3.2.11
Obvody a obsahy obrazců I
Předpoklady: S pomocí vzorců v uvedených v tabulkách řeš následující příklady Urči výšku lichoběžníku o obsahu 54 cm 2 a základnách 7 cm a 5cm .
Př. 1:
a+c 2S 2 ⋅ 54 v ⇒ v= = cm = 9 cm 2 a+c 7+5 Výška lichoběžníku je 9 cm.
Obsah lichoběžníku: S =
Vypočti obsah rovnoramenného trojúhelníku se základnou o a = 6 cm a ramenem b = 5 cm .
Př. 2:
Vzorec pro obsah trojúhelníka S =
a ⋅ va ⇒ musím spočítat výšku na jednu ze stran, které 2
známe
b
v
b
a Trojúhelník je rovnoramenný ⇒ výška na základnu je zároveň těžnicí ⇒ a b = v + 2 2
2
2
2
2
a 6 v = b 2 − = 52 − cm = 4 cm 2 2 a ⋅ va 6 ⋅ 4 2 Spočteme obsah: S = = cm = 12 cm 2 2 2
Př. 3:
Urči stranu rovnostranného trojúhelníku s obsahem 15cm 2 .
Vzorec pro obsah rovnostranného trojúhelníka můžeme upravit do tvaru, kdy obsahuje pouze velikost strany a. a ⋅ va S= 2 Výšku určíme pomocí Pythagorovy věty:
1
C
a
a
v
A
C1 a
B
0,5a
2
a a = v + 2 a2 3 2 3 v2 = a2 − = a ⇒ v= a 4 4 2 3 a ⋅ va a ⋅ 2 a 3 2 S= = = a 2 2 4 4S Vyjádříme a: = a2 3 2
2
4S 4 ⋅15 cm = 5, 9 cm = 3 3 Rovnostranný trojúhelník s obsahem 15cm 2 má stranu o délce 5,9 cm . a=
Pedagogická poznámka: Pokud mají studenti k dispozici tabulky, většinou se jim podaří objevit vzorec pro obsah rovnostranného trojúhelníku a příklad se zjednoduší na vyjádření ze vzorce. Př. 4:
Odvoď vzorec pro obsah pravidelného šestiúhelníku o straně a.
a a
a
a
a
a
a
a a
a a
a Pravidelný šestiúhelník je možné rozložit na šest stejných rovnostranných trojúhelníků o straně a (šestiúhelník je vepsán kružnici, je možné ho rozložit na šest stejných rovnoramenných trojúhelníků, jejich vrcholové úhly u středu šestiúhelníka jsou stejné a musí
2
dát dohromady 360° , každý z nich je tedy roven 60° a všechny trojúhelník jsou tedy rovnostranné). 3 2 3 3 2 S = 6 ⋅ S△ = 6 ⋅ a = a 4 2
Př. 5:
Urči obsah obecného trojúhelníka o stranách a = 5 cm , b = 6 cm , c = 7 cm . Urči délky všech jeho výšek.
Zadaný trojúhelník není pravoúhlý, nemá žádnou jinou speciální vlastnost ⇒ nedokážeme a ⋅ va spočítat výšku a nemůžeme použít vzorec S = ⇒ hledáme vzorec pro výpočet obsahu 2 a+b+c ze stran ⇒ Heronův vzorec: S = s ( s − a )( s − b )( s − c ) , s = 2 a +b+c 5+6+7 s= = cm = 9 cm 2 2 S = s ( s − a )( s − b )( s − c ) = 9 ( 9 − 5 )( 9 − 6 )( 9 − 7 ) cm 2 = 6 6 cm 2 ≐ 14,7 cm 2 Výšky můžeme určit pomocí vzorce pro výpočet obsahu (už ho známe). a ⋅ va 2S 2 ⋅ 6 6 12 6 S= ⇒ va = = cm = cm ≐ 5,9 cm 2 a 5 5 2S 2 ⋅ 6 6 Podobně i zbývající výšky: vb = = cm = 2 6 cm ≐ 4,9 cm b 6 2S 2 ⋅ 6 6 12 cm = 6 cm ≐ 4,2 cm vc = = c 7 7
Pedagogická poznámka: Více než polovina studentů má problémy při určování výšek. Automaticky se zadání snaží vyřešit pomocí vět pro pravoúhlý trojúhelník a ani je nenapadne uvažovat o použití vzorce pro obsah (mají ho v paměti zařazený zcela jednosměrně jako cestu k počítání obsahu). Př. 6:
Vypočti obsah vyšrafovaného obrazce (vzdálenosti jsou udané v cm): 10 20 10
10
20
10 Obrazec je tvořen čtvercem 40cm x 40cm, ze kterého jsou vyříznuty tři kusy: • dva pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami 10cm a 10cm. Dohromady tvoří čtverec 10cm x 10cm • pravidelný šestiúhelník o výšce 20 cm odečtením ploch výřezů od plochy velkého čtverce získáme výsledek
3
pro určení plochy šestiúhelníku musíme znát jeho stranu (vzorec pro obsah jsme odvodili v příkladu 3)
20 10 Pokud je výška celého šestiúhelníku 20 cm, rovná se výška rovnostranných trojúhelníků, ze kterých je složen 10 cm ⇒ dosazením do vztahu pro výšku určíme stranu šestiúhelníku: 3 2 20 v= a ⇒ a= v= cm 2 3 3 2
(
)
3 3 20 cm = 1600 − 100 − 200 3 cm = 100 15 − 2 3 cm S = S1 − S2 − S3 = 40 − 10 − 2 3 S ≐ 1154 cm 2 Vyšrafovaný obrazec má přibližně povrch 1154 cm 2 . 2
Př. 7:
2
Urči obvod a obsah pravidelného pětiúhelníku, má-li jeho nejkratší úhlopříčka délku 10 cm.
Obvod pravidelného pětiúhelníku: o = na = 5a aρ 5 Obsah pravidelného pětiúhelníku: S = n = aρ 2 2 ⇒ musíme ze zadaného údaje určit délku strany a poloměr kružnice vepsané. D
a
a r C
E r S a
u a
A B a Určení strany a z rovnoramenného trojúhelníku ABC: Součet vnitřních úhlů v pětiúhelníku: ( n − 2 ) ⋅180° = ( 5 − 2 ) ⋅180° = 540° Velikost úhlu α :
540° = 108° 5
Úsečka BS dělí trojúhelník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky s úhlem u u 10 sin = 2 ⇒ a = = cm ≐ 6,18cm α 108° 2 a 2sin 2 ⋅ sin 2 2 Určení poloměru kružnice vepsané z trojúhelníku EDS:
α
4
α 2
⇒
360° = 72° . 5 Přímka BS dělí rovnoramenný trojúhelník EDS na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky ⇒ ∢ESD 72° ϕ= = = 36° 2 2 a a 6,18 tgϕ = 2 ⇒ ρ = = cm ≐ 4, 25 cm ρ 2 tgϕ 2 ⋅ tg36° Dosazení do vzorců: Obvod: o = na = 5a = 5 ⋅ 6,18 cm = 30,9 cm aρ 5 5 Obsah: S = n = a ρ = 6,18 ⋅ 4, 25cm 2 = 65, 7 cm 2 2 2 2 Pravidelný pětiúhelník s nejkratší úhlopříčkou o délce 10 cm, má obvod 30,9 cm a obsah 65, 7 cm 2 . Úhel ESD je pětinou plného úhlu: ∢ESD =
Př. 8:
Střední příčka rozdělí lichoběžník na dva menší lichoběžníky. Urči poměr jejich obsahů.
Obsah lichoběžníku: S =
(a + c) v 2 D
K
C
L
A
B a+c Střední příčka je průměrem obou základen: s = . 2 a + 3c v a+c ( s + c ) 2 + c v 2 v ( a + 3c ) v 2= Modrý lichoběžník: S m = = = 2 4 4 8 a+c 3a + c v ( a + s ) a + 2 v 2 v ( 3a + c ) v 2= Zelený lichoběžník: S z = = = 2 4 4 8 ( a + 3c ) v S a + 3c 8 Poměr lichoběžníků: m = = S z ( 3a + c ) v 3a + c 8 a + 3c Vzniklé lichoběžníky mají v obsahy v poměru . 3a + c
Shrnutí:
5
6
