a při přímém letu vzduchem urazil dráhu 4 380 m. Jak daleko dopadl od místa A, předpokládáme-li, že je s místem dopadu v jedné rovině? [ 3 596 m ] 14. Lze prostrčit krychli o hraně délky 26 cm kruhovou obručí s vnitřním průměrem 35 cm? [ ne, u = 36,77 cm ] 15. Jak daleko jsou od sebe hroty ručiček v 9 hodin? Velká ručička měří 9,6 mm, malá ručička měří 4 mm. [ 10,4 mm ]
4
16. Výška vc = 4cm pravoúhlého trojúhelníka ABC s pravým úhlem u vrcholu C vytíná na přeponě dva úseky ca, cb. Vypočtěte délku přepony víte-li, že ca = 8 cm. [ 10 cm ] 17. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C má přeponu c = 28 cm a odvěsnu b = 14 cm. Zjistěte délku úseků, které vytíná výška vc na přeponě c. [ 7 cm; 21 cm ] 18. Vypočtěte obsah kosodélníka ABCD, jeli dáno: I AB I = 12,5 cm, I BC I = 7,5 cm, I [ 75 cm2 ] 19. Použitím Euklidovy věty sestrojte úsečku velikosti
15 .
20. Použitím Euklidovy věty sestrojte úsečku velikosti
13 .
BDA I = 90°.
21. Sestrojte čtverec, jehož obsah je roven obsahu obdélníku o stranách a = 7 cm b = 2 cm. ( bez výpočtu ) 22. Trojúhelník má základnu 10 cm, výšku 7 cm.Převeďte jej graficky na čtverec téhož obsahu. 23. Vypočtěte délku tětivy v kružnici k[S;10 cm] , jejíž vzdálenost od středu S je 5 cm. [ 10 3 ]
Obsahy a obvody rovinných útvarů 1.Čtverec o=4.a S = a2 S = 12 e2
2.Obdélník o=2.(a+b) S=a.b
3.Rovnoběžník ( v = b . sin α ) odtud
S = a. v
S = a.b. sin α o = 2. (a + b) ( u kosočtverce platí S = 12 e.f -- e,f - úhlopříčky) Příklad: Vypočtěte obsah rovnoběžníku, je-li a = 7 cm , b = 3 cm , α = 105°. Řešení: Pro dosazení do vzorce je lépe vypočítat druhý z dvojice sousedních úhlů - ostrý úhel α ´= 180°- α α´= 75° Potom po dosazení do vzorce vypočteme S = a . b . sin α ´ 2
S = 7. 3. sin 75°= 20,3 cm Příklad:
2
Určete úhel, který svírají strany a = 5,1 cm kosočtverce o obsahu S = 20,8 cm . Řešení: Kosočteverec je rovnoběžník , který má všechny strany stejně velké - tedy a = b 2
S = a . sin α
sin α =
20,8 5,12
odtud
= 0,79970
sin α =
S a2 α= 53°06´
5
po dosazení
4.Trojúhelník o=a+b+c
S= S=
1 2 1 2
z. v a. b.sin γ
( trojúhelník jako polovina rovnoběžníku )
Jsou - li dány tři strany trojúhelníku , je výhodné počítat jeho obsah pomocí Heronova vzorce:
s( s − a )( s − b)( s − c)
S=
s=
kde s označuje polovinu obvodu Je - li dán poloměr kružnice trojúhelníku opsané ( r ) vypočteme obsah podle vzorce:
S=
a+ b+ c 2
abc 4r
Je - li dán poloměr kružnice trojúhelníku vepsané ( ) vypočteme obsah podle vzorce:
S = ρ .s
kde s udává opět polovinu obvodu
Příklad: Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno a = 18 cm, b = 24 cm , β = 59°. Řešení: V daném trojúhelníku vypočteme velikost výšky vc : v c = a. sin β vc = 18.sin 59°
vc = 15,4
dále vypočteme velikost úhlu α: sin α =
vc b
α = 40° Úhel γ vypočteme ze vztahu : γ = 180° - α - β γ = 81° Nyní již můžeme dosadit do vzorce S =
S=
1 18.24.sin 81o 2
c
D
a II c
S=
a. b.sin γ :
= 213,3cm 2
5.Lichoběžník b+c+d
1 2
C o=a+
d
( a + c) . v
b
v
2 A
a
B
Příklad: Určete obsah lichoběžníku ABCD , svírá-li jeho rameno AD = 15 cm se základnou AB = 26 cm úhel α = 30° a je-li úhlopříčka AC = 21 cm. Řešení: Pro dosazení do vzorce potřebujeme určit v a velikost základny CD.
sin α =
v d
v = d . sin α v = 15 . 0,5 = 7,5
x = d .cosα = 15.0,866 = 12,99 v sin ε = → ε = 20o55′ f
6
cos ε =
x+ c c = f.cos ε - x f
c = 21.0,934 - 12,99 = 19061 - 12,99 = 6,62
S=
( a + c) . v
S=
2
( 26 +
6,62) .7,5
=
2
32,62.7,5 = 122,36cm 2 2
Příklad: Určete obsah lichoběžníku ABCD , jsou-li dány velikosti jeho stran a = 11 cm, b = 6 cm, c = 6 cm, d = 5 cm. Řešení: c
D
d
Nejprve vedeme z vrcholu D rovnoběžku se stranou d. Získáme pomocný trojúhelník AB´D. Vypočteme Heronovým vzorcem jeho obsah:
C
b
5+ 6+ 5 = 8 2 S = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 19,46 s=
b B´
Av = 7,78 cm a a-c Nakonec vypočteme obsah lichoběžníku:
B Z obsahu trojúhelníku vypočteme jeho výšku: S =
S=
( a + c) . v
S=
2
(11 + 6).7,78 = 2
(a − c) ⋅ v 2
66,19 cm 2
Cvičení: 1) Určete obvod a obsah rovnoběžníku: a) a = 4,2 ; b = 0,2a ; α = 17°50´ b) a = 6,3 ; va = 2,8 ; α = 30° c) va = 5,7 ; α = 61° ; a : b = 2 : 1 [ a)10,08 ; 1,08 b)23,8 ; 17,64 c)39,1 ; 74,3 ] 2
2) Určete obvod rovnoběžníku s obsahem S = 100,1 cm a se stranou a = 8,3 cm , svírající se stranou b úhel α= 70°. [ 42,2 ] 2
3) Strany a a b rovnoběžníku svírají úhel α = 30°; obsah S = 10 cm ; obvod o = 18 cm . Určete strany. [a=4;b=5] 4) Určete obsah a obvod trojúhelníku ABC: a) a = 5,3 ; va = 7,5 ; β = 70° b) a = 5,3 ; b = 7,5 ; γ = 51°30´ c) a = 2,8 ; b = 3,25 ; c = 5,05 d) b = 15,3 ; c = 21,5 ; α = 135° [ a)19,875;21,21 b)15,55;18,7 c)13,25;11,1 d)116,3;70,9 ] 5) Je dána základna a = 5 cm a výška v = 8 cm ; určete obsah a obvod rovnoramenného trojúhelníku. [ 20; 21,76 ] 6) Určete obsah šablony: 2
[ 1829 mm ] 7) Plechové koryto ( nahoře otevřené) má mít průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníku 2
s obsahem S = 500 cm , s horní základnou a = 40 cm a výškou v = 20 cm . Určete šířku plechu , z něhož se má koryto vyrobit. [ 60 cm ]
7
8) Litinový sloup, jehož řezem je pravidelný pětiúhelník s délkou strany 1,9 cm je zatížen silou F = 600N . 2
Vypočtěte zatížení na 1 cm průřezu ( měrný tlak). 2
9)
10) 11) 12)
2
[ S = 6,097cm ; p = 98,4 N/cm ] Určete obsah S a obvod o pravidelného n-úhelníku , je-li dáno: a) n = 12 ; a = 7,6 b) n = 14 ; r = 12,1 c) n = 8 ; ρ = 203 [ a) 646,7;91,2 b) 444,7;75,4 c) 136 550;1 345,4 ] Betonová podpěra , jejímž průřezem je pravidelný 8 - úhelník se stranou a = 8 cm , má být nahrazena sloupem čtvercového průřezu (stejný materiál) . Určete délku strany nového průřezu tak, aby měrné zatížení bylo stejné. [ 17,58 cm ] V trojúhelníku ABC jsou dány strany a = 16 cm, b = 52 cm , c = 60 cm. Vypočtěte jeho výšky. [ va = 48 cm, vb = 14,77 cm, vc = 12,8 cm] V trojúhelníku ABC jsou dány strany a = 65 mm, b = 100 mm, c = 115 mm. Vypočtěte obsah, vnitřní úhly , poloměr kružnice opsané a vepsané. 2
[ S = 3 240 mm ; α = 34°18´; β = 60°07´ ; γ = 85°35´; r = 57,7mm ; ρ = 23,1 mm ] 13) Vypočtěte stranu c a obsah trojúhelníku, je-li a = 12 cm, b = 14 cm a vc = 8 cm. 2
[ S = 81,73 cm , c = 20,43 cm ] 2
14) Obsah pravoúhlého trojúhelníku je S = 840 mm , jeho přepona je c = 58 mm. Vypočtěte odvěsny a vnitřní úhly. [ a = 40, b = 42 , α = 43°36´, β = 46°24´ ] 15) V kosočtverci jsou dány úhlopříčky u1=5,4 cm, u2= 7,2 cm .Vypočtěte obsah kosočtverce, jeho stranu a 2
úhly. [ S = 19,44 cm ; a = 4,5 ; α = 73°44´; β = 106°16´ ] 16) V obdélníku je dána úhlopříčka u = 31,9 cm a úhel úhlopříček β = 49°35´. Vypočtěte obsah obdélníku a délky jeho stran . 2
[ S = 387,48 cm , a = 28,96; b = 13,38 ] 17) Kolik procent obsahu rovnostranného trojúhelníku zaujímá jemu vepsaný čtverec? ( Jedna strana čtverce leží na straně rovnostranného trojúhelníku.) [ 49,7 % ] 18) Vypočtěte obsah lichoběžníku o stranách a = 216 mm, b = 90 mm, c = 175 mm, d = 115 mm. 2
[ S = 15 562 mm ] 19) Vypočtěte obsah lichoběžníku o stranách a = 54 mm, b = 16 mm, c = 15 mm, d = 30 mm. 2
20) 21) 22) 23) 24)
[ S = 392,7 mm ] Vypočtěte obsah pravidelného pětiúhelníku , je-li dána jeho úhlopříčka u = 10 cm. [ 65,72 ] V rovnoramenném lichoběžníku je poměr základen a : c = 5 : 3 , rameno b = 26 cm a výška v = 24 cm . Vypočtěte základny, obsah a vnitřní úhly lichoběžníku. [ S = 960 ; a = 50 ; c = 30 ; α = 67°23´; β = 112°37´ ] Vypočtěte stranu a obsah pravidelného sedmiúhelníku, je-li jeho nejkratší úhlopříčka u = 16,3 cm. [ a = 9,046 ; S = 297,4 ] V pravoúhlém trojúhelníku ABC je součet odvěsen a + b = 41 cm a úhel β = 46°24´. Vypočtěte přeponu a obsah . [ c = 29 ; S = 210 ] Vypočtěte obsah obrazce:
[ 16 000 ]
8
