Pavel PECH Katedra matematiky, Pedagogická Fakulta, Jihočeská univerzita České Budějovice,

AUTOMATICKÉ DOKAZOVÁNÍ A OBJEVOVÁNÍ VĚT Pavel PECH Katedra matematiky, Pedagogická Fakulta, Jihočeská univerzita České Budějovice, e-mail: [email protected]

1

Úvod

Jak je pravděpodobně známo, po roce 1960 objevili Buchberger a Hironaka nový algoritmus pro řešení soustav algebraických rovnic. Stále silnější zájem o tuto oblast matematiky současně se všeobecným rozšířením počítačů a matematického software, umožňujícího provádět nejen numerické výpočty, ale i výpočty se symboly, způsobily převratné změny v komutativní algebře a algebraické geometrii. Budeme užívat prostředků, založených na výsledcích komutativní algebry v posledních 20 letech 20. století jako např. Buchbergerův algoritmus pro výpočet Gröbnerových bazí ideálu a eliminace proměnných, které jsou implementovány v matematickém softwaru jako např. Axiom, Maple, Mathematica, Reduce, Singular, CoCoA, atd. a dokonce je možno se s nimi setkat v kapesních kalkulátorech. Automatické dokazování vět elementární geometrie patří k velmi užívaným aplikacím teorie Gröbnerových bazí. Zhruba řečeno, cílem automatického dokazování vět je konstatování pravdivosti či nepravdivosti tvrzení, které je tvaru H ⇒ C, kde H, C jsou po řadě dané předpoklady (hypotézy) a závěr (teze). Očekávaný výsledek je ”ano” nebo ”ne”. V průběhu dokazování se mohou vyskytnout drobné změny předpokladů, kdy je nutné vyloučit případy degenerace (vrcholy trojúhelníka splývají či leží na přímce apod). Jsou podány ukázky užití teorie automatického dokazování vět elementární geometrie (automatic proving). Cílem automatického odvozování geometrických tvrzení je nalezení takového závěru, který má předepsané vlastnosti, a který plyne z daných předpokladů. Použitím eliminace proměnných je tímto způsobem ukázáno počítačové ”odvození” Heronovy a Brahmaguptovy formule pro obsah trojúhelníka a tětivového čtyřúhelníka a mnoho dalších vlastností geometrických objektů (automatic deriving). Třetím okruhem, kterým se budeme využívat zabývat, je automatické objevování, tj. proces zkoumání geometrických tvrzení, která nejsou obecně pravdivá. Uvažuje se libovolné geometrické tvrzení, které obecně z daných předpokladů neplyne. Je prezentována metoda, pomocí níž jsou k daným předpokladům nalézány dodatečné podmínky tak, aby dané tvrzení platilo. Ačkoliv tato metoda nevede k cíli vždy, je možno tímto způsobem vyšetřovat řadu známých úloh z elementární geometrie (automatic discovery). Metoda automatického dokazování vět je vhodná pro užití na středních školách, na vysokých školách v přípravě učitelů matematiky a všude tam, kde se matematika vy1

učuje s podporou počítače. Na příkladech jsou prezentovány a diskutovány všechny tři přístupy - dokazování, odvozování a objevování vět pomocí počítače. Příklady byly řešeny v programu CoCoA1 a demonstrovány v dynamickém systému Cabri geometry II. Podrobější informace viz [2], [5], [6], [7], [20], [30], [31], [36], [38].

2

Automatické dokazování vět

Nechť L je algebraicky uzavřené těleso, např. těleso komplexních čísel C, které obsahuje těleso K charakteristiky 0. Nechť K[x1 , x2 , . . . , xn ] je okruh polynomů n proměnných x = (x1 , x2 , . . . , xn ) s koeficienty z tělesa K. Pokud nebude jinak řečeno, budeme v tomto článku předpokládat, že K = Q. Budeme se zabývat tvrzeními tvaru H ⇒ C, kde H je množina předpokladů, které mohou být vyjádřeny pomocí algebraických rovnic h1 (x) = 0, h2 (x) = 0, . . . , hs (x) = 0, závěr C je ve tvaru polynomu c(x) = 0. Algebraický tvar tvrzení T je ∀x ∈ Ln ,

h1 (x) = 0, h2 (x) = 0, . . . , hr (x) = 0

⇒

c(x) = 0,

(1)

kde h1 , h2 , . . . , hs ∈ Q[x1 , x2 , . . . , xn ].

Definice: Varieta předpokladů H tvrzení T je množina všech řešení H(h1 , h2 , . . . , hs ) rovnic h1 = 0, h2 = 0, .., hs = 0, varieta závěru C je množina všech řešení C(c) rovnice c = 0. Definice: Tvrzení T je geometricky (nebo algebraicky) pravdivé jestliže varieta předpokladů H je obsažena ve varietě závěru C. Abychom dokázali (1) tedy stačí ukázat, že c je rovno nule na množině řešení soustavy rovnic h1 = 0, h2 = 0, .., hs = 0. Ověření, zda H ⊂ C nebo H 6⊂ C patří k hlavním otázkám algebrické geometrie a je těsně spjato se slavnou Hilbertovou Nullstellensatz [7]. Platí věta: Věta: Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1) Tvrzení T je geometricky (nebo algebraicky) pravdivé. √ 2) c ∈ h1 , h2 , . . . , hs , tj. c je prvkem radikálu ideálu (h1 , h2 , . . . , hs ).

3) 1 ∈ (h1 , h2 , . . . , hs , ct − 1), tj. 1 je prvkem ideálu I = (h1 , h2 , . . . , hs , ct − 1), kde t je nová proměnná, viz [7], [18], [19].

Metoda automatického objevování vět je založena na pojmu eliminace proměnných. Připomeňme si tento pojem. Definice: Nechť I = hf1 , f2 , . . . , fs i ⊂ k[x1 , x2 , . . . , xn ] je ideál. r-tým eliminačním ideálem Ir je ideál oboru integrity k[x1 , x2 , . . . , xn ], který splňuje Ir = I ∩ k[xr+1 , xr+2 , . . . , xn ]. Obecně o eliminaci platí následující věta, viz [7]. 1

Software CoCoA je volně stažitelný na adrese [email protected]

2

Věta: Nechť I ⊂ k[x1 , x2 , . . . , xn ] je ideál a G je Gröbnerova báze ideálu I vzhledem k lexikografickému uspořádání x1 > x2 > . . . > xn . Potom pro všechna r, 0 ≤ r ≤ n, je množina Gr = G ∩ k[xr+1 , xr+2 , . . . , xn ] Gröbnerovou bází r-tého eliminačního ideáluIr .

3

Obsah mnohoúhelníka

V této části se budeme zabývat výpočtem obsahů rovinných mnohoúhelníků. Úvahy, týkající se obsahu mnohoúhelníků, povedeme dvěma směry. Prvý způsob, který je obsahem této kapitoly, spočívá ve výpočtu obsahu mnohoúhelníka pomocí všech vzájemných vzdáleností mezi vrcholy mnohoúhelníka. Kromě Heronova vzorce je tímto způsobem vypočten obsah čtyřúhelníka a jeho výsledkem je vzorec známý jako Staudtova formule (8). Formule pro obsah mnohoúhelníka s vyšším počtem vrcholů vychází ze zobecnění Staudtovy formule, které podali Nagy a Rédey [27]. Celá problematika je řešena pomocí počítače, s využitím teorie automatického dokazování, odvozování a objevování vět. Důraz bude kladen na objevování formulí s následným provedení důkazu. Příklady jsou demonstrovány pomocí dynamického softwaru Cabri geometrie. Druhý směr uvažování, který je předmětem kapitoly následující, je zaměřen na výpočet obsahu tětivového mnohoúhelníka, známe-li délky stran mnohoúhelníka.

3.1

Heronův vzorec

Je dán trojúhelník ABC o stranách délek a, b, c. Určete jeho obsah p. Strany trojúhelníka ABC označme a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| a jeho obsah písmenem p. Zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak aby pro souřadnice vrcholů 4ABC platilo A = [0, 0], B = [c, 0], C = [x, y], obr. 1. Je zřejmé, že platí

Obrázek 1: Obsah trojúhelníka |BC| = a ⇔ h1 : (x − c)2 + y 2 − a2 = 0, |AC| = b ⇔ h2 : x2 + y 2 − b2 = 0, obsah 4 ABC = p ⇔ h3 : p − 12 cy = 0. 3

V okruhu R[a, b, c, x, y, p] zkonstruujme ideál I = (a2 − (x − c)2 − y 2 , b2 − x2 − y 2 , p − 21 cy). Pokusíme se najít formuli, která vyjadřuje vztah mezi délkami stran a, b, c trojúhelníka ABC a jeho obsahem p. Takový polynom náleží do eliminačního ideálu I ∩ R[a, b, c, p]. Eliminací proměnných x, y dostaneme známý Heronův vzorec. V CoCoA vychází Use R::=Q[xyabcp]; I:=Ideal(x^2+y^2-b^2,(x-c)^2+y^2-a^2,2p-cy); Elim(x..y,I); Ideal(1/2a^4 - a^2b^2 + 1/2b^4 - a^2c^2 - b^2c^2 + 1/2c^4 + 8p^2); Po faktorizaci vychází 16p2 = (a + b + c)(a − b + c)(−a + b + c)(a + b − c). Snadno vidíme, že poslední vztah je totéž jako p p = s(s − a)(s − b)(s − c),

(2)

(3)

kde s = 21 (a + b + c). Pro srovnání uveďme ”klasický” důkaz Heronovy formule.

Obrázek 2: Obsah trojúhelníka Pro obsah trojúhelníka označeného podle obr. 2 platí 1 p = cv. 2

(4)

Je tedy nutno vyjádřit výšku v pomocí a, b, c. Z pravoúhlých trojúhelníků ADC a CDB plyne po řadě podle Pythagorovy věty v 2 = b2 − (c − x)2 ,

v 2 = a 2 − x2 .

(5)

Z rovnosti levých stran plyne rovnost pravých stran b2 − (c − x)2 = a2 − x2 a odtud 2cx = a2 − b2 + c2 . Dosazením za x do (5) dostaneme 4c2 v 2 = 4a2 c2 − (a2 − b2 + c2 )2 . 4

(6)

Konečně dosazením za v z (6) do (4) dostaneme 16p2 = 4c2 v 2 ⇔ 16p2 = 4a2 c2 − (a2 − b2 + c2 )2 ⇔ 16p2 = (2ac + a2 − b2 + c2 )(2ac − a2 + b2 − c2 ) ⇔ 16p2 = ((a + c)2 − b2 )(b2 − (a − c)2 ) ⇔ 16p2 = (a + c + b)(a + c − b)(b + a − c)(b − a + c),

což je vztah (2). Oba způsoby důkazu, ”počítačový” i ”klasický”, se značně liší. Podle vlastních zkušeností se studenty učitelského studia matematiky, prakticky všichni na otázku, ”Který důkaz se vám líbil více?” odpověděli ”ten ”klasický”, pomocí Pythagorovy věty.” Na otázku proč, odpovídají ve smyslu, že manipulace s polynomy se jim moc nelíbí, naopak u ”klasického” způsobu oceňují že je názornější, líbí se jim rozklady polynomu ve tvaru rozdílu čtverců apod. Odpověď není překvapivá. Vůči počítačovým metodám má nejen odborná, ale i laická veřejnost nedůvěru. Pokud to situace jenom trochu dovoluje, měli bychom uvádět klasický důkaz společně s ”počítačovým” důkazem. Při řešení složitějších úloh studenti sami uvidí, že s klasickou metodou mnohdy nevystačí. Obě metody mají své přednosti. Hlavní přednost ”klasické” metody spočívá v poznání krásy geometrie a je s ní spojena motivace. Hlavní předností ”počítačové” metody je její síla, schopnost dokazovat a objevovat poznatky, na které ”klasická” metoda nestačí.

3.2

Obsah čtyřúhelníka, Eulerova čtyřbodová relace

V této kapitole se budeme zabývat obsahem rovinného čtyřúhelníka. Čtyřúhelník je, jak známo, zadán pěti nezávislými prvky, např. čtyřmi stranami a jednou úhlopříčkou apod. Toto zadání však není jednoznačné. Budeme vyšetřovat obsah čtyřúhelníka známe-li všech šest vzdáleností mezi vrcholy. Nechť ABCD je rovinný čtyřúhelník se stranami a, b, c, d a úhlopříčkami e, f . Vyjádřete obsah p čtyřúhelníka ABCD pomocí délek stran a, b, c, d a úhlopříček e, f . Vzdálenosti mezi vrcholy čtyřúhelníka ABCD označme a = |DA|, b = |AB|, c = |BC|, d = |CD|, e = |BD|, f = |AC|. Kartézskou soustavu souřadnou zvolme tak, aby A = [a, 0], B = [x, y], C = [u, v], D = [0, 0], obr. 3. Platí

Obrázek 3: Obsah čtyřúhelníka |AB| = b ⇔ h1 : (x − a)2 + y 2 − b2 = 0, 5

|BC| = c ⇔ h2 : (x − u)2 + (y − v)2 − c2 = 0, |CD| = d ⇔ h3 : u2 + v 2 − d2 = 0, |BD| = e ⇔ h4 : x2 + y 2 − e2 = 0, |AC| = f ⇔ h5 : (u − a)2 + v 2 − f 2 = 0.

Spustíme-li z vrcholů B a C kolmice na stranu AD, rozdělíme čtyřúhelník ABCD na dva pravoúhlé trojúhelníky a jeden lichoběžník, jejichž součet obsahů je roven obsahu p čtyřúhelníka. Po krátkém výpočtu pro obsah p vychází obsah čtyřúhelníka ABCD = p ⇔ h6 : p − 1/2(ay + xv − uy) = 0.

Eliminací proměnných x, y, u, v

Use R::=Q[xyuvabcdefp]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(x-u)^2+(y-v)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2+v^2-f^2,p-1/2(ay+xv-uy)); Elim(x..v,I); dostaneme dva vztahy e4 f 2 + e2 (a2 b2 − a2 c2 − b2 d2 + c2 d2 − a2 f 2 − b2 f 2 − c2 f 2 − d2 f 2 + f 4 ) = −a4 c2 + a2 b2 c2 − a 2 c4 + a 2 b2 d 2 − b 4 d 2 + a 2 c2 d 2 + b 2 c2 d 2 − b 2 d 4 + a 2 c2 f 2 − b 2 c2 f 2 − a 2 d 2 f 2 + b 2 d 2 f 2 a

16p2 = −a4 + 2a2 b2 − b4 − 2a2 c2 + 2b2 c2 − c4 + 2a2 d2 − 2b2 d2 + 2c2 d2 − d4 + 4e2 f 2 . (7) Druhá rovnost v (7) je hledaná relace. Můžeme ji zjednodušit na tvar 16p2 = 4e2 f 2 − (a2 − b2 + c2 − d2 )2 .

(8)

Tuto formuli, která vyjadřuje obsah čtyřúhelníka pomocí všech šesti vzdáleností mezi jeho čtyřmi vrcholy, publikoval Staudt [35]. Poznámka: a) Všimněme si, že když v (8) položíme např. d = 0 dostaneme Heronovu formuli (2). b) Vzorec (8) platí při daném označení pro jakoukoliv volbu vrcholů A, B, C, D čtyřúhelníka. Tedy i v případě, že čtyřúhelník ABCD bude nekonvexní nebo dokonce bude sám sebe protínat. První rovnost v (7), která neobsahuje proměnnou p se vztahuje k takzvané Eulerově čtyřbodové relaci, viz [9], která vyjadřuje vzájemnou závislost šesti vzdáleností a, b, c, d, e, f mezi čtyřmi vrcholy čtyřúhelníka. Eulerova čtyřbodová relace vychází z Cayley-Mengerova determinantu pro objem V čtyřstěnu o hranách délek a, b, c, d, e, f 0 1 1 1 1 1 0 b 2 f 2 a2 (9) 288V 2 = 1 b2 0 c2 e2 , 1 f 2 c2 0 d 2 1 a 2 e2 d 2 0 6

položíme-li V = 0. Srovnání rovnosti V = 0 z (9) s prvou rovností v (7) ukazuje, že oba vztahy jsou stejné až na konstantní faktor 2. Uveďme pro srovnání důkaz Staudtovy formule (8) klasickou metodou, která ovšem vyžaduje ”nápad”, obr. 4. Podle obr. 4 z pravoúhlých trojúhelníků AED a DEC

Obrázek 4: Důkaz Staudtovy formule plyne |DE|2 = d2 −|AE|2 , |DE|2 = c2 −|EC|2 . Z rovnosti levých stran plyne rovnost pravých stran d2 − |AE|2 = c2 − |EC|2 . (10) Z pravoúhlých trojúhelníků AF B a CF B analogicky plyne a2 − |AF |2 = b2 − |F C|2 .

(11)

Sečtením rovnic (10) a (11) dostaneme a2 − b2 + c2 − d2 = |AF |2 − |F C|2 + |EC|2 − |AE|2 .

(12)

Pravou stranu v (12) můžeme napsat ve tvaru |AF |2 − |F C|2 + |EC|2 − |AE|2 = |AF |2 −|AE|2 +|EC|2 −|F C|2 = (|AF |+|AE|)(|AF |−|AE|)+(|EC|+|F C|)(|EC|− |F C|) = ±2e|EF |, tj. (a2 − b2 + c2 − d2 )2 = 4e2 |EF |2 .

(13)

Dále vidíme, že platí |EF | = f cos ϕ. Dosazením do (13) dostaneme (a2 − b2 + c2 − d2 )2 = 4e2 f 2 cos2 ϕ.

(14)

Nyní použijeme známý vzorec pro výpočet obsahu čtyřúhelníka pomocí délek úhlopříček e, f a úhlu ϕ jimi sevřeného, viz např. [1] p=

1 ef sin ϕ. 2

(15)

Dosazením (15) do (14) s využitím vztahu sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ dostaneme hledanou formuli (8).

7

3.3

Obsah pětiúhelníka

Předchozí metodu budeme nyní aplikovat na pětiúhelník. Vypočteme obsah rovinného pětiúhelníka, známe-li všech 10 vzájemných vzdáleností mezi jeho vrcholy. Použijeme zobecnění Staudtovy formule (8), které publikovali Nagy a Rédey [27]. Jedná se o formuli pro výpočet obsahu p rovinného uzavřeného mnohoúhelníka
A1 A2 . . . An , který je vyjádřen pomocí všech n2 vzájemných vzdáleností mezi jeho n vrcholy. Označme xi,j = |Ai Aj |2 čtverce vzdáleností vrcholů Ai , Aj . Potom platí n X xi,j x i,j+1 2 (16) 16p = xi+1,j xi+1,j+1 . i,j=1

Označíme-li v pětiúhelníku ABCDE a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DE|, e = |EA|, k = |AC|, l = |AD|, m = |BD|, n = |BE|, o = |CE|, obr. 5, potom pro jeho

Obrázek 5: Obsah pětiúhelníka obsah p, v souladu s formulí (16), platí 16p2 = −(a4 + b4 + c4 + d4 + e4 ) + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 d2 + d2 e2 + e2 a2 ) + 2(k 2 m2 + l2 n2 + m2 o2 + n2 k 2 + o2 l2 ) − 2(a2 o2 + b2 l2 + c2 n2 + d2 k 2 + e2 m2 ).

Pokusme se tuto formuli objevit.

V kartézské soustavě souřadnic zvolme A = [0, 0], B = [a, 0], C = [x, y], D = [u, v], E = [w, z]. Platí vztahy: b = |BC| ⇔ h1 : (x − a)2 + y 2 − b2 = 0, c = |CD| ⇔ h2 : (x − u)2 + (y − v)2 − c2 = 0, d = |DE| ⇔ h3 : (u − w)2 + (v − z)2 − d2 = 0, e = |EA| ⇔ h4 : w 2 + z 2 − e2 = 0, k = |AC| ⇔ h5 : x2 + y 2 − k 2 = 0, l = |AD| ⇔ h6 : u2 + v 2 − l2 = 0, m = |BD| ⇔ h7 : (u − a)2 + v 2 − m2 = 0, n = |BE| ⇔ h8 : (w − a)2 + z 2 − n2 = 0, o = |CE| ⇔ h9 : (x − w)2 + (y − z)2 − o2 = 0.

Abychom vyjádřili obsah p pětiúhelníka A, B, C, D, E, použijeme následující formuli pro výpočet orientovaného obsahu n-úhelníka A1 , A2 , . . . , An o souřadnicích Ai = [xi , yi ]. Platí n 1 X xi yi p= (17) xi+1 yi+1 . 2 i=1

8

Podle (17) pro obsah p pětiúhelníka platí podmínka h10 : p = obsah pětiúhelníka ABCDE ⇔ p = 1/2(ay + xv − uy + uz − vw).

Eliminací proměnných x, y, u, v, w, z v ideálu (h1 , h2 , . . . , h10 ) získáme formuli, ve které se budou vyskytovat všechny vzájemné vzdálenosti vrcholů a, b, c, d, e, k, l, m, n, o a obsah p. Use R::=Q[xyuvwzabcdeklmnop]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(x-u)^2+(y-v)^2-c^2,(u-w)^2+(v-z)^2-d^2,w^2+z^2 -e^2,x^2+y^2-k^2,u^2+v^2-l^2,(u-a)^2+v^2-m^2,(w-a)^2+z^2-n^2,(x-w)^2 +(y-z)^2-o^2,p-1/2(ay+xv-uy+uz-vw)); Elim(x..z,I); za 9m 18s v CoCoA vyjde 16p2 + a4 − 2a2 b2 + b4 − 2b2 c2 + c4 − 2c2 d2 + d4 − 2a2 e2 − 2d2 e2 + e4 + 2d2 k 2 + 2b2 l2 + 2e2 m2 − 2k 2 m2 + 2c2 n2 − 2k 2 n2 − 2l2 n2 + 2a2 o2 − 2l2 o2 − 2m2 o2 = 0, což je hledaný vztah. Formule pro obsah pětiúhelníka je nalezena.

4

Tětivové n-úhelníky

Nejprve budeme zkoumat vlastnosti tětivových mnohoúhelníků - mnohoúhelníků, jejichž všechny vrcholy leží na kružnici. Ve druhé části se budeme zabývat obsahem tětivového mnohoúhelníka, známe-li délky stran.

4.1

Ptolemaiova formule

V některých případech neumíme napoprvé odvodit určitou formuli pomocí eliminace proměnných. Příčina tkví v tom, že hledaná formule není obsažena mezi polynomy, které po eliminaci dostaneme. Ukážeme způsob, jak chybějící formuli nalézt. Pro ilustraci budeme zkoumat známou Ptolemaiovu formuli. Nechť ABCD je čtyřúhelník se stranami a úhlopříčkami délek a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |AD|, e = |BD|, f = |AC|. Platí věta:

Nutná a postačující podmínka pro je, viz. [3], [23] 0 2 b 2 f 2 a

Podáme ”počítačový důkaz” (18).

to, aby body A, B, C, D ležely na jedné kružnici b2 f 2 a2 0 c2 e2 = 0. c2 0 d2 e2 d 2 0

(18)

Vypočítejme determinant (18). Snadno vidíme, že (18) je rovna (ac − bd − ef )(ac + bd − ef )(ac − bd + ef )(ac + bd + ef ) = 0. 9

(19)

Z (19) bychom mohli odvodit různé typy Ptolemaiových formulí v závislosti na pořadí vrcholů A, B, C, D čtyřúhelníka na krožnici. Nejprve se pokusme odvodit (19) podobným způsobem jako v předchozích příkladech. Předpokládejme, že systém souřadnic je stejný jako na obr. 6. Napíšeme

Obrázek 6: Ptolemaiova věta Use R::= Q[xyuvabcdef]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2,(u -a)^2-v^2-f^2,-ayu+yu^2+axv-x^2v-y^2v+yv^2); Elim(x..v,I); Vyjde -a^2b^2e^2+a^2c^2e^2+b^2d^2e^2-c^2d^2e^2-a^2c^2f^2+b^2c^2f^2+a^2d^2f^2b^2d^2f^2-e^4f^2+e^2f^4,a^4c^2-a^2b^2d^2-a^2c^2d^2+b^2d^4-a^2c^2f^2+2a^ 2d^2f^2-b^2d^2f^2-a^2e^2f^2-d^2e^2f^2+e^2f^4,-a^2b^2c^2+b^4d^2+a^2c^2d^ 2-b^2d^4+a^2c^2e^2+b^2d^2e^2-2c^2d^2e^2-a^2c^2f^2+2b^2c^2f^2-b^2d^2f^2b^2e^2f^2+d^2e^2f^2-e^4f^2+e^2f^4,-a^2c^4+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2-b^2d^4+a^ 2c^2e^2+b^2d^2e^2-2c^2d^2e^2+c^2e^2f^2+d^2e^2f^2-e^4f^2,-b^4d^2e^2+2b^2 c^2d^2e^2-c^4d^2e^2+b^2c^4f^2-2b^2c^2d^2f^2+b^2d^4f^2-2b^2c^2e^2f^2+2c^ 2d^2e^2f^2+b^2e^4f^2-d^2e^2f^4. Dostali jsme Groebnerovu bázi eliminačního ideálu I ∩ R[a, b, c, d, e, f ], která obsahuje pět polynomů; označme je f1 , f2 , f3 , f4 , f5 . Ale vidíme, že polynom (19) není v tomto ideálu obsažen. Abychom dokázali (19), vyjádříme (19) pomocí polynomů f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , které jsme dostali v procesu eliminace. Využijeme např. příkaz z programu CoCoA GenRepr, který je zkratkou za ”representaci pomocí generátorů”. Napíšeme Use R::= Q[xyuvabcdef]; I:=Ideal(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5}); GenRepr((ac-bd-ef)(ac+bd-ef)(ac-bd+ef)(ac+bd+ef),I); [0,c^2,2d^2,-d^2-f^2,0]

10

Odpověď znamená, že polynom (19) může být vyjádřen ve tvaru 0 · f1 + c2 · f2 + 2d2 · f3 + (−d2 − f 2 ) · f4 + 0 · f5 . Jiný způsob jak dokázat formuli (19) je standardní ověření pomocí normální formy. Nyní ukážeme, jak doplnit nejen množinu předpokladů, ale i závěr, tak, aby se tvrzení stalo pravdivým. Tvrzení 1 Je dán čtyřúhelník ABCD se stranami a, b, c, d a úhlopříčkami e, f . Potom platí ac + bd − ef = 0. (20) Na první pohled tvrzení (20) není pravdivé. Žáci ve škole se učí, že (20) platí pouze pro tětivové ctyřúhelníky. Zvolme soustavu souřadnic jako na obr. 6. Nejprve ověřme platnost tvrzení 1.

Use R::= Q[xyuvtabcdef]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2,(ua)^2-v^2-f^2,(ac+bd-ef)t-1); NF(1,I); 1 Tvrzení není pravdivé. V dalším kroku budeme hledat dodatečné předpoklady pro to, aby tvrzení bylo pravdivé. Polynom ac + bd − ef přidáme k ideálu I v tomto novém ideálu eliminujeme závisle proměnné b, c, d, e, f . Use R::= Q[xyuvabcdef]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2,(ua)^2-v^2-f^2,ac+bd-ef); Elim(b..f,I); Dostaneme jediný polynom a(−yu2 + x2 v + y 2 v − yv 2 + yua − xva). Je zřejmé, že jsme dostali podmínku pro to, aby body ABCD ležely na jedné kružnici, srovnej (28). Tento polynom přidáme k ideálu I a vyzkoušíme, zdali je tvrzení 1 pravdivé. Use R::= Q[xyuvtabcdef]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2-v^2-f^2,-yu^2+x^2v+y^2v-yv^2+yua-xva,(ac+bd-ef)t-1); NF(1,I); 1 NF=0, tj. tvrzení není pravdivé. Předpokládejme, že polynom ac + bd − ef je různý od nuly a hledejme jiný polynom, který bude patřit do hledaného ideálu. Use R::= Q[xyuvtabcdef]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2-v^2-f^2,-yu^2+x^2v+y^2v-yv^2+yua-xva,(ac+bd-ef)t-1); Elim(x..t,I);

11

Obdrželi jsme několik polynomů, z nichž jeden je tvaru a3 c3 − a2 bc2 d − ab2 cd2 + b3 d3 + a2 c2 ef − 2abcdef + b2 d2 ef − ace2 f 2 − bde2 f 2 − e3 f 3 . Po faktotizaci dostaneme (ac−bd−ef )(ac−bd+ef )(ac+bd+ef ). Abychom dokončili celý postup přidáme tento polynom k závěrům tvrzení a ověříme platnost takto doplněného tvrzení. Máme Use R::= Q[xyuvabcdef]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2-v^2-f^2,-yu^2+x^2v+y^2v-yv^2+yua-xva); NF((ac-bd-ef)(ac+bd-ef)(ac-bd+ef)(ac+bd+ef),I); 0 Vidíme, že nyní je tvrzení pravdivé. Místo tvrzení 1 zformulujeme nové, pravdivé tvrzení. Tvrzení 10 . Je dán tětivový čtyřúhelník ABCD se stranami a, b, c, d a úhlopříčkami e, f . Potom platí (ac − bd − ef )(ac + bd − ef )(ac − bd + ef )(ac + bd + ef ) = 0.

5

Obsah tětivového mnohoúhelníka

Vyjdeme opět od Heronovy formule, přes známou Brahmaguptovu formuli pro obsah konvexního čtyřúhelníka, odvodíme méně známou analogii Brahmguptovy formule pro obsah nekonvexního čtyřúhelníka.

5.1

Brahmaguptova formule

Obsah trojúhelníka, (kterému lze vždy opsat kružnici), jsme již vyšetřili. Výsledkem byl Heronův vzorec (3). Nyní budeme vyšetřovat případ tětivového čtyřúhelníka, tj. čtyřúhelníka, kterému lze opsat kružnici. Předpokládejme, že je dán tětivový čtyřúhelník A, B, C, D se stranami délek a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA| a poloměr r kružnice čtyřúhelníku opsané. Známá Brahmaguptova formule, viz [22], pro obsah p tětivového čtyřúhelníka o stranách a, b, c, d zní (Brahmagupta žil v Indii v letech 598 - asi 665): p p = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d), (21) kde s = 1/2(a + b + c + d). Abychom Brahmaguptovu formuli ”objevili”, zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak, že A = [r, 0], B = [x, y], C = [u, v], D = [w, z] a počátek umístíme do středu kružnice opsané s poloměrem r. Platí následující relace: |AB| = a ⇔ h1 : (x − r)2 + y 2 = a2 |BC| = b ⇔ h2 :⇔ (x − u)2 + (y − v)2 = b2 |CD| = c ⇔ h3 : (u − w)2 + (v − z)2 = c2 |DA| = d ⇔ h4 : (r − w)2 + z 2 = d2 12

Obrázek 7: Obsah tětivového čtyřúhelníka |OB| = r ⇔ h5 : x2 + y 2 = r 2 |OC| = r ⇔ h6 : u2 + v 2 = r 2 |OD| = r ⇔ h7 : w 2 + z 2 = r 2 .

Podle (17) pro obsah p čtyřúhelníka A, B, C, D platí obsah ABCD = p ⇔ h8 : p = 1/2(ry + xv − uy + uz − vw − rz).

Eliminací proměnných x, y, u, v, w, z, r dostaneme dvě rovnice. Prvá 16p2 = (−a + b + c + d)(a + b + c − d)(a + b − c + d)(a − b + c + d)

(22)

dává Brahmaguptovu formuli (21). Druhá rovnice 16p02 = (−a − b + c + d)(a − b + c − d)(a − b − c + d)(a + b + c + d).

(23)

vyjadřuje orientovaný obsah p0 nekonvexního tětivového čtyřúhelníka o stranách a, b, c, d, zatímco Brahmaguptova formule (21) platí pro konvexní tětivové čtyřúhelníky. Můžeme k ní dospět z Brahmaguptovy formule, budeme-li psát −b místo b, viz [28], [32]. Eliminací proměnných x, y, u, v, w, z z rovnic h1 , h2 , . . . , h7 dostaneme po faktorizaci poloměr r kružnice opsané konvexnímu tětivovému čtyřúhelníku o stranách a, b, c, d r2 =

(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) (−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d)

(24)

a analogicky poloměr r 0 kružnice opsané nekonvexnímu tětivovému čtyřúhelníku o stranách a, b, c, d r 02 =

(ab − cd)(−ac + bd)(ad − bc) . (−a − b + c + d)(a − b + c − d)(a − b − c + d)(a + b + c + d)

(25)

Tedy pro dané délky stran a, b, c, d (které splňují analogii trojúhelníkové nerovnosti a+b+c > d, . . . , atd.) existují dvě třídy tětivových čtyřúhelníků s různými poloměry 13

Obrázek 8: Tětivové čtyřúhelníky o stranách a, b, c, d – konvexní a nekonvexní případ r and r 0 , viz obr. 8. Všimněme si, že obsah p0 čtyřúhelníka ABCD je roven rozdílu obsahů opačně orientovaných trojúhelníků, tvořených dvěma vrcholy čtyřúhelníka ABCD a průsečíkem stran v případě nekonvexního čtyřúhelníka. Z rovnic (24) a (25) plynou porovnáním s (22) a (23) následující vzorce, které jednoduchým způsobem vyjadřují závislost mezi obsahem a poloměrem kružnice čtyřúhelníku opsané 16p2 r 2 = (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) (26) a 16p02 r 02 = (ab − cd)(−ac + bd)(ad − bc).

(27)

Ukažme nyní jak postupovat v případech, kdy tvrzení není pravdivé. Budeme se věnovat objevování tvrzení na rozdíl od odvozování formulí v předchozích příkladech, viz. [30], [31]. Předpokládejme, že tvrzení není pravdivé. Máme najít dodatečné předpoklady, tak aby se dané tvrzení stalo pravdivým. Tvrzení 2: Nechť ABCD je libovolný čtyřúhelník v rovině se stranami a, b, c, d. Potom pro jeho obsah p platí formule (21). Je zřejmé, že tvrzení neplatí. Z předešlého příkladu víme, že (21) platí pro tětivové čtyřúhelníky. Platí (21) pro jinou, širší, třídu čtyřúhelníků? Označíme vrcholy a strany čtyřúhelníka jako na obr. 3 a s použitím normální formy ověříme, zda tvrzení je či není pravdivé. Píšeme Use R::= Q[xyuvabcdpt]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,p-1/2(ay+xu-yv), (16p^2-(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d))t-1); NF(1,I); 1 Vidíme, že tvrzení pravdivé není. Abychom nalezli chybějící předpoklady, přidáme podmínku (21) k ideálu h(x − a)2 + y 2 − b2 , (u − x)2 + (v − y)2 − c2 , u2 + v 2 − d2 , p − 1/2(ay + xu − yv)i a v tomto novém ideálu eliminujeme závisle proměnné b, c, d, p. Napíšeme 14

Use R::= Q[abcdpxyuv]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,p-1/2(ay+xu-yv), 16p^2-(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)); Elim(b..p,I); Výsledkem je jediný polynom ve tvaru a(−ayu + yu2 + axv − x2 v − y 2 v + yv 2 ), a něhož dostaneme chybějící podmínku −ayu + yu2 + axv − x2 v − y 2 v + yv 2 = 0.

(28)

Poznamenejme, že podmínka a = 0 znamená, že vrcholy A a B splývají. V tomto případě se čtyřúhelník stává trojúhelníkem a formule (21) je stále platná a přechází do formule Heronovy. Bližší zkoumání ukazuje, že (28) je podmínka pro to, aby čtyři vrcholy A = [a, 0], B = [x, y], C = [u, v], D = [0, 0] čtyřúhelníka ABCD ležely na kružnici, viz např. [23]. Přidáme tuto podmínku (28) k předpokladům tvrzení 2 a toto nové tvrzení ověříme: Use R::= Q[xyuvtabcdp] I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,p-1/2(ay+xu-yv), -ayu+yu^2+axv-x^2v-y^2v+yv^2,(16p^2-(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+ d))t-1); NF(1,I); 1 Překvapivě ani toto doplněné tvrzení není pravdivé. Musíme si uvědomit, že čtyřúhelník by mohl obsahovat body, v nichž sám sebe protíná. V tomto případě platí pro obsah rovnice (22). Tento případ vyloučíme, tj, předpokládejme, že (22) neplatí (což znamená, že čtyřúhelník ABCD je konvexní). Potom Use R::= Q[xyuvzabcdp]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(u-x)^2+(v-y)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,p-1/2(ay+xu-yv) ,-ayu+yu^2+axv-x^2v-y^2v+yv^2,(16p^2-(-a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a+b+c+ d))z-1); NF(16p^2-(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d),I); 0 Normální forma je rovna nule. Místo tvrzení 2 jsme objevili nové tvrzení 20 , které je pravdivé. Tvrzení 20 . Nechť ABCD je libovolný konvexní tětivový čtyřúhelník v rovině se stranami délek a, b, c, d. Potom pro jeho obsah p platí formule (21). Připomeňme ještě klasický důkaz formulí (22), (23) a (26), (27). Nejprve provedeme důkaz pro konvexní případ. Předpokládejme, že je dán konvexní tětivový čtyřúhelník ABCD o stranách a, b, c, d, obr. 8. Úhlopříčku |AC| vyjádříme z trojúhelníků ABC a ADC podle kosinové věty dvojím způsobem |AC|2 = a2 + b2 − 2ab cos β, |AC|2 = c2 + d2 − 2cd cos δ. Z rovnosti 15

pravých stran plyne rovnost a2 +b2 −c2 −d2 = 2ab cos β−2cd cos δ, a odtud, vzhledem ke skutečnosti, že v tětivovém čtyřúhelníku platí β + δ = 1800 , dostaneme a2 + b2 − c2 − d2 = 2(ab + cd) cos β.

(29)

Dále, obsah p čtyřúhelníka ABCD je roven součtu obsahů trojúhelníkú ABC a ADC, p = 1/2ab sin β + 1/2cd sin δ. Protože β + δ = 1800 , odtud sin β = sin δ a 1 p = (ab + cd) sin β. 2

(30)

Rovnosti (29) a (30) umocníme na druhou a dosazením (29) do (30, s využitím vztahu sin2 β = 1 − cos2 β, dostaneme 16p2 = 4(ab + cd)2 − (a2 + b2 − c2 − d2 )2 . S využitím vzorce pro rozdíl čtverců je 16p2 = [2(ab+cd)+(a2 +b2 −c2 −d2 )][2(ab+cd)−(a2 +b2 −c2 −d2 )] = [(a+b)2 −(c− d)2 ][−(a − b)2 + (c + d)2 ] = (a + b + c − d)(a + b − c + d)(a − b + c + d)(−a + b + c + d), což je formule (22). Nyní dokážeme formuli (23) pro obsah nekonvexního tětivového čtyřúhelníka, známeli délky stran a, b, c, d. Pro tytéž délky stran a, b, c, d je na obr. 8 sestrojen nekonvexní tětivový čtyřúhelník, který jsme opět označili ABCD. Obdobně jako v konvexním případě vyjádříme podle kosinové věty dvojím způsobem délku úhlopříčky AC. Vzhledem k tomu, že úhly β a δ jsou obvodové úhly nad stranou AC, platí rovnost β = δ. Odtud plyne a2 + b2 − c2 − d2 = 2(ab − cd) cos β.

(31)

Orientovaný obsah p0 čtyřúhelníka ABCD je roven rozdílu obsahů trojúhelníků ABK a CDK, který je roven rozdílu obsahů trojúhelníků ABC a CDA. Všimněme si, že při postupu po obvodu 4ABC podle pořadí vrcholů od A přes B do C se pohybujeme proti směru hodinových ručiček, tedy ve směru kladném, naproti tomu při postupu kolem obvodu 4CDA se pohybujeme ve směru záporném. Proto u obsah 4ABC počítáme se znaménkem plus, zatímco obsah 4CDA uvažujeme se znaménkem minus. Vychází 1 p0 = (ab − cd) sin β. 2

(32)

Rovnosti (31) a (32) umocníme na druhou a dosazením (31) do (32 obdobně jako v předchozím případě dostaneme 16p02 = 4(ab − cd)2 − (a2 + b2 − c2 − d2 )2 . S využitím vzorce pro rozdíl čtverců je 16p02 = [2(ab − cd) + (a2 + b2 − c2 − d2 )][2(ab − cd) − (a2 + b2 − c2 − d2 )] = [(a + b)2 − (c+d)2 ][−(a−b)2 +(c−d)2 ] = (a+b+c+d)(a+b−c−d)(a−b+c−d)(−a+b+c−d), což je formule (23). Abychom dokázali formuli (26) pro konvexní tětivový čtyřúhelník ABCD, viz obr. 8, uvažujme trojúhelníky o stranách a, b, e a c, d, e, a označme jejich obsahy po řadě p1 and p2 . Potom platí p1 = abe/4r p2 = cde/4r. Sečtením obou rovností 16

dostaneme pro obsah p čtyřúhelníka ABCD vztah p = e(ab + cd)/4r. Jestliže nyní zvolíme trojúhelníky o stranách b, c, f a a, d, f , potom pro obsah p čtyřúhelníka platí p = f (bc + ad)/4r. Vynásobením obou rovností dostaneme 16p2 r 2 = ef (ab + cd)(ad + bc). Podle Ptolemaiovy věty je v tomto případě ef = ac + bd. Dosazením za ef do předchozí formule dostaneme (26). Vztah (27) dokážeme obdobně. Ze vztahů p = e(ab + cd)/4r a p = f (bc + ad)/4r, plyne sečtením zajímavá rovnost e(ab + cd) = f (bc + ad).

(33)

Vynásobením rovnosti (33) např. f , dostaneme s následným využitím ef = ac + bd vzorec pro vyjádření délky úhlopříčky f konvexního tětivového čtyřúhelníka o stranách a, b, c, d, viz [8]. (ab + cd)(ac + bd) . (34) f2 = (ad + bc) Pro nekonvexní tětivý čtyřúhelník analogicky vychází f2 =

(bd − ac)(ab − cd) . (ad − bc)

(35)

za použití Ptolemaiova vztahu ef = bd − ac.

6

Wallace-Simsonova věta

V této části se budeme zabývat větou, která je pojmenována po anglickém geometrovi R. Simsonovi (1687-1768), který se zabýval obdobnou problematikou. Skutečně ale větu dokázal až W. Wallace v roce 1799, odtud Wallace-Simsonova věta. Proto

Obrázek 9: Wallace-Simsonova věta se místo dřívějšího pojmenování Simsonova věta užívá spíše Wallace - Simsonova 17

věta. Wallace - Simsonova věta: Nechť ABC je trojúhelník a P je bod kružnice opsané trojúhelníku ABC. Potom paty kolmic spuštěné z bodu P na strany trojúhelníka ABC leží na jedné přímce, obr. 9. Uveďme nejprve klasický důkaz. Nechť bod P leží na kružnici opsané trojúhelníku ABC. Označme paty kolmic spuštěných z bodu P na strany BC, AC, AB po řadě K, L, M , obr. 9. Máme dokázat, že body K, L, M leží na jedné přímce. Tedy stačí ukázat rovnost ]CKL = ]BKM . Čtyřúhelníky PCLK a PKBM jsou tětivové, odtud ]CP L = ]CKL a ]BP M = ]BKM . Stačí tedy ukázat, že platí ]CP L = ]BP M . Čtyřúhelníky ABPC a AMPL jsou rovněž tětivové, odtud plyne ]CP B = Π − ]CAB a ]LP M = Π − ]CAB, tedy platí ]CP B = ]LP M . Odtud již plyne naše tvrzení. Nyní dokážeme Wallace-Simsonovu větu užitím teorie automatického dokazování vět. Nejprve vyjádříme větu pomocí analytické geometrie. Zvolme systém souřadnic, obr.10, tak že platí A = [a, 0], B = [b, c], C = [0, 0], P = [p, q], K = [m, n], L = [k, 0], M = [r, s]. Předpoklady jsou následující:

Obrázek 10: Důkaz Wallace-Simsonovy věty P L ⊥ AC :⇔ h1 : p − k = 0 K ∈ BC :⇔ h2 : cm − bn = 0 P K ⊥ BC :⇔ h3 : (p − m)b + (q − n)c = 0 M ∈ AB :⇔ h4 : (b − a)s − (r − a)c = 0 P M ⊥ AB :⇔ h5 : (p − r)(b − a) + (q − s)c = 0 P ∈ kružnice opsaná M ABC :⇔ h6 : −acp + cp2 + abq − b2 q − c2 q + cq 2 = 0. Závěr tvrzení c má tvar K, L, M leží na přímce: ⇔ c : (m − k)s − (r − k)n = 0. V CoCoA dostaneme

Use R::= Q[abcpqkmnrst]; 18

I:=Ideal(p-k,cm-bn,(p-m)b+(q-n)c,(b-a)s-(r-a)c,(b-a)(p-r)+(q-s)c, -acp+cp^2+abq-b^2q-c^2q+cq^2,((m-k)s-(r-k)n)t-1); NF(1,I); 1 Normální forma je rovna 1. To znamená, že tvrzení není pravdivé. Nyní hledáme případné podmínky degenerace. Následující příkaz Elim eliminuje závisle proměnné p, q, k, m, n, r, s a proměnnou t. I:=Ideal(p-k,cm-bn,(p-m)b+(q-n)c,(b-a)s-(r-a)c,(b-a)(p-r)+(q-s)c, -acp+cp^2+abq-b^2q-c^2q+cq^2,((m-k)s-(r-k)n)t-1); Elim(p..t,I); Dostali jsme podmínku (b2 + c2 )[(a − b)2 + c2 )] 6= 0, což znamená, že pro vrcholy trojúhelníka musíme předpokládat B 6= C a B 6= A. V dalším ověříme, zda přidáním těchto podmínek se tvrzení stane pravdivým Use R::= Q[abcpqkmnrsuvt]; I:=Ideal(p-k,cm-bn,(p-m)b+(q-n)c,(b-a)s-(r-a)c,(b-a)(p-r)+(q-s)c,-acp+c p^2+abq-b^2q-c^2q+cq^2,(b^2+c^2)u-1,((a-b)^2+c^2)v-1,((m-k)s-(r-k)n)t-1); NF(1,I); 0; Tedy věta je pravdivá.

6.1

Zobecnění Wallace-Simsonovy věty

V další části větu zobecníme. Chou v [6] říká, že toto zobecnění objevil J. D. Gergonne. Předpokládejme, že bod P je libovolný bod roviny M ABC. Hledáme množinu bodů P , takových, že trojúhelník pat kolmic K, L, M spuštěných z bodu P na strany trojúhelníka ABC má konstantní obsah f . Takto formulovaná úloha je zobecněním předchozí úlohy, protože pro nulový obsah M KLM je množinou bodů kružnice opsaná M ABC. Při stejném označení jako v předchozím případě, pro obsahf M KLM platí f = 1/2(kn + ms − rn − ks). Úloha je nyní složitější. Na rozdíl od předchozí úlohy hledanou množinu bodů P neznáme, musíme ji objevit. Nejprve zkusíme platnost tvrzení, jestliže na bod P není kladena žádná podmínka. Obdobně jako v předešlém případě zjistíme, že NF(1,I)=1, tj. tvrzení není pravdivé, jak se dalo očekávat (tuto část vynecháváme). Dále uvažujme ideál I = (p − k, cm − bn, (p − m)b + (q − n)c, (b − a)s − (r − a)c, (b − a)(p−r)+(q −s)c, kn+ms−rn−ks−2f ), který obsahuje polynomy h1 , h2 , . . . , h5 a podmínku konstantního obsahu kn + ms − rn − ks − 2f . V tomto ideálu eliminujme všechny proměnné kromě a, b, c, p, q, f I:=Ideal(p-k,cm-bn,(p-m)b+(q-n)c,(b-a)s-(r-a)c,(b-a)(p-r)+(q-s)c, kn+ms-rn-ks-2f); Elim(k..s,I); 19

Dostaneme jedinou rovnici −a2 c3 p + ac3 p2 + a2 bc2 q − ab2 c2 q − ac4 q + ac3 q 2 − 2a2 b2 f + 4ab3 f − 2b4 f − 2a2 c2 f + 4abc2 f − 4b2 c2 f − 2c4 f = 0. Při bližším zkoumání zjistíme, že hledanou množinou je kružnice se středem O = [q/2, (b2 − ab + c2 )/(2c)] a poloměrem p r = (b2 + c2 )((a − b)2 + c2 )(ac + 8f )/(4ac3 ), obr. 11, která je soustředná s kružnicí opsanou M ABC. Předpokládejme, že bod P

Obrázek 11: Zobecnění Wallace-Simsonovy věty splňuje hořejší rovnici. Potom body K, L, M tvoří trojúhelník konstantního obsahu f . Ověřme toto tvrzení, za podmínky, že platí (b2 + c2 )[(a − b)2 + c2 )] 6= 0. Use R::= Q[abcfpqkmnrsvt]; I:=Ideal(p-k,cm-bn,(p-m)b+(q-n)c,(b-a)s-(r-a)c,(b-a)(p-r)+(q-s)c,-a^2c^ 3p+ac^3p^2+a^2bc^2q-ab^2c^2q-ac^4q+ac^3q^2-2a^2b^2f+4ab^3f-2b^4f-2a^2c^ 2f+4abc^2f-4b^2c^2f-2c^4f,(b^2+c^2)((a-b)^2+c^2)v-1,(kn+ms-rn-ks-2f)t-1); NF(1,I); 0 Tvrzení je pravdivé. Dokázali jsme větu: Nechť ABC je trojúhelník a P je bod kružnice, která je soustředná s kružnicí opsanou M ABC. Potom paty kolmic z bodu P na strany M ABC tvoří trojúhelník konstantního obsahu.

6.2

Guzmánovo zobecnění Wallace-Simsonovy věty

Je dán libovolný bod P roviny trojúhelníka ABC a tři směry u, v, w dané vektory → − − − u ,→ v ,→ w , které nejsou všechny tři shodné a které nejsou po řadě rovnoběžné se stranami BC, AC, AB. Bod P promítneme po řadě ve směrech u, v, w na strany 20

BC, AC, AB trojúhelníka ABC. Dostaneme body K, L, M . Jaká je množina bodů P , jestliže obsah trojúhelníka KLM je konstantní, obr. 12? Zvolme soustavu souřadnic následovně: A = [a, 0], B = [b, c], C = [0, 0], P =

Obrázek 12: Další zobecnění Wallace-Simsonovy věty − − − [p, q], K = [k1 , k2 ], L = [l1 , l2 ], M = [m1 , m2 ], → u = (u1 , u2 ), → v = (v1 , v2 ), → w = → − → − → − (w1 , w2 ). Ze vztahů K = P + t1 u , L = P + t2 v , M = P + t3 w , K = C + s1 (B − C), L = C + s2 (A − C), M = A + s3 (B − A) dostaneme soustavu rovnic

h1 : k1 = p+t1 u1 , h2 : k2 = q+t1 u2 , h3 : l1 = p+t2 v1 , h4 : l2 = q+t2 v2 , h5 : m1 = p+ t3 w1 , h6 : m2 = q+t3 w2 , h7 : k1 = s1 b, h8 : k2 = s1 c, h9 : l1 = s2 a, h10 : l2 = 0, h11 : m1 = a+s3 (b−a), h12 : m2 = s3 c, h13 : 2f = k1 l2 −l1 k2 +l1 m2 −m1 l2 +m1 k2 −k1 m2 . Eliminací závisle proměnných k1 , k2 , l1 , l2 , m1 , m2 , t1 , t2 , t3 , s1 , s2 , s3 obdržíme rovnici 2. stupně v p, q [17]:

C(f ) ≡ c2 v2 p2 (u1 w2 −u2 w1 )+cpq(cu2 v1 w1 −au2 v2 w1 +bu2 v2 w1 −cu1 v1 w2 +au2 v1 w2 − bu1 v2 w2 ) + cq 2 (−bu2 v1 w1 + au1 v2 w1 − au1 v1 w2 + bu1 v1 w2 ) + ac2 v2 p(u2 w1 − u1 w2 ) + acq(−cu1 v2 w1 +cu1 v1 w2 −bu2 v1 w2 +bu1 v2 w2 )+2v2 f (cu1 −bu2 )(cw1 +aw2 −bw2 ) = 0.

Nyní ověříme, zda křivka je skutečně hledanou množinou.

Use R::=Q[abcfu[1..2]v[1..2]w[1..2]t[1..3]s[1..3]k[1..2]l[1..2]m[1..2]pqr]; I:=Ideal(k[1]-p-t[1]u[1],k[2]-q-t[1]u[2],l[1]-p-t[2]v[1],l[2]-q-t[2]v[2], m[1]-p-t[3]w[1],m[2]-q-t[3]w[2],k[1]-s[1]b,k[2]-s[1]c,l[1]-s[2]a,l[2], m[1]-a-s[3](b-a),m[2]-s[3]c,c^2v[2]p^2(u[1]w[2]-u[2]w[1])+cpq(cu[2]v[1] w[1]-au[2]v[2]w[1]+bu[2]v[2]w[1]-cu[1]v[1]w[2]+au[2]v[1]w[2]-bu[1]v[2] w[2])+cq^2(-bu[2]v[1]w[1]+au[1]v[2]w[1]-au[1]v[1]w[2]+bu[1]v[1]w[2])+ ac^2v[2]p(u[2]w[1]-u[1]w[2])+acq(-cu[1]v[2]w[1]+cu[1]v[1]w[2]-bu[2]v[1] w[2]+bu[1]v[2]w[2])+2v[2]f(cu[1]-bu[2])(cw[1]+aw[2]-bw[2]),(k[1]l[2]+l[1] m[2]+m[1]k[2]-m[1]l[2]-k[1]m[2]-l[1]k[2]-2f)r-1); NF(1,I); 1 tj. tvrzení neplatí. Pokusme se najít podmínky degenerace, tj. nahradíme příkaz NF(1,I) příkazem Elim(t[1]..r,I). Dostaneme v2 (−cu1 + bu2 )(cw1 + (a − b)w2 ) = 21

0, což v tomto případě znamená, že směry u, v, w jsou po řadě rovnoběžné se stranami BC, AC, AB. Za tohoto předpokladu vychází I:=Ideal(k[1]-p-t[1]u[1],k[2]-q-t[1]u[2],l[1]-p-t[2]v[1],l[2]-q-t[2]v[2], m[1]-p-t[3]w[1],m[2]-q-t[3]w[2],k[1]-s[1]b,k[2]-s[1]c,l[1]-s[2]a,l[2], m[1]-a-s[3](b-a),m[2]-s[3]c,c^2v[2]p^2(u[1]w[2]-u[2]w[1])+cpq(cu[2]v[1] w[1]-au[2]v[2]w[1]+bu[2]v[2]w[1]-cu[1]v[1]w[2]+au[2]v[1]w[2]-bu[1]v[2] w[2])+cq^2(-bu[2]v[1]w[1]+au[1]v[2]w[1]-au[1]v[1]w[2]+bu[1]v[1]w[2])+ac^2 v[2]p(u[2]w[1]-u[1]w[2])+acq(-cu[1]v[2]w[1]+cu[1]v[1]w[2]-bu[2]v[1]w[2]+ bu[1]v[2]w[2])+2v[2]f(cu[1]-bu[2])(cw[1]+aw[2]-bw[2])-0,v[2]x-1,(-cu[1]+ bu[2])y-1,(cw[1]+(a-b)w[2])z-1,(k[1]l[2]+l[1]m[2]+m[1]k[2]-m[1]l[2]-k[1 ]m[2]- l[1]k[2]-2f)r-1); NF(1,I); 0 Věta platí. Křivka C(f ) má řadu zajímavých vlastností. Ukažme si některé z nich. Nejprve budeme zkoumat křivku C(0) tj. předpokládáme, že f = 0. Ta má po faktorizaci rovnici C(0) ≡ c{cv2 p2 (u1 w2 −u2 w1 )+pq(cu2 v1 w1 −au2 v2 w1 +bu2 v2 w1 −cu1 v1 w2 +au2 v1 w2 − bu1 v2 w2 ) + q 2 (−bu2 v1 w1 + au1 v2 w1 − au1 v1 w2 + bu1 v1 w2 ) + ac2 v2 p(u2 w1 − u1 w2 ) + aq(−cu1 v2 w1 + cu1 v1 w2 − bu2 v1 w2 + bu1 v2 w2 )} = 0 Předpokládejme, že c 6= 0, a 6= 0, tj. body A, B, C neleží v přímce a A 6= B.

a) Křivka C(0) prochází vrcholy trojúhelníka ABC. Tvrzení plyne dosazením souřadnic vrcholů A, B, C do rovnice C(0) = 0. Totéž lze nahlédnout ze skutečnosti, že pokud bude bod P jedním z vrcholů trojúhelníka, potom pro jakékoliv směry u, v, w dva body trojúhelníka K, L, M splynou a tedy jeho obsah f bude roven nule. b)C(0) je kuželosečka (při daných A, B, C, u, v, w). Rovnice C(0) = 0 je skutečně rovnicí kuželosečky. Pokud by koeficienty u kvadratických členů vymizely, dostali bychom rovnici přímky. To však není možné, neboť podle předchozího tvrzení křivka C(0) prochází vrcholy trojúhelníka ABC. c) C(f ) je při měnícím se f stejná třída kuželoseček (elipsa, hyperbola, parabola). Je-li jedna z těchto kuželoseček středová, potom všechny kuželosečky mají stejný střed a jsou vzájemně homotetické. Pokud nejsou středové, potom jsou to posunuté paraboly ve směru osy paraboly. d) C(0) je singulární právě když dva směry jsou stejné. Je-li např. u = v kuželosečka se skládá z přímky AB a přímky procházející vrcholem C ve směru w. V tomto případě je C(0) třída hyperbol s danými přímkami jako asymptotami. e) Jestliže jsou všechny tři směry u, v, w navzájem různé C(f ) je regulární kuželosečka. 22

f) Volba u = (c, −b), v = (0, 1), w = (c, a − b) dává kružnici cp2 + cq 2 − acp + abq − b2 q − c2 q = 0. Na obr. 13 vidíme případ, kdy kuželosečka je elipsou a hyperbolou.

Obrázek 13: Elipsa a hyperbola pro různé volby směrů u, v, w

6.3

Zobecnění Wallace-Simsonovy věty v prostoru

Abychom zobecnili Wallace-Simsonovu větu do prostoru, uvažujme čtyřstěn ABCD. Nechť P je libovolný bod Eukleidovského prostoru E 3 a K, L, M, N paty kolmic spuštěných z bodu P po řadě na stěny BCD, ACD, ABD, ABC čtyřstěnu ABCD. Hledáme množinu bodů P takových, že K,L,M,N leží v jedné rovině. Zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak, že A = [0, 0, 0], B = [a, 0, 0], C = [b, c, 0], D = [d, e, f ], P = [p, q, r], K = [k1 , k2 , k3 ], L = [l1 , l2 , l3 ], M = [m1 , m2 , m3 ], N = [n1 , n2 , n3 ]. Předpokládejme, že a 6= 0, b 6= 0. Předpoklady jsou následující:

h1 0 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8

: P K⊥BCD ⇔ (b−a)(p−k1 )+c(q−k2 ) = 0∧(d−a)(p−k1 )+e(q−k2 )+f (r−k3 ) =

: k ∈ BCD ↔ −acf − aek3 + af k2 + ack3 + cf k1 + bek3 + cdk3 − bf k2 = 0 : P L⊥ACD ⇔ b(p − l1 ) + c(q − l2 ) = 0 ∧ d(p − l1 ) + e(q − l2 ) + f (r − l3 ) = 0 : L ∈ ACD ⇔ cf l1 + bel3 − cdl3 − bf l2 = 0 : P M ⊥ABD ⇔ a(p − m1 ) = 0 ∧ d(p − m1 ) + e(q − m2 ) + f (r − m3 ) = 0 : M ∈ ABD ⇔ aem3 − af m2 = 0 : P H⊥ABC ⇔ a(p − n1 ) = 0 ∧ b(p − n1 ) + c(q − n2 ) = 0 : N ∈ ABC ⇔ acn3 = 0. k1 k2 k3 1 l1 l2 l3 1 = 0. Pro závěr c je: c : K, L, M, N v jedné rovině ⇔ m1 m2 m3 1 n1 n2 n3 1

Budeme eliminovat závisle proměnné k1 , k2 , k3 , l1 , l2 , l3 , m1 , m2 , m3 , n1 , n2 , n3 . Máme Use R::= Q[k[1..3]l[1..3]m[1..3]n[1..3]abcdefpqr]; I:=Ideal((p-k[1])(b-a)+c(q-k[2]),(p-k[1])(d-a)+(q-k[2])e+(r-k[3])f, (p-l[1])b+(q-l[2])c,(p-l[1])d+(q-l[2])e+(r-l[3])f, (p-m[1])a, (p-m[1])d+(q-m[2])e+(r-m[3])f,(p-n[1])a,(p-n[1])b +(q-n[2])c, 23

acf+aek[3]- afk[2]-ack[3]-cfk[1]-bek[3]+cdk[3]+ bfk[2], cfl[1]+ bel[3]-cdl[3]-bfl[2],em[3]-fm[2],n[3],-k[3]l[2] m[1]+k[2] l[3]m[1] +k[3]l[1]m[2]-k[1]l[3]m[2]-k[2]l[1]m[3]+ k[1]l[2]m[3]+k[3]l[2]n[1] -k[2]l[3]n[1]-k[3]m[2]n[1]+l[3]m[2]n[1]+k[2]m[3]n[1]- l[2]m[3]n[1] -k[3]l[1]n[2]+k[1]l[3]n[2]+k[3]m[1]n[2]-l[3]m[1]n[2]- k[1]m[3]n[2] +l[1]m[3]n[2]+k[2]l[1]n[3]-k[1]l[2]n[3]-k[2]m[1]n[3]+ l[2]m[1]n[3] +k[1]m[2]n[3]-l[1]m[2]n[3]); Elim(k[1]..n[3],I); Žádná odpověď. V takovém případě se pokusíme provést eliminaci po částech. Budeme postupovat následujícím způsobem. Dáme stranou polynomy, které neobsahují proměnné m1 , m2 , m3 , n1 , n2 , n3 a ze zbývajících polynomů eliminujeme m1 , m2 , m3 , n1 , n2 , n3 . Dostaneme ideál, který obsahuje polynomy pouze s proměnnými k1 , k2 , k3 , l1 , l2 , l3 . Poté přidáme polynomy, které jsme dali stranou, a eliminujeme proměnné k1 , k2 , k3 , l1 , l2 , l3 . dostaneme jedinou rovnici F (p, q, r) = 0, která vypadá následovně. F (p, q, r) := q 3 (−abf 2 + b2 f 2 ) + r 3 (−acdf + cd2 f + abef − b2 ef − c2 ef + ce2 f ) + p2 q(c2 f 2 ) + p2 r(−c2 ef + ce2 f + cf 3 ) + q 2 p(acf 2 − 2bcf 2 ) + q 2 r(−acdf + cd2 f + abef − b2 ef + cf 3 ) + r 2 p(acf 2 − 2cdf 2 ) + r 2 q(−abf 2 + b2 f 2 + c2 f 2 − 2cef 2 ) + pqr(2bcef − 2cdef ) + q 2 (abcf 2 ) + r 2 (−ac2 de + c2 d2 e + abce2 + acde2 − 2bcde2 − abe3 + b2 e3 + acdf 2 − abef 2 + b2 ef 2 + c2 ef 2 ) + pq(−ac2 f 2 ) + pr(ac2 ef − ace2 f − acf 3 ) + qr(ac2 df − c2 d2 f − 2abcef + 2bcdef + abe2 f − b2 e2 f + abf 3 − b2 f 3 − c2 f 3 ) = 0. Vidíme, že F (p, q, r) = 0 je rovnice kubické plochy S, která má následující vlastnosti: a) Rovnice obsahuje pouze kubické a kvadratické členy. b) Plocha S obsahuje vrcholy A, B, C, D daného čtyřstěnu. c) Plocha S obsahuje všechny hrany AB, AC, AD, BC, BD, CD čtyřstěnu ABCD. d) Bod, který je průnikem rovin obsahujících hrany např. AB, BD, DA a které jsou kolmé po řadě k rovinám ABC, BDC, DAC, leží na ploše S. e) Plocha S je kubická plocha. Kdyby totiž vymizely všechny kubické členy, potom by plocha byla kvadrikou. Ale to není možné, protože S obsahuje 6 hran čtyřstěnu ABCD. f) Plocha S má pouze 4 singulární body - vrcholy A, B, C, D daného čtyřstěnu, což je snadné ověřit. Pro speciální hodnoty a = 1, b = 0, c = 1, d = 0, e = 0, f = 1 dostaneme následující kubickou plochu p2 q + p2 r + q 2 p + q 2 r + r 2 p + r 2 q − pq − qr − rp = 0. Další zobecnění je možné tímto způsobem. Místo požadavku, aby body K, L, M, N ležely v jedné rovině, budeme požadovat konstantní objem čtyřstěnu K, L, M, N. V 24

tomto případě dostaneme rovnici F (p, q, r, s) = 0, přičemž platí F (p, q, r, s) = ac2 f 3 F (p, q, r) + sK,

(36)

kde F (p, q, r) je levá strana rovnice z předchozího případu a K je konstantní člen, který neobsahuje proměnné p, q, r. Z (36) je vidět, že se obě rovnice liší pouze o konstantu, která závisí na objemu s.

7

Petr-Douglas-Neumannova věta

Petr-Douglas-Neumannova věta (PDN věta), viz. [24], [28], [15], má bohatou historii. Její jméno je úzce spjato se jménem českého matematika Karla Petra, který větu jako první publikoval v roce 1905, viz.[29]. Snad v důsledku skutečnosti, že práce [29] byla napsána česky (ačkoliv o dva roky později vyšla německá verze), byli za objevitele této věty dlouho považováni J. Douglas [11] a B.H. Neumann [26], kteří své práce nezávisle publikovali ve 40. letech minulého století. Název Petrova věta (Petrschen Satz) je mj. uveden též v [25]. Nejznámějším speciálním případem PDN věty je Napoleonova věta. V této kapitole uvádíme příklady použití počítače při dokazování a objevování PDN věty pro trojúhelník a čtyřúhelník. Existuje rovněž mnoho vlastností trojúhelníka, čtyřúhelníka příp. n-úhelníka, které s PDN větou úzce souvisejí, jako např. Finneyho věta.

7.1

Napoleonova věta

Známá Napoleonova věta říká: Jestliže nad stranami trojúhelníka ABC sestrojíme rovnostranné trojúhelníky (vně nebo dovnitř), potom jejich středy A0 , B 0 , C 0 tvoří rovnostranný trojúhelník. Sestrojme nad stranami trojúhelníka ABC rovnoramenné trojúhelníky. Místo toho abychom dokázali tuto větu dokázali, budeme hledat takové rovnoramenné trojúhelníky, jejichž vrcholy tvoří rovnostranný trojúhelník. Zvolme soustavu souřadnic tak aby A = [0, 0], B = [a, 0], C = [b, c], A0 = [k1 , k2 ], B 0 = [l1 , l2 ], C 0 = [m1 , m2 ]. Sestrojme nad stranami trojúhelníka ABC např. vně libovolné rovnoramenné trojúhelníky ABC 0 , BCA0 , CAB 0 , obr.14. Problém této úlohy spočívá ve vyjádření pojmu ”vně” pouze pomocí algebraických rovnic. Důkazové metody, které užíváme, se opírají o Hilbertovu větu Nullstellensatz, která platí v algebraicky uzavřeném tělese, např. oboru komplexních čísel. Komplexní čísla však, jak známo, nelze uspořádat, proto nemůžeme pro vyjádření poloroviny použít nerovností. Použijeme následující způsob, který použil Wang v [36]. Vrchol A0 je koncovým bodem vektoru, jehož počáteční bod je ve středu strany BC, −−→ má délku v|BC| a týž směr jako vektor CB otočený o úhel 900 v kladném smyslu, tj. platí (k1 − (a + b)/2, k2 − c/2) = v(c, a − b). Analogické vztahy platí pro ostatní vrcholy. Pro souřadnice vrcholů A0 B 0 C 0 dostáváme následující podmínky: 2k1 − a − b − 2vc = 0, 25

2k2 − c − 2va + 2vb = 0, 2l1 − b + 2vc = 0, 2l2 − c − 2vb = 0, 2m1 − a = 0, m2 − va = 0.

Hledejme takovou hodnotu v pro níž bude trojúhelník A0 B 0 C 0 rovnostranný. Požadujeme

Obrázek 14: Rovnoramenné trojúhelníky sestrojené nad stranami trojúhelníka ABC tedy platnost |A0 B 0 | = |A0 C 0 | a |A0 B 0 | = |B 0 C 0 | t.j. (k[1]−l[1])2 +(k[2]−l[2])2 = (m[1]−k[1])2 +(m[2]−k[2])2 , (k[1]−l[1])2 +(k[2]−l[2])2 = (m[1] − l[1])2 + (m[2] − l[2])2 . Nejprve požadujme platnost rovnosti |A0 B 0 | = |A0 C 0 |. V CoCoA provedeme eliminaci závisle proměnných k1 , k2 , l1 , l2 , m1 , m2 . Use R::=Q[k[1..2]l[1..2]m[1..2]abcv]; I:=Ideal(2k[1]-a-b-2vc,2k[2]-c-2va+2vb,2l[1]-b+2vc,2l[2]-c-2vb,2m[1]-a, m[2]+va,(k[1]-l[1])^2+(k[2]-l[2])^2-(m[1]-k[1])^2-(m[2]-k[2])^2); Elim(k[1]..m[2],I); Ideal(6abv^2-3b^2v^2-3c^2v^2-1/2ab+1/4b^2+1/4c^2); Výsledný ideál dává jedinou podmínku (12v 2 − 1)(a2 − b2 − c2 ) = 0. Odtud plyne, a) trojúhelník ABC je rovnoramenný, |AB| = |AC| a v je libovolné, nebo √ √ b) v = 3/6 nebo v = − 3/6 a trojúhelník ABC je libovolný. Pokud √ je trojúhelník ABC √ rovnoramenný věta zřejmě platí pro každé v. Pro hodnoty v = 3/6 nebo v = − 3/6 a libovolný trojúhelník ABC tvrzení ověříme. Máme Use R::=Q[k[1..2]l[1..2]m[1..2]abcv]; J:=Ideal(2k[1]-a-b-2vc,2k[2]-c-2va+2vb,2l[1]-b+2vc,2l[2]-c-2vb,2m[1]-a, m[2]+va,12v^2-1); NF((k[1]-l[1])^2+(k[2]-l[2])^2-(m[1]-l[1])^2-(m[2]-l[2])^2,J); 0 √ Analogicky postupujeme v případě rovnosti |A0 B 0 | = |B 0√ C 0 |. Pro v = 3/6 tak získáme vnější Napoleonův trojúhelník A0 B 0 C 0 , pro v = − 3/6 dostáváme vnitřní 26

√ √ Napoleonův trojúhelník A00 B 00 C 00 , obr. 15. Hodnotám v = 3/6, v = − 3/6 odpovídají rovnoramenné trojúhelníky s úhlem 2π/3 při hlavním vrcholu, sestrojené nad stranami trojúhelníka ABC vně a dovnitř. Je nutné si uvědomit, že místo důkazu věty jsme větu objevili. Označíme-li A00 = [n1 , n2 ], B 00 = [o1 , o2 ], C 00 = [p1 , p2 ] potom platí 2n1 − a − b + 2vc = 0, 2n2 − c + 2va − 2vb = 0, 2o1 − b − 2vc = 0, 2o2 − c + 2vb = 0, 2p1 − a = 0, p2 − va = 0.

Ukážeme, že součet orientovaných obsahů g, h Napoleonových trojúhelníků A0 B 0 C 0 ,

Obrázek 15: Vnější a vnitřní Napoleonův trojúhelník A00 B 00 C 00 je roven k1 1 platí g = 2 l1 m1

obsahu f trojúhelníka ABC. Pro obsah f je 2f − ac, pro obsah g k2 1 l2 1 . Vychází m2 1

Use R::=Q[k[1..2]l[1..2]m[1..2]n[1..2]o[1..2]p[1..2]abcvfgh]; I:=Ideal(2k[1]-a-b-2vc,2k[2]-c-2va+2vb,2l[1]-b+2vc,2l[2]-c-2vb,2m[1]-a, m[2]+va,2n[1]-a-b+2vc,2n[2]-c+2va-2vb,2o[1]-b-2vc,2o[2]-c+2vb,2p[1]-a, p[2]-va,12v^2-1,2f-ac,2g-(k[1]l[2]+l[1]m[2]+m[1]k[2]-m[1]l[2]-k[1]m[2]k[2]l[1]),2h-(n[1]o[2]+o[1]p[2]+p[1]n[2]-p[1]o[2]-n[1]p[2]-n[2]o[1])); Elim(k[1]..v,I); Ideal(1/3f - 1/3g - 1/3h); tj. f = g + h. Snadno ověříme, že NF(f-g-h,I)=0. Původní trojúhelník ABC a trojúhelníky A0 B 0 C 0 a A00 B 00 C 00 mají pro libovolné v společné těžiště T . Ukážeme, že např. platí A0 + B 0 + C 0 = A00 + B 00 + C 00 . 27

Use R::=Q[k[1..2]l[1..2]m[1..2]n[1..2]o[1..2]p[1..2]abcvt]; I:=Ideal(2k[1]-a-b-2vc,2k[2]-c-2va+2vb,2l[1]-b+2vc,2l[2]-c-2vb,2m[1]-a, m[2]+va,2n[1]-a-b+2vc,2n[2]-c+2va-2vb,2o[1]-b-2vc,2o[2]-c+2vb,2p[1]-a, p[2]-va); NF(k[1]+l[1]+m[1]-n[1]-o[1]-p[1],I); 0 Analogicky se ukáže, že NF(k[2]+l[2]+m[2]-n[2]-o[2]-p[2],I)=0. Sestrojíme-li nad stranami trojúhelníka ABC podobné rovnoramenné trojúhelníky ABC 0 , BCA0 , CAB 0 s libovolným úhlem při hlavním vrcholu (a tedy i libovolnou hodnotou v), potom se přímky AA0 , BB 0 , CC 0 protínají v jediném bodě. Dokažme tuto známou větu. Přímka AA0 má rovnici k1 y − k2 x = 0, přímka BB 0 : (l1 − a)y − (x − a)l2 = 0, přímka CC 0 : (b − m1 )(y − m2 ) − (x − m1 )(c − m2 ) = 0. Předpokládejme, že S = [s1 , s2 ] je společný bod přímek AA0 a BB 0 . Chceme dokázat, že S leží také na přímce CC 0 . Máme Use R::=Q[k[1..2]l[1..2]m[1..2]s[1..2]abcv]; I:=Ideal(2k[1]-a-b-2vc,2k[2]-c-2va+2vb,2l[1]-b+2vc,2l[2]-c-2vb,2m[1]-a, m[2]+va,k[1]s[2]-k[2]s[1],(l[1]-a)s[2]-(s[1]-a)l[2]); NF((b-m[1])(s[2]-m[2])-(s[1]-m[1])(c-m[2]),I); 0 Ukažme jakou množinu tvoří body S při měnící se hodnotě v. Eliminací proměnných k1 , k2 , l1 , l2 , m1 , m2 , v z ideálu I dostaneme Use R::=Q[k[1..2]l[1..2]m[1..2]vs[1..2]vabc]; I:=Ideal(2k[1]-a-b-2vc,2k[2]-c-2va+2vb,2l[1]-b+2vc,2l[2]-c-2vb,2m[1]-a, m[2]+va,k[1]s[2]-k[2]s[1],(l[1]-a)s[2]-(s[1]-a)l[2]); Elim(k[1]..v,I); Ideal(-s[1]s[2]a^2+s[1]s[2]ab+1/2s[2]a^2b-s[1]s[2]b^2+1/2s[2]ab^2-1/2 s[1]^2ac+1/2s[2]^2ac+1/2s[1]a^2c+s[1]^2bc-s[2]^2bc-s[1]abc+s[1]s[2]c^2 -1/2s[2]ac^2) Vidíme, že body S = [x, y] leží (při standardním označení [x, y] místo s1 , s2 ]) na kuželosečce x2 c(a−2b)+2xy(a2 −ab+b2 −c2 )+y 2c(2b−a)+xac(2b−a)+ya(c2 −ab−b2 ) = 0, (37) která se nazývá Kiepertova hyperbola, obr. 16. Kiepertova hyperbola (37) má mnoho zajímavých vlastností, např. je to rovnoosá hyperbola, procházející vrcholy trojúhelníka ABC. Obsahuje také další ”významné” body trojúhelníka ABC jako těžiště, průsečík výšek, vnější a vnitřní Fermatův (Torricelliho) bod, je úzce spjata s Wallaceovou přímkou, Feuerbachovou kružnicí apod., viz. [24].

28

Obrázek 16: Kiepertova hyperbola

7.2

Finneyova věta

Nechť A0 , B 0 jsou středy čtverců sestrojených po řadě vně nad stranami BC, AC trojúhelníka ABC. Nechť P je střed strany AB. Potom A0 B 0 P je pravoúhlý trojúhelník, pro který platí A0 P ⊥B 0 P a |A0 P | = |B 0 P |, Fig. 17. Označme A0 = [k1 , k2 ], B 0 = [l1 , l2 ], P = [p, 0]. Nad stranami AC, BC jako základ-

Obrázek 17: Finneyova věta nami trojúhelníka ABC sestrojme podobné rovnoramenné trojúhelníky ACB 0 , CBA0 . Bod B 0 je koncový bod vektoru, jehož počátek je ve středu strany AC, který má −→ stejný směr jako vektor AC otočený o 900 v kladném smyslu, o délce v|AC|. Obdobně definujeme bod A0 . Hledáme takové číslo v, pro které bude A0 P ⊥B 0 P a |A0 P | = |B 0 P |. Platí (l1 − b/2, l2 − c/2) = v(−c, b), (k1 − (a + b)/2, k2 − c/2) = v(c, a − b). Dostaneme Use R::=Q[k[1..2]l[1..2]pabcv]; I:=Ideal(2k[1]-a-b-2vc,2k[2]-c-2va+2vb,2l[1]-b+2vc,2l[2]-c-2vb,2p-a, (k[1]-p)(l[1]-p)+k[2]l[2]); Elim(k[1]..p,I); algebraickou rovnici (2v + 1)(2v − 1)(ab − b2 − c2 ) = 0. Rovnice ab − b2 − c2 = 0 znamená, že AC⊥BC. Nahradíme-li (k1 − p)(l1 − p) + k2 l2 v ideálu I polynomem 29

(k1 − p)2 + k22 − (l1 − p)2 − l22 , dostaneme rovnici (2v + 1)(2v − 1)a(a − 2b) = 0, která dává tytéž hodnoty v = 1/2, v = −1/2 nebo |AC| = |BC| nebo pro a = 0 trojúhelník ABC degeneruje. Tedy pro pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC, pro který |AC| = |BC|, AC⊥BC má trojúhelník A0 B 0 P vždy požadované vlastnosti, nezávisle na v. Pro libovolný trojúhelník ABC přicházejí v úvahu pouze hodnoty v = 1/2 or v = −1/2. Tuto skutečnost snadno ověříme. Use R::=Q[k[1..2]l[1..2]pabcv]; I:=Ideal(2k[1]-a-b-2vc,2k[2]-c-2va+2vb,2l[1]-b+2vc,2l[2]-c-2vb,2p-a, 2v-1); NF((k[1]-p)^2+k[2]^2-(l[1]-p)^2-l[2]^2,I); 0 Analogicky dostaneme NF((k[1]-p)(l[1]-p)+k[2]l[2],I)=0. Finneyova věta je dokázána.

7.3

PDN věta - případ čtyřúhelníka

Zde uvedeme PDN větu pro případ čtyřúhelníka. Nad stranami rovinného čtyřúhelníka ABCD sestrojme rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky. Jejich vrcholy tvoří čtyřúhelník A0 B 0 C 0 D 0 . Potom středy stran čtyřúhelníka A0 B 0 C 0 D 0 tvoří čtverec. Při důkazu této věty budeme postupovat podobně jako u Napoleonovy věty. Nad stranami čtyřúhelníka sestrojíme libovolné podobné rovnoramenné trojúhelníky o vrcholech A0 B 0 C 0 D 0 . Hledáme rovnoramenné trojúhelníky ABA0 , BCB 0 , CDD 0 , DAD 0 tak, aby středy stran A00 , B 00 , C 00 , D 00 čtyřúhelníka A0 B 0 C 0 D 0 tvořily čtverec, obr. 18. Zvolme soustavu souřadnic tak, aby A = [0, 0], B = [x, 0], C = [y, z], D = [w, t].

Obrázek 18: PDN věta, případ čtyřúhelníka Nechť dále A0 = [g1 , h1 ], B 0 = [a1 , b1 ], C 0 = [c1 , d1 ], D 0 = [e1 , f1 ], A00 = [g2 , h2 ], B 00 = [a2 , b2 ], C 00 = [c2 , d2 ], D 00 = [e2 , f2 ]. Bod B 0 je koncovým bodem vektoru, jehož počá−−→ teční bod je ve středu strany BC, který jsme dostali otočením vektoru CB o 900 v kladném smyslu, o velikosti v|BC|, kde v je reálné číslo, t.j. platí (a1 −(x+y)/2, b1 − 30

z/2) = v(z, x − y). Analogicky definujeme ostatní vrcholy. Platí 2g1 − x = 0, h1 + vx = 0, 2a1 − x − y − 2vz = 0, 2b1 − z − 2vx + 2vy = 0, 2c1 − y − w − 2vt + 2vz = 0, 2d1 − z − t − 2vy + 2vw = 0, 2e1 − w + 2vt = 0, 2f1 − t − 2vw = 0.

Nechť A00 , B 00 , C 00 , D 00 jsou po řadě středy stran A0 B 0 , B 0 C 0 , C 0 D 0 , D 0 A0 . Potom platí

2g2 − g1 − a1 = 0, 2h2 − h1 − b1 = 0, 2a2 − a1 − c1 = 0, 2b2 − b1 − d1 = 0, 2c2 − c1 − e1 = 0, 2d2 − d1 − f1 = 0, 2e2 − e1 − g1 = 0, 2f2 − f1 − h1 = 0.

Závěr je |A00 B 00 | = |B 00 C 00 | = |C 00 D 00 | = |D 00 A00 |. Nejprve budeme požadovat platnost |A00 B 00 | = |B 00 C 00 |. Dostaneme

Use R::=Q[a[1..2]b[1..2]c[1..2]d[1..2]e[1..2]f[1..2]g[1..2]h[1..2] vxyzwt]; I:=Ideal(2g[1]-x,h[1]+vx,2a[1]-x-y-2vz,2b[1]-z-2vx+2vy,2c[1]-y-w-2vt+ 2vz,2d[1]-z-t-2vy+2vw,2e[1]-w+2vt,2f[1]-t-2vw,2g[2]-g[1]-a[1],2h[2]-h[1] -b[1],2a[2]-a[1]-c[1],2b[2]-b[1]-d[1],2c[2]-c[1]-e[1],2d[2]-d[1]-f[1], 2e[2]-e[1]-g[1],2f[2]-f[1]-h[1],(c[1]-g[1])^2+(d[1]-h[1])^2-(e[1]-a[1]) ^2-(f[1]-b[1])^2); Elim(a[1]..h[2],I); Vychází (xy − yw − zt)(2v + 1)(2v − 1) = 0, kde podmínka xy − yw − zt = 0 znamená, že úhlopříčky AC, BD jsou na sebe kolmé tj. (x − w, −t) · (y, z) = 0. Rovnosti |B 00 C 00 | = |C 00 D 00 | a |C 00 D 00 | = |D 00 A00 | jsou ekvivalentní požadované rovnosti |A00 B 00 | = |B 00 C 00 | a žádnou další podmínku nedávají. Dostáváme tak dvě tvrzení

a) Nechť ve čtyřúhelníku ABCD platí AC⊥BD. Potom pro libovolné v je A 00 B 00 C 00 D 00 kosočtverec. b) Pro libovolný čtyřúhelník ABCD a v = ±1/2 je A00 B 00 C 00 D 00 kosočtverec.

Obě tvrzení se snadno ověří. Pro a) dostaneme NF((c[1]-g[1])(e[1]-a[1])+(d[1]-h[1])(f[1]-b[1]),I)=0, analogicky pro b). Dále požadujeme kolmost sousedních stran čtyřúhelníka A00 B 00 C 00 D 00 , např. A00 B 00 ⊥B 00 C 00 vyjádříme vztahem (c1 − g1 )(e1 − a1 ) + (d1 − h1 )(f1 − b1 ) = 0. V tomto případě dostaneme Use R::=Q[a[1..2]b[1..2]c[1..2]d[1..2]e[1..2]f[1..2]g[1..2]h[1..2] 31

vxyzwt]; I:=Ideal(2g[1]-x,h[1]+vx,2a[1]-x-y-2vz,2b[1]-z-2vx+2vy, 2c[1]-y-w-2vt+2vz,2d[1]-z-t-2vy+2vw,2e[1]-w+2vt,2f[1]-t-2vw,2g[2]g[1]-a[1],2h[2]-h[1]-b[1],2a[2]-a[1]-c[1],2b[2]-b[1]-d[1], 2c[2]-c[1]-e[1],2d[2]-d[1]-f[1],2e[2]-e[1]-g[1],2f[2]-f[1]-h[1], (c[1]-g[1])(e[1]-a[1])+(d[1]-h[1])(f[1]-b[1])); Elim(a[1]..h[2],I); polynom, který má po faktorizaci tvar (2v+1)(2v−1)(x2 −y 2 −z 2 −2xw+w 2 +t2 ) = 0, kde podmínka x2 − y 2 − z 2 − 2xw + w 2 + t2 = 0 vyjadřuje shodné délky úhlopříček AC, BD tj. (w − x, t)2 = (y, z)2 ⇔ |AC| = |BD|. Opět dostáváme dvě tvrzení c) Nechť ve čtyřúhelníku ABCD platí |AC| = |BD|. Potom pro libovolné v je A00 B 00 ⊥C 00 D 00 . d) Pro libovolný čtyřúhelník ABCD a v = ±1/2 je A00 B 00 ⊥C 00 D 00 .

Ověření proveďme jako cvičení. Spojením obou tvrzení dostaneme PDN větu pro n = 4.

Ukažme dále, že čtyřúhelníky A0 B 0 C 0 D 0 a ABCD (a tedy také A00 B 00 C 00 D 00 ) mají pro libovolnou hodnotu v stejné těžiště T . Stačí ukázat, že např. a1 + c1 + e1 + g1 = x + y + w. Use R::=Q[a[1..2]b[1..2]c[1..2]d[1..2]e[1..2]f[1..2]g[1..2]h[1..2] vxyzwt]; I:=Ideal(2g[1]-x,h[1]+vx,2a[1]-x-y-2vz,2b[1]-z-2vx+2vy, 2c[1]-y-w-2vt+2vz,2d[1]-z-t-2vy+2vw,2e[1]-w+2vt,2f[1]-t-2vw); NF(a[1]+c[1]+e[1]+g[1]-x-y-w,I); 0

8

Řešení nerovností

V tělese komplexních čísel, v němž pracujeme, nemůžeme dokazovat či objevovat nerovnosti. Ukážeme, že v určitých případech to lze. Nejprve budeme vyšetřovat tzv. rovnost rovnost rovnoběžníka. Poté tuto rovnost zobecníme na nerovnost. Dále vyřešíme Eulerovu nerovnost.

8.1

Rovnost rovnoběžníka

Tvrzení 1: V rovině je dán čtyřúhelník ABCD se stranami délek a, b, c, d a úhlopříčkami o délkách e, f . Potom platí a2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 .

(38)

Pokusme se rovnost (38) dokázat. Označme a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA|, e = |BD|, f = |AC| a zvolme soustavu souřadnic tak aby A = [a, 0], B = [x, y], C = [u, v], D = [0, 0], obr. 19. Předpoklady jsou (x − a)2 + y 2 = b2 , (x − u)2 + (y − v)2 = c2 , u2 + v 2 = d2 , x2 + y 2 = e2 , (u − a)2 + v 2 = f 2 , závěr má tvar a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f 2 . Dostaneme 32

Obrázek 19: Rovnost rovnoběžníka Use R::=Q[xyuvabcdeft]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(x-u)^2+(y-v)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2+v^2-f^2,(a^2+b^2+c^2+d^2-e^2-f^2)t-1); NF(1,I); 1 Tvrzení 1 pravdivé není. Hledejme případné dodatečné podmínky, které je nutné přidat k předpokladům tak, aby tvrzení 1 platilo. Proto přidáme do ideálu I polynom a2 +b2 +c2 +d2 −e2 −f 2 , který vyjadřuje závěr tvrzení a eliminujeme závisle proměnné b, c, d, e, f . Use R::=Q[xyuvabcdef]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(x-u)^2+(y-v)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2+v^2-f^2,a^2+b^2+c^2+d^2-e^2-f^2); Elim(b..f,I); Výsledkem je jediná rovnice x2 + y 2 − 2xu + u2 − 2yv + v 2 − 2xa + 2ua + a2 = 0.

(39)

Jaký je geometrický význam (39)? Snadno zjistíme, že platí identita x2 + y 2 − 2xu + u2 − 2yv + v 2 − 2xa + 2ua + a2 = (x − u − a)2 + (y − v)2 , ze které dostaneme dvě podmínky kladené na čtyřúhelník ABCD, a sice x − u = a a y − v = 0, což znamená A − D = B − C, tj. čtyřúhelník ABCD je rovnoběžník. Předpokládejme tedy, že ABCD z tvrzení 1 je rovnoběžník. Ověřme, zda potom platí rovnost (38). Use R::=Q[xyuvabcdeft]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(x-u)^2+(y-v)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2+v^2-f^2,x-u-a,y-v,(a^2+b^2+c^2+d^2-e^2-f^2)t-1); NF(1,I); 0 Tvrzení platí. Dokázali jsme Tvrzení 10 : Je dán rovnoběžník ABCD se stranami délek a, b, c, d a úhlopříčkami o délkách e, f . Potom platí (38). Poznámka: Vztah (38) můžeme přepsat do obvyklejšího tvaru 2(a2 + b2 ) = e2 + f 2 , 33

který je znám pod názvem rovnost rovnoběžníka, viz [14]. Relace (38) je nutnou podmínkou pro to, aby byl ABCD rovnoběžník. Je (38) též podmínkou postačující? Dokážeme následující tvrzení 2. Tvrzení 2: Je dán čtyřúhelník ABCD, o stranách délek a, b, c, d a úhlopříčkách o délkách e, f , pro které platí a2 +b2 +c2 +d2 = e2 +f 2 . Potom ABCD je rovnoběžník. Abychom tvrzení 2 dokázali proveďme následující výpočet. Use R::=Q[xyuvabcdefts]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(x-u)^2+(y-v)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2+v^2-f^2,a^2+b^2+c^2+d^2-e^2-f^2,(x-u-a)t+(y-v)s-1); NF(1,I); 1 Výsledek znamená, že tvrzení pravdivé není. Místo podmínek pro rovnoběžník x − u − a = y − v = 0 zadejme ”ekvivalentní” podmínku (39) x2 + y 2 − 2xu + u2 − 2yv + v 2 − 2xa + 2ua + a2 = 0. Nyní dostaneme Use R::=Q[xyuvabcdeft]; I:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(x-u)^2+(y-v)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2+v^2-f^2,a^2+b^2+c^2+d^2-e^2-f^2,(x^2+y^2-2xu+u^2-2yv+v^2-2xa+2ua +a^2)t-1); NF(1,I); 0 Tvrzení je pravdivé. Jaký je rozdíl mezi podmínkami (x − u − a)2 + (y − v)2 = 0 a x − u − a = 0 ∧ y − v = 0? ”Jediný” rozdíl spočívá ve skutečnosti, že zatímco v reálném případě jsou obě podmínky stejné, v případě komplexních čísel je (x − u − a)2 + (y − v)2 = (x − u − a + i(y − v))(x − u − a − i(y − v)), tj. dostáváme dvě podmínky x − u − a + i(y − v) = 0 ∨ x − u − a − i(y − v) = 0. Tvrzení 2 je přesto pravdivé, protože jediné reálné řešení je x − u − a = y − v = o. Můžeme tedy vyslovit Tvrzení 2’: Čtyřúhelník ABCD, o stranách délek a, b, c, d a úhlopříčkách e, f je rovnoběžník právě když a2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 .

8.2

Nerovnost mezi úhlopříčkami

Tvrzení o rovnosti rovnoběžníka z předchozí kapitoly zobecníme následujícím způsobem. V rovině je dán čtyřúhelník ABCD se stranami délek a, b, c, d a úhlopříčkami o délkách e, f . Potom platí nerovnost a2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ e 2 + f 2 . 34

(40)

Rovnost v (40) nastává právě když je ABCD rovnoběžník. Vrátíme-li se k předchozímu případu, vidíme, že platí mnohem silnější tvrzení než (38). Tvrzení dokonce platí i pro prostorový čtyřúhelník ABCD. Abychom (40) dokázali, zkusíme vyjádřit rozdíl (a2 + b2 + c2 + d2 ) − (e2 + f 2 ) jako součet čtverců, odkud bude následovat nerovnost (40). Označme (a2 + b2 + c2 + d2 ) − (e2 + f 2 ) = k a zkoumejme ideál J = I ∪ {a2 + b2 + c2 + d2 − e2 − f 2 − k}. Eliminací závisle proměnných b, c, d, e, f dostaneme Use R::=Q[xyuvabcdefk]; J:=Ideal((x-a)^2+y^2-b^2,(x-u)^2+(y-v)^2-c^2,u^2+v^2-d^2,x^2+y^2-e^2, (u-a)^2+v^2-f^2,a^2+b^2+c^2+d^2-e^2-f^2-k); Elim(b..f,J); polynom x2 +y 2 −2xu+u2 −2yv +v 2 −2xa+2ua+a2 −k. Porovnáním s polynomem, který jsme přidali k ideálu I dostáváme a2 + b2 + c2 + d2 − e2 − f 2 = x2 + y 2 − 2xu + u2 − 2yv + v 2 − 2xa + 2ua + a2 nebo též a2 + b2 + c2 + d2 − e2 − f 2 = (x − u − a)2 + (y − v)2 ,

(41)

odkud již plyne nerovnost (40). Rovnost v (40) nastává právě když ABCD je rovnoběžník, jak můžeme nahlédnout z předchozího příkladu. Poznámka: Geometrický význam rovnosti (42) je následující, viz obr. 20. Označímeli po řadě P a Q středy úhopříček e a f čtyřúhelníka ABCD, potom je P = (B + D)/2, Q = (A + C)/2. Odtud |P Q| = 1/2|(B + D) − (A + C)|, zatímco (x − u − a)2 + (y − v)2 = |(B − C) − (A − D)|2 = 4|P Q|2 . Výsledek můžeme zfor-

Obrázek 20: Nerovnost mezi úhlopříčkami mulovat do věty, viz. [22], kde je vztah (42) připisován L. Eulerovi. Věta: V prostoru je dán čtyřúhelník ABCD. Potom platí |AB|2 + |BC|2 + |CD|2 + |DA|2 = |AC|2 + |BD|2 + 4|P Q|2 .

35

(42)

8.3

Eulerova nerovnost

Mějme dán trojúhelník ABC a nechť O je střed kružnice opsané 4ABC o poloměru r a V střed kružnice vepsané 4ABC o poloměru p. Potom platí následující Eulerova nerovnost, viz. [4] r − 2p ≥ 0. (43)

Rovnost v (21) nastává právě když je trojúhelník ABC rovnostranný.

Větu dokážeme tak, že levou stranu nerovnosti (21) vyjádříme ve tvaru, ze kterého bude ihned patrná nerovnost, včetně případu, kdy nastává rovnost. Soustavu souřadnic zvolme tak, že A = [0, 0], B = [a, 0], C = [b, c], O[o1 , o2 ], V = [v1 , v2 ], obr.21. Vzdálenost středů O, V kružnice opsané a vepsané 4ABC označme

Obrázek 21: Eulerova nerovnost d = |OV |. Pro bod O platí vztahy

h1 : h2 :

|OA| = |OB| : 2o1 − a = 0, |OA| = |OC| : o21 + o22 − (o1 − b)2 − (o2 − c)2 = 0.

Pro vyjádření vztahů, které splňují souřadnice bodu V , použijeme osovou souměrnost. připomeňme, že obrazem bodu P = [x0 , y0 ] v osové souměrnosti s osou p : ax + by + c = 0 je bod P 0 = [x00 , y00 ], kde x00 = −2a/(a2 +b2 )(ax0 +by0 +c)+x0 ,

y00 = −2b/(a2 +b2 )(ax0 +by0 +c)+y0 . (44)

Bod C leží na obrazu osy x v osové souměrnosti s osou AV : v2 x + v1 y = 0 a rovněž na obrazu osy x v osové souměrnosti s osou BV : v2 x + (a − v1 )y − v2 a = 0. S použitím vztahů (44) dostaneme podmínky pro bod V : h3 : h4 :

V leží na ose úhlu BAC : 2v1 v2 b + (v22 − v12 )c = 0, V leží na ose úhlu ABC : 2v2 (a − v1 )b − (v22 − (a − v1 )2 )c − 2av2 (a − v1 ) = 0.

Tento postup umožňuje vyjádřit střed V kružnice opsané 4ABC jednoznačně. Pokud bychom použili standardního vyjádření osy úhlu jako množiny bodů, stejně vzdálených od ramen daného úhlu, dostali bychom ještě vnější středy kružnicí připsaných. Dále vyjádříme zbývající veličiny d, r, p. Platí: h5 : h6 :

d = |OV | : (o1 − v1 )2 + (o2 − v2 )2 − d2 = 0, r = |OA| : o21 + o22 − r 2 = 0, 36

h7 :

p = |V x| : v2 − p = 0.

Eliminací proměnných b, c, o1 , o1 , v1 , v2 Use R::=Q[abco[1..2]v[1..2]drp]; I:=Ideal(2o[1]-a,2bo[1]+2co[2]-b^2-c^2,2v[1]v[2]b+(v[2]^2-v[1]^2)c, 2v[2]b(a-v[1])-c(v[2]^2-(a-v[1])^2)-2av[2](a-v[1]), (o[1]-v[1])^2+(o[2]-v[2])^2-d^2,o[1]^2+o[2]^2-r^2,v[2]-p); Elim(b..v[2],I); dostaneme jedinou rovnici, která má po faktorizaci tvar ap(d2 − r 2 − 2rp)(d2 − r 2 + 2rp)[(d + r − p)(d − r + p)(−d + r + p)(d +r + p)− a2p2 ] = 0. (45) Předpokládejme, trojúhelník ABC není degenerovaný. Potom a > 0, p > 0. Protože 4ABC leží uvnitř kružnice opsané tomuto trojúhelníku platí r > d, je výraz d2 − r 2 − 2rp vždy záporný. Poslední výraz v rozkladu (45) (d + r − p)(d − r + p)(−d + r + p)(d + r + p) − a2 p2 je vždy záporný, neboť d − r + p je záporný a ostatní součiny d + r − p, −d + r + p, d + r + p jsou kladné. Vychází totiž d − r + p = −(r − d)2 /2r < 0. Tedy je celý výraz záporný. Z d2 − r 2 + 2rp = 0 plyne známý vztah r(r − 2p) = d2 ,

(46)

který publikoval již L. Euler v roce 1765, viz. [4]. Vztah (46) se též nazývá Ponceletova věta. Důkaz (46) je následující Use R::=Q[abco[1..2]v[1..2]drptsuw]; I:=Ideal(2o[1]-a,2bo[1]+2co[2]-b^2-c^2,2v[1]v[2]b+ (v[2]^2-v[1]^2)c,2v[2]b(a-v[1])-c(v[2]^2-(a-v[1])^2)-2av[2](a-v[1]), (o[1]-v[1])^2+(o[2]-v[2])^2-d^2,o[1]^2+o[2]^2-r^2,v[2]-p,at-1,ps-1, (d^2-r^2- 2rp)u-1,((d+r-p)(d-r+p)(-d+r+p)(d+r+p)-a^2p^2)w-1); NF(d^2-r^2+2rp,I); 0 Z (46) dostaneme nerovnost (21). Rovnost v (21)nastává právě když d = 0, tj. v případě když je trojúhelník ABC rovnostranný.

9

Užití afinních souřadnic

Při popisu geometrických vlastností objektu je možno v některých případech použít jednodušší afinní soustavu souřadnic. Většinou se jedná o polohové úlohy, při nichž vyšetřujeme vzájemnou polohu bodů, přímek a rovin, vlastnosti, při kterých se zachovává dělicí poměr a další vlastnosti, které z pojmu dělicí poměr vycházejí, 37

např. poměr délek stran, poměr obsahů trojúhelníků apod. Při užití afinních souřadnic ”ušetříme” v rovině jednu proměnnou, v třírozměrném prostoru dvě proměnné atd. Tuto možnost oceníme, pokud je výpočet složitý a proměnných je příliš mnoho. Navíc můžeme zvolit na osách afinní soustavy souřadnic vhodné délky základních vektorů, a tím se zbavit dalších proměnných. Uvedeme několik příkladů na užití afinních souřadnic.

9.1

Gausova přímka

Užití afinní soustavy souřadnic ukážeme na typickém příkladě - na pojmu zvaném Gausova přímka. Jedná se o následující problém, viz. [22]. Uvádí jej též Wang v [36]. Střed úsečky, která spojuje průsečíky protilehlých stran čtyřúhelníka ABCD leží na přímce, která spojuje středy úhlopříček. Přímka, na níž zmíněné středy leží, se nazývá Gausova přímka, obr. 22. Zvolme

Obrázek 22: Gausova přímka afinní soustavu souřadnic tak, že A = [0, 0], B = [x, 0], C = [u, v], D = [0, y], E = [e, 0], F = [0, f ], P = [p1 , p2 ], Q = [q1 , q2 ], R = [r1 , r2 ]. Platí vztahy: E ∈ AB ∩CD ⇔ h1 : ev + uy − ey = 0, F ∈ AD ∩ BC ⇔ h2 : f u + vx − f x = 0, P je střed AC ⇔ h3 : 2p1 − u = 0, h4 : 2p2 − v = 0, Q je střed BD ⇔ h5 : 2q1 − x = 0, h6 : 2q2 − y = 0, R je střed EF ⇔ h7 : 2r1 − e = 0, h8 : 2r2 − f = 0. Závěr tvrzení má tvar P QRjsou kolineární ⇔ c : p1 q2 + q1 r2 + r1 p2 − r1 q2 − r2 p1 − p2 q1 = 0. Vychází: Use R::=Q[xyuvefp[1..2]q[1..2]r[1..2]]; I:=Ideal(ev+uy-ey,fu+vx-fx,2p[1]-u,2p[2]-v,2q[1]-x,2q[2]-y,2r[1]-e,2r[2] -f); NF(p[1]q[2]+q[1]r[2]+r[1]p[2]-r[1]q[2]-r[2]p[1]-p[2]q[1],I); 0 Normální forma je rovna nule, tedy tvrzení je pravdivé.

38

9.2

Cevova věta

V této části uvedeme větu, která nebývá příliš často uváděna v učebnicích elementární geometrie, ačkoliv je velmi užitečná a zahrnuje řadu speciálních případů, které je nutno dokazovat zvlášť. Její důkaz nadto není obtížný. Jedná se o Cevovu větu (čti Čevovu), Giovanni Ceva (1648-1734). Je dán trojúhelník ABC a tři body A0 , B 0 , C 0 po řadě na stranách BC, AC, AB nebo jejich prodloužení. Potom přímky AA0 , BB 0 , CC 0 procházejí týmž bodem právě když AC 0 BA0 CB 0 · · = −1. BC 0 CA0 AB 0

(47)

0

AC 0 Místo l1 = BC 0 můžeme též psát l1 = (ABC ), kde (ABC) je dělicí poměr bodu AC 0 C vzhledem k bodům A, B, tj. platí l1 (C 0 − B) = C 0 − A, či BC 0 lze chápat jako BA0 poměr orientovaných vzdáleností. Analogicky místo l2 = CA0 je l2 (A0 − C) = A0 − B 0 píšeme l3 (B 0 − A) = B 0 − C). Označme dále G = [g1 , g2 ] společný a místo l3 = CB AB 0 0 bod přímek AA , BB 0 . Chceme dokázat, že bod G leží na přímce CC 0 právě když platí (47). Pokusme se tento vztah objevit. Zvolme afinní soustavu souřadnic tak, že A = [0, 0], B = [x, 0], C = [0, y], A0 = [p, q], B 0 = [0, r], C 0 = [s, 0], obr. 23. Z (47) plynou rovnice l1 (s−x, 0) = (s, 0), l2 (p, q−

Obrázek 23: Cevova věta y) = (p − x, q), l3 (0, r) = (0, r − y), tj. h1 : l1 (s − x) − s = 0, h2 : l2 p − p + x = 0, h3 : l2 (q − y) − q = 0, h4 : l3 r − r + y. Dále platí: G ∈ AA0 ⇔ h5 : qg1 − pg2 = 0, G ∈ BB 0 ⇔ h6 : rg1 + xg2 − xr = 0, G ∈ CC 0 ⇔ h7 : yg1 + sg2 − sy = 0. Předpokládejme nejprve, že přímky AA0 , BB 0 , CC 0 procházejí bodem G. Hledáme podmínku (47). Je zřejmé, že pro libovolný výběr bodů A0 , B 0 , C 0 přímky AA0 , BB 0 , CC 0 společným bodem neprocházejí. Uvažujme ideál I, který obsahuje polynomy h1 , . . . , h7 a eliminujme proměnné p, q, r, s, g1 , g1 . Use R::=Q[xypqrsg[1..2]l[1..3]t]; I:=Ideal(l[1](s-x)-s,l[2]p-p+x,l[2](q-y)-q,l[3]r-r+y,qg[1]-pg[2],rg[1] +xg[2]-xr,yg[1]+sg[2]-sy); Elim(p..g[2],I); 39

Vychází jediný polynom xy(l1 l2 l3 + 1). Předpokládejme, že x 6= 0, y 6= 0, tj. v trojúhelníku ABC je A 6= B, A 6= C. a zkoumejme, zdali l1 l2 l3 + 1 = 0 je hledaná podmínka. Use R::=Q[xypqrsg[1..2]l[1..3]t]; I:=Ideal(l[1]p-p+x,l[1](q-y)-q,l[2]r-r+y,l[3](s-x)-s,qg[1]-pg[2],rg[1] +xg[2]-xr,xyt-1,yg[1]+sg[2]-sy ); NF(l[1]l[2]l[3]+1,I); 0 Implikace platí. Obdobně dokážeme opačnou implikaci. Předpokládejme, že pro body A0 , B 0 C 0 platí podmínka (47). Chceme dokázat, že se přímky AA0 , BB 0 , CC 0 protínají v jednom bodě. Přitom předpokládáme, na základě předchozí implikace, že xy 6= 0. Use R::=Q[xypqrsg[1..2]l[1..3]t]; I:=Ideal(l[1]p-p+x,l[1](q-y)-q,l[2]r-r+y,l[3](s-x)-s,qg[1]-pg[2],rg[1]+ xg[2]-xr,xyt-1,l[1]l[2]l[3]+1); NF(yg[1]+sg[2]-sy,I); 0 Tvrzení Cevovy věty je tímto dokázáno (a objeveno). Poznámka: Cevova věta se často používá k důkazu, že příčky v trojúhelníku procházejí týmž bodem. Stačí ukázat, že pro dělicí poměry l1 , l2 , l3 platí vztah (47). Např. a) pro l1 = l2 = l3 = −1 dostaneme těžiště, neboť dělicí poměr středu strany je roven −1, b) pro l1 = −a/b, l2 = −b/c, l3 = −c/a, kde a, b, c jsou délky stran 4ABC, dostáváme střed kružnice vepsané, protože osa úhlu dělí protější stranu trojúhelníka ve stejném poměru je poměr přilehlých stran, c) Skutečnost, že se výšky trojúhelníka protínají v témže bodě lze nahlédnout podle Cevovy věty takto, obr. 24. Trojúhelníky ACA0 a BCB 0 jsou podobné, proto

Obrázek 24: Výšky trojúhelníka procházejí týmž bodem |BB 0 | |CB 0 | = . |A0 C| |AA0 | 40

Obdobně platí

Odtud

|CC 0 | |BA0 | |AA0 | |AC 0 | = , = . |B 0 A| |BB 0 | |C 0 B| |CC 0 |

|AC 0 | |BA0 | |CB 0 | |CB 0 | |AC 0 | |BA0 | BB 0 CC 0 AA0 · · = · · = · · = 1. |BC 0 | |CA0 | |AB 0 | |CA0 | |AB 0 | |BC 0 | AA0 BB 0 CC 0

9.3

Eulerova věta

Je-li G libovolný bod v rovině trojúhelníka ABC a AG, BG, CG protínají po řadě strany BC, CA, AB v bodech A0 , B 0 , C 0 , potom platí, viz. obr.23 |GA0 | |GB 0 | |GC 0 | + + = 1. |AA0 | |BB 0 | |CC 0 |

(48)

Eulerova věta, která není všeobecně příliš známá, se zabývá obdobnou problematikou jako Cevova věta. Věta skutečně pochází od L. Eulera, viz.[12], [16]. Protože se zde jedná o poměry délek úseček, je vhodné užití afinní soustavy souřadnic. |GA0 | |GA0 | Označíme-li k1 = |AA0 | , potom můžeme |AA0 | chápat jako podíl orientovaných vzdáleností a psát k1 (A0 −A) = A0 −G. Analogicky k2 (B 0 −B) = B 0 −G, k3 (C 0 −C) = C 0 −G. Při stejné volbě afinní soustavy souřadnic jako na obr. 23 označme A = [0, 0], B = [x, 0], C = [0, y], A0 = [p, q], B 0 = [0, r], C 0 = [s, 0], G = [g1 , g2 ]. Platí vztahy k1 (p, q) = (p − g1 , q − g2 ), k2 (−x, r) = (−g1 , r − g2 ), k3 (s, −y) = (s − g1 , −g2 ), tj. h1 : k1 p−p+g1 = 0, h2 : k1 q−q+g2 = 0, h3 : −k2 x+g1 = 0, h4 : k2 r−r+g2 = 0, h5 : k3 s − s + g1 = 0, h6 : −k3 y + g2 = 0. Dále platí: A0 ∈ BC ⇔ h7 : py + qx − xy = 0, Chceme dokázat, že platí c : k1 + k2 + k3 = 1. Pokusíme se tuto formuli objevit. V ideálu I = (h1 , h2 , . . . , h7 eliminujeme proměnné p, q, r, s, g1 , g2 . Use R::=Q[xypqrsg[1..2]k[1..3]]; I:=Ideal(k[1]p-p+g[1],k[1]q-q+g[2],-k[2]x+g[1],k[2]r-r+g[2],k[3]s-s+g[1], -k[3]y+g[2],py+xq-xy); Elim(p..g[2],I); Vyjde jediný polynom xy(k1 + k2 + k3 − 1). Budeme předpokládat, že xy 6= 0. Potom vychází Use R::=Q[xypqrsg[1..2]k[1..3]t]; I:=Ideal(k[1]p-p+g[1],k[1]q-q+g[2],-k[2]x+g[1],k[2]r-r+g[2],k[3]s-s+g[1], -k[3]y+g[2],py+xq-xy,xyt-1); NF(k[1]+k[2]+k[3]-1,I); 0 Eulerova věta je dokázána. Následující vztah publikoval L. Euler v roce 1780, viz [12], [34]. 41

Je dán trojúhelník ABC a libovolný bod G roviny trojúhelníka, který neleží na stranách trojúhelníka ABC. Potom platí: |BG| |CG| |AG| |BG| |CG| |AG| + + = · · + 2. 0 0 0 0 0 |GA | |GB | |GC | |GA | |GB | |GC 0 |

(49)

Zde opět |XY | znamená orientovanou vzdálenost, tj. |XY | = −|Y X|. Jsou-li A, B, C | je kladný právě když Y leží mezi X tři různé kolineární body potom poměr |XY |Y Z| a Y . Existuje mnoho vztahů pro součet poměrů vzdáleností typu, který je na levé straně (49), rovněž existují vzorce pro součin poměrů vzdáleností. Vzorec (49) je jedním z mála, který dává do vzájemného vztahu součet i součin, [34]. Vzorec (49) objevíme. Vidíme, že se opět jedná o poměry vzdáleností bodů na přímce, tedy jde o problém afinní geometrie a můžeme proto volit afinní soustavu souřadnic. Při stejném označení jako v předchozím příkladě platí vztahy: Platí vztahy k1 (p−g1 , q−g2 ) = (g1 , g2 ), k2 (−g1 , g2 −r) = (g1 −x, g2 ), k3 (s−g1 , −g2 ) = (g1 , g2 −y).

Dále předpokládáme, že body A, B, C leží v přímce, tj. sy − sg2 − yg1 = 0. Eliminace proměnných p, q, r, s, g1 , g2 dává

Use R::=Q[xypqrsg[1..2]k[1..3]]; I:=Ideal(k[1](p-g[1])-g[1],k[1](q-g[2])-g[2],-k[2]g[1]-g[1]+x,k[2](g[2] -r)-g[2],k[3](s-g[1])-g[1],-k[3]g[2]-g[2]+y,py+xq-xy); Elim(p..g[2],I); jediný polynom xy(k1 k2 k3 − k1 − k2 − k3 − 2). Odtud při volbě xy 6= 0 dostaneme Use R::=Q[xypqrsg[1..2]k[1..3]t]; J:=Ideal(k[1](p-g[1])-g[1],k[1](q-g[2])-g[2],-k[2]g[1]-g[1]+x,k[2](g[2] -r)-g[2],k[3](s-g[1])-g[1],-k[3]g[2]-g[2]+y,py+xq-xy,xyt-1); NF(k[1]k[2]k[3]-k[1]-k[2]-k[3]-2,J); 0 tj. platí (49). Ukážeme si nyní důkaz vztahu (49) metodou obsahu (area method) [6], [34], obr. 23. Označme obsahy trojúhelníků ABG, BCG, CAG po řadě p = |ABG|, q = |BCG|, r = |CAG|. I v tomto případě se jedná o orientovaný obsah. Obsah |ABC| trojúhelníka ABC je kladný, postupujeme-li od vrcholu A do B a C proti směru hodinových ručiček tj. ve směru kladném. Postupujeme-li od A do B a C po směru hodinových ručiček, obsah |ABC| trojúhelníka ABC bude záporný. Zavedení pojmů orientovaná vzdálenost a orientovaný obsah nám umožní důkaz (49) pro libovolnou polohu bodu G, tj. i v případě, že bod G leží vně trojúhelníka ABC. Platí |AG| |AA0 | − |GA0 | |AA0 | |ABC| p+q+r p+r = = −1= = −1= . 0 0 0 |GA | |GA | |GA | |GBC| q q 42

Analogicky

p+q |BG| = , |GB 0 | r

Tedy

|CG| q+r = . |GC 0 | p

|AG| |BG| |CG| p+r p+q q+r q 2 r + r 2 q + r 2 p + p2 r + p2 q + q 2 p + 2pqr · · = · · = = |GA0 | |GB 0 | |GC 0 | q r p pqr =

p+r p+q q+r |AG| |BG| |CG| + + = + + + 2. 0 0 q r p |GA | |GB | |GC 0 |

Věta je dokázána.

10

Routhova věta

Následující větu uveřejnil v roce 1896 anglický matematik E.J.Routh, viz. [33], [21]. Nechť A0 , B 0 , C 0 jsou po řadě tři body na stranách BC, CA, AB trojúhelníka ABC takové, že platí BA0 CB 0 AC 0 = l , = l , = l3 . 1 2 BC 0 CA0 AB 0 Potom jsou přímky AA0 , BB 0 , CC 0 stranami trojúhelníka GHI, obr. 25, pro který je poměr f obsahů trojúhelníků GHI a ABC roven číslu

Obrázek 25: Routhova věta

f=

obsah 4GHI (l1 l2 l3 + 1)2 = . obsah 4ABC (l1 l2 − l1 + 1)(l2 l2 − l2 + 1)(l3 l1 − l3 + 1)

(50)

Je známo několik důkazů této věty. Pokusíme se vzorec (50), obdobně jako v případě Cevovy věty, objevit. Jelikož se jedná o problematiku afinní geometrie (dělicí poměr, poměr obsahů trojúhelníků), budeme pracovat v afinní soustavě souřadnic, čímž ”ušetříme” jednu nezávisle proměnnou, kterou můžeme navíc považovat za 43

0

AC 0 konstantu. Místo l1 = BC 0 můžeme psát l1 = (ABC ), kde (ABC) je dělicí poměr bodu C vzhledem k bodům A, B, tj. platí l1 (C 0 − B) = C 0 − A. Analogicky je l2 (A0 − C) = A0 − B, l3 (B 0 − A) = B 0 − C). Označme A = [0, 0], B = [x, 0], C = [0, y], A0 = [p, q], B 0 = [0, r], C 0 = [s, 0], G = [g1 , g2 ], H = [h1 , h2 ], I = [i1 , i2 ], obr. 25. Platí l1 (s − x, 0) = (s, 0), l2 (p, q − y) = (p − x, q), l3 (0, r) = (0, r − y), tj. h1 : l1 (s − x) − s = 0, h2 : l2 p − p + x = 0, h3 : l2 (q − y) − q = 0, h4 : l3 r − r + y. Dále platí: G ∈ AA0 ⇔ h5 : qg1 − pg2 = 0, G ∈ BB 0 ⇔ h6 : rg1 + xg2 − xr = 0, H ∈ BB 0 ⇔ h7 : rh1 + xh2 − xr = 0, H ∈ CC 0 ⇔ h8 : yh1 + sh2 − sy = 0, I ∈ AA0 ⇔ h9 : qi1 − pi2 = 0, I ∈ CC 0 ⇔ h10 : yi1 + si2 − sy = 0. V afinní soustavě souřadnic můžeme volit x = y = 1. Pro poměr obsahů f trojúhelníků GHI a ABC je h11 : f = g1 h2 + h1 i2 + g2 i1 − h2 i1 − g1 i2 − g2 h1 . Eliminace proměnných x, y, p, q, r, s, g1, g2 , h1 , h2 , i1 , i2 dává

Use R::=Q[xypqrsg[1..2]h[1..2]i[1..2]l[1..3]f]; I:=Ideal(l[1](s-x)-s,l[2]p-p+x,l[2](q-y)-q,l[3]r-r+y,qg[1]-pg[2], rg[1]+xg[2]-xr,rh[1]+xh[2]-xr,yh[1]+sh[2]-sy,qi[1]-pi[2],yi[1]+si[2]sy,x-1,y-1,f-g[1]h[2]-h[1]i[2]-g[2]i[1]+h[2]i[1]+g[1]i[2]+g[2]h[1]); Elim(x..i[2],I); Po faktorizaci vyjde jediná rovnice −f (l2 l3 − l2 + 1)(l1 l3 − l3 + 1)(l1 l2 − l1 + 1) + (l1 l2 l3 + 1)2 = 0, což je vztah (50). Poznámka: 1. Speciálním případem Routhovy věty je věta Cevova. Položíme-li totiž v (50) l1 l2 l3 = −1, je obsah trojúhelníka GHI roven nule, a přímky AA0 , BB 0 , CC 0 procházejí týmž bodem. 2. Rozdělíme-li strany 4ABC na stejné části tj. jestliže l1 = l2 = l3 = l, potom má 3 vzorec (50) tvar (l+1) . Např. pro l1 = l2 = l3 = −1/2, je obsah trojúhelníka GHI l3 +1 roven 1/7 obsahu trojúhelníka ABC, viz. obr. 26.

Obrázek 26: Routhova věta: obsah 4GHI je roven 1/7 obsahu 4ABC

44

Reference [1] H.J. Bartsch: Matematické vzorce. SNTL, Praha 1983. [2] L. Bazzotti, G. Dalzotto, L. Robbiano: Remarks on Geometric Theorem Proving. In: J. Richter-Gebert and Wang (Eds.): ADG 2000, LNAI 2061, pp. 104-128. [3] M. Berger: Geometry I. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987. [4] O. Bottema a kol.: Geometric inequalities. Groningen 1969. [5] M. Bulmer, D. Fearnley-Sander, T. Stokes: The Kinds of Truth of Geometry Theorems. In: J. Richter-Gebert and Wang (Eds.): ADG 2000, LNAI 2061, pp. 129-142. [6] Shang-Ching Chou: Mechanical Geometry Theorem Proving. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht 1987. [7] D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms. Second Edition, Springer 1997. [8] H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry revisited. Toronto - New York 1967. [9] B.H. Dörrie: Triumph der Mathematik. Breslau 1933. [10] L. Euler: Geometrica et sphaerica quaedam. Mémoires de l’Académie des Sciences di St. Petersbourgh 5, (1812),96-114. [11] J. Douglas: Geometry of polygons in the complex plane. J. of. Math. and Phys. 19, 93-130 (1940). [12] L. Euler: Geometrica et sphaerica quedam. Mémoires de l’Académie des Sciences de St. Peterbourgh 5 (1812), 96-114. [13] R. L. Finney: Dynamic proofs of Euclidean theorems. Math. Mag. 43 (1970), 177-186. [14] L. Gerber: Napoleon’s theorem and the parallelogram inequality for affineregular polygons. Amer. Math. Monthly 87, (1980), 644-648. [15] Stephen B. Gray: Generalizing the Petr-Douglas-Neumann Theorem on N gons. Amer. Math. Monthly 110 (2003), 210-227. [16] B. Grünbaum: Cyclic ratio sums and products. Crux.Math. 24 (1998), 20-25. [17] M. de Guzmán: An Extension of the Wallace-Simson Theorem: Projecting in Arbitrary Directions. Amer. Math. Monthly 106 (1999), 574-580. 45

[18] J. Hora: O některých otázkách souvisejících s využíváním programů počítačové algebry ve škole, II. díl, Pedagogické centrum, Plze, 1998. [19] J. Hora, P. Pech: Using computer to discover some theorems in geometry. Acta Acad. Paed. Agriensis 29 (2002), 67-75. [20] D. Kapur: A Refutational Approach to Geometry Theorem Proving. Artificial Intelligence Journal 37 (1988), 61-93. [21] James S. Kline, Daniel J. Velleman: Yet another proof of Routh’s theorem. Crux.Math. 21 (1995), 37-40. [22] A.G. Konforovič: Einfürung in die Determinantentheorie. Veit& Comp., Leipzig 1909. [23] G. Kowalewski: Významné matematické úlohy. SPN, Praha 1989. [24] H. Martini: On the theorem of Napoleon and related topics. Math. Semesterber. 43 (1996), 47-64. [25] J. Naas, H.L. Schmid: Mathematisches Wörterbuch. Berlin-Leipzig 1967. [26] B.H. Neumann: Some remarks on polygons. J. London Math. Soc. 16, 230-245 (1941). [27] L. Rédey, B.Sz.–Nagy: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ. Math. Debrecen 1 (1949), 42-50. [28] P. Pech: The harmonic analysis of polygons and Napolepon’s theorem. J. Geometry and Graphics 5 (2001), 13-22. [29] K. Petr: O jedné větě pro mnohoúhelníky rovinné. Čas. pro pěst. mat. a fyz. 34 (1905), 166-172. [30] T. Recio, H. Sterk, M.P. Vélez: Project 1. Automatic Geometry Theorem Proving. In: Some Tapas of Computer Algebra, A. Cohen, H. Cuipers, H. Sterk (eds), Algorithms and Computations in Mathematics, Vol. 4, Springer, 1998, 276-296. [31] T. Recio, M.P. Vélez: Automatic Discovery of Theorems in Elementary Geometry. J. Automat. Reason. 12 (1998), 1-22. [32] D.P. Robbins: Areas of polygons inscribed in a circle. Discrete Comput. Geom. 12 (1994), 223-236. [33] E.J. Routh: A treatise on analytical statics, with numerous examples. Vol. I, 2nd ed., Cambridge University Press, London 1896, str. 82. [34] G.C. Shephard: Euler’s Triangle Theorem. Crux Math. 25 (1999), 148-153. 46

[35] Ch.R. Staudt: Über die Inhalte der Polygone und Polyeder. Journal für die reine und angewandte Mathematik 24 (1842), 252-256. [36] D. Wang: Gröbner Bases Applied to Geometric Theorem Proving and Discovering. In: Gröbner bases and applications. B. Buchberger, F. Winkler (eds), Lecture Notes of Computer Algebra, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998, 281-301. [37] F. Winkler: Gröbner Bases in Geometry Theorem Proving and Simplest Degeneracy Conditions. Mathematica Pannonica 1 (1990), 15-32. [38] W. Wu: Mechanical Theorem Proving in Geometries. Texts and Monographs in Symbolic Computation, Springer, 1994.

47